El documento trata sobre los diferentes tipos de números. Explica que los números naturales son los más simples y se usan para contar unidades discretas. Luego describe otros tipos como los enteros, racionales, reales e irracionales. También habla sobre números complejos y otros más abstractos como los hiperreales y transfinitos. Finalmente, resume brevemente la historia del desarrollo del concepto de número.

1. Conjuntos numéricos
Profesora Graciela Albizzi
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2. Contenidos
Artículos
Número 1
Número natural 12
Número entero 17
Número racional 21
Número irracional 26
Número real 27
Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 34
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 35
Licencias de artículos
Licencia 36

3. Número 1
Número
Para el concepto lingüístico véase Número gramatical.
Un número, en ciencia, es un concepto que expresa una cantidad en relación a su unidad. También puede indicar el
orden de una serie (números ordinales). También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico que sirve para
representarlo, dicho signo gráfico de un número recibe el nombre de numeral o cifra. El que se escribe con un solo
guarismo se llama dígito.[1]
En matemática moderna, el concepto de número incluye abstracciones tales como números fraccionarios, negativos,
irracionales, trascendentales, complejos (todos ellos con correlatos físicos claros) y también números de tipo más
abstractos como los números hipercomplejos que generalizan el concepto de número complejo o los números
hiperreales, los superreales y los surreales que incluyen a los números reales como subconjunto.
Tipos de números
Los números más conocidos son los números naturales, denotados mediante , son conceptualmente los más
simples y los que se usan para contar unidades discretas. Éstos, conjuntamente con los números negativos,
conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante (del alemán Zählen 'números'). los números negativos
permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales.
Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad,
como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios
pueden ser expresados siempres como cocientes de enteros, el conjunto de todos los números fraccionarios es el
conjunto de los números racionales (que usualmente se definen para que incluyan tanto a los racinales positivos,
como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números de designa como .
Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos pero desde los griegos se conoce que
ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) es un número no entero que tampoco es
racional. Igualmente la solución de numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales,
usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como
una sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los
números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de succesiones de Cauchy de números racionales) es
el conjunto de los números reales . Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser
expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones de
una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos
números son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están
relacionados entre sí por la identidad de Euler.
Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos
problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se
introdujeron los números complejos , que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los
números reales. Además algunas aplicaciones prácticas así como en las formulaciones estándar de la mecánica
cuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer la estructura matemática de los números
complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórico y en diversas aplicaciones
los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron
considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de
números fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexión con problemas
planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes
conexiones con la realidad física.

4. Número 2
Fuera de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen
otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y
responden más a creaciones deliveradas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de
número se usan sólo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos
problemas físicos. Entre ellos están los números hipercomplejos que incluyen a los cuaterniones útiles para
representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de etos como octoniones y los
sedeniones.
A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades
infinitas e infinitesimales como los hiperreales y los transfinitos.
Enumeración de los tipos
La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros. Mientras que
las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales
están:
• Números naturales
• Número primo
• Números compuestos
• Números perfectos
• Números enteros
• Números negativos
• Números pares
• Números impares
• Números racionales
• Números reales
• Números irracionales
• Números algebraicos
• Números trascendentes:
• π
• e
• Extensiones de los números reales
• Números complejos
• Números hipercomplejos
• Cuaterniones
• Octoniones
• Números hiperreales
• Números superreales
• Números surreales
• Números usados en teoría de conjuntos
• Números infinitos
• Números transfinitos

5. Número 3
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
Naturales primos
Naturales compuestos
Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios puros
Números naturales especiales
El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números,
la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos:
Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos.
Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.
Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos.
Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos.
Ejemplo: 2187 = 27 x 81.
Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que
condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto
universalmente es la numeración posicional, gracias al invento del cero, con una base constante.
Más formalmente, en The concept of number, el matemático Frege realiza una definición de «número», la cual fue
tomada como referencia por muchos matemáticos (entre ellos Russell, cocreador de principia mathematica):
«n» es un número, es entonces la definición de «que existe un concepto “F” para el cual “n” aplica», que a su vez se
ve explicado como que «n» es la extensión del concepto «equinumerable con» para «F», y dos conceptos son

