Simulación: Teoría y aplicaciones con Promodel

Simulación
Especialización Ingeniería de
Operaciones en Manufactura y
Servicios
Pontificia Universidad Javeriana
Bogotá – Colombia
Ing. Alvaro Gil Berrocal

En esta presentación
1. Introducción a la simulación
2. Generación de números aleatorios
3. Simulación con hojas de cálculo
4. Identificación de variables
5. Teoría de colas
6. Colas en serie y teoría de Redes
7. Revisión de programas de simulación
8. Introducción a Promodel
9. Modelos avanzados de simulación

Simulación
1. Introducción a la simulación
Conceptos básicos

Qué es la simulación?
 Representación analítica de
sistemas apoyada en
herramientas matemáticas y
computacionales que permiten
evaluar el impacto de cambios en
diferentes variables así como la
elección de los recursos y óptimos
para el proceso analizado.

Definiciones
 Sistema
 Conjunto de elementos relacionados total o parcialmente entre si
y cuyos elementos pueden depender de sí mismos y de otros,
tanto en el presente como en el pasado.
 Puede estar abierto o cerrado
 Sistemas deterministas o estocásticos.
 Estático o dinámico
 Variable
 Representación de un conjunto de datos
 Variables independientes o dependientes
 Variables endógenas y exógenas
 Eventos
 Discretos o Continuos

Para qué modelar
 Entendimiento
 Aprendizaje
 Mejoramiento
 Optimización
 Toma de decisiones

Aplicaciones de la simulación
Mediante técnicas de simulación es posible desarrollar de
manera teórica casos relacionados con:
 Producción
 Logística
 Distribución
 Servicio al cliente
 Construcción
 Militar
 Salud
 Economía y Finanzas
 Y muchos otros campos

Qué se necesita para simular?
• Técnicas
analíticas
• Programas
especializados
• Qué pasa si?
• Identificación
de variables
involucradas
• Identificación
del proceso
Problema Muestreo
Modelación
Aplicación de
herramientas
de ingeniería

Elementos de la simulación
 Proceso (Flujograma)
 Estados:
 Definir estados: número de clientes/sucesos en el sistema
 Identificar las transiciones de los estados.
 Identificar los eventos de llegadas y salidas del sistema
 Caracterizar las variables del sistema (entradas, tiempos
de funcionamiento, salidas, etc.)
 Generación de eventos aleatorios
 Reloj de Simulación: paso del tiempo (delimitado).
 Definir condiciones especiales en el modelo: paros,
mantenimientos, alertas, turnos, etc.

Pasos para una campaña de
simulación
Análisis de la
situación
Recolección
de datos
Experimentación
Análisis de
resultados
Documentación
Implementación
Es válido?
Construcción
del modelo
Más
experimentos?Representación
real?
Modificación del
modelo?
Inicio
Fin
S
N
S
N
S
N
S
N

Cuándo modelar y cuándo no?
 Cuándo NO
 Cuando el problema se puede resolver fácilmente
de manera analítica
 Cuando es demasiado costosa la simulación
 Cuando no se tienen datos reales de las
observaciones o estas están incompletas
 Cuando la situación actual cambia con el tiempo y
no podemos proyectarla
 Cuándo SI
 Todos los demás casos

Métodos para la simulación
 Métodos analíticos: Según el tamaño y complejidad del proceso,
es posible utilizar sencillos desarrollos matemáticos para resolver
un problema de simulación. Entre ellas encontramos:
 Teoría de Colas
 Teoría de Redes
 Sistemas Dinámicos
 Algoritmos de mayor elaboración
 Métodos computacionales: Cuando un sistema es relativamente
grande o contiene una serie de excepciones en las variables, se
vuelve compleja su resolución analítica y por tanto se hace
indispensable la utilización de un programa especializado.
 En general todo lenguaje y programa que permita generar números
aleatorios
 Lenguajes: C, Fortran, Pascal, Basic, Siman, Visual Slam, SimScript, etc.
 Hojas de cálculo en general
 Programas especializados (aplicaciones de los lenguajes ya mencionados)

Simulación
2. Generación de números
aleatorios

Introducción
 Los números aleatorios son un ingrediente básico para
simular casi cualquier sistema discreto. La gran mayoría de
programas contienen una subrutina de generación que facilita
su utilización.
 Si se trata de un lenguaje de programación, es necesario
generar un número aleatorio y de estos partir para la
generación de variables aleatorias.
 A continuación se explican las técnicas básicas para la
generación de números aleatorios y posteriormente técnicas
para la generación de variables aleatorias a partir de estos
números

Propiedades de los números
aleatorios
 Toda serie de números aleatorios R1, R2, … Rn, debe
cumplir con dos propiedades fundamentales,
Uniformidad e Independencia. Esto a su vez significa
que:
 Si se grafican los números aleatorios en el intervalo [0,1] y este
es dividido a su vez en n clases ó subintervalos de igual
magnitud, el número esperado de observaciones en cada
intervalo es de N/n donde N es el número total de
observaciones.
 La probabilidad de observar un valor en un intervalo particular es
independiente del valor inmediatamente anterior.

Generación de números
pseudo-aleatorios
 Si hablamos de Pseudo generar, queremos decir que
esta generación es falsa por naturaleza.
 Siempre que utilizamos una técnica para generar
números aleatorios, significa a su vez que hay una
ecuación o fórmula que permite dicha generación por
tanto es pronosticable de alguna manera (ejemplo,
revisar los números decimales de PI).
 Para evitar estos inconvenientes, se acuden a
generaciones computacionales que eviten estos
problemas, no obstante, analizaremos solo un método
matemático que a su vez tiene dos composiciones.

Técnica de congruencia lineal
 Este método propuesto inicialmente por Lehmer (1951) produce una
secuencia de enteros X1, X2,… entre 0 y m-1 de acuerdo a la
siguiente relación:
 El valor inicial X0, es llamado semilla, a es el multiplicador, c es el
incremento y m el módulo (módulo hace referencia al remanente ó
decimal producto de la división, así pues si decimos que 143mod100,
debemos dividir 143 entre 100 obteniendo 1.43, lo que quiere decir que su
módulo es 43).
 Si c es diferente de cero, se llama método de congruencia lineal
mixto, de lo contrario se conoce como método de congruencia lineal
multiplicativo.
 La selección de las constantes a, c y m, así como de la semilla,
afectan drásticamente el resultado de los números y por ende sus
propiedades y longitud de ciclo.
 1 mod , 0,1,2...i iX aX c m i   

Ejemplo numérico 1
 Use el método de congruencia lineal mixto para generar una
secuencia de números aleatorios con X0=27, a=17, c=43 y m=100.
Nótese que siempre los resultados estarán comprendidos entre 0 y
100 que es el módulo elegido. Así mismo, debe tener en cuenta que
el resultado debe ser dividido por el módulo (100) para obtener un
intervalo más adecuado.
 Solución: El desarrollo comienza por incluir la semilla en el número
siguiente. El resultado de este número se vuelve a incluir en el la
siguiente generación y así sucesivamente hasta obtener la serie
total de números.
 
 
 
0 0
1 1
2 2
3 3
27 0.27
2
17*27 43 mod100 502mod100 2 0.02
100
77
17*2 43 mod100 77mod100 77 0.77
100
52
17*77 43 mod100 1352mod100 52 0.52
100
X R
X R
X R
X R
  
      
      
      

Test para números aleatorios
 Una vez obtenida la serie de números aleatorios, es
necesario revisarla para garantizar que cumpla con las
propiedades (uniformidad e independencia).
 Existen dos métodos básicos según la propiedad que se
desee comprobar.
 Test de frecuencia: Utiliza el test de Kolmogorov-Smirnov o el
test de Chi cuadrado para comparar la serie con una distribución
uniforme (este concepto ya es conocido por el estudiante).
 Test de autocorrelación: Mide la correlación entre números y
compara la muestra con una correlación cero, es necesario
generar correlogramas y una prueba de hipótesis basada en la
distribución normal (solo se enunciará).

 Frecuencia (Kolmogorov-Smirnov)
 Pasos mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov:
 Ordene los datos en forma ascendente
 Halle los valores de D+ y D-
 Establezca el mayor de todos
 Compare este valor máximo con el valor crítico de la tabla
Kolmogorov-Smirnov (diapositiva siguiente).
 Si D<=Dcrítico, no hay diferencias entre la distribución analizada y
una distribución uniforme.
 max ,D D D 

max i
i
D R
N
  
  
 
1
max i
i
D R
N
  
  
 

Test de frecuencia por Kolmogorov-Smirnov
Tabla de valores críticos de D

 Frecuencia (Chi cuadrado)
 Esta prueba utiliza el estadístico Chi comparando los datos
observados contra los esperados haciendo antes una ordenación
por clases, donde los datos esperados en cada clase, por tratarse
de una distribución uniforme, son iguales en todos los casos (Ei)
 Se espera entonces que la muestra analizada se distribuya Chi
cuadrado con n-1 grados de libertad.
 Si Xo calculado < Xo tablas entonces se acepta la hipótesis nula
de que se trata de una distribución uniforme.
 
