Expresiones algebraicas

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Del Estado Lara Andrés Eloy Blanco
Programa Nacional De Información En Higiene Y Seguridad Laboral
Expresiones
Algebraicas
Integrantes:
Glorimar Gaona C.I: 30145596
Andreina volcán C.I 3031301194

2. Desarrollo
Sumas y resta de expresión algebraica
Sumas
La suma algebraica de monomios y polinomios es una operación que
permite juntar o reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola
expresión.
En la suma de expresiones algebraicas se busca reducir los términos
semejantes si es posible.
Sumas de monomios y polinomios
Monomios: Sumar los monomios 3a, 4ab y 2a. Como se puede
observar es posible agrupar 3a y 2a, no es posible agrupar 4ab ya que
el término no tiene de incógnita las mismas letras (en este caso se
tiene la letra b de más). El resultado sería:
3a + 4ab + 2a = 5a + 4ab
Polinomios: Para una mejor representación de la suma de polinomios
es recomendable incluir cada polinomio dentro de paréntesis.
Sumar los polinomios a + 3b, 2a + 3ab y 4b + 2ab.
(a + 3b) + (2a + 3b) + (4b + 2ab) = a + 3b + 2a + 3b + 4b + 2ab
Ahora se debe simplificar la anterior expresión algebraica, como
resultado será:
3a + 7b + 5ab

3. Resta
La resta algebraica es una de estas operaciones. Consiste en
establecer la diferencia existente entre dos elementos: gracias a la
resta, se puede saber cuánto le falta a un elemento para resultar igual
al otro.
Resta monomios y polinomio
Monomios: La resta de monomios es muy parecida a la suma, sólo
que hay que cambiar los números del sustraendo por su simétrico y se
resuelve aplicando las reglas de la suma.
Ahora bien, si tomamos en cuenta que el valor absoluto de un número
algebraico es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo.
Ejemplo: si tenemos (8x) – (6x) =
a) Se convierte la resta en suma cambiando el sustraendo por su
simétrico.
(8x) + (-6x) =
b) Se resuelve aplicando las reglas de la suma.
(8x) + (-6x) = (8-6) x = +2x
Polinomios: Para restar polinomios se hace lo siguiente:

4. a) Se convierte la resta en suma cambiando los signos de cada uno de
los términos del sustraendo.
b) Se forman columnas de términos semejantes y se suman los
coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal.
Ejemplo:
Supongamos que deseas hacer la resta de ( -8x³ + 3x -2x²) – (4x² +
8x³ - 7)
 Se convierte la resta en suma suprimiendo el paréntesis que es
precedido por el signo –.
(-8x³ + 3x -2x²) – (4x² + 8x³ - 7)
(-8x³ + 3x -2x²) – (-4x² - 8x³ + 7)
 Se forman columnas de términos semejantes y se suman los
coeficientes dejando la misma parte literal.
−8𝑥3
− 2𝑥2
+ 3
−8𝑥3
− 4𝑥2
+ 7
−16x3 − 6𝑥2 + 7
Multiplicación y división de expresiones algebraicas
Multiplicación
La multiplicación algebraica de monomios y polinomios consiste en
realizar una operación entre los términos llamados multiplicando y
multiplicador para encontrar un tercer término llamado producto.
Multiplicación de monomios: Multiplicar 3a2 por 6a4. Se multiplican
los coeficientes (+3)(+6) = +18 y a continuación se hace la
multiplicación de las letras (a2)(a4) = a2 + 4 = a6, por lo tanto, el
resultado será:
(3a2)(6a4) = 18a6

5. Multiplicación de monomios por polinomio: Multiplicar 4b por (a2 –
3ab + 5b2c), otra forma recomendable para analizar es realizando la
multiplicación en forma de columna.
(a2 – 3ab + 5b2c)
x (4b)
4a2b – 12 ab2 + 20b3c
Multiplicación de polinomios por polinomio: Se recomienda
acomodar en forma de columnas, se multiplican los términos del
multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo
en consideración “la ley de los signos”, y el acomodo de los términos
semejantes.
Multiplicar (a + 3) por (3 – a):
(a + 3)
x (3 - a)
– a2 – 3a
+ 3a + 9
– a2 + 0 + 9
El resultado de (a + 3) (3 – a) es –a2 + 9 que es lo mismo 9 – a2.
División
En el caso de la división algebraica de monomios y polinomios es
recomendable realizar un acomodo en forma de fracción.
La o las letras se debe multiplicar por la misma letra del denominador
con el exponente inverso para que únicamente queden las letras en el
numerador, en otras palabras, pasar el denominador al numerador con
el exponente de las letras invertido.