6. Número 4
equinumerables si existe una relación «uno a uno» (véase que no se utiliza el símbolo «1» porque no está definido
aún) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyección en otros términos).
Véase también que Frege, tanto como cualquier otro matemático, se ven inhabilitados para definir al número como la
expresión de una cantidad, porque la simbología matemática no hace referencia necesaria a la numerabilidad, y el
hecho de «cantidad» referiría a algo numerable, mientras que números se adoptan para definir la cardinalidad de, por
ejemplo, los elementos que se encuentran en el intervalo abierto (0, 1), que contiene innumerables elementos (el
continuo).
Peano, antes de establecer sus cinco proposiciones sobre los números naturales, explícita que supone sabida una
definición (quizás debido a su «obviedad») de las palabras o conceptos cero, sucesor y número. De esta manera
postula:
• 0 es un número,
• el sucesor de todo número es un número,
• dos números diferentes no tienen el mismo sucesor,
• 0 no es el sucesor de ningún número,
• y la propiedad inductiva.
Sin embargo, si uno define el concepto cero como el número 100, y el concepto número como los números mayores
a 100, entonces las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican, no a la idea que Peano habría querido
comunicar, sino a su formalización.
La definición de número se encuentra por ende no totalmente formalizada, aunque se encuentre un acuerdo
mayoritario en adoptar la definición enunciada por Frege.
Historia del concepto de número
Cognitivamente el concepto de número está asociado a la habilidad de contar y comparar cual de dos conjuntos de
entidades similares es más numeroso. Las primeras sociedades humanas se toparon muy pronto con el problema de
determinar cual de dos conjuntos era "mayor" que otro, o de conocer con precisión cuantos elementos formaban una
colección de cosas. Esos problemas podían ser resuletos simplemente contando. La habilidad de contar del ser
humano, no es un fenómeno simple, aunque la mayoría de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como
mínimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material siemple, sólo disponen de términos para los números
1, 2 y 3 y usualmente usan el término "muchos" para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan
recursivamente expresiones traducibles como "3 más 3 y otros 3" cuando es necesario.
El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta,
como las encontradas en huesos: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos
37.000 años de antigüedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas
en once grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30.000 años de antigüedad. Ambos casos constituyen una
de las más antiguas marcas de cuenta conocidas habiéndose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros de
fases lunares.[2] En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. Los sistemas numerales
de la mayoría de familias lingüísticas reflejan que la operación de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razón
por la cual los sistemas de base decimanl y vigesimal son los más abundantes), aunque están testimoniado el empleo
de otras bases numéricas además de 10 y 20.
El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas
con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de
propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de
bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a
sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el
8000 a. C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas

7. Número 5
usándose como sistema de numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para la
agrimensura o la astronomía como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.[3]
En conjunto, desde hace 5.000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la
forma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa.
Básicamente la podemos clasificar en tres categorías:
1. Sistemas de notación aditiva. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios
hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una
determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Egipcio, hitita, cretense,
romano, griego, armenio y judío.
2. Sistemas de notación híbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se
representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora
fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: Chino
clásico, asirio, armenio, etíope y maya. Este último utilizaba símbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el
primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se
utilizaba entre otros dígitos.
3. Sistemas de notación posicional. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o en
general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El
sistema Chino (300 a. C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico (2000 a. C.) con dos símbolos, de base 10
aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300 a. C.
Las fracciones unitarias egipcias (Papiro Ahmes/Rhind)
En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800 a. C. además del sistema de
numeración antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones en
general, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima del
número, la fracción 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo .
Hay tablas de descomposición de desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo ó
, no sabemos por qué no utilizaban pero parece que trataban de utilizar
fracciones unitarias menores que .
Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+1/2+1/4 . La operación fundamental es la suma y nuestras
multiplicaciones y divisiones se hacían por "duplicaciones" y "mediaciones", por ejemplo 69x19=69x(16+2+1),
donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación.
Fracciones sexagesimales babilónicas (documentos cuneiformes)
En las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi (1800-1600 a. C.) aparece el sistema posicional, antes
referido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para , ó
con una representación basada en la interpretación del problema.
Para calcular recurrían, como nosotros antes de disponer de máquinas, a las numerosas tablas de que disponían: De
multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número
dado no fijó, etc. Por ejemplo para calcular , tomaban su mejor aproximación entera , y calculaban
(una mayor y otra menor) y entonces es mejor aproximación, procediendo igual
obtenemos y obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal
1,414222) como valor de partiendo de (véase algoritmo babilónico).
Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus
tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamente
larga. Sí están 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111...) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909...) pero no se percataron
del desarrollo periódico.

8. Número 6
Descubrimiento de los inconmensurables
Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se
utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de
un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C.
Boyer es:
Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como con p y q primos entre sí. Por el teorema
de Pitágoras tenemos que , , entonces y por tanto debe ser
par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos , entonces y , entonces
es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.
La teoría pitagórica de todo es número quedó seriamente dañada.
El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los
elementos. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar
un múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación
de Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón si dados dos números naturales cualesquiera m y
n, si entonces (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro
procedimiento actual).
En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que
dará Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las tales que y las que .
Descubrimiento del 0
En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden, por
ejemplo, en el sistema babilónico el número , sobre base 60 puede ser ó
. A veces, se utilizó la posición vacía para evitar este problema _ _ _; pero los escribas debían tener mucho cuidado
para no fallar.
Hacia el siglo III a. C., en Grecia, se comenzó a representar la nada mediante una "o" que significa oudos 'vacío', y
que no dio origen al concepto de cero como existe hoy en día. La idea del cero como concepto matemática parece
haber surgido en la India mucho antes que en ningún otro lugar. La única notación ordinal del viejo mundo fue la
sumeria, donde el cero se representaba por un vacío.
En América, la primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo III a. C.
Se trata de una estela olmeca tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Los
mayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, y
una flor para el cero calendárico (que implicaba, no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo).
Números negativos
Brahmagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las ecuaciones cuadráticas, aunque una de ellas
sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética (+, -, *, / ,
potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba los bienes, las deudas y la nada. Así
por ejemplo para el cociente establece:
Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada
(0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o
negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)
No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la
geometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fundamentación lógica y su mezcla
de lo práctico con lo formal.

