1. ১
কষে দেখি .১
1.নিচের বহুপদী সংখ্যামালা গুলির মধ্যে কোনটি/কোনগুলি
দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যা মালা বুঝে লিখি ।
(i) x2
-7x+2
সমাধানঃ
এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এক্ষেত্রে বহুপদী
সংখ্যামালার x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।
(ii) 7x5
-x(x+2)
সমাধানঃ
7x5
-x(x+2)
=7x5
-x2
-2x
এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা হলেও দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়
কারণ এক্ষেত্রে x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5
(iii) 2x(x+5)+1
সমাধানঃ
2x(x+5)+1
=2x2
+10x+1
এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এক্ষেত্রে বহুপদী
2. সংখ্যামালার x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।
(iv) 2x-1
সমাধানঃ
এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় কারণ এক্ষেত্রে x এর সর্বোচ্চ ঘাত
2 নয় ।
2.নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax²+bx+c=0,যেখানে a,b,c
বাস্তবসংখ্যা এবং a≠0 আকারে লেখা যায় তা লিখি।
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2
+bx+c আকারে প্রকাশ করা গেল ।
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2
+bx+c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।
(iii) x2
-6√x+2=0
3. x2
-6√x+2=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2
+bx+c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।
(iv) (x-2)2
= x2
-4x+4
(x-2)2
= x2
-4x+4
বা, x2
-4x+4 = x2
-4x+4
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2
+bx+c আকারে প্রকাশ করা যায় না কারণ
এটি একটি অভেদ ।
3. x6
-x3
-2=0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি
দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণ
য় করি।
সমাধানঃ
x6
-x3
-2=0
বা, (x3
)2
-x3
-2=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2
+bx+c আকারে প্রকাশ করা গেল।
∴প্রদত্ত সমীকরণ টি x3
এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।
4(i) (a-2)2
+3x+5=0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত
সমীকরণ হবেনা তা নির্ণ
য় করি ।
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণ টি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা যদি a-2= 0 হয়
a=2
∴ হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না ।
4. (iii) 3x2
+7x+23 = (x+4)(x+3)+2- কে ax2
+bx+c =0 (a≠0) দ্বিঘাত
সমীকরনের আকারে প্রকাশ করি ।
সমাধানঃ
3x2
+7x+23 = (x+4)(x+3)+2
বা, 3x2
+7x+23=x2
+4x+3x+12+2
বা, 3x2
+7x+23=x2
+7x+14
বা, 3x2
-x2
+7x-7x+23-14=0
বা, 2x2
+9=0
বা, 2x2
+0x+9=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2
+bx+c আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে
a≠0 ।
(iv) (x+2)3
=x(x2
-1) -কে ax2
+bx+c=0,(a≠0) দ্বিঘাত সমীকরনের
আকারে প্রকাশ করি এবং x2
,x ও x0
এর সহগ লিখি।
5. সমাধানঃ
(x+2)3
=x(x2
-1)
বা, x3
+3x2
(2)+3(x)(2)2
+(2)3
=x3
-x
বা, x3
+6x2
+12x+8=x3
-x
বা, 6x2
+13x+8=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2
+bx+c আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে
a≠0 এবং x² এর সহগ 6 , x এর সহগ 13 এবং x0
এর সহগ 8 ।
5. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
গঠন করি ।
(i) 42 কে দুটি অংশে বিভক্ত করো যাতে একটি অংশ অপর
অংশের বর্গে
র সমান হয়।
সমাধানঃ
ধরি , একটি অংশ x
∴ অপর অংশ (42-x)
শর্তানুসারে,
x2
=(42-x)
বা, x²+x-42=0
x²+x-42=0
∴ হল নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
6. (ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
সমাধান ঃ
ধরি একটি সংখ্যা x
∴ অপর সংখ্যাটি হবে (x+2) [ যেহেতু ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা ]
শর্তানুসারে,
X(x+2)=143
বা, x²+2x-143=0
x²+2x-143=0
∴ হল নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গে
র সমষ্টি 313 ।
সমাধানঃ
ধরি , একটি সংখ্যা x
∴ অপর সংখ্যা (x+1)
শর্তানুসারে,
x2
+(x+1)2
=313
বা,x²+x²+2x+1=313
বা, 2x²+2x+1=313
বা, 2x²+2x+1-313=0
বা 2x²+2x-312=0
7. বা, x²+x-156=0 [ উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
x²+x-156=0,
∴ হল নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
6. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
গঠন করি ।
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণে
র দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার
দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।
সমাধানঃ
ধরি , আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x+3) মিটার
আয়তক্ষেত্রের কর্ণে
র দৈর্ঘ্য =√(দৈর্ঘ্য ²+প্রস্থ ²)
