Capitolo 4 titoli obbligazionari

Finanza Computazionale

La Curva dei Rendimenti e la
valutazione dei Titoli Obbligazionari

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli
Obbligazionari
Il Principio di Arbitraggio
Valutazione Titoli a Tasso Fisso
Curve per Scadenza Spot
Curve per Scadenza a Termine
Valutazione Titoli a Tasso Variabile
Duration e Convexity
Ratei, Corso Secco e Tel-Quel


Il Principio di Assenza di Arbitraggio






Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho appena
comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad
un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro
concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia
nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”.
Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo
cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che
acquistiamo e consumiamo.
Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere
lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono
un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore
maggiore.






Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il principio di
arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch
(pasto gratis).
Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio
più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo:

Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere
guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di
rischio.


E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse
attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da
escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere
possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere
guadagni senza alcun tipo di rischio.



Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di
arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione.


La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter
ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in
futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di
un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;



Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un
arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne
un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del
portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente
stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore
negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a
una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non
avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente
senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio.




Una conseguenza importante del principio di
assenza di arbitraggio è rappresentata dal
seguente risultato
Due portafogli contententi qualsivoglia attività
finanziarie tali da avere lo stesso valore ad un
istante di tempo futuro T devono avere lo
stesso valore anche oggi.


Consideriamo infatti due portafogli A e B tali che A(T) = B(T);
 Supponiamo che il valore all’istante iniziale t di A sia minore di
quello di B cioè che sia A(t) < B(t);
 All’istante t prendiamo a prestito il portafoglio B e lo vendiamo sul
Alcune ipotesi fondamentali :
mercato incassando il valore B(t);
 con il ricavato compriamo il portafoglio A, poiché A(t) < B(t) ci
1. Non esistono costi di transazione
rimangono B(t) – A(t) unità di valore;
2. È possibile effettuare vendite allo scoperto (ossia prendendo a prestito
 Al tempo T vendiamo il portafoglio A e con il ricavato compriamo il
dei titoli)
portafoglio B con il quale chiudiamo la posizione di prestito
(posizione corta). Poiche a T il valore dei due portafogli è uguale
quest’ultima operazione non comporta esborsi di denaro;
 Il risultato finale della nostra strategia è di averci garantito un profitto
sicuro pari a B(t) – A(t) e questo partendo da un investimento nullo:
abbiamo realizzato un arbitraggio!



Rendimento a Scadenza






Se definiamo il valore al tempo t di uno ZC come P(t,T) abbiamo di fatto
un’operazione finanziaria nella quale l’investimento di un capitale di P(t,T)
euro al tempo t ci dà diritto ad ottenere 1 euro (per semplicità!) al tempo T.
Quindi di fatto P(t,T) non è altro che la funzione di sconto per un
investimento che parta a t e termini a T;
Allora se indichiamo con i(t,T) il tasso di interesse sullo stesso periodo di
investimento espresso su base annua, la legge di capitalizzazione
composta discreta ci permette di scrivere

1
P (t , T ) =
(1 + i (t , T ))T −t


Se il tempo è misurato in anni, il tasso d’interesse su base annua che
otteniamo su questa operazione è
1 / ( T −t )

 1 
i( t ,T ) = 
 P( t ,T ) 





−1



Consideriamo la legge di capitalizzazione composta continua

V (T ) = V (t )e r (T −t )
⇓
e

r (T −t )

 V (T ) 
V (T )
=
⇒ r (T − t ) = ln
 V (t ) 

V (t )


⇓

 V (T ) 
 V (t ) 
1
1
r=
ln
 V (t )  = − (T − t ) ln V (T ) 



(T − t ) 






Possiamo anche utilizzare una rappresentazione alternativa
del guadagno ottenuto sull’operazione, facendo riferimento al
concetto di tasso di rendimento a scadenza, definito come

 P(T , T ) 
1
1
)
h( t , T ) =
ln
 P (tP (t , T = =
T −t 
,T ) 
(1 + i (t , T ))T −t


 1 
1
ln P( t , T )
ln
 P (t , T )  = − T − t = ln[1 + i (t , T )]

T −t 




che corrisponde al concetto di intensità di interesse discusso
nel capitolo precedente (ricordiamo che non è altro che il
tasso nominale annuo espresso in capitalizzazione continua).

Titoli zero-coupon-bond


Definiamo P(t,tk,xk) il valore in t di un titolo zero-coupon bond
(ZCB). Si tratta di un titolo che non paga cedole intermedie e che
dà diritto a ricevere un quantità xk in tk



Definiamo v(t,tk) la funzione di sconto, cioè il il valore in t di
un’unità di valuta disponibile in tk



Assumendo infinita divisibilità dei titoli otteniamo che l’esclusione
di possibilità di arbitraggio richiede

P(t,tk,xk) = xk v(t,tk)


Valutazione di titoli a cedola fissa
(coupon bond)






Si definisca P(t,T;c) il prezzo di un titolo che paga cedola c su uno
scadenzario {t1, t2, …, tm=T}, con rimborso del capitale in un’unica soluzione
alla scadenza T.
I flussi di cassa di questo titolo possono essere replicati da un paniere di
ZCB per valore nominale pari a c in corrispondenza delle scadenze ti per i =
1, 2, …, m – 1 e uno ZCB per un valore nominale pari a 1 – c in
corrispondenza della scadenza T.
L’operazione di arbitraggio che consiste nell’acquisto/vendita delle cedole e
del valore del capitale e vendita/acquisto del coupon bond è nota come
coupon stripping.

m

P (t , T ; c) = ∑ cv(t , t k ) + v(t , t m )
k =1


Curva dei rendimenti spot

TASSI D’INTERESSE

SCADENZE


Prezzi dei titoli e fattori di sconto


Sulla base dei prezzi dei titoli zero-coupon bond e dei titoli
con tasso fisso osservati sul mercato è possibile ricavare la
funzione di sconto che stabilisce una relazione di equivalenza
finanziaria tra un importo unitario disponibile a una data futura
tk ed una somma v(t,tk) disponibile in t.