9. Número 7
Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que transcurrieran varios
siglos (hasta el renacimiento) para que fuese recuperado.
Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos
utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.
Trasmisión del sistema indo-arábigo a Occidente
Varios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacamos a: Alexander de Villedieu (1225),
Sacrobosco (1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como Fibonacci, viajó
por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, El Liber abaci, que trata en el
capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII
las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el
capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie:
con .
No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número con
magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría por
diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de éstos últimos.
Las fracciones continuas
Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), aunque con ejemplos numéricos, desarrolla una raíz cuadrada en fracciones
continuas como hoy: Queremos calcular y sea el mayor número cuyo cuadrado es menor que y
, tenemos:
que con su notación escribía: n=a&b/2.a.&b/2.a ... Así 18=4&2/8.&2/8, que da las aproximaciones 4+(1/4),
4+(8/33)...
Siendo así los números irracionales aceptados con toda normalidad, pues se les podía aproximar fácilmente mediante
números racionales.
Primera formulación de los números complejos
Los números complejos eran en pocos casos aceptados como raíces o soluciones de ecuaciones (M. Stifel
(1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) y por casi ninguno como coeficientes). Estos números se llamaron inicialmente
ficticii 'ficticios' (el término "imaginario" usado actualmente es reminiscente de estas reticencias a considerarlos
números respetables). A pesar de esto G. Cardano (1501-1576) conoce la regla de los signos y R. Bombelli
(1526-1573) las reglas aditivas a través de haberes y débitos, pero se consideran manipulaciones formales para
resolver ecuaciones, sin entidad al no provenir de la medida o el conteo.
Cardano en la resolución del problema dividir 10 en dos partes tales que su producto valga 40 obtiene como
soluciones (en su notación 5p:Rm:15) y (en su notación 5m:Rm:15), soluciones que
consideró meras manipulaciones "sutiles, pero inútiles".
En la resolución de ecuaciones cúbicas con la fórmula de Cardano-Tartaglia, aunque las raíces sean reales, aparecen
en los pasos intermedios raíces de números negativos. En esta situación Bombelli dice en su Álgebra que tuvo lo que
llamó "una idea loca", esta era que los radicales podían tener la misma relación que los radicandos y operar con
ellos, tratando de eliminarlos después. En un texto posterior en 20 años utiliza p.d.m. para y m.d.m.
para dando las reglas para operar con estos símbolos añadiendo que siempre que aparece una de
estas expresiones aparece también su conjugada, como en las ecuaciones de 2º grado que resuelve correctamente. Da
un método para calcular .

10. Número 8
Generalización de las fracciones decimales
Aunque se encuentra un uso más que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la Europa
Renacentista, y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a éstas frente a las sexagesimales, y las
aceptaban los matemáticos que se dedicaban a la investigación, su uso se generalizó con la obra que Simón Stevin
publicó en 1585 De Thiende (La Disme). En su definición 1ª dice que la Disme es un especie de aritmética que
permite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando únicamente números naturales. En las siguientes define
nuestra parte entera: cualquier número que vaya el primero se dice comienzo y su signo es (0), (1ª posición decimal
1/10). El siguiente se dice primera y su signo es (1) (segunda posición decimal 1/100). El siguiente se dice segunda
(2). Es decir, los números decimales que escribe: 0,375 como 3(1)7(2)5(3), ó 372,43 como 372(0)4(1)3(2). Añade
que no se utiliza ningún número roto (fracciones), y el número de los signos, exceptuando el 0, no excede nunca a 9.
Esta notación la simplificó Jost Burgüi (1552-1632) eliminando la mención al orden de las cifras y sustituyéndolo
por un "." en la parte superior de las unidades 372·43, poco después Magín (1555-1617) usó el "." entre las unidades
y las décimas: 372.43, uso que se generalizaría al aparecer en la Constructio de Napier(1550-1617) de 1619. La ","
también fue usada a comienzos del siglo XVII por el holandés Willerbrod Snellius: 372,43.
El principio de inducción matemática
Su antecedente es un método de demostración, llamado inducción completa, por aplicación reiterada de un mismo
silogismo que se extiende indefinidamente y que usó Maurolyco (1494-1575) para demostrar que la suma de los
primeros números naturales impares es el cuadrado del -ésimo término, es decir
. Pascal (1623-1662) usó el método de inducción matemática, en su
formulación abstracta, tal y como lo conocemos hoy para probar propiedades relativas al triángulo numérico que
lleva su nombre. La demostración por inducción consta siempre de dos partes: el paso base y el paso inductivo, los
cuales se describen a continuación en notación moderna:
Si es un subconjunto de los números naturales (denotado por ) donde cada elemento cumple la propiedad
y se tiene que
1. pertenece a .
2. El hecho de que sea un miembro de implica que también lo es.
entonces , es decir que todos los números naturales tienen la propiedad .
De manera intuitiva se entiende la inducción como un efecto dominó. Suponiendo que se tiene una fila infinita de
fichas de dominó, el paso base equivale a tirar la primera ficha; por otro lado, el paso inductivo equivale a demostrar
que si alguna ficha se cae, entonces la ficha siguiente también se caerá. La conclusión es que se pueden tirar todas las
fichas de esa fila.
La interpretación geométrica de los números complejos
Esta interpretación suele ser atribuida a Gauss (1777-1855) que hizo su tesis doctoral sobre el teorema fundamental
del álgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en 1631, con intentos de demostración realizados por
D’Alembert, Euler y Lagrange, demostrando que las pruebas anteriores eran falsas y dando una demostración
correcta primero para el caso de coeficientes, y después de complejos. También trabajó con los números enteros
complejos que adoptan la forma , con y enteros. Este símbolo para fue introducido por
primera vez por Euler en 1777 y difundido por Gauss en su obra “Disquisitiones arithmeticae” de 1801.
La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya por Caspar Wessel (1745-1818) pero
pasó desapercibida, y así el plano de los números complejos se llama “plano de Gauss” a pesar de no publicar sus
ideas hasta 30 años después.
Desde la época de Girard (mitad siglo XVII) se conocía que los números reales se pueden representar en
correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los puntos del plano los