শর্তানুসারে ,
উভয়পক্ষ কে বর্গকরে পাই,
x²+(x+3)²=225
বা, x²+x²+2(x)3+(3)²=225
বা, 2x²+6x+9=225
বা, 2x²+6x+9-225=0
বা, 2x²+6x-216=0
8. বা, x²+3x-108=0 [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
∴ নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²+3x-108=0
(ii) এক ব্যাক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন।
যদি ওই টাকায়ে তিনি আর ও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে
তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত ।
ধরি , প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য x টাকা
80
∴ টাকায় পাওয়া যাবে 80/x কিগ্রা চিনি
এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম (x-1)টাকা হলে, 80 টাকায় পাওয়া যাবে
80/(x-1) কিগ্রা চিনি
শর্তানুসারে,
∴ নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²-x-20 =0
9. (iii) দুটি স্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 km ।একটি ট্রেন প্রথম
স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশন এ গেল । ট্রেন টির
গতিবেগ ঘণ্টায়ে 5km বেশি হলে ট্রেন টির দ্বিতীয় স্টেশন এ
যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত ।
সমাধানঃ
ধরি , ট্রেন টির গতিবেগ x কিমি/ঘন্টা
300
∴ কিমি যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে 300/x ঘন্টা [ যেহেতু , সময়
= দূরত্ব /গতিবেগ]
ট্রেনটির গতিবেগ (x+5) কিমি প্রতি ঘণ্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময়
লাগবে 300/(x+5) ঘণ্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ]।
শর্তানুসারে ,
∴ নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²+5x-750=0
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায়ে
বিক্রি করলেন ।তিনি যত টাকায়ে ঘড়ি টি ক্রয় করেছিলেন
10. শতকরা তত টাকা তার লাভ হল ।
ধরি , ঘড়িটি তিনি x টাকায়ে ক্রয় করেছিলেন ।
এবং ঘড়িটি বিক্রি করেছেন 336 টাকায়ে
∴ লাভ= –
ক্রয়মূল্য বিক্রয় মূল্য =(336-x) টাকা
∴ শতকরা লাভ= (লাভ/ক্রয় মূল্য)×100=(336-x)/x × 100 %
শর্তানুসারে ,
∴ নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²+100x-33600=0
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায়ে 2km হলে রতন মাঝি স্রোতের
অনুকু লে 21km গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আস্তে 10 ঘণ্টা সময়
লাগে ।
সমাধানঃ
ধরি, নৌকার বেগ x কিমি /ঘণ্টা
∴স্রোতের অনুকু লে নৌকার বেগ = (x+2) কিমি/ ঘণ্টা
11. এবং স্রোতের প্রতিকু লে নৌকার বেগ = (x-2) কিমি/ ঘণ্টা
সময় = দুরত্ব/গতিবেগ
∴ স্রোতের অনুকূ লে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে 21/(x+2) ঘণ্টা এবং
স্রোতের প্রতিকূ লে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে 21/(x-2) ঘণ্টা
।
শর্তানুসারে,
∴ নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 5x²-21x-20=0
6(vi) আমাদের বারির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেহ্মা
মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয় একসঙ্গে
কাজটি 2 ঘণ্টায়ে শেষ করতে পারে ।
সমাধানঃ
ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে x ঘণ্টা
∴ মজিদের সময় লাগে (x+3) ঘণ্টা
12. আরও ধরাযাক মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ ।
∴মহিম x ঘণ্টায়ে কাজ করে 1 অংশ
∴ মহিম 1 ঘণ্টায়ে কাজ করে 1/x অংশ
মজিদ (x+3) ঘণ্টায়ে কাজ করে 1 অংশ
∴ মজিদ 1 ঘণ্টায়ে কাজ করে 1/(x+3) অংশ
শর্তানুসারে,
∴ নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²-x-6=0
(vii) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক টি
দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেহ্মা 6 বেশি এবং অঙ্ক দ্বয়ের গুনফল
13. সংখ্যাটি থেকে 12 কম ।
সমাধানঃ
ধরি দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক x
∴ একক স্থানীয় অঙ্ক হবে (x+6)
∴ দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি হল 10x+(x+6)=11x+6
শর্তানুসারে ,
x(x+6)=(11x+6)–12
বা, x²+6x=11x-6
বা, x²+6x-11x+6=0
বা, x²-5x+6=0
∴ নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x²-5x+6=0
6(viii) 45 মিটার দীর্ঘও 40 মিটার প্রসস্থ একটি
আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া
একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার ।
সমাধান ঃ
ধরি রাস্তাটি x মিটার চওড়া
∴ রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (45+2x) মিটার
14. এবং রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (40+2x) মিটার
শর্তানুসারে,
(45+2x)×(40+2x)- (45×40)= 450
বা, 1800+90x+80x+4x² -1800=450
বা, 4x²+170x-450=0
বা, 2x²+85x-225=0
∴ নির্ণে
য় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 2x²+85x-225=0 ।