La funzione di sconto è ricavata sfruttando l’assunzione di
esclusione di arbitraggio discussa negli esempi precedenti.



Una fra le tecniche più utilizzate per ricavare la funzione di
sconto è definita bootstrapping.


Procedura di bootstrapping: l’idea






Supponiamo che nell’istante t il mercato sia strutturato su m periodi
con scadenze tk = t + k, k=1....m, e su queste scadenze siano
osservati i prezzi di zero-coupon-bond P(t,tk) o titoli a tasso fisso
P(t,tk;ck).
Separiamo dalla ricavare i fattori di termine
La procedura di bootstrapping consente di sommatoria l’ultimo sconto
(notate che ora la sommatoria arriva solo fino a
in funzione di quelli precedenti
m-1
Consideriamo di nuovo la formula che esprime il prezzo di un
coupon bond
m

m −1

k =1

k =1

P(t , T ; c) = ∑ cv(t , t k ) + v(t , t m ) = ∑ cv(t , t k ) + cv(t , t m ) + v(t , t m ) =
m −1

∑ cv(t , t
k =1

k

) + v(t , t m )(c + 1)

Mettiamo in evidenza la funzione
di sconto fra t e t(m)


Procedura di bootstrapping: l’idea




La procedura di bootstrapping consente di ricavare i fattori di
sconto in funzione di quelli precedenti;
La funzione di sconto corrispondente all’ultima scadenza si
ricava banalmente dalla precedente equazione...

k −1

v( t , t k ) =


P ( t , t k ; ck ) − ck ∑ v ( t , t i )
1 + ck

i =1

Con una procedura iterativa si possono poi ricavare tutte le
altre funzioni di sconto.

La struttura per scadenza dei tassi di interesse




La struttura per scadenza dei tassi a pronti è un modo di
rappresentare la funzione di sconto.
Può essere rappresentata in capitalizzazione composta
discreta

1
v(t , t k ) =
( t k −t )
[1 + i(t , tk )]
i (t , t k ) = [ v(t , t k )]


−1 / ( t k −t )

−1





continua

v(t , t k ) = exp[ − i ( t , t k )( t k − t ) ]
ln[ v(t , t k )]
i (t , t k ) = −
tk − t






Può essere rappresentata in capitalizzazione semplice

1
v (t , t k ) =
1 + ( t k −t )i (t , t k )
1
i (t , t k ) =
t k −t

 1

−1

v (t , t k )



Interpolazione lineare ed esponenziale







Consideriamo una generica funzione y = y(x) e supponiamo di non conoscerne la
forma analitica ma di disporre soltanto di una tabella di valori di coppie x-y.
Da un punto di vista del tutto generale l’interpolazione è un processo tramite il quale è
possibile determinare il valore della variabile y corrispondente ad un determinato
valore di x quando x cade fra due valori noti xi e xi+1.
L’obiettivo è determinare il valore interpolato di y con la migliore precisione possibile.
Il sistema più semplice consiste nell’unire con una linea retta i due punti che
comprendono il punto di interesse, questa procedura è chiamata interpolazione
lineare e il valore di y interpolato si ottiene semplicemente come il valore delle
ordinate corrispondente al punto x sulla retta che congiunge xi e xi+1:

 xi +1 − x 
 x − xi 
yi +1 − yi
y = yi +
( x − xi ) = yi 
 x − x  + yi +1  x − x 



xi +1 − xi
 i +1 i 
 i +1 i 
= λyi + (1 − λ ) yi +1
xi +1 − x
λ=
dove y = y(x ) e y =y(x ) e
xi +1 − xi
i

i

i+1

i+1






Possiamo pensare di scrivere una procedura che permetta, in modo
del tutto generale, di ottenere una serie di valori interpolati della y
prendendo come input: a) un insieme di valori di x ; b) una tabella
che contenga i valori tabulati noti della funzione y = y(x).
Per questo definiamo un tipo dati al quale daremo il nome
TabellaFunzione costituito da un vettore di ascisse, uno di
ordinate ed un intero che indica il numero di punti presenti nella
tabella
Type TabellaFunzione
NrPunti As Integer
x() As Double
y() As Double
End Type



I vettori sono definiti come array dinamici per cui dovremo aver cura
di dimensionarli opportunamente prima di utilizzarli.


Sub InterpolazioneLineare(Tabella As TabellaFunzione, _

Una volta alimentata la tabella con
x_inter() As Double, _
i valori delle ascisse e delle
ordinate,
possiamo
passare
y_inter() As Double)
quest’ultima come parametro ad
Dim i As Integer
una procedura assieme ad un
Dim j As Integer
vettore di ascisse nelle quali
For i = 1 To UBound(x_inter)
desideriamo
interpolare
la
If x_inter(i) <= Tabella.x(1) Then
funzione.

y_inter(i) = Tabella.y(1)
Il vettore x_inter() conterrà
questi valori.
ElseIf x_inter(i) >= Tabella.x(Tabella.NrPunti) Then

In output la procedura valorizzerà
y_inter(i) = Tabella.y(Tabella.NrPunti)
il vettore y_inter() con i risultati
Else
del processo di interpolazione
For j = 1 To Tabella.NrPunti - 1
lineare.
If x_inter(i) >= Tabella.x(j) And _
x_inter(i) <= Tabella.x(j + 1) Then
y_inter(i) = Tabella.y(j) + _
(Tabella.y(j + 1) - Tabella.y(j)) * _
(x_inter(i) - Tabella.x(j)) / _
(Tabella.x(j + 1) - Tabella.x(j))
End If
Next
End If
Next
End Sub




Si noti che se il valore dell’ascissa di interpolazione è minore
del valore minimo delle ascisse presenti nella tabella di input,
il valore interpolato di y viene posto uguale al primo valore
disponibile della funzione, cioè al primo elemento della
tabella.