11. Número 9
matemáticos se sentirán cómodos con estos números, ver es creer.
Descubrimiento de los números trascendentes
La distinción entre números irracionales algebraicos y trascendentes data del siglo XVIII, en la época en que Euler
demostró que y son irracionales y Lambert que lo es π. Los trabajos de Legendre sobre la hipótesis de que π
podía no ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, señalaron el camino para distinguir distintos
tipos de irracionales. Euler ya hacía esta distinción en 1744 pero habría que esperar casi un siglo para que se
estableciera claramente la existencia de los irracionales trascendentes en los trabajos de Liouville, Hermite y
Lindeman.
Liouville (1809-1882) demostró en 1844 que todos los números de la forma
(p.e. 0,101001.....) son trascendentes.
Hermite (1822-1901) en una memoria “Sobre la función exponencial” de 1873 demostró la trascendencia de
probando de una forma muy sofisticada que la ecuación: no puede existir.
Lindeman (1852-1939) en la memoria “Sobre el número ” de 1882 prueba que el número e no puede satisfacer la
ecuación: con y algebraicos, por tanto la ecuación no
tiene solución para x algebraico, pero haciendo tenemos , entonces no puede ser
algebraico y como i lo es entonces π es trascendente.
El problema 7 de Hilbert (1862-1943) que plantea si , con a algebraico distinto de cero y de uno, y b irracional
algebraico, es trascendente fue resuelto afirmativamente por Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero no se sabe si son
trascendentes o no: , , , ... Sin embargo e y 1/e sí que son trascendentes.
Teorías de los irracionales
Hasta mediados del siglo XIX los matemáticos se contentaban con una comprensión intuitiva de los números y sus
sencillas propiedades no son establecidas lógicamente hasta el siglo XIX. La introducción del rigor en el análisis
puso de manifiesto la falta de claridad y la imprecisión del sistema de los números reales, y exigía su estructuración
lógica sobre bases aritméticas.
Bolzano había hecho un intento de construir los números reales basándose en sucesiones de números racionales, pero
su teoría pasó desapercibida y no se publicó hasta 1962. Hamilton hizo un intento, haciendo referencia a la magnitud
tiempo, a partir de particiones de números racionales:
si ,
cuando
y si
cuando
pero no desarrolló más su teoría.
Pero en el mismo año 1872 cinco matemáticos, un francés y cuatro alemanes, publicaron sus trabajos sobre la
aritmetización de los números reales:
• Charles Meray (1835-1911) en su obra “Noveau preçis d’analyse infinitesimale” define el número irracional como
un límite de sucesiones de números racionales, sin tener en cuenta que la existencia misma del límite presupone
una definición del número real.

