10. RECOPILADO POR: CELSO CHAUCA CONDORI
152. 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑐𝑠𝑒𝑐(2𝑥)𝑦 = 2𝑦−
𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 · 𝑐𝑜𝑡𝑥
153. 5𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 (𝑥 𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑦 = 0 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝑥−
= −
3
4
𝑦 + 𝐶𝑦 /
154. 𝑠 + 7𝑠 = 𝑟𝑠 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝑠−
=
1
7
𝑟 +
1
294
+ 𝐶𝑒
155. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 / 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝑦 /
=
1
21
𝑥 + 𝐶𝑥− /
j. Resolver los siguientes problemas de aplicación
156. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la
cantidad de personas que tiene en cualquier momento 𝑡. Si la población se duplico en cinco años, ¿en
cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?
Resp. 7,9 años; 10 años
157. La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población en cualquier
momento 𝑡. Su población inicial es de 500 y aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población en 30
años?
Resp. 760 habitantes
158. El 𝑃𝑏 − 209, isotopo radiactivo del plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la
cantidad presente en cualquier tiempo 𝑡 y tiene una vida media de 3,3 horas. Si al principio había 1 g.
de plomo, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre 90%?
Resp. 11 h.
159. Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas, esa cantidad
disminuyó 3%. Si la rapidez de desintegración en cualquier tiempo 𝑡, es proporcional a la cantidad de
la sustancia presente, calcule la vida media de dicha sustancia.
Resp. 136,5 h.
160. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70°𝐹 y se lleva al exterior,
donde la temperatura es 10°𝐹. Después de 1/2 minuto el termómetro indica 20°𝐹. ¿Cuál es la lectura
cuando 𝑡 = 1 𝑚𝑖𝑛? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a 15°𝐹?
Resp. 36,76°𝐹; 3,06 𝑚𝑖𝑛
161. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de 20°𝐶, se deja caer en un
recipiente con agua hirviente, ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar 90°𝐶 si se sabe que su temperatura
aumentó 2°𝐶 en un segundo? ¿cuánto tiempo tardará en llegar a 98°𝐶?
Resp. 82,1 𝑠𝑒𝑔. ; 145,7 𝑠𝑒𝑔.
162. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300°𝐹. Tres minutos después, su
temperatura es de 200°𝐹 . ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse hasta una temperatura ambiente de
70°𝐹?
Resp. 𝑇(𝑡) = 230 𝑒−
; llegará a 70 grados cuando 𝑡 tienda a infinito.
11. RECOPILADO POR: CELSO CHAUCA CONDORI
163. Un cuerpo a una temperatura de 50°𝐹 se coloca al aire libre donde la temperatura es de 100°𝐹.
Si después de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 60°𝐹, encontrar:
a) el tiempo que tardará en tener la temperatura de 75°𝐹
b) la temperatura después de 20 minutos.
Resp. 𝑡 = 15,53 min; 𝑇(20) = 79,52°𝐹
164. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura
constante de 0°𝐹. Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es 40°𝐹., y después de 40
minutos la temperatura del cuerpo es de 20°𝐹, hallar la temperatura inicial de éste.
Resp. 𝑇 = 80°𝐹
165. Un vino blanco a temperatura ambiente de 70°𝐹 se refrigera en hielo (32°𝐹). Si transcurren 15
minutos para que el vino se enfríe a 60°𝐹, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que el vino alcance la
temperatura de 56°𝐹?
Resp. 𝑡 = 22,57 min
166. Un tanque tiene 500 galones de agua pura y le entra salmuera con 2 libras de sal por galón a
razón de 5 gal/min. El tanque está bien mezclado, y de él sale la solución con la misma rapidez.
Determine la cantidad 𝐴(𝑡) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante 𝑡. ¿Cuál es la
concentración de la solución en el tanque cuando t = 5 min?
Resp. 0,0975 𝑙𝑏/𝑔𝑎𝑙.
167. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb de sal disuelta. Le
entra salmuera con 1/2 lb de sal por galón a razón de 6 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛. El contenido del tanque está bien
mezclado y de él sale a razón de 4 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay
en el tanque a los 30 minutos.
Resp. 64,38 𝑙𝑏.
168. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠 a un circuito en serie 𝐿𝑅 con 0,1 𝐻𝑒𝑛𝑟𝑦 de
inductancia y 50 𝑜ℎ𝑚𝑠 de resistencia. Determine la corriente 𝑖(𝑡), si 𝑖(0) = 0. Halle la corriente cuando
𝑡 → ∞.
Resp. 𝑖 → 3 ⁄ 5
169. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 a un circuito en serie 𝑅𝐶, donde la resistencia
es 200 𝑜ℎ𝑚𝑠 y la capacitancia es 10 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠. Determine la carga 𝑞(𝑡) del capacitor si 𝑞(0) = 0. Halle la
corriente 𝑖(𝑡).