In modo del tutto analogo i valori delle ascisse superiori al
massimo presente in tabella producono come risultato un
valore di y uguale all’ultimo valore della tabella.



Naturalmente questa scelta (proposta per motivi di semplicità)
può non essere ottimale per ogni problema.






Le procedure di interpolazione lineare possono dare
spesso luogo a risultati insoddisfacenti specialmente
quando i punti con i quali interpolare hanno un
andamento marcatamente non lineare.
E’ il caso ad esempio della funzione di sconto che ha un
andamento di tipo esponenziale...




Come si vede chiaramente
dalla figura, in casi come
questo l’applicazione di una
procedura di interpolazione
di tipo lineare può risultare
eccessivamente imprecisa
per cui conviene ricorrere
ad altre tecniche di
interpolazione.






Fra queste sicuramente una delle più importanti in campo matematico-finanziario è rappresentata
dall’interpolazione esponenziale che, come suggerisce il nome stesso, si ottiene ipotizzando che
i punti noti siano generati da una funzione di tipo esponenziale.
Supponiamo di disporre, al tempo t = 0, del valore della funzione di sconto per due scadenze
diverse t1 e t2 con tassi di rendimento a scadenza rispettivamente pari a h1 e h2

F1 = e − h1t1


F2 = e − h2t 2

Indichiamo con h il tasso interpolato linearmente alla scadenza τ compresa fra t1 e t2

h = λh1 + (1 − λ )h2
essendo

λ=

t2 − τ
t2 − t1



Sia F la funzione di sconto alla scadenza τ



Possiamo scrivere



da cui con semplici passaggi ricaviamo

F = e − hτ

  λ ln F1 (1 − λ ) ln F2  


F = exp[ t [ − λh1 − (1 − λ )h2 ] ] = exp t 
+

t2
  t1



t
F = F1tλ / t1 F2 (1−λ ) / t 2


Sub InterpolazioneEsponenziale(Tabella As TabellaFunzione, _
x_inter() As Double, _
y_inter() As Double)
Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim Lambda As Double
Dim Theta1 As Double
Dim Theta2 As Double
2
For i = 1 To UBound(x_inter)
If x_inter(i) <= Tabella.x(1) Then
2
y_inter(i) = Tabella.y(1)
ElseIf x_inter(i) >= Tabella.x(Tabella.NrPunti) Then
y_inter(i) = Tabella.y(Tabella.NrPunti)
Else
For j = 1 To Tabella.NrPunti - 1
If x_inter(i) >= Tabella.x(j) And _
x_inter(i) <= Tabella.x(j + 1) Then
Lambda = (Tabella.x(j + 1) - x_inter(i)) _
/ (Tabella.x(j + 1) - Tabella.x(j))
Theta1 = x_inter(i) / Tabella.x(j)
Theta2 = x_inter(i) / Tabella.x(j + 1)
y_inter(i) = (Tabella.y(j)^(Theta1 * Lambda)) _
*(Tabella.y(j + 1)^(Theta2 * (1 - Lambda)))
End If
Next
End If
Next
End Sub

λ=


t −τ
t − t1

Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

11--Dalla Curva dei Tassi alla Curva delle Funzioni di Sconto
Dalla Curva dei Tassi alla Curva delle Funzioni di Sconto
2 – Interpolazione lineare ed esponenziale
2 – Interpolazione lineare ed esponenziale


Operazioni a termine


Un’operazione a termine è uno scambio tra una somma
v(t,τ,T) determinata al tempo t e pagata al tempo τ ≥ t in
cambio di un’unità di valuta disponibile al tempo T.



L’operazione a pronti è un caso particolare in cui τ = t, e
ovviamente v(t,τ,T) = v(t,T).



v(t,τ,T) è definito come il prezzo a termine (forward price)
stabilito in t di un investimento che inizia in τ ≥ t e
restituisce un euro in T.


Operazioni a termine


In un’operazione a termine entrano in gioco
quindi tre tempi...

Data Definizione
operazione, t

Data Inizio
Investimento, τ

Data Termine
operazione, T

Periodo Investimento
= (T - τ)


Prezzi a pronti e a termine
Consideriamo la seguente strategia


1.

2.
3.

Acquisto a pronti di una quantità nominale di v(t,τ,T) unità di valuta disponibile
in τ;
acquisto a termine, per regolamento in τ, di un’unità di valuta disponibile in T;
Indebitamento a pronti di per la restituzione di un’unità di valuta in T.

t
1

τ

-v(t,τ)v(t,τ,T)

v(t,τ,T)

2

- v(t,τ,T)

3

v(t,T)

Tot

v(t,T) -v(t,τ)v(t,τ,T)

T

1
-1

0


0







E’ facile osservare che questa strategia fornisce un pay-off
nullo sia in in τ che in T.
Se il valore della strategia al tempo t è diverso da zero,
esiste una possibilità di arbitraggio per una delle due
controparti.
Quindi la strategia deve valere zero anche all’istante iniziale
t...

v(t , T ) − v(t ,τ )v(t ,τ , T ) = 0
⇓
v(t , T ) = v(t ,τ )v(t ,τ , T )



I prezzi a pronti e a termine sono quindi legati da una relazione che
esclude la possibilità di arbitraggio sopra descritta

v(t , T )
v(t , T ) = v(t ,τ )v(t ,τ , T ) ⇒ v(t ,τ , T ) =
v(t ,τ )