12. Número 10
• Hermann Heine (1821-1881) publicó, en el Journal de Crelle en 1872, su artículo "Los elementos de la teoría de
funciones", donde proponía ideas similares a las de Cantor, teoría que en conjunto se llama actualmente "teoría de
Cantor-Heine".
• Richard Dedekind (1831-1916) publica su “Stetigkeit und irrationale zahlen”. Su idea se basa en la continuidad de
la recta real y en los “agujeros” que hay si sólo consideramos los números racionales. En la sección dedicada al
“dominio R” enuncia un axioma por el que se establece la continuidad de la recta: “cada punto de la recta divide
los puntos de ésta en dos clases tales que cada punto de la primera se encuentra a la izquierda de cada punto de
la segunda clase, entonces existe un único punto que produce esta división”. Esta misma idea la utiliza en la
sección “creación de los números irracionales” para introducir su concepto de “cortadura”. Bertrand Russell
apuntaría después que es suficiente con una clase, pues esta define a la otra.
• Georg Cantor (1845-1918). Define los conceptos de: sucesión fundamental, sucesión elemental, y límite de una
sucesión fundamental, y partiendo de ellos define el número real.
• Karl Weierstrass (1815-1897). No llegó a publicar su trabajo, continuación de los de Bolzano, Abel y Cauchy,
pero fue conocido por sus enseñanzas en la Universidad de Berlín. Su caracterización basada en los “intervalos
encajados”, que pueden contraerse a un número racional pero no necesariamente lo hacen, no es tan generalizable
como las anteriores, pero proporciona fácil acceso a la representación decimal de los números reales.
Álgebras hipercomplejas
La construcción de obtención de los números complejos a partir de los números reales, y su conexión con el grupo de
transformaciones afines en el plano sugirió a algunos matemáticos otras generalizaciones similares conocidas como
números hipercomplejos. En todas estas generalizaciones los números complejos son un subconjunto de estos nuevos
sistemas numéricos, aunque estas generalizaciones tienen la estructura matemática de álgebra sobre un cuerpo, pero
en ellos la operación de multiplicación no es conmutativa.
Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos sugirió muchas y variadas formas de extender los números naturales y los números reales de
formas diferentes a como los números complejos extendían al conjunto de los números reales. El intento de capturar
la idea de conjunto con un número no finito de elementos llevó a la aritmética de números transfinitos que
generalizan a los naturales, pero no a los números enteros. Los números transfinitos fueron introducidos por Georg
Cantor hacia 1873.
Los números hiperreales usados en el análisis no estándar generalizan a los reales pero no a los números complejos
(aunque admiten una complejificación que generalzaría también a los números complejos). Aunque parece los
números hiperreales no proporcionan resultados matemáticos interesantes que vayan más allá de los obtenibles en el
análisis real, algunas demostracciones y pruebas matemáticas parecen más simples en el formalismo de los números
hiperreales, por lo que no están exentos de importancia práctica.
Sistemas de representación de los números
Los números como expresión de cantidades aparecen en todas las culturas humanas. Incluso los grupos humanos con
culturas materiales más simples disponen en su lengua de alguna manera para expresar cantidades en forma
numérica, al menos hasta cierto número, mediante palabras que designa a estos números (palabras numerales). El
advenimiento de la escritura también comportó la búsqueda de sistemas de representación gráfica para los números,
estos sistemas van desde sistemas muy simples basados en rayas a sistemas elaborados que permiten expresar
números elevados.

13. Número 11
Cifra, dígito y numeral
Una de las formas más frecuenes de representar números por escrito consiste en un "conjunto finito de símbolos" o
dígitos, que adecuadamente combinados permiten formar cifras que funcionan como representaciones de números
(cuando una secuencia específicas de signos se emplea para representar un número se la llama numeral, aunque una
cifra también puede representar simplemente un código identificativo.)
Base numérica
Tanto las lenguas naturales como la mayor parte de sistemas de representación de números mediante cifras, usan un
inventario finito de unidades para expresar una cantidad mucho mayor de números. Una manera importante de lograr
eso es el uso de una base aritmética en esos sistemas un número se expresa en general mdeiante suma o
multiplicación de números. Los sistemas puramente aritméticos recurren a bases donde cada signo recibe una
interpretación diferente según su posición. Así en el siguiente numeral arábigo (base 10):
El <8> por estar en última posición representa unidades, el <6> representa decenas, el <5> centenas, el <3> millares
y el <1> decenas de millares. Es decir ese numeral representara el número:
Muchas lenguas del mundo usan una base decimal, igual que el sistema arábigo, aunque también es frecuente que las
lenguas usen sistemas vigesimales (base 20). De hecho la idea de usar un número finito de dígitos o signos para
representar números arbitrariamente grandes funciona para cualquier base b, donde b es un número entero mayor o
igual que 2. Los ordenadores frecuentemente usan para sus operaciones la base binaria (b = 2), y para ciertos usos
también se emplea la base octal (b = 8 ) o hexadecimal (b = 16). La base coincide con el número de signos primarios,
si un sistema posicional tiene b símbolos primarios que designaremos por , el numeral:
Designará al número:
Números en las lenguas naturales
Las lenguas naturales usan nombres o numerales para los números frecuentemente basados en el contaje mediante
dedos, razón por la cual la mayoría de las lenguas usan sistemas de numeración en base 10 (dedos de las manos) o
base 20 (dedos de manos y pies), aunque también existen algunos sistemas exóticos que emplean otras bases.
Referencias
[1] DRAE (http:/ / buscon. rae. es/ draeI/ SrvltGUIBusUsual?TIPO_HTML=2& TIPO_BUS=3& LEMA=número+ )
[2] Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 p. 12-13
[3] Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 p. 14
Enlaces externos
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14. Número natural 12
Número natural
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para
contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque
fueron los primeros que utilizó el ser humano para la enumeración.
Convenios de notación
Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el
cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de
los mismos. Dependiendo del autor, el conjunto de los números
naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:
Los números naturales pueden usarse para contar
(una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).
• Definición sin el cero:
• Definición con el cero:
donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".
Ambas presentaciones son utilizadas en distintas áreas de las matemáticas. Históricamente, el uso del cero como
numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la invasión musulmana de la Península Ibérica,[1] pero no se
consideraba un número natural.[2]
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones
conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,[3] y otras, como la teoría de la
computación.[4] En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.[4] Sin embargo, en la actualidad ambos
convenios conviven.[5]
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, incluyendo el cero en los
naturales, a los números naturales sin el cero, o enteros positivos se les denota como:
[6]
Historia
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para
contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos.
Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una
vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor
del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en
formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de
escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes,

