Presentacion de la definicion de las derivadas de orden superior

1. ¿Qué son las derivadas parciales de orden
superior?
Una derivada parcial de una función de diversas variables es
su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las
otras como constantes. La derivada de orden superior
comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más,
y que se efectúa derivando tantas veces como se indique. Las
derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría
diferencial.

2. • Al derivar una función cualquiera y=f(x) se genera otra función y'=g(x)
como por ejemplo en el caso de:
𝒚 = 𝒙𝟐
Al derivarlo se obtiene la función y'=2x que se le conoce como la primera
derivada.
Pero la primera derivada se puede volver a derivar, generándose una nueva
función llamada ahora la segunda derivada; y si ésta última se vuelve a
derivar, se obtiene la tercera derivada, y así sucesivamente.
Primero una breve explicación de como son las
Derivadas de orden superior:

3. Es decir, la segunda derivada resulta de derivar la primera derivada,
que en simbología matemática puede escribirse como:
𝒅
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
Para abreviar la simbología anterior, la segunda derivada se escribe
como:
𝒅
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
La segunda derivada es la derivada de la derivada, no la derivada por
la derivada. Son cosas diferentes. Por ejemplo:
𝑦 = 𝑥3
entonces la primera derivada es:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟑𝒙𝟐

4. Todo lo antes dicho es aplicable para la tercera derivada, la
cuarta derivada, etc…
Derivada de la derivada. 𝒅
𝒅𝒙
𝟑𝒙𝟐
= 𝟔𝒙
Derivada por derivada. 𝟑𝒙𝟐
𝟑𝒙𝟐
= 𝟗𝒙𝟒
En la siguiente tabla se muestra la diferencia entre lo que resulta
de la derivada de la derivada y de la derivada por la derivada:

5. Derivadas parciales de orden superior
Si tenemos z=f(x;y), sabemos que las derivadas parciales de la
función respecto de las dos variables independientes son, en
general, funciones a su vez de las mismas variables. Esto es:
∂𝒛
𝝏𝒙
= 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚)
Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables,
estas funciones pueden derivarse nuevamente respecto de "X" y
de "Y“ y les llamamos derivadas parciales de segundo orden. Hay
que hacer notar que ahora tendremos que la primera derivada
parcial respecto de "X" puede ser la derivada parcialmente respecto
de "X" y también respecto de "Y".

6. De igual manera, la primera derivada parcial respecto
de "Y" ,puede ser derivada parcialmente respecto "X" a esa
misma variable. De manera que las segundas derivadas, o
derivadas de segundo orden, pueden ser estas cuatro
derivadas parciales:
𝝏𝟐𝒛
𝝏𝒙𝟐
= 𝒇𝒙𝒙
𝝏𝟐𝒛
𝝏𝒚𝟐
= 𝐟𝐲𝐲
𝝏𝟐
𝒛
𝝏𝒙𝝏𝒚
= 𝐟𝐱𝐲
𝝏𝟐𝒚
𝝏𝒚𝝏𝒙
= 𝒇𝒚𝒙

7. Puesto que estas cuatro derivadas parciales segundas pueden
ser funciones de "X" y de "Y" , es claro que pueden derivarse
nuevamente para obtener las derivadas de tercer orden y así
sucesivamente hasta el orden n..

8. El teorema de Schwartz
El teorema más clásico en relación al problema de la permutabilidad de las
derivadas es el conocido como teorema de Schwartz o de las derivadas
parciales segundas cruzadas.
Sea f una función escalar de dos variables. Supongamos que para cada (𝑥, 𝑦) de
algún entorno V de un punto (𝑥0, 𝑦0), existen
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 ,
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 ,
Y que la aplicación 𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
es continua en (𝑥0, 𝑦0). Entonces también existe la otra
derivada cruzada en (𝑥0, 𝑦0), y se verifica que
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0 =
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑥0, 𝑦0

9. Teorema de Young
El teorema de Young afirma que si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 y 𝑓 es continua en un
punto 𝑃 𝑥, 𝑦 y las derivadas parciales 𝑓𝑥, 𝑓𝑦, 𝑓𝑥𝑦, 𝑓𝑦𝑥 están definidas y
son continuas en el punto P y en cierta vecindad de este punto, entonces
se cumple que:
𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥
El resultado de Young nos ayuda a simplificar las condiciones suficientes
en un problema de optimización de una función de dos variables
independientes.