2
2
0
1
n
i i
i i
O E
x
E

  i
N
E
n


Test de frecuencia por Chi-Cuadrado
Tabla de distribución Chi de Pearson con n grados de libertad

 Autocorrelación:
 Test de Durbin-Watson para autocorrelación positiva y negativa
 Función de Autocorrelación Parcial (PACF)
 Prueba de colas en una distribución Normal.
No hay
Autocorrelación
Sí hay
Autocorrelación

Ejemplo numérico 2
 Suponga que han sido generados los siguientes números aleatorios
y se desea saber si cumplen con la propiedad de uniformidad
mediante el test de Kolmogorov-Sminrnov con un nivel de
significancia del 5%. (0.44, 0.81, 0.14, 0.05, 0.93)
 Solución:
 Primero debemos ordenar los números en forma ascendente y
aplicamos las fórmulas respectivas.
 Hallamos entonces el máximo D, esto es
 Tenemos entonces que D=0.26
 Comparamos este valor con la tabla de valores críticos de D para un
nivel del 5% (0.563) y como D<Dcrítico, la hipótesis que la distribución de
la serie es uniforme NO es rechazada.
i Ri i /N i /N-Ri Ri-(i -1)/N
1 0.05 0.2 0.15 0.05
2 0.14 0.4 0.26 -0.06
3 0.44 0.6 0.16 0.04
4 0.81 0.8 -0.01 0.21
5 0.93 1 0.07 0.13
Maximo 0.26 0.21
  1
max , max max ,maxi i
i i
D D D R R
N N
       
       
    

Generación de variables
aleatorias
 La sola generación de números aleatorios es
indispensable más no suficiente para una
simulación ya que en la mayoría de los casos
es necesario utilizar una distribución de
probabilidades asociada al sistema a
modelar.
 A continuación, examinaremos la técnica
más utilizada para la generación de variables
aleatorias a partir de números aleatorios.

Técnica de la transformada
inversa
 La TTI puede utilizarse en cualquier distribución
de probabilidad donde conozcamos su función
de distribución acumulada.
 Para hacer una explicación detallada,
tomaremos como ejemplo la distribución
exponencial. Esta distribución tiene entonces:
 Función de densidad:
 Función de probabilidad:
 
0
0 0
x
e x
f x
x

 
 
 

   
1 0
0 0
x x
e x
F x f x dx
x


  
  



inversa
 La idea es sustituir la serie de números aleatorios en la
función de distribución acumulada FDA, en resumen los
pasos son los siguientes:
1. Hallar la función de distribución acumulada F(x)
2. Igualar la FDA a R
3. Resolver la ecuación F(x)=R en términos de x
 
 
 
1
1
ln 1
1
ln 1
x
x
F x e R
e R
x R
x R






  
 
  
  
Función generadora de
variables aleatorias para la
distribución exponencial

inversa
 Esta función también puede notarse como X=F-1(R)
en cualquier distribución de probabilidad.
 Con este resultado, sustituimos cada uno de los
números de la serie aleatoria y podemos construir
una función de probabilidad con una distribución
específica, muy útil para utilizarla en simulaciones
posteriores.
 A continuación examinaremos esta técnica en otra
distribución (Weibull).

inversa
 Función generadora de variables aleatorias para la
distribución Weibull
   
 
   
  
  
1
1
1
1
ln 1
ln 1
ln 1
x
B
x
B
F x e R
e R
x R
B
x R
B
x B R







  
 
  
  
  

Ejemplo numérico 3
 Suponga la serie de números aleatorios
hallada en el ejemplo numérico 1.
 Sobre esta serie aplique la función
generadora de variable aleatoria
exponencial, asumiendo un parámetro
lambda de 6.
 La serie x resultante es una distribución
exponencial con media 1/lambda (1/6).
R (Aleatorio
inicial)
0.27000
0.02000
0.77000
0.52000
0.27000
0.02000
0.77000
0.52000
Etc..
 
1
ln 1x R

  
Xi (expo
resultante)
0.052451791
0.003367118
0.244945995
0.122328196
0.052451791
0.003367118
0.244945995
0.122328192
Etc..
Distribución
Uniforme
Distribución
Exponencial
TTI

0
50
100
150
200
250
0.03673654
0.146822436
0.256908332
0.440384824
0.403689526
0.55047072
0.623861317
0.990814302
0.697251914
0.917423705
0.954119004
Frecuencia
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
Frecuencia
% acumulado
0
10
20
30
40
50
60
0.29018298
0.032462483
0.934484222
0.773408911
0.708978787
0.45125829
0.354613104
0.483473352
0.386828166
0.322398042
0.870054098
Frecuencia 0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
Frecuencia
% acumulado
Distribución
uniforme
(números
aleatorios
generados
con el
método de
congruencia
lineal mixto)
Distribución
exponencial
resultante al
aplicar la
TTI

Algunas funciones de TTI*
*Tomado de: García, Eduardo. Simulación y análisis de sistemas con Promodel, cap 3.
Uniforme:
Triangular:
Normal:
Exponencial:
Poisson:
Distribución Generador Parámetros
Uniforme
a = límite inferior
b = límite superior
Triangular
a = límite inferior
c = moda de la distribución
b = límite superior
Normal
m = media de la distribución
s = Desviación estándard.
Exponencial 1/= media de la distribución
Weibull
Poisson
Inicialización: Hacer N=0, T=1 y generar un aleatorio ri.
Paso 1: Calcular T’=Tri.
Paso 2: Si T’>=e-, entonces hacer N=N+1, T=T’ y
calcular otro ri, y regresar al paso 1.
Si no, la variable generada está dada por Pi=N.
   i iU a b a r
  
 
 
   
 
 
 
   

 
      
, si
1 , si
i i
i
i i
c a
a b a c a r r
b a
T
c a
a b a b c r r
b a
    
    
 s m
 s m
      
      
2ln 1 cos 2
2ln 1 sin 2
i i j
i i j
N r r
N r r
 

  
1
ln 1i iE r
  
1
ln 1x B R 
  

Intervalos de confianza
 Simulaciones terminales: Intervalo definido o eventos que dan por terminada la
simulación
 Simulaciones no terminales o de estado estable: Independientemente del tiempo
transcurrido, los elementos se estabilizan en un comportamiento determinado. Este caso
requiere del cálculo de longitud de réplicas.
 Longitud de réplicas: Se debe garantizar que la variación entre réplicas no sea
significativa.
     
 
   
 
/ 2, 1 / 2, 1,r r
s s
IC x t x t
r r
 
 
   
 
,
/ 2 / 2
s s
IC x x
r r
Distribuciones normales
Otras distribuciones
Donde:
r =número de réplicas
 = nivel de rechazo
s

 
  
 
2
/ 2Z
n
s
 
 
  
 
2
1
n
Distribuciones normales
Otras distribuciones

Simulación
3. Simulación con hojas de
cálculo

Concepto general
 Toda serie que incluya en el tiempo un comportamiento aleatorio es
modelable mediante hojas de cálculo, así como las distribuciones
personalizadas y los procesos de llegada y atención.
 El concepto básico está dado por la generación de números aleatorios
y su aplicación a la serie mediante ecuaciones dinámicas ó la
conversión a la distribución de probabilidad asociada
 Una vez generada la iteración por eventos o por tiempos (según el
método de avance del tiempo), se debe repetir la simulación según si
es terminal o de estado estable.
 Al finalizar la simulación, se debe analizar el resultado en estado
estable y las diferentes réplicas, y serán estos resultados los que
permitan realizar las conclusiones de la simulación.
 A continuación realizaremos algunos ejemplos básicos desarrollados
en Excel.