6. División de monomios y polinomios
Monomios: La división de un monomio entre monomio es muy simple,
la parte numérica se efectúa mediante una división común (visto en
aritmética) y la parte de la letras se aplica la regla de los exponentes.
Polinomios: Dividir 3x² + 11x + 6 entre x + 3. En este caso los
términos se encuentran ordenados, por lo tanto, es posible efectuar la
división. Se debe tomar de 2 términos el dividendo, ya que el divisor
consta de 2 términos.
Productos notables de expresiones algebraicas
Los productos notables son expresiones algebraicas que vienen de un
producto que conocemos porque sigue reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin
necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente.
Factorización por productos notables
Es el proceso algebraico por el medio del cual se transforma de una
suma o resta de términos algebraicos en un producto algebraico,
también se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de
productos notables
Simplificación de fracciones algebraicas. Suma y resta de
fracciones algebraicas

7. Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el
denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de
ambos.
𝑥2
+ 4𝑥 + 4
𝑥2 − 4
=
( x + 2)2
(𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 2)
=
(𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)
Suma y resta de fracciones algebraicas: Para sumar o restar
fracciones algebraicas se procede de igual manera que con la
fracciones aritméticas: se
Encuentra el mínimo común denominador y se realizan las
operaciones de forma similar.
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Multiplicación: Para multiplicar dos fracciones algebraicas se
multiplica numerador con numerador y denominador con denominador
de cada una de ellas. Para no manipular expresiones tan largas, si es
posible se debe simplificar cada una de las fracciones antes de
efectuar los productos. Como en las sumas y las restas, hay que tener
en cuenta los ceros (0) en los denominadores.
Ejemplos:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
.
R(x)
𝑇(𝑥)
=
P(x)𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)𝑇(𝑥)
, 𝑄(𝑥) ≠ 0, T(x) ≠ 0
División: Para dividir fracciones algebraicas se intercambia el
numerador y el denominador de la fracción que este a la derecha del
signo de división y se procede como en la multiplicación. Como en las
operaciones de suma, resta y multiplicación, para realizar la operación
hay que tener en cuenta los ceros en los denominadores.

8. Ejemplos:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
÷
𝑅(𝑥)
𝑇(𝑥)
=
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑍(𝑥)
𝑅(𝑥)
, 𝑄(𝑥) ≠ 0, 𝑍(𝑥) ≠ 0, 𝑅(𝑥) ≠ 0
Factorización por resolvente cuadrática y por cambio de variable
Resolvente cuadrática: Factorizar es una estrategia muy útil para
resolver algunas ecuaciones cuadráticas pues sabemos que un
polinomio como este
x²+(p +q)x +pq
Se factoriza fácilmente en dos polinomios lineales:
x²+(p +q)x +pq = (x + p)(x + q)
Entonces, las soluciones de la ecuación x²+(p +q)x +pq = 0 seran -p y
-q.
Si los tres coeficientes tienen un factor común α al dividir la ecuación
entre α se obtiene una expresión más sencilla.
Por ejemplo, si tenemos la ecuación 2x² - 10x + 12 =0. Los
coeficientes de los tres términos son pares, por lo que podemos
dividirla entre 2, convirtiéndola en
x² - 5x + 6 = 0
En esta ecuación tenemos un polinomio como el descrito en el primer
párrafo, por lo que:
x² - 5x + 6 = (x- 2) (x-3)
Y ahora obtener las soluciones de la ecuación original es muy sencillo:
𝑥1 = 2 𝑦 𝑥2 = 3. Comprueba que en efecto lo son.

9. Sin embargo, también hay ecuaciones como esta 2x² + 5x – 3 = 0
en las que los coeficientes no tienen ningún factor común. ¿Qué pasa
si la dividimos entre el coeficiente del término cuadrático? tendríamos:
2𝑥²
2
+
5𝑥
2
−
3
2
= 0
x2
+
5𝑥
2
−
3
2
= 0
Para factorizar el polinomio obtenido de la misma manera que en el
primer ejemplo, debemos encontrar dos números cuya suma sea
cierta fracción y cuyo producto sea otra. Observa que como los
números que buscamos pueden ser enteros o fracciones, las opciones
posibles aumentan.
En este caso, la factorización sería:
x2
+
5𝑥
2
−
3
2
= (𝑥 + 3)(𝑥 −
1
2
Por lo que las soluciones de la ecuación original son:
x1 = −3 𝑦 𝑥2 =
1
2
Por cambio de variable: Hay otro camino para poder hacer estas
factorizaciones mediante un pequeño “truco” para evitar los
coeficientes fraccionarios. El método consiste en transformar una
ecuación de este tipo, en otra auxiliar que tenga coeficientes enteros y
donde el coeficiente del término cuadrático sea 1. Explicaremos este
procedimiento mediante un ejemplo:
Resolvamos la siguiente ecuación:𝟔𝐱𝟐
− 𝟕𝐱 + 𝟐 = 𝟎. Observa que
los tres coeficientes no tienen ningún factor común y que si
dividiéramos la ecuación entre 6 obtendríamos coeficientes
fraccionarios. Procederemos de otra forma:
 Multipliquemos la ecuación por 6