L’informazione sulla funzione di sconto a termine è quindi
interamente contenuta nella funzione di sconto a pronti



Questa relazione induce un nesso funzionale tra curva dei tassi a
pronti e curva a termine


La struttura per scadenza dei tassi a termine




La struttura per scadenza dei tassi a termine è un modo
di rappresentare la funzione di sconto a termine
discreta

f (t ,τ , T ) = [ v(t ,τ , T )]
 v(t ,τ ) 
=

 v(t , T ) 

−1 / ( T −τ )

−1

1 / ( T −τ )

−1





continua

ln[ v(t ,τ , T )]
f (t ,τ , T ) = −
T −τ
ln[ v(t ,τ )] − ln[ v(t , T )]
=
T −τ
i (t , T )(T − t ) − i (t ,τ )(τ − t )
=
T −τ





Può essere rappresentata in capitalizzazione semplice



1
 v(t ,τ , T ) −1


1  v(t ,τ ) 
=
 v(t , T ) −1
T −τ 


1
f (t ,τ , T ) =
T −τ


Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

11 -- Dalla curva spot alla curva a termine
Dalla curva spot alla curva a termine
2 – Generazione flussi per un titolo indicizzato
2 – Generazione flussi per un titolo indicizzato


La Curva dei Rendimenti e la valutazione dei Titoli
Obbligazionari
Il Principio di Arbitraggio
Valutazione Titoli a Tasso Fisso
Curve per Scadenza Spot Valutazione
Curve per Scadenza a Termine
Titoli a Tasso Variabile
Ratei, Corso Secco e Tel-Quel


Cedole indicizzate




Una cedola indicizzata è determinata sulla base di un indice,
tipicamente un tasso d’interesse, osservato a una data τ, definita
data di reset.
Il caso tipico (noto come natural time lag) è quello di una cedola
con

periodo di godimento da τ a T

data di reset τ e data di pagamento T

tasso di riferimento per la determinazione della cedola
i(τ ,T) (T – τ ) = 1/v (τ ,T) – 1



Si noti che tipicamente il tasso indicizzato è a capitalizzazione
semplice, per la convenzione di mercato che utilizza tale
meccanismo su tassi con scadenza inferiore all’anno.


Cedole Indicizzate


Data Reset


τ

..

(nella nostra approssimazione coincide tcon
o.
a
la data inizio maturazione)
rc

e



Data Scadenza Cedola T
Il tas

a
rv
e
ss
o
Si

m
ul
s

so s

Periodo di Maturazione (T

- τ)

C (τ , T ) = i (τ , T )(T − τ )

.
pot..



i (τ , T )



1
1
v(τIl )portafoglio di ⇒ 1 + i (τ , T )(T − τ ) =
,T = 
1 + i (τ , T )(T − τ )  replica
v(τ , T )


1

Importante: si noti

Qual τ il portafoglio di replical’utilizzo della legge di riferita
di una cedola indicizzata,
i (τ , T )(T −è ) =
−1
v(τ T )
a un nominale ,pari a un’unità capitalizzazione semplice
di valuta?
v(τ TSi(noti che − τtempo τvilτvalore della cedola, determinata in τ e
, )i τ , T )(T al ) = 1 − ( , T )
pagata in T, sarà dato da


Valore della Cedola pagata in T

v (τ ,T) i(τ ,T) (T – τ ) = 1 – v (τ ,T)
Funzione di Sconto che attualizza il valore della cedola al tempo τ


Il portafoglio di replica che è naturale scegliere è quindi




Una posizione lunga (investimento) per un’unità di valuta
disponibile in τ
Una posizione corta (finanziamento) per un’unità di valuta
disponibile in T


Flussi di cassa di una cedola indicizzata


Una cedola indicizzata corrisponde quindi a...





una posizione di investimento a breve termine finanziata con...
indebitamento a lungo termine, per un ammontare pari al valore
nominale C su cui è calcolata la cedola.

Una cedola indicizzata nasconde quindi una posizione di debito
(leverage)
1
C

C = 1 – v (τ ,T)

t

τ

T

C
1


Flussi di cassa di una cedola indicizzata



Se valutiamo la cedola al tempo t dobbiamo attualizzare entrambi i flussi;
Per questo abbiamo bisogno del valore della funzione di sconto...



da t a τ : v(t, τ) e...
da t a T : v(t,T)

Valore attuale flusso attivo

v(t ,τ )
t

Valore attuale flusso passivo
Valore attuale cedola

C

1

τ

v(t , T )

v(t ,τ ) − v(t , T )


T

C
1

Prezzo di non arbitraggio: cedole indicizzate


Quindi il portafoglio di replica consente di valutare la cedola al
tempo t come:
cedola indicizzata = v(t,τ) – v(t,T)
A τ abbiamo che il valore della posizione risulta infatti:
1 – v(τ,T) = v(τ,T) [1/ v(τ,T) – 1]
= v(τ,T) i(τ,T)(T – τ)
= fattore di sconto X cedola indicizzata



Al tempo t il valore della cedola può essere scritto
v(t,τ) – v(t,T) = v(t,T)[v(t,τ) / v(t,T) – 1]
= v(t,T) f(t,τ,T)(T – τ)
= fattore di sconto X tasso forward


Flussi di cedole indicizzate


Consideriamo uno scadenzario

{t,t1,t2,…tm}
dove ti, i = 1,2,…,m – 1 sono le date di reset delle cedole, ognuna
delle quali è pagata in ti+1.
t è la data di valutazione del flusso di cedole.