15. Número natural 13
en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,
mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard
Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto
de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,
resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la
existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege
perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la
existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del
axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de
números naturales como ordinales según von Neumann.
las propiedades de los números naturales son:
1. Que un número natural va después del otro
2. Que dentro de dos números natural no puede haber otro
3. Que son infinitos
Construcciones axiomáticas
Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las
que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.
Axiomas de Peano
Los axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de
conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor.
Los cinco axiomas de Peano son:
1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural
cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números
naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.
Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La
idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se
quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga
precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por
Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple
1. Para cada ,
2. La relación es un orden total estricto en
3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.
Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene
elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

16. Número natural 14
Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada
número natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes
expresiones:
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por
ejemplo:
• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
• 1 es el sucesor de 0, entonces
• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces
• y en general
Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por
naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión
es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus
antecesores. Así si y sólo si .
Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo
axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de
demostración conocida como inducción matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que
si es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto
inductivo.
Se define la suma por inducción mediante:
Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado
Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en
un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones
Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.
Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación
binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación
biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación
verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente
los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las
operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los

17. Número natural 15
conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y unitario.
Operaciones con los números naturales
Las operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres humanos acordar procesos culturales
de lectura simbólica de agrupación o construcción, de disgregación o deconstrucción, así como del número de raíces
u origen de un determinado objeto geométrico o de propiedades dimensionales, que se pueden realizar con un
determinado conjunto numérico.
Los conjuntos numéricos son espacios en los cuales las operaciones pueden hacerse con elementos de dichos
conjuntos y dar como resultado de la acción elementos que pueden estar dentro o fuera de ellos. Si el resultado de la
operación siempre da elementos del conjunto numérico, se dice que el espacio es cerrado para dicha operación
(cumple con la propiedad de cierre o clausura), si el resultado algunas veces da elementos del conjunto y otras veces
no, se dice que el espacio es abierto para dicha operación (no es cerrado, no cumple con la propiedad de cierre o de
clausura).
De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la adición cuyo resultado es la suma
(operación cerrada, constructora de linealidad), la sustracción cuyo resultado es diferencia o resta (operación abierta
deconstructora de la linealidad), la multiplicación cuyo resultado recibe el nombre de producto (operación cerrada,
constructora de ortogonalidad (ángulo recto)), la división cuyo resultado es el cociente (operación abierta de doble
naturaleza deconstructora de la ortogonalidad (desarma al ángulo recto), o como razón de cambio), la potenciación
cuyo resultado es potencia (operación cerrada en los naturales, constructora de objetos geométricos "perfectos"),
radicación cuyo resultado es raíz (operación abierta, deconstructora de objetos geométricamente perfectos) y la
logaritmación (operación abierta, que establece el posible número de raíces de un objeto potencialmente perfecto, o
de posibles propiedades dimensionales de los objetos geométricos).
Es así como las operaciones quedan establecidas para su reconocimiento geométrico como constructoras,
deconstructoras y de propiedades dimensionales de los objetos geométricos. A partir de esta concepción se puede
decir que:
La sustracción es la operación inversa a la adición de la misma manera que la división es la inversa de la
multiplicaciones, es decir,
si a+b = c, entonces b = c - a; se observa como la adición o suma construye segmentos de rectas y la sustracción o
resta deconstruye el segmento de recta.
No siempre se puede realizar una resta entre números naturales, debido a que no siempre se cumple que el número al
que se le resta el otro, es mayor.
Se puede realizar, 20 - 5 = 15; siendo 20 el minuendo y 5 el sustraendo; pero no 5-20; la razón es que el resultado,
-15, no está dentro del conjunto de los números naturales.
La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas. Es decir:
• El orden de los números no altera el resultado, a+b = b+a, pues la construcción de dicho segmento conserva su
longitud sin importar que cantidad coloque primero, y a×b = b×a siempre construirá la misma área rectangular,
sin importar el orden en el cual se coloquen los factores(propiedad conmutativa).
• Para sumar (o multiplicar) tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera
específica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.
Al construir la multiplicación de números naturales áreas rectangulares, se puede observar claramente que la adición
o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades
iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, ya que:

18. Número natural 16
Propiedades de los números naturales
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólo
si existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones
aritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado
1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemos
encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:
y .
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo,
son estudiadas por la teoría de números.
Uso de los números naturales
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento
en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de
un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo
de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos.
Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.
• Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros,
para lo cual en NxN se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de NxN
(a; b) ~ (c; d) si y solo si a + d = b + c
Referencias
[1] Nils-Bertil Wallin. « The history of zero (http:/ / yaleglobal. yale. edu/ about/ zero. jsp)». Consultado el 07-07-2011.
[2] « FIBONACCI: EL HOMBRE QUE INTRODUJO LA NUMERACIÓN ÁRABE EN EUROPA (http:/ / recuerdosdepandora. com/ ciencia/
matematicas/ fibonacci-la-numeracion-arabe-y-los-obstaculos-de-la-religion/ )» (en español) (11-01-2011). Consultado el 05-03-2011.
[3] Véanse textos como Jech (2006). ISBN 978-3-540-44085-7, Devlin (1993). ISBN 0-387-94094-4 o Kunen (1992). ISBN 0-444-86839-9.
[4] Véase Welschenbach, 2005, p. 4.
[5] Véase Weisstein, Eric W.. « Natural Numbers (http:/ / mathworld. wolfram. com/ NaturalNumber. html)» (en inglés). MathWorld. Consultado
el 14-08-2011.
[6] Cominos (2006). ISBN 9781852339029., p. 27.
Bibliografía
• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana.
ISBN 970-32-1392-8.
• Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN
978-84-8236-049-2.
• Welschenbach, Michael (2005). Cryptography in C and C++. Apress. ISBN 9781590595022idioma=inglés.

19. Número entero 17
Número entero
Los números enteros son un conjunto de
números que incluye a los números
naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los
negativos de los números naturales (..., −3,
−2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como
−1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres»,
etc.), son menores que todos los enteros
positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para
resaltar la diferencia entre positivos y
negativos, a veces también se escribe un Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural
signo «más» delante de los positivos: +1, +5, cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en
la imagen, sólo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano
etc. Cuando no se le escribe signo al número
«debido» o «negativo» (en rojo).
se asume que es positivo.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que
proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:
−783 y 154 son números enteros
45,23 y −34/95 no son números enteros
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma
similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para
contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100
alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero
también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del
Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por
debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
Historia
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo,
aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad
de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos
italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de
ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de
la India. [cita requerida]
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la
cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo
que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance

20. Número entero 18
positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de
3 sueldos.
Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3−5=?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en
las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde
1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde
2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o
perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades
se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 −
1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una
ganancia negativa.
Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos
(«−») delante se obtienen los números negativos:
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se
leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama
números positivos.
Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que
sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».
Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la
letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :
La recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están
ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir,
cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se
representa por dos barras verticales «| |».

21. Número entero 19
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
El orden de los números enteros se define como:
• Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.
• Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:
• El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
• El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
• El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números
naturales.
Suma
En la suma de dos números enteros, se
determina por separado el signo y el
valor absoluto del resultado.
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del
círculo y su color.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:
• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de
los sumandos.
• Si ambos sumandos tienen distinto signo:
• El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
• El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:

22. Número entero 20
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.
Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.
Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 ,
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor
absoluto del resultado.
En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:
• El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
• El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
Regla de los signos
• (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.
• (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.
• (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.
• (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
pero si es absoluto negativo se pone una monda de caucho
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad
distributiva:

23. Número entero 21
Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.
Ejemplo.
• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
Propiedades algebraicas
El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de suma y producto, tiene una estructura
que en matemáticas se denomina anillo.
Más allá de su estructura algebraica, el conjunto de los números enteros tiene una relación de orden.
Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.
Referencias
• Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006) (en inglés). Mathematics.
Applications and Concepts. Course 2. McGraw-Hill. ISBN 0-07-865263-4.
Número racional
En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede
representarse como el cociente de dos números enteros (más
precisamente, un entero y un natural positivo[1]) es decir, una fracción
común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El
término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de
los números racionales se denota por Q (o bien , en Blackboard
bold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos).
Este conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es un
subconjunto de los números reales ( ).
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número
decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números
escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, Diagrama usado en la demostración de que los
racionales son numerables (Georg Cantor).
hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo
número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base
entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a
diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se
toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes
entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia
sobre .

24. Número racional 22
Construcción formal
Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo
denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el
conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:
Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por
tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase
de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:
Demostración
De esta manera , es
decir que el conjunto de los números racionales es el cociente por la relación de equivalencia.
Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:
Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:
Aritmética de los números racionales
Definición de suma y multiplicación en Q
• Se define la suma
• Se define la multiplicación
Relaciones de equivalencia y orden en Q
• Se define la equivalencia cuando
• Los racionales positivos son todos los tales que
• Los racionales negativos son todos los tales que
• Se define el orden cuando
Representación gráfica de las fracciones cuyo
divisor es 4.

25. Número racional 23
Existencia de neutros e inversos
• Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales
y se le denota por .
• Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los
racionales y se le denota por .
• Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que
• Cada número racional: con excepción de tiene un inverso multiplicativo tal que
Equivalencias notables en Q
• Todo número entero se puede escribir como fracción
• con y
•
•
• con y
• con y .
Propiedades
• El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo
conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .
• Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
• La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos.
• El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre y (tienen la
misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los
reales, la constituyen los números irracionales).
• Propiedad arquimediana: el conjunto es denso en por construcción misma de ; es decir, para cualquier
pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos.
• Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional puede descomponerse en la forma:
donde son números enteros primos, (siendo algunos de ellos negativos si
q no es entero) y . Por ejemplo .