Paseo Aleatorio
 Es el resultado de hacer sucesivas iteraciones aleatorias en el
tiempo, lo que conforma una senda variante en el tiempo. En inglés
se conoce como Random Walk.
 Sus resultados han tenido múltiples aplicaciones tanto en la
Economía, las Finanzas, los Juegos de Azar, la Sociología, la Física
y la Biología.
 Definición: Sea Xt una serie temporal que comienza en la posición
en X(0)=X0, su trayectoria está dada por:
Donde  define la variable aleatoria que describe la probabilidad de
la dirección del siguiente paso.
  tt
x x 

 

Algunas aplicaciones de los
paseos aleatorios
 Suponga una acción que comienza costando $100 y no tiene tendencia
alguna, haciendo que su comportamiento en el tiempo sea aleatorio.
 Mediante cuatro series aleatorias es posible entonces describir este
paseo aleatorio como se muestra a continuación:
 Esto dará como resultado una serie de incrementos y decrementos que
no puede ser pronosticada, esto es en sí un paseo aleatorio.

paseos aleatorios (tendencia)
 Si la serie tiene alguna clase de pronóstico (técnicas de Forecasting),
es posible determinar una tendencia fija, no obstante la naturaleza
aleatoria de la serie puede afectar los resultados. Este es el concepto
básico de la especulación financiera (bonos, acciones, divisas, etc.).
 Por citar un ejemplo, suponga una serie cuyo comportamiento ha sido
modelado bajo la siguiente ecuación:
Donde =1.001
 Se espera que el parámetro alfa garantice un incremento constante del
0.1% sobre la acción. Un inversionista que conozca este modelo,
comprará entonces esta acción y hará un análisis financiero simple
estableciendo que el retorno neto será de 2.94% mensual, es decir que
si invierte $100, obtendrá $102.94 a final de mes
(Vf=Vp*(1+Crecimiento)^29), claramente mayor a la DTF actual,
haciendo atractiva la inversión.
  tt
x x 
 
 

paseos aleatorios (tendencia)
 Al incluir la naturaleza estocástica dentro de la serie, los resultados
pueden variar positiva ó negativamente. A continuación se presenta
la formulación en Excel.
 Lo que arroja un resultado negativo en este caso, haciendo que el
retorno sea de -6.14%.

paseos aleatorios (Martingalas)
 Otras aplicaciones se presentan con frecuencia mediante la
Martingala (determinado proceso estocástico).
 La Martingala tiene múltiples aplicaciones, una de ella es en los
juegos de azar, donde se asume que tanto la banca como el
jugador tienen un capital infinito, de esta manera si el jugador
pierde, duplica su apuesta en forma sucesiva hasta que el juego lo
premia y recupera todo lo invertido.
 En forma práctica el supuesto de recursos infinitos no se cumple,
haciendo que eventualmente la banca gane el juego.
 Adicionalmente existe un desbalance en las probabilidades pues la
banca no paga por los resultados 0 ó 00, inclinando las
probabilidades hacia la pérdida.
 Un ejemplo sencillo se puede observar en Excel.

Otras aplicaciones de las hojas
de cálculo: Modelo de colas MM1
 Se puede también modelar un proceso de llegadas y atención
mediante la conversión de la serie aleatoria a la función de
probabilidad asociada (técnica de la transformada inversa).
 Suponga un sistema de colas donde los clientes arriban de acuerdo
a una distribución exponencial entre llegadas con parámetro de 5
min y una atención con parámetro exponencial de 4 min. Determine
los indicadores de esta cola MM1.
 A continuación se presenta la formulación en Excel para su
desarrollo:

Otras aplicaciones de las hojas
de cálculo: Modelo de colas MM1
 Una vez corrida la simulación para 200 registros con 20 réplicas, se
encuentra que el tiempo promedio en cola está alrededor de los 14
minutos (rango entre 12 y 17).
 La variabilidad ocurre por la naturaleza estocástica involucrada en la
formulación y por la poca cantidad de registros analizados.
 Si resolvemos este sistemas con la formulación básica de teoría de
colas encontraremos que el Wq es de 16 minutos, valor que coincide
con el rango hallado, pero que por sus generalidades de convergencia
infinita, ignora los conceptos estocásticos involucrados.

Ventas variables por hora
Suponga una venta de arepas ubicada en un sector universitario cuya
clientela es estudiantil. La clientela siempre está de afán y desea
rápida atención. Los tiempos entre llegadas se distribuyen
exponencialmente sin embargo según la hora del día las llegadas son
diferentes (ver histograma). El tiempo de atención es exponencial con
media de 1 minuto. Cuál es la cola y el tiempo de atención promedio?
0%
5%
10%
15%
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Ventas Diarias
% Teórico % Real

Procesamiento de piezas
El tiempo que transcurre entre la llegada de ciertas piezas a una
estación de inspección sigue una distribución exponencial con media
de 5 minutos/pieza. El proceso está a cargo de un operario y la
duración de la inspección sigue una distribución normal con media de 4
y desviación estándar de 0.5 min/pieza. Calcular el tiempo promedio de
permanencia de las piezas en el proceso de inspección.
0
2
4
6
8
10
12
Tiempo promedioen el sistema
Tiempo promedio en inspección

Modelos de Inventarios
 Existen múltiples modelos de inventarios en la literatura que buscan
optimizar el valor de compras, pedidos y por ende el costo total de
la mercancía.
 Los modelos básicos van desde el EOQ (comienzos de siglo XX)
hasta modelos heurísticos y meta-heurísticos que implementan
algoritmos inteligentes que construyen las sendas óptimas.
 Para simular estos modelos comenzaremos con sistemas básicos
sin reorden y sin lead time, con demanda estática. Luego se
relajaran algunos supuestos hasta conformar modelos más
complejos.

Simulación
4. Identificación de variables

Medición de variables
 Toda variable involucrada en el sistema debe ser
medida
 Para ello partimos de datos históricos del proceso y de
estimaciones realizadas a partir de un muestreo
 Una serie suficientemente grande de datos nos permite
identificar primero gráfica y luego estadísticamente el
comportamiento de cada variable
 Los datos más comúnmente estimados en un modelo
son:
 Tiempos de atención y procesamiento
 Tiempos entre llegadas
 Cantidad de entradas al sistema: frecuencia
 Probabilidades de ruteo y error

Muestreo
 Herramienta fundamental para la medición de tiempos y tipificación de los
mismos.
 Principio fundamental: La información se recoge cuando algo ocurre
 Se captura todo ingreso y salida del proceso o conjunto de ellos
 Ejemplo sencillo en un sistema de una cola con un servidor:
 De esta tabla podemos elaborar:

Ejemplo de un programa sencillo en Excel
para capturar tiempos en una operación
Sub captura()
Dim cap As Worksheet
Set cap = Sheets("Captura")
j = 4
Do While cap.Cells(j, 1) <> ""
If cap.Cells(j + 1, 2) = "" Then
cap.Cells(j + 1, 2) = Time()
cap.Cells(j + 1, 1) = j - 3
Exit Sub
Else
If cap.Cells(j + 1, 3) <> "" Then
j = j + 1
GoTo siguiente
Else
cap.Cells(j + 1, 3) = Time()
cap.Cells(j + 1, 4) = (cap.Cells(j + 1, 3) - cap.Cells(j +
1, 2)) * 3600 * 24
Exit Sub
End If
End If
j = j + 1
siguiente:
Loop
End Sub
•Nombre una hoja de cálculo como “Captura”
•Cree los títulos como se muestra a continuación
e inserte un botón llamado capturar
•Luego asócielo a una subrutina llamada captura
como se muestra en el código de la derecha.
•Los datos resultantes de la columna D, serán
los tiempos de la operación, estos datos
determinarán la distribución de probabilidad
asociada al proceso.

Análisis de los datos
 Una vez realizado el muestreo (mínimo 30 registros por cada
actividad), es necesario realizar agrupaciones que permitan elaborar
una distribución de frecuencias desde la cuál se puedan identificar
las posibles distribuciones de probabilidad que describan la serie.
 Sobre las distribuciones que se desee verificar, es necesario luego
realizar una prueba de bondad de ajuste (test estadístico que indica
cuán cerca o lejos está una serie de una distribución específica)
 Test Chi cuadrado: Compara contra poblaciones normalmente
distribuidas
 Test de Kolmogorov-Smirnov: Compara contra cualquier otra
distribución.
 Test de Anderson Darling: Compara contra cualquier otra
distribución.
 Es decir que primero graficamos mediante un histograma de
frecuencias y luego realizamos los test estadísticos según el caso

Análisis de los datos
 Este proceso debe aplicarse a todas las actividades involucradas en la
modelación, obteniendo finalmente algo como lo plasmado en la gráfica
(ejemplo atención en una cafetería)
 Existen además paquetes computacionales especializados que ya
elaboran todos estos procesos, entre ellos encontramos: STATA, SPSS,
EVIEWS, Cristal Ball, Expert Fit, etc.
 Adicionalmente, Promodel cuenta con una herramienta incorporada
llamada Stat-Fit, a continuación haremos una introducción a su uso.
Solicitud de
Pedido
E(1,2)
Entrada
Llegada de
clientes
P(90)
Caja
Entrega del Pedido
al usuario
N(0.5,1)
Barra Salida
Alistamiento
del pedido
G(2,5)
Cocina

Utilización de StatFit
 Es un programa anexo a Promodel que permite identificar
distribuciones estadísticas de cualquier serie de datos
 La versión estudiantil solo permite analizar 50 datos por serie.

