El documento describe las definiciones matemáticas y propiedades de varias funciones unitarias comúnmente utilizadas en procesamiento de señales e ingeniería, incluyendo la función escalón unitario, función signo unitario, función rectangular unitario, función rampa unitario, función triángulo unitario, función seno cardinal unitario, función gaussiana unitario, función delta de Dirac unitario y función peinilla de Dirac unitario.

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FUNCION ESCALON UNITARIO
La función escalón unitario es
una función matemática que
tiene como característica, el
tener un valor de 0 para todos
los valores negativos de su
argumento y de 1 para todos los
valores positivos de su
argumento, expresado
matemáticamente seria de la
forma:
Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el
argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo.
Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen
en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por
la función que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación.
En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:
Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se
obtiene la siguiente gráfica:

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Como se puede observar la función f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante
con los mismos valores de f(t), esto seria la representación de un interruptor que
se encuentra abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la señal que se observa a
partir de este momento tiene como valor f(t).
Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie
exactamente en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la
figura:
En las dos imágenes anteriores se realizo un corrimiento sobre el eje del tiempo,
en una se hizo hacia la izquierda y en otra hacia la derecha, en ambos casos se
vario la forma de u(t), es así, que para realizar el corrimiento hacia la izquierda se
cambio la función u(t) por u(t+1), logrando un corrimiento hacia la izquierda de 1,
dando como resultado que la función f(t) no inicie en t = 0, sino que inicie en t = -
1,si se desea que el valor de t para que inicie la función f(t) sea por ejemplo t = -5,
solo se debe variar u(t) a u(t+5)y multiplicarlo por f(t); así mismo, para realizar el
corrimiento hacia la derecha de la función f(t)*u(t) se debe variar u(t), en este
caso se resta el valor en el cual se quiere que la función u(t) cambie de estado.
Debido a lo anterior se puede definir de una manera más general la función
escalón unitario, así:
Como se puede observar cuando to = 0, se tiene como resultado la definición

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dada anteriormente.
Otra utilización de la función escalón unitario es la de formar funciones de pulsos o
tipo puerta, como la que se muestra a continuación:
En esta imagen se muestra la gráfica
de una función que tiene el valor
de f(t) en los valores de t comprendidos
entre 1 y –1, y siendo 0 para cualquier
otro valor de t, para definir esta función
se puede utilizar cualquiera de las
siguientes expresiones :
Aunque ambas funciones dan como resultado la gráfica mostrada anteriormente,
en la primera se utiliza la suma de funciones escalón unitario, mientras que en la
segunda, se utiliza la multiplicación de funciones escalón unitario. Este tipo de
función comúnmente se llama función puerta de f(t).
En forma general se tendría, la siguiente expresión para realizar una función
puerta, fpuerta(t), donde se conectaría en un tiempo t1 y se desconectaría en un
tiempo t2
para t1< t2
Existen otras muchas funciones que se pueden expresar utilizando la suma o la
multiplicación de funciones escalón unitario, es también lógico que f(t), puede ser
cualquier tipo de función que varíe en el tiempo, ya sea una expresión matemática,
una variable estadística, etc.

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FUNCIÓN SIGNO UNITARIO
La función signo es una función definida a trozos o función por partes, la cual es
representada habitualmente por medio de sgn(x). Se requiere de varias fórmulas
para poder definirlas, cada una de las cuales establece el comportamiento de la
función en un cierto fragmento o trozo. La definición cambia según el valor de la
variable independiente y esta no depende de ningún factor para cambiar. Una
función real f (definida a trozos) de una variable real x es correspondiente a una
relación cuya definición es concebida por varios conjuntos disjuntos de su dominio
los cuales se denominan subdominios.
Una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo de
todo el dominio.
Entonces podemos definir la función signo de las siguientes formas, veamos:
1. Si su conjunto de definición, conjunto de partida o dominio de definición es R y
su conjunto imagen {-1;0;1}, o sea:
2. A manera de derivada de la función valor absoluto. Su dominio de definición es
R – {0} y su conjunto imagen Im={-1;1}
La derivada constituye cómo una función cambia (valor de la variable dependiente)
a medida que su entrada también cambia.
3. sgn(x) = 2u(x) – 1 donde u es la función escalón unitario o Heaviside Step
(denominada así en honor al matemático ingles Oliver Heaviside) que se define de
la siguiente forma:

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Propiedades de la función signo
• La función signo es una función impar, o sea:
Podemos clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones pueden ser
pares, impares o no tener paridad. Esto se debe a la paridad de las potencias de
las funciones de potencia que integran cada condición:
La función x elevada a n
a- es una función par si n es un entero par.
b- es una función impar si n es un entero impar.
• Todo número real x puede expresarse como producto de su módulo o valor
absoluto y la función signo evaluada en x.
El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su
signo.
• La función signo corresponde a la derivada de la función valor absoluto, (con
independencia en cero).
• Es derivable con derivada 0 para todo su dominio con excepción de 0.Pero No es
derivable en 0 en el sentido común de derivada.
La función Delta de Dirac es una función generalizada o distribución, fue
descubierta y utilizada por primera vez por el físico teórico británico Pail Dirac.
Esta función es importante en la teoría de las distribuciones (tambien se conoce
como función generalizada) ya que la derivada de la función signo puede ser dos
veces la función delta de Dirac.

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FUNCION RECTANGULAR UNITARIO
Una función rectangular está definida de forma
( x > a) ( y > b) f(x,y) = 0
( x a) ( y b) f(x,y) = 1
Su transformada de Fourier es
F(u,v) =
a
a
b
b
exp ( iux + ivy) dxdy
que resulta en
F(u,v) =
1
uv
(exp (iua) exp ( iua))(exp (ivb) exp ( ivb)) = ab sinc (ua)sinc (vb)
donde la función sinc , ampliamente utilizada, se define como
sinc ( ) =
sen
De nuevo se aprecia que cuanto mayor sea la anchura del rectángulo (a×b),
menor será la de su transformada (1/a ×1/b).