10. Derivada Parciales (Grafícales)
• Imaginemos una placa solar rectangular tal
que en zonas distintas absorbe cantidades
diferentes de luz solar y por lo tanto cada
celda produce una cantidad distinta de
energía. Tenemos una relación tal que en un
punto (𝒙, 𝒚) de la placa la potencia de
energía generada la podemos deducir con la
relación
𝑬(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝟏𝟎𝐱𝐲 + 𝒚

11. Las unidades de 𝒙 e 𝒚 son centímetros y la potencia de energía 𝑬 en
Watts. ¿Cómo varía la potencia energética 𝑬 en el centro de la
placa, (𝟔𝟓, 𝟏𝟐𝟎), cuando 𝑥 permanece fija en los 𝟔𝟓 𝒄𝒎?
• Para saberlo tenemos que calcular 𝑬𝒚(𝟔𝟓, 𝟏𝟐𝟎)
𝑬𝒚 = 𝟑𝟏𝟎𝒙 + 𝟏 ⇒ 𝑬𝒚(𝟔𝟓, 𝟏𝟐𝟎) = 𝟐𝟎, 𝟓
Así sabemos que situados sobre el punto 𝒙 = 𝟔𝟓, 𝒚 = 𝟏𝟐𝟎 la potencia
energética aumenta a medida que avanzamos en la dirección del
eje y ya que la derivada parcial en esta dirección es positiva. Además la
potencia energética generada aumentará con una rapidez de 𝟐𝟎, 𝟓 W.

12. Si en nuestra función de ejemplo 𝒇(𝒙, 𝒚) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚 queremos
el valor de la pendiente de la recta tangente a la superficie en el
punto𝟑,𝟏 en la dirección del eje nos queda
𝜹𝒇
𝜹𝒙
= −𝟐𝒙 + 𝟐𝒚
𝜹𝒇(𝟑,𝟏)
𝜹𝒙
= (−𝟐) · 𝟑 + 𝟐 · 𝟏 = −𝟔 + 𝟐 = −𝟒
En una función 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚), la derivada parcial respecto y se
representaría gráficamente siguiendo el ejemplo gráfico:
Ahora el valor constante es 𝒙 = 𝒙𝟎 y el
plano es paralelo al eje 𝒚.

13. Reglas para encontrar derivadas
Regla para la función constante
Si 𝑓(𝑥) = 𝑘, donde 𝑘 es una constante, entonces para cualquier 𝑥,𝑓′ (𝑥) =
𝑂; esto es 𝐷𝑥 𝑘 = 0
Regla para la función identidad
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥, entonces 𝑓′(𝑥) = 1; esto es, = 𝐷𝑥(𝑥) = 1
Regla para la diferencia
Si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables, entonces (𝑓 − 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓′ (𝑥) −
𝑔′ (𝑥); esto es, 𝐷𝑥 𝑓 𝑥 −𝑔(𝑥) = 𝐷𝑥𝑓 𝑥 − 𝐷𝑥𝑔(𝑥)

14. Regla para la potencia
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛
, donde n es un entero positivo, entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1
;
esto es, 𝐷𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
Regla del múltiplo constante
Si k es una constante f es una función derivable, entonces (𝑘𝑓)′(𝑥) =
𝑘 ∙ 𝑓′ (𝑥); esto es,
𝐷𝑥 𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝐷𝑥𝑓(𝑥)
En palabras, una constante 𝑘, que multiplica, puede "sacarse" del
operador 𝐷𝑥 .

15. Regla para la suma
Si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables, entonces (𝑓 + 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓′ (𝑥) + 𝑔′ (𝑥);
esto es, 𝐷𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝐷𝑥𝑓 𝑥 + 𝐷𝑥𝑔(𝑥)
Regla para el producto
Si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables, entonces 𝑓. 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 +
𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)
Esto es, 𝐷𝑥 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑓 𝑥 𝐷𝑥𝑔 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝐷𝑥𝑓(𝑥)

16. Notaciones para las derivadas de 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Derivada
𝒇’
Notación
𝒚’
Notación
𝑫
Notación
Notación de
Leibniz
Primera 𝑓’(𝑥) 𝑦’ 𝐷𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Segunda 𝑓’’(𝑥) 𝑦’’ 𝐷2
𝑥𝑦
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
Tercera 𝑓’’’(𝑥) 𝑦’’’ 𝐷3
𝑥𝑦
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
Cuarta 𝑓(4)(𝑥) 𝑦(4) 𝐷4
𝑥𝑦
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
n-ésima 𝑓(𝑛)(𝑥) 𝑦(𝑛) 𝐷𝑛
𝑥𝑦
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