10. 36x² - 7 (6x) + 12 = 0
 Si hacemos z = 6x entonces la ecuación se transforma en
z² - 7z + 12 = 0
 Factorizando el polinomio cuadrático de esta nueva ecuación:
z² - 7z + 12 = (z – 3) (z – 4)
 Recuperamos x, escribiendo 6x en lugar de z y obtenemos, (6x
– 3) (6x – 4) por lo que concluimos que la ecuación original
puede factorizarse como:
36x² - 7 (6x) + 12 = (6x – 3) (6x – 4)
 Entonces, resolver la ecuación original, se traduce en resolver
esta:
(6x – 3) (6x – 4) = 0
Que involucra la resolución de dos ecuaciones lineales.
Resolvamos cada ecuación lineal:
6x – 3 = 0 y 6x – 4 = 0
𝒙𝟏 =
𝟑
𝟔
=
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 =
𝟒
𝟔
=
𝟐
𝟑
Este es un procedimiento de cambio de variable que hemos
usado para factorizar ese tipo de ecuaciones.
Factorización por el método de Ruffini
La factorización de polinomios tiene como objetivo convertir el
polinomio en un producto de polinomios que tienen un grado
menor que el grado del polinomio dado; uno de los tipos de
factorización es el método de Ruffini.
Reglas de Ruffini: Éste es un método muy práctico, eficaz y
sencillo, que nos permite con su aplicación, encontrar las

11. diferentes raíces de cualquier polinomio. Es ideal para aquellos
polinomios que tienen un grado mayor que dos (2).
Este método consiste en seleccionar una posible raíz del
polinomio dado y formar una tabla; en el momento en que el
último resultado de la tabla sea cero (0) habremos culminado; si
no ocurre esto, entonces debemos intentarlo con otra posible
raíz.
Cuando hablamos de la raíz del polinomio nos referimos a un
divisor del término independiente del polinomio (el término
independiente es aquel que no tiene variable).
Como hacer una factorización aplicando la regla de Ruffini
Para realizar éste tipo de factorización debemos seguir los
siguientes pasos:
B
1. Ordenar el polinomio en orden decreciente, en caso de que
falte algún término dejamos el espacio o colocamos cero
ya que el polinomio debe estar completo.
2. Fijaros que el polinomio tenga término independiente; si no
lo tiene sacar factor común hasta conseguir el término
independiente.
3. Buscar todos los divisores del término independiente.
4. Formar una tabla y colocar los coeficientes del polinomio.
5. Colocar el primer divisor o raíz que se quiera usar en la
esquina inferior izquierda, y bajar el primer coeficiente tal
cual esté. Para la selección del divisor debemos tener
presente que los número que vamos obteniendo o bajando
los vamos a multiplicar por el divisor y luego el resultado de
la multiplicación lo vamos a sumar o restar con los
coeficientes que tenemos; el divisor que se escoja debe
ser un número que haga que al final nos dé resto cero.
Nota: Una manera de saber si un número es raíz; es

12. sustituyendo en el polinomio ese número como el valor de
la variable (x), y si da cero (0) es raíz, si no da cero no lo
es y se pasa al siguiente divisor.
6. Luego de obtener la primera raíz, el proceso se repite con
los nuevos coeficiente obtenidos hasta que nos quede un
solo coeficiente o hasta que no exista ninguna raíz que
haga que nos dé resto cero (0).
Suma y resta de radicales
Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser
semejantes, quiere decir que deben compartir el mismo
índice y radicando; también hay que estar familiarizados
con la suma y resta de números con signo para poder
realizar estas operaciones.
Multiplicación y división de radicales
Multiplicación: Empecemos con una cantidad que ya has
visto antes, √64. Puedes simplificar esta raíz cuadrada
pensando en ella como √16 • 4.
√64 = √64 • 4
= √16 • √4
= 4 • 2
= 8
Si piensas en el radicando como un producto de dos factores
(aquí, pensando en el 64 como el producto de 16 y 4), puedes
obtener la raíz cuadrada de cada factor y luego multiplicar las
raíces. El resultado final es el mismo, √64 = 8.
División: Puedes usar las mismas ideas para encontrar la forma
de simplificar y dividir expresiones radicales. Recuerda que la
regla del producto elevado a una potencia dice que
√𝑎𝑏
𝑥
= √𝑎
𝑥
• √𝑏
𝑥
.