26. Número racional 24
Escritura decimal
Representación racional de los números decimales
Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen
secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede
expresarse como número racional de la siguiente manera:
• Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número
entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.
• Ejemplo:
• Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número
escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.
• Ejemplo:
• Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre y , donde es el número escrito
sin la coma, y es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El
denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo.
• Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que la
fracción correspondiente será , es decir: .
Desarrollo decimal de los números racionales
El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador.
Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos:
• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del
separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».
• Ejemplo:
• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
• Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
Nota: lo mismo aplica para el desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.

27. Número racional 25
Número racional en otras bases
En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene
factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.
• Ejemplos:
• En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y sólo si el denominador de su fracción irreducible es de
la forma 2n·5p (n y p enteros).
• En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador
contiene factores primos distintos de 2 y 3.
Propiedades topológicas de los números racionales
• Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.
• Poseen una expansión finita como fracción continua regular.
• Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo parcialmente ordenado; presentan una
topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica d(x,y) = |x − y|.
• Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.
• Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados (también es
totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.
Número p-ádico
Sea p un número primo y para todo entero no nulo a, sea |a|p = p−n, donde pn es la mayor potencia de p que divide a
a.
Si |0|p = 0, y para cada número racional a/b, |a/b|p = |a|p / |b|p, entonces la función multiplicativa
define una métrica sobre .
El espacio métrico no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos . El teorema
de Ostrowski asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al
valor absoluto p-ádico.
Referencias
[1] Elena de Oteyza de Oteyza. Álgebra. Pearson Educación, 2003.
Bibliografía
• Cárdenas, Raggi (1990). Álgebra Superior. México D.F.: Trillas. ISBN 968-24-3783-0. OCLC 7121505 (http://
worldcat.org/oclc/7121505).
• Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich; C. Pisot, M. Zamansky (2001), « Rational Number (http://www.
encyclopediaofmath.org/index.php?title=Rational_number&oldid=14864)», en Hazewinkel, Michiel (en
inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Weisstein, Eric W. « RationalNumber (http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html)» (en inglés).
MathWorld. Wolfram Research.

28. Número racional 26
Enlaces externos
• Números Racionales (http://numerosracionales.com) Definición, propiedades y operaciones de números
racionales, junto con ejemplos
.
Número irracional
En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde
y son enteros, con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no
es racional. Segunda Definicion:Un Numero irracional es un numero que no se puede escribir en fraccion.
Notación
No existe una notación universal para indicarlos, como , que es generalmente aceptada. Las razones son que el
conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ),
los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) y los Complejos ( ), por un lado, y que la es tan
apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo
cual puede crear confusión.
Fuera de ello, , es la denotación del conjunto por definición.
Clasificación
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría
parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los
números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los
números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos
enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al
número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo
una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135
es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras
decimales no periódicas.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135
en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que
hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres
principales son los siguientes:
1. (Número "pi" 3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182 ...):
3. (Número "áureo" 1,6180 ...):
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de
radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante

29. Número irracional 27
operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden
son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica , por lo q
es un número irracional algebraico.
2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen
de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al
escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente,
como los dos siguientes:
...
...
Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación
algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.
Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los
números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los
irracionales.
Enlaces externos
• Números Irracionales [1] Más información sobre números irracionales
Referencias
[1] http:/ / numerosirracionales. com
Número real
En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen
tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a
los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se
pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras
decimales no periódicas, tales como: .
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias
formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los
propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el
rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque
carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se
consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban
expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición Diferentes clases de números reales.
precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que
hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la
matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas
(aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1] En una
sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más
usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy
Recta real.
de números racionales y cortaduras de Dedekind.

30. Número real 28
Historia
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C.
un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales.
Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China
poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler
descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se
utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición
rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de
teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el
siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor
(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind
(vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números
reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la
antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann,
Cauchy y Weierstrass.
Evolución del concepto de número
Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas
prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de
número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a
cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo
expresaron con la máxima «todo es número».
En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras
dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes
tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta
forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o
la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un
triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :
Si es un número racional donde está reducido a sus términos mínimos (sin factor común)
entonces 2q²=p².
La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendo
obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2m².
Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es
imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).
Por tanto, la suposición misma de que es un número racional debe ser falsa.
Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de
un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las
magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo
consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.[2]
Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia
a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de
proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética

31. Número real 29
puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos
encontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b y q=a+b son tales que p/q es
una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejor
aproximación.[3] Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante
procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó
que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los números
reales con los puntos de una línea recta.
Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la
notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y
longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma
mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora
conocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando
primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analítica
este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse en
números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.
Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos
métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de
límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por
ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la
intuición geométrica) mediante la serie:
entre muchas otras expresiones similares.
Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con
la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos como
continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las
demostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.
Tipos de números reales
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que
pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los
irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya
representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal
aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
es irracional y su expansión decimal es aperiódica.
Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un
polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los
números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la
ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.
Ejemplos