Resp. 𝑖(𝑡) = 1 2
⁄ 𝑒−
170. El modelo demográfico 𝑃 (𝑡) de un suburbio en una gran ciudad esta descrito con el problema
de valor inicial:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃 (10−
− 10−
𝑃), 𝑃(0) = 5000
Donde 𝑡 se expresa en meses. ¿Cuál es el valor del límite de la población? ¿Cuándo igualará la
población la mitad de ese valor límite?
Resp. 1000000 ℎ𝑎𝑏. ; 5,29 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
12. RECOPILADO POR: CELSO CHAUCA CONDORI
171. Dos sustancias, 𝐴 y 𝐵, se combinan para formar la sustancia 𝐶. La rapidez o velocidad de
reacción es proporcionada al producto de las cantidades instantáneas de 𝐴 y 𝐵 que no se han
convertido en 𝐶. Al principio hay 40 gramos de 𝐴 y 50 gramos de 𝐵, en tanto que por cada gramo de 𝐵
se consumen 2 de 𝐴. Se observa que a los 5 minutos se han formado 10 gramos de 𝐶. ¿Cuánto de 𝐶
se forma en 20 minutos? ¿Cuál es la cantidad límite de 𝐶 al cabo de mucho tiempo? ¿Cuánto de las
sustancias 𝐴 y 𝐵 queda después de mucho tiempo?
Resp. 29,3 𝑔; 𝑥 → 60; 0 𝑔 𝑑𝑒 𝐴 𝑦 30 𝑔 𝑑𝑒 𝐵
172. Una solución de salmuera de sal fluye a razón constante de 6𝐿/𝑚𝑖𝑛. hacia el interior de un
depósito que inicialmente contiene 50𝐿 de solución de salmuera en la cual se disolvieron 5kg de sal. La
solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior con la misma
rapidez. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0,5𝑘𝑔/𝐿, determinar
la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de 𝑡 minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración
de sal en el depósito el valor de 0,3𝑘𝑔/𝐿?
Resp. 𝐶(𝑡) = − 𝑒−
; 𝑡 = ≅ 5,78 𝑚𝑖𝑛.
173. Una solución de salmuera de sal fluye a razón constante de 4𝐿/𝑚𝑖𝑛. hacia el interior de un
depósito que inicialmente contiene 100𝐿 de agua. La solución contenida en el depósito se mantiene
bien agitada y fluye hacia el exterior a razón de 3𝐿/𝑚𝑖𝑛. Si la concentración de sal en la salmuera que
entra en el depósito es de 0,2𝑘𝑔/𝐿, determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de 𝑡
minutos. ¿En qué momento la concentración de sal contenida en el depósito será de 0,1𝑘𝑔/𝐿?
Resp. 𝑡 = 100
√
2 − 1 ≅ 18,92 𝑚𝑖𝑛.
174. Un gran depósito está lleno con 500 litros de agua pura. Una salmuera que contiene 2 gramos
de sal por litro se bombea al interior a razón de 5𝐿/𝑚𝑖𝑛.; la solución adecuadamente mezclada se
bombea hacia fuera con la misma rapidez.
Hallar el número de gramos de sal que hay en el depósito en un instante cualquiera. Resolver este
mismo problema suponiendo que la solución se extrae con una rapidez de 10𝐿/𝑚𝑖𝑛, y calcular
cuánto tiempo pasará para que se vacíe el depósito.
Resp. 𝑥(𝑡) = 10(100 − 𝑡) − 0,1(100 − 𝑡) ; t ≅ 100 𝑚𝑖𝑛.
175. Una alberca cuyo volumen es de 10.000𝐿 contiene agua con el 0,01% de cloro. Empezando en
𝑡 = 0, desde la ciudad se bombea agua que contiene 0,001% de cloro, hacia el interior de la alberca a
razón de 5𝐿/𝑚𝑖𝑛., y el agua de la alberca fluye hacia el exterior a la misma velocidad. ¿Cuál es el
porcentaje de cloro en la alberca al cabo de 1 hora? ¿Cuándo tendrá el agua de la alberca 0,002% de
cloro?
Resp. 0,0097%; 𝑡 ≅ 73,24 horas
176. Un tanque con la forma de un cilindro circular recto, está parado en una de sus bases. Tiene
una fuga de agua por un agujero circular en su fondo. Cuando no se consideran la fricción y la
contracción del chorro en al agujero, la altura ℎ del agua en el tanque se describe con
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −
𝐴
𝐴
2𝑔ℎ
Donde 𝐴 𝑦 𝐴 son las áreas transversales del agua y del agujero,
respectivamente.
a. Halle ℎ(𝑡) si la altura inicial del agua es 𝐻 y 𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠
⁄ .
b. Suponga que el tanque mide 10 pies de altura y 2 pies de radio, el agujero circular tiene
1/2 pulgada de radio. Si el tanque está lleno al principio, ¿Cuánto tardará en vaciarse?