E’ agevole verificare che il valore del flusso di cedole corrisponde a


Una posizione lunga (investimento) per un’unità di valuta alla data di
reset della prima cedola (t1)



Una posizione corta (finanziamento) per un’unita di valuta alla data di
pagamento dell’ultima cedola (tm)


Floater


Un titolo indicizzato (floater) è caratterizzato da uno scadenzario {t,t1,t2,…tm}


In t1 viene pagata la cedola corrente c (valore cv(t,t1))



ti, i = 1,2,…,m – 1 sono le date di reset delle cedole indicizzate pagate in ti+1 (valore
v(t,t1) – v(t,tm))



Il capitale viene rimborsato in un’unica soluzione in tm.



Valore delle cedole: cv(t,t1) + v(t,t1) – v(t,tm)



Valore del capitale: v(t,tm)



Valore complessivo del titolo = Valore delle cedole + Valore del capitale
= [cv(t,t1) + v(t,t1) – v(t,tm)] + v(t,tm) = (1 + c) v(t,t1)



Un titolo indicizzato è finanziariamente equivalente a un titolo a breve, con
scadenza in corrispondenza della data di reset della prima cedola indicizzata
e cedola pari alla cedola corrente

Debito indicizzato = Debito a breve
Flussi di Centrobanca TV
1500

1000

500

Capitale
Passivo

0
mag00

giu-00 lug-00 ago-00 set-00

ott-00 nov-00 dic-00 gen-01 feb-01 mar-01 apr-01

-500

-1000

-1500


mag01

giu-01 lug-01 ago-01

Attivo

Reverse floater


Un titolo a indicizzazione inversa, o reverse floater, è caratterizzato
da uno scadenzario
{t,t1,t2,…tj, …tm}




Fino alla scadenza tj vengono pagate cedole fisse (tipicamente molto
alte)
A partire dalla data di reset tj le cedole vengono determinate sulla base
della formula
rMax – α i(ti,ti+1)



dove α è un parametro di leverage.
Il capitale viene rimborsato in un’unica soluzione alla scadenza


Reverse floater


Un titolo reverse floater può essere scomposto in


Un flusso attivo di cedole fisse pagate alle scadenze
{t1,t2,…tj}



Un flusso attivo di cedole fisse pari a
(ti+1 – ti)rMax , i = j + 1, …m – 1.









Un flusso passivo di cedole indicizzate su un capitale pari a α volte il
valore nominale
Un titolo zero-coupon-bond che paga il nominale alla scadenza

Un reverse floater corrisponde quindi a un investimento a lungo termine
finanziato con un’esposizione a breve termine, per un ammontare multiplo del
valore nominale
La posizione di debito a breve e investimento a lunga rende il prodotto
estremamente sensibile a aumenti i) del livello e ii) dell’inclinazione della curva
dei tassi


Titoli indicizzati: sommario




Un flusso di cedole indicizzate può essere
rappresentato in due modi matematicamente e
finanziariamente equivalenti
 Posizioni di credito e debito su scadenze diverse
 Sostituendo i tassi forward in luogo dei valori delle
cedole future
Nell’analisi di sensitività non deve essere mai
dimenticato che variazioni delle curva a pronti dei tassi
hanno due effetti sulla valutazione delle cedole
indicizzate:
 Aumento o diminuzione del loro valore attuale
 Aumento o diminuzione dei tassi forward, e quindi
dei livelli delle cedole

Titoli indicizzati: sommario


Nei titoli a indicizzazione diretta i due effetti si muovono in senso
opposto, attenuando gli effetti di variazioni dei tassi sul valore del
titolo.




In particolare, l’effetto di un aumento dei tassi sul valore delle cedole
è positivo e si contrappone a quello sul valore del rimborso del
capitale a scadenza. L’effetto netto è quello di un titolo
finanziariamente equivalente a un titolo a breve termine che scade in
corrispondenza della data di reset della prima cedola indicizzata e
paga la cedola corrente

Nei titoli a indicizzazione inversa i due effetti si muovono nello
stesso senso.


Rialzi dei tassi comportano una diminuzione del valore atteso delle
cedole, oltre che del loro valore attuale, un effetto che si somma a
quello sul valore attuale del capitale.


Curva dei tassi e valore di portafogli obbligazionari


Ogni curva dei rendimenti rappresenta un particolare tipo di
mercato obbligazionario e la variazione della curva
distribuisce profitti e perdite tra gli operatori dei desk fixed
income.



Modelli economici e tecniche statistiche sono stati sviluppati
per analizzare il comportamento della curva dei tassi.



I risultati di analisi della dinamica della curva dei tassi e le
previsioni sulle sue evoluzioni future sono utilizzati per
prendere posizioni sul mercato (riding the yield curve) o per
scegliere politiche di copertura.


Curva dei tassi e valore di portafogli obbligazionari




L’analisi tradizionale degli effetti di spostamenti della curva è
tipicamente limitata a una particolare tipologia di spostamento, il
cosiddetto spostamento parallelo (parallel shift): si assume che
i tassi si muovono dello stesso ammontare su tutte le scadenze
della curva dei rendimenti
In realtà questo tipo di focus non è molto limitativo. Infatti,
un’evidenza empirica ricavata su gran parte delle curve dei
rendimenti consiste nell’identificazione di tre tipologie
fondamentali di spostamento:






i) spostamenti paralleli (parallel shift);
ii) mutamenti di inclinazione (twist) e
iii) variazioni di segno opposto su scadenze intermedie e scadenze
estreme (hump).

Inoltre, il primo tipo di spostamento spiega generalmente ben più
del 90% della varianza dei rendimenti.