 Por ejemplo, supongamos
que tenemos una serie de 30
datos en STAT FIT tal como
nos muestran las gráficas de
la derecha.
 Una vez introducidos los
datos, es posible realizar
varias acciones con ellos,
como graficas y estadísticas
descriptivas
 Adicionalmente, es posible
ejecutar un comando llamado
AUTOFIT que mediante
diferentes técnicas puede
establecer las diferentes
distribuciones de probabilidad
asociadas a la serie

 Ahora aplicamos el AUTOFIT para determinar cuál es la distribución
que mejor describe estos datos.
 Le decimos al programa que sin límite o no acotado (es mejor no
acotar el límite, es decir Unbounded)

 Lo que nos da como
resultado un ajuste en tres
diferentes distribuciones,
todas en este caso válidas.
 Seleccionando una o
varias de ellas, nos
muestra el histograma que
describe la serie y sobre el
mismo ubica la función de
densidad de la distribución
sugerida (muy ajustada en
algunos casos como
muestra la gráfica)

 Adicionalmente, es posible verificar las pruebas de bondad de ajuste
de cada una de las distribuciones analizadas (Chi Cuadrada, Anderson
Darling y Kolmogorov Smirnov por lo general).

 Finalmente, es necesario exportar la distribución seleccionada en el
mismo formato que el programa destino, en este caso Promodel.
 Para hacer esto simplemente vamos a Export > Export Fit y luego le
indicamos la distribución que vamos a exportar y en el combo
desplegable izquierdo (Aplicación) seleccionamos PROMODEL.
 Lo que nos arroja finalmente una distribución resultante en formato
PROMODEL de:
Normal: N(9.87, 4.52) Lognormal: -1920+L(1939, 4.538) Uniforme: U(8.81, 10.2)

Simulación
5. Introducción a la teoría de
Colas

Definición e historia
 Una cola es una línea de espera de cualquier clase de recurso
(personas, materiales, documentos, etc.)
 La teoría de colas es el conjunto de modelos matemáticos y
computacionales que intentan explicar el comportamiento de las
líneas de espera
 Su precursor fue Erlang (Ingeniero Danés 1978 – 1929), quien en
1909 publicó su primer trabajo sobre la modelación de las esperas y
su dimensionamiento en la empresa de teléfonos de Copenhague
 Con el tiempo sus teorías fueron ampliamente aceptadas y
aplicadas a muchos otros campos, incluso hoy en día.
 Hay muchos otros padres y aportes posteriores (Chebyshov ,
Markov, Kendall, Little, entre otros)
 Las colas son una aplicación particular de los procesos estocásticos

Proceso de nacimiento y
muerte
 Esquema básico para modelación de colas (cambios en tamaño de
población)
 Nacimiento: llegada de un nuevo cliente al sistema
 Muerte: salida de un cliente servido
 N(t): número de clientes que hay en el sistema en un momento t
 El proceso de nacimiento y muerte describe en términos
probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t
 Suposiciones:
 Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el
próximo nacimiento es exponencial con parámetro
 Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la
próxima muerte (terminación) es exponencial con parámetro
 n solo puede saltar 1 estado a la vez
 Diagrama de tasas:

m

Proceso de nacimiento y
muerte
 Principio clave (ecuación de balance):
 Tasa media de entrada = Tasa media de salida
 Estado 0:
 Estado 1:
 Generalizando:
0 1 2 1
n=01 2 3
...
, 1
...
n
n n
n
p p
   
m m m m


 
0 1
0
0 1
0
2
1
1m
0 0
1 1 0 0 1
1
P
P P P

m 
m
  
1m
2m
 
 
0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
2 0 0 2
2 2 1 2 2 0 1
P P P P P P P
P P P P
P P P P
 m  m m  m 
 m     m   
m m m m m m m
      
 
     

Componentes de una Cola
 Definiciones
 N(t): Número de clientes en el estado t
 r : Tasa de utilización (debe ser menor a 1 para que el sistema sea
estable)
 Pn(t): Probabilidad de hallar n clientes en el sistema en el instante t
 S: Número de servidores
 Número de clientes por unidad de tiempo (tasa de llegada)
 L: Número esperado de clientes en el sistema
 Lq: Número esperado de clientes en la cola
 W: Tiempo de espera en el sistema (cola y servicio) para cada cliente
 Tasa media de servicio (número esperado de clientes que completan
su servicio por unidad de tiempo)
 Wq: Tiempo esperado en la cola para cada cliente
 Abandono e Impaciencia
Fuente de
entrada
Cola Proceso
o servicio
Salida

m

Notación y Disciplina
 Notación: A/B/C/D/E
 A: Distribución de tiempos de llegada
 B: Distribución de tiempos de salida
 C: Número de servidores
 D: Capacidad del sistema
 E: Disciplina de la cola
 Disciplinas
 FIFO: Primero en llegar, primero en servirse
 LIFO: Último en llegar, primero en servirse
 SIFO: Se atiende primero las tareas que demandan menor
servicio
 RR (Round Robin): Se reparte el tie po del recurso equivalente
entre todas las tareas pendientes

Cola M | M | 1
 Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo
servidor, La disciplina será FIFO
 Las llegadas se producen según un proceso de Poisson
de razón , donde  es el número medio de llegadas por
unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre
llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán
exponencialmente, Exp()
 Los tiempos entre servicios también se distribuirán
exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el
número medio de clientes que el servidor es capaz de
atender por unidad de tiempo y 1/m es el tiempo medio
de servicio

Condición de no saturación
 Se demuestra que si m, el sistema se satura,
es decir, el número de clientes en la cola crece
indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,
la condición de no saturación será:
m

rr  donde,1
 Cuando una cola no se satura, también se dice
que alcanza el estado estacionario,

Probabilidades
 El parámetro r se llama carga, flujo o
intensidad de tráfico del sistema, puesto que
mide la relación entre la cantidad de trabajos
que llegan y la capacidad de procesarlos
 Suponiendo que el sistema no se satura, se
deduce la siguiente fórmula para las
probabilidades pn de que haya n clientes en
el sistema, donde nN:
 rr  1n
np

Medidas de rendimiento
 El número medio de clientes en el sistema, L, se
calcula así:
   







000
11
j
j
j
j
j
j jjpjL rrrr
Sumamos la serie aritmético-geométrica:
...432 432
 rrrrS
...32 432
 rrrrS
 
r
r
rrrrr


1
...1 432
S
 
  r
r
r
r
r




11
1 2
L

 La utilización del servidor, notada U, es la fracción de
tiempo (en tanto por uno) que el servidor permanece
ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no
hay saturación, el número medio de clientes que entran
en el sistema debe ser igual al número medio de
clientes que salen de él:
r
m

m  UU
 Como para deducir la anterior fórmula no hemos
usado ninguna característica especial del modelo
de entrada ni del de salida, dicha fórmula es
válida para colas G | G | 1

 El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que
un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que
un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que
hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio
que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo
medio de servicio, Por lo tanto:
 
mmmmm
1111
1
000
 






L
ppjpjW j
j
j
j
j
j
Tiempo que se pasa
en el sistema si
hay j por delante
al llegar
Probabilidad de que
haya j por delante
al llegar

 Podemos simplificar algo más:
mmm 

11L
W
 El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallará
restando a W el tiempo que tarda en ser servido el
trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola):
m
1
WWq
 En el caso particular de una cola M | M | 1,
obtenemos:
m
r

qW

Ejemplo
 Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora
a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las
da un dependiente pagado con $5/hora y que tarda
como media 5 min en servir, Cada hora que tiene
que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta
al taller $10, Queremos saber si merece la pena
contratar a un ayudante del dependiente, pagado
con $4/hora, de forma que el tiempo medio de
servicio se reduzca a 4 min
 Nota: Al resolver un problema de colas, tener
siempre muy presente la coherencia de unidades

Ejemplo
 Tenemos dos opciones:
 Sin ayudante: 1/m1 = 5 min = 1/12 h
 Con ayudante: 1/m2 = 4 min = 1/15 h
 En ambos casos,  = 10 clientes/h
 Opción 1 (sin ayudante):
mecánicos5
12
10
1
12
10
1
;
12
10
1
1
11 




r
r
r L
Por tanto, perdemos 5·($10/h) = $50/h

Ejemplo
 Opción 2 (con ayudante):
mecánicos2
15
10
1
15
10
1
;
15
10
1
1
12 




r
r
r L
Por tanto, perdemos 2·($10/h) = $20/h debido a
la espera de los mecánicos, Pero también
perdemos $4/h debido al sueldo del ayudante,
Por tanto, las pérdidas totales son $24/h
 En la opción 1 perdemos $50/h y en la opción
2 perdemos $24/h, con lo cual la más
ventajosa es la opción 2.