Resp. 30,36 𝑚𝑖𝑛
13. RECOPILADO POR: CELSO CHAUCA CONDORI
177. Un tanque en forma de cono circular invertido (el vértice hacia abajo), tiene una fuga de agua
en su vértice. Suponga que el tanque mide 20 pies de altura y 8 pies de radio, así como que el agujero
circular tiene un radio de 2 pulgadas. La altura ℎ del agua que se fuga del tanque es
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −
5
6ℎ
Si el tanque está lleno al principio, ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
Resp. 14,31 𝑚𝑖𝑛.
178. Un cuerpo de masa ‘𝑚’ cae y es sometida a una resistencia que es proporcional al cuadrado
de su velocidad.
a. Determina 𝑣(𝑡), si 𝑣(0) = 𝑣0.
b. Halla la velocidad limitante.
c. Determina una ecuación para la distancia 𝑥, si se sabe que 𝑥(0) = 0
179. Se sabe que un cierto material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad
presente. Si inicialmente hay 50 miligramos de material presente y después de dos horas se observa
que el material ha perdido el 10% de su masa original, hallar:
a) Una expresión para la masa de material presente en un momento t
b) La masa después de cuatro horas
c) El tiempo para el cual el material se ha desintegrado en la mitad de su masa inicial.
Resp. 𝑎) 𝑥(𝑡) = 50𝑒−
; b) 40,5mg; c) 𝑡 ≅ 13,16 𝑚𝑖𝑛.
180. Se sabe que la población de cierto país aumenta de una forma proporcional al número de
habitantes actuales. Si después de dos años la población se ha duplicado y después de tres años la
población es de 20.000 habitantes, hallar el número de habitantes que había inicialmente en el país.
Resp. 𝑃 = 7.071 habitantes
181. Un camarero introduce en un vaso de "cuba-libre" un cubito de hielo de 3 cm de lado. Al cabo
de un minuto su lado es de 2,5 cm. Suponiendo que se deshace a un ritmo proporcional al área de su
superficie (constante = K), ¿cuánto tardará en deshacerse el cubo de hielo?
Resp. 𝑡 = 6 minutos
182. En una explotación ganadera de 1.000 cabezas de ganado se detecta un animal contagiado
de un virus. Se supone que la rapidez con la que el virus se propaga es proporcional al producto del nº
de animales contagiados y el tiempo transcurrido. Hallar el momento en el cual todos los animales han
sido contagiados si se observa que después de 4 días hay 10 anímales con el virus.
Resp. 𝑡 = 7 días
183. En una población de 5.000 habitantes, diez de ellos tienen una enfermedad contagiosa. La
velocidad a que se propaga la enfermedad es proporcional al producto de personas contagiadas por
las no contagiadas todavía, con una constante de proporcionalidad 0,2. Escribe y resuelve la ecuación
diferencial correspondiente. (Modelo de Verhulst o ecuación logística)
Resp. 𝑃(𝑡) =
5000𝑒𝑡
𝑒𝑡+499
14. RECOPILADO POR: CELSO CHAUCA CONDORI
184. La razón de enfriamiento de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre su temperatura y
la del medio ambiente. Si una cierta barra de acero tiene una temperatura de 1230° y se enfría a 1030°
en 10 minutos, cuando la temperatura del ambiente es de 30° ¿cuál es la expresión de la temperatura
de la barra en función del tiempo?
Rpta. 𝑇 (𝑡) = 30 + 1200
185. Hallar las trayectorias ortogonales a:
𝑦 = 𝑥 · 𝑡𝑔
1
2
(𝑦 + 𝑘)
Rpta. 𝑥 + 𝑦 = 𝑐𝑒
186. Hallar las trayectorias ortogonales a:
𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐
Rpta. 𝑦 = − − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑘
187. Hallar las trayectorias ortogonales a:
𝑥 − 2𝑥𝑦 − 𝑦 = 𝑘
188. Hallar las trayectorias ortogonales a:
𝑥
4 + 𝑎
+
𝑦
9 + 𝑎
= 1
Rpta. −
𝑥
4 + 𝑏
+
𝑦
9 + 𝑏
= 1
189. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas de elipses que tienen su centro en
C(4,0) y semieje horizontal 𝑎 = 2.
Rpta. (𝑥 − 4) + 𝑦 = 𝐶 + 8 𝑙𝑛(𝑥 − 4)
190. Hallar las trayectorias ortogonales a:
𝑥 − 4𝑦 = 𝑐𝑥
Rpta. 𝑦(4𝑦 + 9𝑥 ) = 𝐶
191. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que pasan por los puntos
𝑃(0,0) 𝑦 𝑄(2,0).
Rpta. 𝑦 + (𝑥 − 1) − 1 = 𝐶(𝑥 − 1)
192. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas que se abren en dirección del eje
𝑌, cuyo vértice es 𝑉(1,2).
Rpta. (𝑥 − 1) + 2(𝑦 − 2) = 𝐶
193. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisface la siguiente propiedad;
la recta tangente a las curvas en cualquier punto P, es la bisectriz del ángulo determinado por la recta
vertical que pasa por P y la recta que une P con el origen de coordenadas.
Rpta. 𝑦 = + 𝑐