Richiami di Matematica

Lo sviluppo in Serie di Taylor


Ricordiamo che per una funzione continua e derivabile con derivate
continue, si può definire il seguente sviluppo in serie che può essere
impiegato per utili approssimazioni

1  d i f ( x) 
 ( x − x0 ) k
f ( x) = ∑ 
k!  dx k  x
k =0


∞

0



Per es. lo sviluppo al secondo ordine in un intorno di x0 ci da

1  d 2 f ( x) 
 df ( x) 
 ( x − x0 ) 2 =
f ( x) ≈ f ( x0 ) + 
 ( x − x0 ) + 
2  dx 2  x
 dx  x0

0
f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) +

1
f ′′( x0 )( x − x0 ) 2
2



Lo sviluppo in Serie di Taylor (2nd ord)


Possiamo utilizzare le precedenti formule per esprimere
direttamente la variazione della funzione in un intorno del punto x 0 ...

1
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 )( x − x0 ) 2
2
1
′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 )( x − x0 ) 2
⇒ ∆f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) ≈ f
2


... o la variazione percentuale

∆f ( x) f ( x) − f ( x0 ) f ′( x0 )
1 f ′′( x0 )
=
≈
( x − x0 ) +
( x − x0 ) 2
f ( x)
f ( x)
f ( x)
2 f ( x)


Lo sviluppo in Serie di Taylor (2nd ord)


Nel seguito utilizzeremo diffusamente le formule relative al primo
ordine...

1


∆f ( x) ≈ f ′( x0 )∆x,

∆f ( x) f ′( x0 )
≈
∆x
f ( x)
f ( x)

... e al secondo

1
f ′′( x0 )∆x 2
2
∆f ( x) f ′( x0 )
1 f ′′( x0 ) 2
≈
∆x +
∆x
f ( x)
f ( x)
2 f ( x)

∆f ( x) ≈ f ′( x0 )∆x +

2


Movimenti della curva dei tassi e valore dei titoli

zero-coupon (capitalizzazione composta continua)

dettaglio del calcolo
v( tT )ConsideriamoT − ttitolo zero-coupon-bond con scadenza al tempo T e
, = exp( − i ( t , T )( un ) )
con
dP (t , T ) valore dP( t , T )
1
=
di (t , T ) P(t,T) = v(t,T)
P (t , T ) P ( t , T ) di ( t , T )

dP ( t , T )
d
exp( − ( t termini = −( T − t ) exp valore T − titolo (T il ) P(t , T
 Di =
quando varia, iin, T )( T − t ) )percentuali, il( − i ( t , T )(del t ) ) = −se − t tasso )
di ( t , T ) di ( t , T )
sulla scadenza T, i(t,T), si muove di una quantità infinitesima ε ? Se
dP (t , T )tasso è1calcolato a capitalizzazione composta continua la risposta
il = −
(T − t ) P(t , T )ε = −(T − t )ε
P (t , Tè ottenuta T )
)
P( t , calcolando la derivata

v( t , T ) = exp( − i ( t , T )( T − t ) )
dP (t , T )
1 dP( t , T )
=
di (t , T ) = −( T − t ) ε
P (t , T ) P( t , T ) di( t , T )

Movimenti della curva dei tassi e valore dei

titoli a cedola fissa


Consideriamo il prezzo di un coupon bond che paga cedola fissa c e scade al
tempo tm.
m

P ( t , t m ; c ) = c ∑ v ( t , ti ) + v( t , t m )
i =1





Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se la curva dei tassi si
muove, su tutte le scadenze, di una stessa quantità infinitesima ε ?
Se i tassi sono calcolati a capitalizzazione composta continua la risposta è
ottenuta calcolando un’espansione di Taylor arrestata al primo ordine

∂v( t , ti )
∂v( t , t m )
∆P( t , t m ; c ) ≈ ∑ c
ε+
ε
∂i ( t , ti )
∂i ( t , t m )
i =1
m

m

∆P( t , t m ; c )
≈−
P( t , tm ; c )

∑ (t
i =1

i

− t ) cv( t , ti ) + ( t m − t ) v( t , t m )
P( t , tm ; c )


ε

Duration






Il coefficiente che moltiplica la variazione arbitraria di tasso ε
prende il nome di DURATION;
La DURATION rappresenta una media ponderata delle
scadenze dei flussi offerti da un titolo.
Il peso di ciascuna scadenza all’interno della media è dato
dal rapporto fra il valore attuale del flusso corrispondente a
tale scadenza e il prezzo del titolo.

1
m

D=
∑ v( t , ti )( ti − t ) c + v( t , t m )( t m − t )  =
P( t , t m ; c )  i =1


cv( t , ti )
v( t , t m )
∑ P ( t , t ; c ) ( ti − t ) + P ( t , t ; c ) ( t m − t )
i =1
m
m
m


Duration e sentitività dei titoli a
movimenti della curva dei tassi


La duration è rilevante
perché
misura
la
sensitività di titoli a
spostamenti
paralleli,
infinitesimi, della curva
dei tassi, calcolati in
capitalizzazione
continua

∆i





∆P( t , t m ; c )
≈ − D × ∆i
P( t , tm ; c )

Duration di portafogli






La duration è un operatore lineare, quindi la duration di un
portafoglio è uguale alla media ponderata delle duration.
Consideriamo un portafoglio W di titoli obbligazionari Pi,
ciascuno dei quali dotato di duration Di ( i = 1,2,...k).
Assumiamo una variazione di un ammontare infinitesimo su
tutte le scadenze della curva dei tassi. Qual è l’impatto
percentuale di questo shock sul valore del portafoglio?
k
Pi
∆W
≈ − DW × ∆i = −∑ Di × ∆i
W
W
i =1


dettagli del calcolo

Movimenti della curva dei tassi e valore dei titoli

v(zero-coupon ) (capitalizzazione
t , T ) = (1 + i ( t , T )
− ( T −t )

discreta)