Cola M | M | s
 Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y s
servidores, La disciplina será FIFO
 Las llegadas se producen según un proceso de
Poisson de razón , donde  es el número medio de
llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo
medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se
distribuirán exponencialmente, Exp()
 Los tiempos de servicio también se distribuirán
exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es
el número medio de clientes que cada servidor es
capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el
tiempo medio de servicio

 Se demuestra que si sm, el sistema se satura,
es decir, el número de clientes en la cola crece
indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,
la condición de no saturación será:
1, donde
s

r r
m
 
 Nosotros sólo estudiaremos las colas que no
se saturan, Cuando una cola no se satura,
también se dice que alcanza el estado
estacionario,

Probabilidades
 Suponiendo que el sistema no se satura, se
deducen las siguientes fórmulas para las
probabilidades pn de que haya n clientes en el
sistema, donde nN:
 
 
1
1
0
0! 1 !
ns s s
n
ss
p
s n
rr
r



 
  
 
 

 
0
0
, si 0,1,...,
!
, en otro caso
!
n
n
s n
s
p n s
np
s
p
s
r
r

 

 



 Número medio de clientes en cola:
 
1
0
2
! 1
s s
q
s p
L
s
r
r



 Usamos razonamientos ya vistos para
obtener:
m
1
 qWW
qq WL  WL 

Otras medidas de rendimiento
 Número medio de servidores ocupados, C, En
el estado estacionario, la razón de las salidas
será igual a la razón de las llegadas:
c c s

m  r
m
   
 Probabilidad de que un trabajo tenga que
esperar para recibir su servicio (fórmula de
retraso de Erlang):
 
0
! 1
s s
s p
q
s
r
r



Ejemplos
 Ejemplo: Usando L como medida de
rendimiento, comparar estas dos alternativas:
m 
m/2
m/2
Alternativa 1: Alternativa 2:

Ejemplos
 Alternativa 1:
r
r


1
1L
 Alternativa 2:
r
m

m

r 
2
2
2
 
 
1
12
0
22
02
!
2
1!2
2













 n
n
n
p
r
r
r

Ejemplos
   
12212
02
12
44224
21
12
4


















r
rrrr
r
r
r
p
  r
r
r
r












1
1
12
22
1
02p
r
m

 m
2
21
22
2
222 





 qqq WWWWL
 
 
   
r
rr
rr
r
r
r
r 2
11
12
2
12
4
2 2
3
2
02
3
22 





p
LL q

Ejemplos
        rr
r
rr
rrr
r
rr
r







11
2
11
222
2
11
2 333
2L
   rr
r
rr
r
r
r













 1
2
10
111
2
1
 Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de
cumplirse que L1<L2:
121  rr
 Como r<1 siempre se cumple, tendremos
que la alternativa 1 siempre es mejor, Es
decir, no conviene dividir la capacidad de
procesamiento en dos servidores

Ejemplos
 Ejemplo: Usando el número medio de clientes en el
sistema como medida de rendimiento, comparar
estas dos alternativas:
m/2/2

m/2
m/2
Alternativa 2:Alternativa 1:
m/2/2

Ejemplos
 Alternativa 1 (nótese que hay 2 colas):
m

r
r
r
r
r




 donde,
1
2
1
2
1
1
1L
 Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo
anterior):
r
m

m

r 
2
2
2
  rr
r


11
2
2L

Ejemplos
   rr
r
rr
r
r
r













 1
1
10
1
2
11
2
1
2
 Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de
cumplirse que L1>L2:
011  rr
 Como r>0 siempre se cumple, tendremos
que la alternativa 2 siempre es mejor, Es
decir, no conviene poner dos colas, sino
tener una única cola global

Ejemplos
 Ejemplo: En una copiadora se dispone de 3
máquinas fotocopiadoras a disposición del público,
Cada máquina es capaz de servir, por término
medio, 8 trabajos cada hora, A la copiadora llegan
como promedio 5 clientes a la hora,
 Parámetros del sistema:  = 5 clientes/h, m = 8
clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura
porque r<1,
5 5
3·8 24s

r
m
  

Ejemplos
 ¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas
estén libres a la vez?
 
 
 
 
1 1
3 31 2
0
0 0
33
! 1 ! 3! 1 !
n ns s s
n n
ss
p
s n n
r rr r
r r
 

 
   
       
    
   
 
 
      0,5342706
569
304
128
25
8
5
1
2432
125
!2
3
!1
3
!0
3
1!3
3
11
21033


















rrr
r
r
   
3 41 304
0 569
2 2
3 302
0,00722643 clientes
41791! 1 3! 1
s s
q
s p
L
s
rr
r r

   
 
 ¿Cuál es el número medio de clientes en la
cola?

Ejemplos
 ¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?
h00144529,0
35979
52
41791·5
302


q
q
L
W
 ¿Cuál es el tiempo medio de espera en el
sistema?
h126445,0
4065
514
8
1
35979
521

mqWW
 ¿Cuál es el número medio de clientes en el
sistema?
clientes0.632226
813
514
4065
514
·5  WL 

Resumen de ecuaciones de
Little
 M/M/1  M/M/S
0 1P

m
 
1
W
m 


1
n
nP
 
m m
   
    
     qW

m m 


L

m 



r
m

 
2
qL

m m 


 M/M/1/n
 
0 1
1
1
M
P
 m
 m



  1 M
L
W
P


1
qW W
m
  0 ,
n
nP P n M m 
  
 
1
1
1
1 1
M
M
M
L
 m m
 m  m



 
 
 1 M
q
P
L L

m

 
0
1
0
1
1 1
! !
sn s
n
P
s
n s s
  m
m m m 
 


      
            

0
0
1
!
1
!
n
n s
n n
P n s
s s
P
P n s
n

m

m

  
  
  
 
 
 
 
 
   
02
1 !
s
L P
s s
m  m 
mm 
 
 
L
W

 qL L

m
 
1
qW W
m
 

Simulación
6. Colas en serie y teoría de
Redes

Redes de colas
 Una red de colas es un sistema donde
existen varias colas y los trabajos van
fluyendo de una cola a otra
 Ejemplos:
 Fabricación (trabajos=artículos)
 Oficinas (trabajos=documentos)
 Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes)
 Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)

Enrutado de trabajos
 Criterios para decidir a qué cola se dirige un
trabajo que acaba de salir de otra:
 Probabilístico: se elige una ruta u otra en función
de una probabilidad (puede haber distintos tipos
de trabajos, cada uno con sus probabilidades)
 Determinista: cada clase de trabajo se dirige a
una cola fija

Tipos de redes de colas
 Se distinguen dos tipos de redes de colas:
 Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un
momento dado, y tras pasar por una o más colas,
sale del sistema, Dos subtipos:
 Acíclicas: Un trabajo nunca puede volver a la misma
cola (no existen ciclos)
 Cíclicas: Hay bucles en la red
 Cerradas: Los trabajos ni entran ni salen del
sistema, Por lo tanto permanecen circulando por
el interior del sistema indefinidamente,
Usualmente existe un número fijo de trabajos,

Redes de Jackson abiertas
 Una red de colas abierta se dice que es de Jackson
si:
 Sólo hay una clase de trabajos
 Los enrutados son probabilísticos, donde rij  0 es la
probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del
nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar
del sistema después de haber salido del nodo i, donde ri0 =
1– ∑jrij
 Cada nodo i es una cola .|M|ci
 La tasa de llegadas externas al nodo i se notará i
 El número total de nodos de la red se notará K

Ecuaciones de equilibrio
 Dado que el flujo total de entrada a un nodo
debe ser igual al flujo total de salida del
nodo, tendremos que:
 
1
, 1,...,
K
i i j ji
j
r i K

      
 Las K ecuaciones anteriores forman un
sistema lineal con solución única, que
resolveremos para hallar las tasas de
llegada a cada nodo i

 Para que ninguna de las colas del sistema se
sature, es preciso que se cumpla la siguiente
condición:
 
ii
i
ii
c
dondeKi
m

rr  ,1,,...,2,1
 Nota: Se trata de la condición de no
saturación del modelo M|M|c, aplicada a
cada uno de los nodos por separado

Teorema de Jackson para
redes abiertas
 Teorema: Sea una red de Jackson abierta que
cumple la condición de no saturación, Entonces en
el estado estacionario, la distribución del número de
clientes en cada nodo es la que sigue:
1
1
( ) ( ), , , 0
K
i i K
i
p p n n n

  n
donde pi(ni) es la probabilidad de que haya ni
clientes en el nodo i, calculada según las
ecuaciones del modelo M|M|c

Consecuencias del teorema
 Corolario: Las medidas de rendimiento para
cada nodo se calculan según las ecuaciones
del modelo M|M|s, Además se tendrán las
siguientes medidas:
 Tasa global de salidas del sistema (throughput),
que es el número medio de trabajos que salen del
sistema por unidad de tiempo, Coincide con el
número de trabajos que entran en el sistema:



K
i
ired
1


 Número medio de trabajos en el sistema, Lred,
que es la suma de los número medios de
trabajos en cada uno de los nodos:



K
i
ired LL
1
 Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el
tiempo medio que pasa una tarea desde que
entra en la red hasta que sale de ella:
red
red
red
L
W



 Razón de visitas al nodo i, Vi, que es el número
medio de veces que un trabajo visita el nodo i
desde que entra en la red hasta que sale:
 
red
i
iVKi


 ,,...,2,1
Nota: en una red acíclica habrá de cumplirse que
Vi1 i{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitará
cada nodo a lo sumo una vez

Ejemplo (red acíclica)
11,5 2
3
60,5
4
5
 2 1,2,..,6i im   

 En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4;
6=0,5; r65=1; con lo cual la solución es:
1 2 31,5; 0,3; 1,2;     
4 5 60,72; 0,98; 0,5     
 Ecuaciones de equilibrio:
1 1 2 1 12 3 1 13; ; ;r r        
4 3 34 5 3 35 6 65 6 6; ;r r r         

 Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo
M|M|1):
1 2 33; 0,1764; 1,5;L L L  
4 5 60,5625; 0,9607; 0,3333L L L  
 Condición de no saturación (se cumple porque ri<1):
i
i
i

r  
m
1 2 30,75; 0,15; 0,6;r  r  r 
4 5 60,36; 0,49; 0,25r  r  r 



i
i
iL
r
r
1




ii
iW
m
1
1 2 32; 0,5882; 1,25;W W W  
4 5 60,78125; 0,9803; 0,6666W W W  

i
iqi WW
m
1
1 2 31,5; 0,0882; 0,75;q q qW W W  
4 5 60,28125; 0,4803; 0,1666q q qW W W  

Red abierta cíclica
10,2 2
3
4
5
0,8
0,6
 
 
3 1,2,4
4 3,5
i
i
i
i
m
m
  
  

Ejemplo (red cíclica)
 En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6;
r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solución es:
1 2 30,2; 0,06; 2,0434;     
4 50,2043; 1,8391   
1 1 2 1 12 3 3 1 13 5 53; ; ;r r r            
4 3 34 5 3 35;r r     

 Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo
M|M|1):
1 2 30,0714; 0,0204; 1,0443;L L L  
4 50,0731; 0,8511L L 
 Condición de no saturación (se cumple porque ri<1):
i
i
i

r  
m
1 2 30,0666; 0,02; 0,5108;r  r  r 
4 50,0681; 0,4597r  r 



i
i
iL
r
r
1




ii
iW
m
1
1 2 30,3571; 0,3401; 0,5111;W W W  
4 50,3576; 0,4627W W 

i
iqi WW
m
1
1 2 30,0238; 0,0068; 0,2611;q q qW W W  
4 50,0243; 0,2127q qW W 

Redes de Jackson cerradas
 Una red de colas cerrada se dice que es de
Jackson sii:
 Sólo hay una clase de trabajos
 Los enrutados son probabilísticos, donde rij  0 es la
probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del
nodo i,
 Cada nodo i es una cola .|M|ci
 Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema
 El número total de nodos de la red se notará K

Ecuaciones de equilibrio
 Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe
ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos
que:
 * *
1
, 1,...,
K
i j ji
j
r i K

    
 Las K ecuaciones anteriores forman un sistema
lineal indeterminado con un grado de libertad,
que resolveremos para hallar las tasas de
llegada relativas a cada nodo i*, Para ello
fijaremos un valor positivo arbitrario para una
incógnita, por ejemplo 1*=1

Análisis del valor medio
 Hallaremos las siguientes medidas de
rendimiento para M tareas en el sistema:
 Li(M)=Número medio de tareas en el nodo i
 Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el
nodo i cada vez que lo visita
 i(M)=Tasa real de salidas del nodo i
 Se trata de un algoritmo iterativo que va
calculando Li(m), Wi(m) para valores
crecientes de m a partir de m=0

Análisis del valor medio
 Las ecuaciones son:
   
   
*
*
1
( 1)1
( ) , 1,..., 1,...,
( )
( ) , 1,..., 1,...,
( )
j
j
j j j
j j
j K
i ii
L m
W m j K m M
c
W m
L m m j K m M
W m

     
m m

    

 (0) 0, 1,...,jL j K  
   
( )
( ) , 1,..., 1,...,
( )
j
j
j
L m
m j K m M
W m
     

Red cerrada
1
2
4
3
1
1
 5 1,2,..,6i im   

Ejemplo (red cerrada)
 En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con
lo cual la solución es, tomando 1*=1:
* *
1 21; 0,3;   
* *
3 40,3; 0,7   
* * * * *
1 3 31 4 41 2 1 12; ;r r r       
* * * *
3 2 23 4 1 14;r r     

 
1 ( 1)
( ) , 1,...,4
5
j
j
L m
W m j
 
  
1
1
1 2 3 4
( )
( )
( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )
W m
L m m
W m W m W m W m

     
2
2
1 2 3 4
0,3 ( )
( )
( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )
W m
L m m
W m W m W m W m


     
3
3
1 2 3 4
0,3 ( )
( )
( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )
W m
L m m
W m W m W m W m


     
4
4
1 2 3 4
0,7 ( )
( )
( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )
W m
L m m
W m W m W m W m


     

 Primera iteración:
 (0) 0, 1,...,4jL j     
1 (0)
(1) 0,2 1,...,4
5
j
j
L
W j

   
1
0,2
(1) 1 0,4347
2,3 0,2
L   

2
0,3 0,2
(1) 1 0,1304
2,3 0,2
L

  

4
0,7 0,2
(1) 1 0,3043
2,3 0,2
L

  

3
0,3 0,2
(1) 1 0,1304
2,3 0,2
L

  


m W1(m) W1(m) W1(m) W1(m) L1(m) L2(m) L3(m) L4(m)
0 -- -- -- -- 0 0 0 0
1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,4348 0,1304 0,1304 0,3043
2 0,2870 0,2261 0,2261 0,2609 0,9483 0,2241 0,2241 0,6034
3 0,3897 0,2448 0,2448 0,3207 1,5360 0,2895 0,2895 0,8849
4 0,5072 0,2579 0,2579 0,3770 2,1913 0,3343 0,3343 1,1401
5 0,6383 0,2669 0,2669 0,4280 2,9065 0,3646 0,3646 1,3644
6 0,7813 0,2729 0,2729 0,4729 3,6737 0,3850 0,3850 1,5564
7 0,9347 0,2770 0,2770 0,5113 4,4852 0,3987 0,3987 1,7173

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
m
L
Cola 1
Colas 2 y 3
Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
m
W
Cola 1
Colas 2 y 3
Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Utilizaci
ón del
servido
r (%)
U=/m=
L/(Wm)
m
Cola 1
Cola 4
Colas 2 y 3

Cuellos de botella
 Un cuello de botella en un sistema de colas es un
nodo cuya capacidad de procesamiento determina
el rendimiento de todo el sistema
 Definición: Sea una red de Jackson cerrada.
Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii
Lj(m) cuando m
 En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de
botella. Trabaja al límite de su capacidad mientras
que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para
mejorar el rendimiento global del sistema habría que
aumentar la capacidad de procesamiento del nodo
1

Simulación
7. Revisión de diferentes
programas especializados para
simulación

Introducción
 Los precursores de la simulación fueron Von Newmann y
Morgenstern quienes idearon el método de Montecarlo en la década
de los 40’s (padres también de la teoría de juegos)
 Poco tiempo después se desarrolló el primer modelo de simulación
durante el programa Manhattan en la segunda guerra mundial. Este
desarrollo apoyado en los nacientes procesadores, fue el primer
programa de simulación que existió.
 Algunos aportes se hicieron en forma posterior, sin embargo, en la
década de los 70’s se dio nuevamente el boom de estos programas
gracias a los desarrollos en bases de datos que permitieron integrar
los ordenadores a procesos productivos.
 En los años posteriores fueron surgiendo programas más
especializados hasta llegar a los muy avanzados que tenemos hoy
en día.