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FUNCION RAMPA UNITARIO
Matemáticamente la podemos expresar de la siguiente forma:
Por definición:
Usando integración por partes:
Veamos el primero termino:
Aplicando la regla de hospital:

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Y el segundo limite también es cero(esto ocurrirá no importa la potencia a que se
este elevada la variable). Por tanto:
Entonces la transformada nos queda:
FUNCIÓN TRIANGULO UNITARIO
La función triangular (también conocida como la función de triángulo, función de
sombrero, o la función de tienda de campaña) se define ya sea como:
o, de forma equivalente, como la convolución de dos funciones rectangulares
idénticas:

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La función triangular, también puede ser representada como el producto de las
funciones de valor absoluto y rectangulares:
La función es útil en el procesamiento de la señal y la comunicación de ingeniería
de sistemas como una representación de una señal idealizada, y como un
prototipo o núcleo desde el que se puede derivar señales más realistas. También
tiene aplicaciones en la modulación de código de pulso como una forma de
impulso para la transmisión de señales digitales y como un filtro adaptado para la
recepción de las señales. También es equivalente a la ventana triangular, a veces
llamada la ventana de Bartlett.
FUNCION SENO CARNIDAL UNITARIO
La función seno cardinal, denotada por sinc(x), tiene dos formas:
a) NORMALIZADA: En procesamiento digital de señales y teoría de la
información, la función sinc normalizada comúnmente se define como:
b) DESNORMALIZADA: En matemática, la histórica función sinc
desnormalizada, está definida por:

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En ambos casos el valor de la función tiene una singularidad evitable en cero, que
generalmente se redefine específicamente como igual a 1. La función sinc es
analítica en todas partes.
La función desnormalizada es idéntica a la normalizada excepto por el factor de
escala faltante en el argumento. La función sinc corresponde a la transformada de
Fourier de un pulso rectangular, y la transformada inversa de Fourier de un
espectro rectangular es una sinc.
FUNCIÓN GAUSSIANA UNITARIO
En estadística la función gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss), es una
función definida por la expresión:
donde a, b y c son constantes reales (a > 0).
Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística
correspondiendo, en el caso de que a sea igual a , a la función de densidad
de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2
=c2
.

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Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen
primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre
todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de
Gauss obteniéndose que:
El valor de la integral es 1 si y solo si n cuyo caso la función
gaussiana es la función de densidad de una variable aleatoria con distribución
normal de media μ=b y varianza σ2
=c2
.
Se muestran varias gráficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta. Las
funciones gaussianas con c2
= 2 son las autofunciones de la transformada de
Fourier.
Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólo
otra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original.
La gráfica de la función es simétrica con forma de campana, conocida
como campana de Gauss. El parámetro a es la altura de la campana centrada en
el punto b, determinando c el ancho de la misma.

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FUNCION DELTA DE DIRAC UNITARIO
La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una
distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico
inglés Paul Dirac, en tanto que distribución define un funcional en forma de integral
sobre un cierto espacio de funciones.
Los sistemas mecánicos trabajan muchas veces bajo una fuerza externa de
magnitud mayor que actúa sólo durante un periodo muy corto. Por ejemplo, un
relámpago puede hacer vibrar el ala de un avión, o una masa sujeta a un resorte
puede recibir un fuerte impacto con la cabeza de un martillo, una pelota puede
lanzarse hacia las alturas por un golpe violento dado con algún tipo de palo. Por
tanto estos fenómenos se comportan de la manera que en un intervalo mínimo de
tiempo experimentan fuerzas muy grandes y a su vez esta fuerza se disipa
instantáneamente.
Diagrama esquemático de la función delta de dirac.
Definición: Es un impulso unitario que tiende al infinito cuando se aproxima el valor a
cero y se expresa de la siguiente manera:
Se caracteriza mediante las dos propiedades siguientes:
y
transformada de la función delta de dirac
Se comienza expresando la función delta de Dirac en términos de la función
escalón unitario:

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Según la linealidad la transformada de Laplace de esta expresión es:
Puesto que se tiene la forma indeterminada cuando tiende a , aplicamos
la regla de L´Hopital:
Propiedad de la selectividad de la función impulso
PEINILLA DE DIRAC UNITARIO
En las matemáticas, un peine de Dirac (también conocido como un tren de
impulsos y la función de muestreo en ingeniería eléctrica) es una distribución de
Schwartz periódica construido a partir de funciones delta de Dirac
durante un período determinado T. Algunos autores, especialmente Bracewell, así
como algunos de los autores de libros de texto de la ingeniería eléctrica y la teoría
de circuitos, se refieren a ella como la función Shah (posiblemente porque su
gráfica se asemeja a la forma de la letra cirílica sha Ш). Debido a que la función de
peine de Dirac es periódica, que puede ser representado como una serie de
Fourier:

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La propiedad de escala del peine de Dirac desprende de las propiedades de la
función delta de Dirac.
Desde , se deduce que:
FUNCION RECTANGULO BIDIMENCIONAL
FUNCION TRIANGULO BIDIMENCIONAL

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FUNCION SENO CARDINAL BIDIMENCIONAL
FUNCION SENO CARDINAL BIDIMENCIONAL

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FUNCION IMPULSO- DISTRIBUCION DELTA DE DIRAC
FUNCION PEINILLA DE DIRAC

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FUNCION CILINDRO
FUNCION IMPULSO

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FUNCION SOMBRERO DE BESSEL