∆P (t , T )
1 dP( t , T )
=
di zero-coupon-bond con scadenza al
 Consideriamo un titolo (t , T )
P (t , T ) P ( t , T ) di ( t , T )
tempo T e con valore

(1 + i ( t , T ) )
dP( t , T )
= − ( T − t ) (1 + i ( t , T ) )
= −( T − t )
di ( t , T )
1 + i( t , T )
 Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se il
( T − P(t , T )
tassot ) sulla scadenza T, i(t,T), si muove di una quantità
= − infinitesima ε ? Se il tasso è calcolato a capitalizzazione
1 + i ( t , T ) discreta la risposta è ottenuta calcolando la derivata
composta
( T − t ) − (P−tt ,) T )ε = − ( T − t ) ε
∆P (t , T )
1
T(
=−
P (t ,v ) , T = ( t1T ) i +,iT, T )
Tt
P , + 1 t (t
1 + i( t , T )
P(t,T)1= v(t,T)
−( T −t ) −

(

) (

(

))

−( T −t )

(T − t ) ε
∆P (t , T )
1 dP ( t , T )
=
di (t , T ) = −
P (t , T ) P( t , T ) di ( t , T )
1 + i( t , T )


Duration Modificata
Una definizione di DURATION che è utilizzata per
rappresentare la sensitività di un titolo a movimenti
infinitesimi del tasso d’interesse, calcolato a capitalizzazione
composta discreta è quella di DURATION MODIFICATA
(DM)



D
DM =
1+ i


Nel caso del nostro zero-coupon-bond possiamo
infatti scrivere

∆P ( t , T )
T −t
≈−
∆i = − DM × ∆i
P( t , T )
1+ i


Duration Modificata


Per i titoli con cedola fissa, o in generale portafogli di titoli a
cedola fissa, la duration modificata consente di determinare
la variazione percentuale del valore rispetto a variazioni
infinitesime del tasso interno di rendimento. Infatti, definendo
y il tasso interno di rendimento e un insieme di flussi Fk di un
portafoglio W
n



…calcoliamo…

W = ∑ Fk (1 + y )

−( t k −t )

k =1

n
∂W
1 n
− ( t k − t ) −1
∆W ≈
∆y = −∑ Fk t k (1 + y )
∆y = −
Fk (1 + y ) −tk ∆y =
∑
∂y
1 + y k =1
k =1

 n
 ∑ Fk (1 + y ) −tk
1
−
W  k =1
1+ y 
W





∆y = − 1 WD∆y = − DM × W × ∆y

1+ y




Una rappresentazione più accurata




Assumiamo che il tasso d’interesse, calcolato a
capitalizzazione continua, i(t,T) aumenti di una quantità
finita ε. Di quanto diminuisce il prezzo P(t,T) di uno zero
coupon bond?
Una risposta più accurata di quella fin qui trovata può essere
ottenuta con un’espansione di Taylor arrestata al secondo
ordine

∆P( t , T )
1 dP( t , T )
1 1 d 2 P( t , T ) 2
=
ε+
ε
2
P( t , T )
P( t , T ) di ( t , T )
2 P( t , T ) di ( t , T )
∆P( t , T )
1
2 2
= −( T − t ) ε + ( T − t ) ε
P( t , T )
2


L’estensione a un titolo con cedola


Estendiamo l’analisi precedente a un coupon bond che paga cedola fissa c e
scade al tempo tm.
m

P ( t , t m ; c ) = c ∑ v ( t , ti ) + v( t , t m )
i =1





Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se la curva dei tassi si
muove, su tutte le scadenze, di una stessa quantità finita ε ?
Se i tassi sono calcolati a capitalizzazione composta continua una risposta
accurata è ottenuta calcolando un’espansione di Taylor arrestata al secondo
ordine

 m ∂v( t , ti ) ∂v( t , t m ) 
1  m ∂ 2 v ( t , ti ) ∂ 2 v ( t , t m )  2
∆P ( t , t m ; c ) ≈ ∑ c
+
ε+
c
+
ε
( t , ti ) ∂i( t , t m )  2 ∑ ∂i( t , ti ) 2 ∂i( t , tm ) 2 
 i =1 ∂i

 i =1

m

∆P ( t , t m ; c )
≈−
P( t , tm ; c )

∑ ( ti − t ) cv( t , ti ) + ( tm − t ) v( t , tm )
i =1

P( t , t m ; c )

m

ε+

1
2

( ti − t ) 2 cv( t , ti ) + ( tm − t ) 2 v( t , tm )
∑
i =1


P( t , t m ; c )

ε2

Convexity




Come la duration rappresenta la media, ed cioè il momento primo,
delle scadenze ponderata per il valore attuale dei flussi, è naturale
definire il momento secondo in modo analogo.
Otteniamo così un indicatore di ordine superiore alla duration,
denominato CONVEXITY e formalmente definito come

1
m

2
2
C=
∑ (ti − t ) cv( t , ti ) + (t m − t ) v( t , t m ) 
P( t , t m ; c )  i =1





Osserviamo immediatamente che la CONVEXITY corrisponde al termine
di secondo ordine nell’espansione di Taylor del prezzo del titolo rispetto a
uno shock finito nella curva dei tassi.
Questo indicatore permette quindi il confronto e la valutazione fra titoli
diversi che, a parità di DURATION, manifestano differenti variazioni di
prezzo in presenza di uguali variazioni di tasso.