Qué hay de nuevo en la tecnología de
simulación?
 Hoy en día los programas de simulación son más que emuladores de
variables aleatorias en procesos
 Más allá de esto, existen una serie de características que buscan
ofrecer soluciones especializadas en entornos más amigables al
usuario, fáciles de usar y flexibles para trabajar.
 Entre las principales características encontramos:
 Animación en 2 y 3 dimensiones
 Imágenes ultra realísticas (adición de diseños CAD)
 Integración con lenguajes y sistemas populares como: C#, C++, VB,
Access, VBA, Excel, Visio
 Herramientas de Optimización (OptQuest)
 Reportes de resultados automáticos y/o personalizados
 Integración con sistemas de análisis de datos (Stat::Fit, ExpertFit)
 Paquetes de modelos especializados

Software de Simulación más
conocidos
A continuación haremos un recorrido por los sistemas más
populares para simulación a nivel mundial, indicando algo
de historia y sus características más importantes.
Evaluaremos:
 Analytica
 AnyLogic (simulación de sistemas dinámicos)
 Arena
 AutoMod
 Flexsim
 GoldSim
 MicroSaint
 Promodel
 Simul8
 Vensim (simulación de sistemas dinámicos)
 Witness

Analytica
 Propiedad de Lumina Decision
Systems Inc., compañía de origen
Norteamericano, fundada en 1991
 Modelación en 2D
 Integración con Excel y Access
 Aplicaciones principales:
 Aeroespacial
 Construcción
 Modelación Financiera
 Riesgo Financiero
 Procesos y Manufactura
 Precios
 Edición Profesional: US $1.295
 Optimizador: US $2.995
 Reproductor: US $500
http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm

AnyLogic
 Propiedad de XJ Technologies,
compañía de origen Ruso, fundada
en 1992
 Educación
 Sistemas Complejos
 Militar
 Redes y Comunicaciones
 Cadena de suministros y Transporte
 Precios
 V6 Edición Avanzada: 4.800 EUR +
1.200 EUR con OPT Quest
 V6 Edición Profesional: 12.000 EUR
http://www.xjtek.com/anylogic/

Arena
 Propiedad de Rockwell Automation,
compañía de origen Norteamericano,
fundada en 1983.
 Modelación en 2D (post-animación en
3D)
 Fácil utilización
 Integración con VB
 Servicios
 Militar
 Cadena de suministros
 Comparación de escenarios
 Precios
 Básico: US $795
 OptQuest: US $ 995
http://www.arenasimulation.com/

AutoMod
 Propiedad de Applied Materials Inc.,
fundada en 1967.
 Modelación en 3D, ultra realista
 Requiere nivel avanzado de programación
 Lenguaje propio, orientado a objetos
 Módulos de manufactura especializados:
 Salud
 Manufactura
 Cadena de suministros y Transporte
 Aeroespacial
 Precios
 Versiones desde US $20.000 hasta US
$40.000
http://www.automod.com/

FlexSim
 Propiedad de Flexsim Software
Products Inc., compañía de origen
Norteamericano, fundada en 1993.
 Fácil Utilización
 Es tal vez el software más popular en
simulación 3D
 Permite incluir objetos CAD
 Integración con C++, Access y Excel
 Módulos de manufactura
especializados
 Manufactura
 Precios
 US $19.500
http://www.flexsim.com/

GoldSim
 Propiedad de Golder Associates,
compañía de origen
Norteamericano, fundada en
1990
 Medio Ambiente
 Modelación financiera y de negocios
 Procesos industriales
 Sistemas dinámicos
 Precios
 GoldSim Pro: US $3.950
http://www.xjtek.com/anylogic/

MicroSaint
 Propiedad de Alion MA&D Operation,
fundada en 1984
 Modelación en 2D (tiene una leve
integración con 3D)
 Integración con Visio
 Reportes configurables por el usuario
 Medio Ambiente
 Precios
 Modelador Básico US $4.995
 Avanzado (Incluye animación en 2D y
OptQuest): US $8.995
http://www.maad.com/index.pl/micro_saint

ProModel
 Propiedad de Promodel Corporation,
fundada en 1988
 Software de propósito general
3D)
 Programas especializados
 ProcessModel (integración con VISIO)
 MedModel
 ServiceModel
 Servicios
 Precios
 US $3.500
 Stat::Fit US $245
http://www.promodel.com

Simul8
 Propiedad de Simul8 Corporation,
fundada en 1994.
 Fácil Utilización
3D)
 Integración con C++, VB, Access y Excel
 Manufactura
 Simulación de escenarios
 Precios
 Standard: US $1.495
 Profesional: US $4.995
 Stat::Fit US $245
 OptQuest: US $495
http://www.simul8.com/

Vensim
 Propiedad de Ventana Systems
Inc., compañía de origen
Norteamericano, fundada en 1985
 Modelación de sistemas dinámicos
(cadenas de abastecimiento, modelación
financiera, modelos de crecimiento,
económicos, sociales, etc.)
 Precios
 DSS: US $1.995
 Profesional: US $1.195
 PLE: gratis
http://www.vensim.com/

Witness
 Propiedad de Laner, compañía de
origen Británico, fundada en 1978
 Diseños Optimizados
 Integración con Visio
 Reportes configurables por el
usuario
 Medio Ambiente
 Precios
http://www.lanner.com/corporate/technology/witne
ss.htm

Conclusiones
 En la literatura revisada se encontraron 57 diferentes programas de
simulación, se destacaron los 11 aquí revisados.
 Todos cuentan con múltiples características como simulación discreta y
continua, sistemas dinámicos, modelación en 2 y 3 dimensiones,
integración con otros sistemas, etc.
 Así mismo se identifican diferentes campos de aplicación, la elección del
programa depende básicamente de este parámetro y el costo.
 Arena es el software de simulación más difundido a nivel mundial, por su
bajo costo y su amplio soporte en muchos países.
 En segundo lugar se encuentra Promodel, tiene una mayor difusión en
ámbitos académicos ya que está enfocado a propósito general (abarca casi
todos los campos), no obstante no permite una gran especialización y
modelación de sistemas complejos.
 Existen otros programas más especializados como Flexsim, Witness y
Automod, pero por su alto costo solo se utiliza en empresas con
departamentos dedicados al campo de la simulación

Simulación
8. Introducción a la Simulación
con Promodel

Definiciones para un modelo
de simulación
 Locaciones (Locations): Lugares donde ocurrirán los eventos
del proceso
 Entidades (Entities): Objetos o personas que se mueven en el
modelo (elementos, máquinas, materiales y clientes)
 Recursos (Resources): Elementos limitados que utilizamos en
el sistema. Por lo general implican costos.
 Redes (Path Networks): Posibles recorridos de una entidad ó
recurso
 Procesos (Processing): Iteraciones de los recursos y las
entidades en las locaciones
 Llegadas (Arrivals): Entradas al sistema
 Turnos y horarios (Shifts)
 Atributos (Atributes): Variables asociadas a una entidad o
locación

Ejemplos de las definiciones
Locaciones Entidades Recursos
Banco Fila, Cajero, Asesores
Clientes, Recibos de
consignación, Formatos
de nuevas cuentas
Cajeros,
Computadores
Cafetería Fila, Caja Clientes, Facturas
Personas que
dispensan, harina
empleada, vasos de
refresco
Fábrica de Zapatos
Filas, Centros de proceso
(corte del cuero, pintura,
confección, pegado, control
de calidad, etc)
Cuero, Cajas de cartón,
insumos en general
Mano de obra, Cuero,
Cordones, Zuelas
Central de acopio
logística
Recepción de mercancía,
Filas, Alistamiento,
Empaque, Despacho, etc.
Productos, Cajas,
Camiones, Listados de
Alistamiento, Etiquetas
Mano de obra,
Impresoras, Máquinas
de empaque

Conceptos básicos
 Identificar distribuciones de entrada a través
de StatFit
 DTS
 Creación de variables globales
 Recursos y rutas
 Turnos

Ejemplo centro de copiado (DTS)
Un Juzgado tiene a su disposición un centro de copiado el cuál posee 5 máquinas fotocopiadoras
las cuales procesan tanto documentos carta como oficio. La máquina 1 no tiene períodos
muertos, pero debe ajustarse durante 1 minuto cada que cambia de tamaños carta a Oficio. La
máquina 2 debe parar por 20 minutos cada que ha procesado 300 copias o corre el riesgo de
fundirse. La máquina 3 debe parar durante 10 minutos cada 2 horas de trabajo para enfriar sus
mecanismos internos. La máquina 4 debe cambiar los rodillos cada 200 copias, operación que le
toma 7 minutos. La quinta máquina no requiere preparación alguna ni mantenimientos durante la
operación. Cada paquete de copias llega en grupos de 5 hojas y sus tiempos de llegada en el día
están dados por la siguiente tabla:
El proceso de copiado toma en promedio 2 minutos por cada paquete pues requiere quitar y
poner ganchos de cosedora en cada paquete. Al salir de la copiadora se ponen en una banda
final que los lleva hasta un almacén transitorio donde cada paquete dura en promedio 10 minutos.
Cuál máquina de las cuatro primeras es más eficiente?
Hora del día
Paquetes recibidos de
tamaño Carta
Paquetes recibidos de
tamaño Oficio
1 5 10
2 10 12
3 2 8
4 5 6
5 2 4
6 10 9
7 5 15
8 8 4

Ejercicio DTS y Recursos
 Centro de diagnostico automotriz: Un taller
especializado recibe automóviles y camiones
para revisiones y mantenimiento general.
Este taller cuenta solamente con tres
estaciones de trabajo, una de lavado, a
continuaicón una alineación y balanceo, una
de cambio de aceite y una de

