Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo Lara
Plano Numérico
Guillermo Castillo Trayecto Inicial

2. Plano Numérico
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas
o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se
cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el
plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas
como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman
parte de la geometría analítica.

3. Distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o
en una recta paralela a este eje, la distancia entre los
puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de
sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5
= 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:

4. Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos
A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego
formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y
emplear el teorema de pitágoras.
Comprobar un triángulo isósceles (distancia entre 2 puntos)
Ejemplo:
Demostrar que los puntos : A(3, 8); B(-11, 3) y C(-8, -2) son vértices de un triángulo
isósceles.

5. Punto medio de un Segmento
En matemáticas, el punto medio de un segmento es aquel
punto que se encuentra a la misma distancia de los
extremos de un segmento. Por lo tanto, el punto medio
divide el segmento en dos partes iguales.
Además, el punto medio está justo en el centro del segmento, por lo que pertenece a la
mediatriz del segmento.
Por otro lado, el punto medio de un segmento también es un punto equidistante de dos
elementos geométricos: los dos extremos del segmento.

6. Ejemplo
¿Cuál es el punto medio del segmento cuyos extremos son
los siguientes dos puntos?
Para averiguar el punto medio del segmento debemos aplicar directamente la
fórmula:

7. Ecuaciones
Ecuación Vectorial
Los vectores y se denominan
directores, ya que son los
encargados de establecer las
direcciones para generar a los
puntos X del plano , dichos
vectores se consideran en el
plano.
Ecuaciones paramétricas del
plano
Operando en la ecuación vectorial del plano
llegamos a la igualdad:
Ecuación general
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las
incógnitas y · Por tanto el determinante de la matriz
ampliada del sistema con la columna de los términos
independientes tiene que ser igual a cero.

8. Vector Normal
Vamos a construir la ecuación de
un plano usando otros
elementos.
Primero consideremos a un vector perpendicular al plano
llamado vector normal , y además a un punto
fijo del plano
Ecuación
Segmentaria
Sean , y ,
tres vectores en el espacio por donde pasa
el plano que se encuentran sobre los
ejes de referencia.

9. Trazado de Circunferencia
La técnica para trazar circunferencias depende de su
tamaño. Se puede decir que cuanto mayor sea el diámetro
de la circunferencia, mayores serán las dificultades, ya que
en este caso las imperfecciones resultan más evidentes.
Una circunferencia es la unión de todos los puntos planos que están a una distancia fija
del centro. Para que tengas claros los conceptos, la circunferencia es el borde, y el círculo
es todo el interior. Todos los puntos de la misma están a igual distancia del centro, lo
mires por donde lo mires.

10. Parábolas
Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define
como el conjunto de puntos P(x, y) tal que su distancia al
punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir:
Parábola ={P(x, y)/ d(P, F) = d( p,l)} Al punto F se le denomina
foco de la parábola y a la recta l se le
denomina directriz de la parábola.
Ejemplo Graficar la parábola que tiene por ecuación Indique
coordenadas del vértice, coordenadas del foco, ecuación de la recta
directriz.
Despejando la variable cuadrática para
completarle cuadrados y agrupando,
tenemos:
Se deduce entonces que:

11. Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante, esto es,
La ecuación de una elipse en posición estándar
toma la forma
A la ecuación (1) también se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje
horizontal, y si a<b, se le conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje vertical.
Además, si el centro de la elipse no es el origen, entonces la ecuación de una elipse toma
la forma

12. Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados
focos es constante en valor absoluto.
En la gráfica anterior, esto significa que
para cualquier punto P de la hipérbola.

13. Cónicas
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una
recta g, que llamamos generatriz, alrededor de otra recta e,
eje, con el cual se corta en un punto V, vértice.
• g = la generatriz
• e = el eje
• V = el vértice
Elipse Circunferencia
Parábola Hipérbola

14. Ejercicio a Resolver
Plano Cartesiano
• Escriba los pares ordenados de los puntos A,
B, C, D, E, F, G y H en el siguiente plano
cartesiano:

15. Bibliografía
• “Coordenadas cartesianas” en Wikipedia.
• “Plano cartesiano” en Recursos TIC.
• “El plano cartesiano (intro y ubicación de puntos)” (video) en
Aprendópolis.
• “Plano cartesiano” en GeoGebra.
• “What is the Cartesian Plane?” (video) en Don’t Memorize.
• “Cartesian Coordinates” en The Encyclopaedia Britannica.