La duration e la convexity consentono quindi di determinare
in maniera accurata la sensitività di titoli a spostamenti
paralleli, di dimensione finita, della curva dei tassi, calcolati
in capitalizzazione continua

∆P( t , t m ; c )
1
2
≈ − D × ∆i + C × ∆i
P( t , tm ; c )
2


Duration e convexity di portafogli






Come la duration, anche la convexity è un operatore lineare, e
la convexity di un portafoglio è uguale alla media ponderata
delle convexity.
Consideriamo un portafoglio W di titoli obbligazionari Pi,
ciascuno dei quali dotato di duration Di e convexity Ci ( i =
1,2,...k).
Assumiamo una variazione di un ammontare finito su tutte le
scadenze della curva dei tassi. Qual è l’impatto percentuale di
questo shock sul valore del portafoglio?
k
Pi
Pi 2
∆W
1
1 k
2
≈ − DW × ∆i + CW × ∆i = −∑ Di ∆i + ∑ Ci ∆i
W
2
W
2 i =1 W
i =1


Il caso della capitalizzazione composta discreta


Consideriamo un titolo zero-coupon-bond con scadenza al
tempo T e con valore
P(t,T) = v(t,T)



Di quando varia, in termini percentuali, il valore del titolo se il
tasso sulla scadenza T, i(t,T), si muove di una quantità finita
ε?
Se il tasso è calcolato a capitalizzazione composta discreta la
risposta è ottenuta calcolando la derivata



v ( t , T ) = (1 + i ( t , T ) )
( T − t ) ε + 1 ( T − t )(1 + T − t ) ε 2
∆P( t , T )
=−
P( t , T )
1 + i( t , T )
2 1 + i( t , T )
− ( T −t )


Convexity






Come alla duration corrisponde una formula di duration
modificata che tiene conto della capitalizzazione nel tempo
discreto, così anche la convexity può essere aggiustata per
tener conto del tempo discreto.
Anche in questo caso, l’utilizzo sarà quello di valutare in
maniera più accurata l’effetto sul prezzo di una variazione
finita del tasso interno di rendimento y.
In questo caso la CONVEXITY formalmente definita come

 T ( ti − t ) (1 + ti − t )c ( t m − t ) (1 + t m − t ) 
1
C=
+
∑

ti −t
t m −t
P( t , t m ; c )  t =t1
(1 + y )
(1 + y )



Duration e convexity


Duration e convexity possono essere viste come:






Il momento primo e secondo delle scadenze di una serie di
flussi ponderati per il loro valore finanziario
La derivata prima e seconda del valore di un insieme di
flussi rispetto a uno spostamento parallelo della curva dei
rendimenti, calcolati in regime di capitalizzazione composta
continua

In regime di capitalizzazione composta discreta
duration e convexity descrivono la derivata prima e
seconda della relazione tra tasso interno di
rendimento di un flusso di poste finanziarie ed il loro
valore attuale.

Rateo, Corso Secco e Prezzo “tel-quel”




Poiché i titoli non vengono negoziati solo nei giorni di stacco cedole
diventa necessario stabilire la quota di interessi spettanti ai due
contraenti (venditore e compratore) in relazione al periodo di
detenzione del titolo stesso.
Nasce così il concetto di rateo che prende in considerazione tre
componenti:





il livello di cedola da ripartire pro-tempore;
il numero di giorni del periodo sulla base del quale la cedola viene
ripartita;
il numero di giorni intercorsi fra l’incasso dell’ultima cedola e il giorno
dell’operazione;










I prezzi comunemente quotati suoi mercati si riferiscono
al cosiddetto corso secco, che è il prezzo al quale è
quotato il solo capitale di un titolo a reddito fisso
escludendo cioè il rateo degli interessi maturati.
Il corso tel quel è invece il prezzo inclusivo degli interessi
maturati dall’ultimo giorno di godimento al giorno di
stipulazione del contratto.
In quest’ultimo caso il titolo è provvisto della cedola in
maturazione.
Fra i due corsi vale quindi la semplice relazione:

Ptq = Pcs + R





Per il calcolo del rateo occorre conoscere le convenzioni di calcolo relative
al mercato sul quale il titolo è trattato.
Per quanto riguarda il mercato italiano le convenzioni attualmente in vigore
sono riportate nella tabella seguente, a titolo di riferimento vengono riportate
anche le convenzioni utilizzate nel periodo precedente al 1 gennaio 1999
data a partire dalla quale molte modalità di calcolo sono state cambiate.

Tit oli
Tit oli di St at o
Em issioni
Corporat e

BOT
CTZ
BTP
CCT
Tasso variabile
tasso fisso

Prim a del 1
gen naio 1999
ACT/ 365
ACT/ 365
30/360
30/360
30/360
30/360

Dal 1 gennaio 1999
Tit oli Esist ent i
Nuove Em issioni
ACT/365
ACT/360
ACT/ACT
ACT/ACT
ACT/ACT♦
ACT/ACT
30/ 360
ACT/ACT
30/ 360
ACT/ACT
ACT/ACT
ACT/ACT




La formula per il calcolo del rateo è estremamente semplice

d1
R=c
d2


dove







c è il valore della cedola semestrale;
d1 è il numero di giorni che intercorrono fra la data valuta e l’inizio del
periodo di maturazione della cedola;
d2 è il numero di giorni effettivo del periodo di godimento della cedola.

Il numero di giorni viene calcolato sul mercato italiano secondo la
convenzione Actual/Actual considerando quindi il numero effettivo di
giorni calcolato sulla base del calendario civile includendo
eventualmente il 29 febbraio qualora questo sia compreso negli
intervalli di tempo da calcolare.


Esempio
Esempio
Programmazione
Programmazione
VBA
VBA

Ratei, prezzi tel-quel, duration & convexity
Ratei, prezzi tel-quel, duration & convexity


Capitolo 4 titoli obbligazionari

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (13)

Semelhante a Capitolo 4 titoli obbligazionari

Semelhante a Capitolo 4 titoli obbligazionari (9)

Mais de Giovanni Della Lunga

Mais de Giovanni Della Lunga (20)

Último

Último (16)

Capitolo 4 titoli obbligazionari