Ejemplo carpintería El Roble
La carpintería El Roble, procesa madera de la siguiente manera:
Recibe troncos de madera a razón de 30 T/hora y los ingresa a un control de calidad
inicial. En este se determina si el tronco es válido o no para su procesamiento. La
probabilidad de encontrar un tronco en buen estado es de un 80% y el tiempo de la
inspección es de 1 min por tronco. En caso de no ser apto, pasa a un proceso de
aserrado (conformación de aserrín) en una máquina especial cuyo tiempo de operación
es uniforme con parámetro de 5 minutos. Los troncos aptos pasan a un proceso de corte
donde se cuenta con dos máquinas cortadoras con tiempos de operación que se
distribuyen exponencialmente con parámetro de 8 minutos por máquina. Al salir de este
proceso deben pasar por un proceso de lijado y pulido en una máquina lijadora que tiene
un tiempo de procesamiento distribuido normalmente con media 6 y desviación estándar
3. Finalmente estas piezas pasan a un proceso de pintura con barniz, realizado por dos
operarios de forma artesanal. Estos operarios tienen un tiempo de procesamiento
distribuido Triangularmente con media 4.2, mínimo 1.4 y máximo 12.6. Al finalizar el
proceso las piezas pasan a una bodega de almacenamiento de producto terminado.
El dueño de la carpintería está preocupado por que encuentra que cerca del 50% de la
mercancía ingresada al día no alcanza a ser procesada en un turno normal de 8 horas y
desea saber qué estrategias debería seguir para corregir este problema, minimizando
costos.

Ejemplo red abierta de Jackson y aplicación en
Promodel (Empresa de juguetes Muñequita)
La empresa de juguetes muñequita tiene 4 secciones (A, B, C, D). Los juguetes que
fabrican se pueden clasificar en 5 categorías, con demandas anuales variables:
 Tipo 1: demanda anual de 500 unidades y por sus especificaciones los deben
circular por la sección A, luego la sección B y por último la sección C
 Tipo 2: demanda anual de 3000 unidades y deben circular por ABD
 Tipo 3: demanda anual de 2000 unidades y deben circular por BD
 Tipo 4: demanda anual de 2000 unidades y deben circular por AC
 Tipo 5: demanda anual de 1000 unidades y deben circular por BC
Sabiendo que el ritmo de producción por hora en una máquina de tipo A es de 2
unidades, el de B de 2 unidades, el de C de 4 unidades y el de D de 2 unidades por hora,
con un año de 220 días y 8 horas diarias de trabajo, y asumiendo tiempos exponenciales:
a) Modele el problema definiendo los parámetros básicos para cada sección
b) Defina el número de máquinas indispensables en cada sección
c) Asumiendo que los niveles de inventario se mantendrán en los mínimos
indispensables, Cuál es el tiempo medio esperado de producción de un producto
en el sistema?
d) Si el tiempo medio de entrega de un producto es de 10 días, cuál es el nivel
medio de inventarios en el sistema?

Solución analítica
 Primero definimos los recorridos del
modelo
 ABC ABD AC BD BC
 Ahora establecemos la red del modelo
basado en los recorridos (derecha)
 Calculamos la probabilidad de tránsitos
en la red
 rAB= 3500/5500 = 0.6363
 rAC= 2000/5500 = 0.3636
 rBC= 1500/6500 = 0.2307
 rBD= 5000/6500 = 0.7692
A B
C D
0.63
0.23
0.760.36

 Dado que este modelo plantea años de 220 días con jornadas de 8 horas,
se estima entonces un rango de tiempo total de 1.760 horas
 Tasas de llegada
T1=500/1760 = 0.2840 unidades/hora T2=3000/1760 = 1.7045 unidades/hora
T3=2000/1760 = 1.1363 unidades/hora T4=2000/1760 = 1.1363 unidades/hora
T5=1000/1760 = 0.5681 unidades/hora
 Ecuaciones de equilibrio
  
     
  
1
500 3000 2000 5500
3.125
1760 1760
2000 1000
0.6363 3.125 3.6931
1760
0.3636 3.125 0.2307 3.6931 1.9886
0.7692 3.6931 2.8409
A
B B AB A
C AC A BC B
D BD B
r
r r
r
 
  
  
 
 
   

    
    
  
 
1
, 1,2,...,
K
i i j ji
j
r i K  

   

Condición de NO saturación Medidas de rendimiento
Una vez halladas las tasas, aplicamos
las ecuaciones de un modelo M/M/S
para determinar L, Lq, W y Wq
0
1
0
1
1 1
! !
sn s
n
P
s
n s s
  m
m m m 
 


      
            

 
   
02
1 !
s
L P
s s
m  m 
mm 
 
 
L
W


qL L

m
 
1
qW W
m
 
 
1i
i
i iS

r
m
 
 
 
 
 
3.125
0.78125 2
2
3.6931
0.9232 2
2
1.9881
0.4971 1
4
2.8409
0.7102 2
2
A A
A
B B
B
C C
C
D D
D
S
S
S
S
S
S
S
S
r
r
r
r
  
  
  
  

Resultados de las medidas de rendimiento
Inventario promedio: Dado que las estaciones que se encuentran en la rama final de la
cadena son C y D, es necesario conocer el resultado de producción de estas (tasa de
producción) y basado en esto proyectar 80 horas de procesamiento para establecer el
inventario máximo. El valor medio de esta cifra, será el inventario promedio.
Parámetro A B C D Total
 3.125 3.6931 1.9886 2.8409
m 2 2 4 2
S 2 2 1 2
r 78.13% 92.33% 49.72% 71.02%
L 4.01002506 12.513615 0.98866461 2.86623494 20.3785396
Lq 2.44752506 10.667065 0.49151461 1.44578494 15.0518896
W 1.28320802 3.38837697 0.49716615 1.00891793 6.17766907
Wq 0.78320802 2.88837697 0.24716615 0.50891793 4.42766907
P0 12.28% 3.99% 50.29% 16.94%
   
   
  
r m
r m
  
  
  
 
 
C
D
Producción 0.4971 1 2 0.9943
Producción 0.7102 2 2 2.8409
Producción Total 0.9943 2.8409 3.8352
Inventario 10 días 3.8352 80 306.81
306.81
Inventario Promedio 154 Unidades
2
C C C
D D D
S
S

Solución con Promodel®
 Definimos cuatro estaciones de trabajo, cuatro colas y un almacén.

 Definimos también cinco entidades equivalentes a cada
línea de juguetes
 Estas entidades tendrán una tasa de llegada similar a la
obgenida en la solución analítica

 Para medir el proceso, creamos además una
serie de variables

Entity Location Operation Output Destination Rule Entity Location Operation Output Destination Rule
ALL Cola_A
IF ENTITY()=jA THEN
{ INC ingA
RENAMEAS jA
INC ing_tot }
IF ENTITY()=jB THEN
{ INC ingB
RENAMEAS jB
INC ing_tot }
IF ENTITY()=jD THEN
{ INC ingD
RENAMEAS jD
INC ing_tot}
ALL Estacion_A FIRST 1 ALL Cola_C ALL Estacion_C FIRST 1
jA Cola_B IF ENTITY()=jA, 1 ALL Estacion_C
WAIT E(15)
IF ENTITY()=jA THEN
{ INC procA
INC proc_tot}
IF ENTITY()=jD THEN
{ INC procD
INC proc_tot}
IF ENTITY()=jE THEN
{ INC procE
INC proc_tot }
ALL Almacen FIRST 1
jB Cola_B IF ENTITY()=jB ALL Cola_D ALL Estacion_D FIRST 1
jD Cola_C IF ENTITY()=jD ALL Estacion_D
WAIT E(30)
IF ENTITY()=jB THEN
{ INC procB
INC proc_tot}
IF ENTITY()=jC THEN
{ INC procC
INC proc_tot}
ALL Almacen FIRST 1
ALL Cola_B
IF ENTITY()=jC THEN
{ INC ingC
RENAME AS jC
INC ing_tot }
IF ENTITY()=jE THEN
{ INC ingE
RENAME AS jE
INC ing_tot }
ALL Estacion_B FIRST 1 ALL Almacen
dia=INT(CLOCK( HR)/8)+1
WAIT UNTIL INT(dia/10)=dia/10
ALL EXIT FIRST 1
jA Cola_C IF ENTITY()=jA, 1
jE Cola_C IF ENTITY()=jE
jB Cola_D IF ENTITY()=jB
jC Cola_D IF ENTITY()=jC
ALL Estacion_A WAIT E(30)
ALL Estacion_B WAIT E(30)
Procesamiento
del modelo

 Layout del modelo

 Corremos el modelo por 1760 horas equivalentes a 220
días (1 año)

 Resultados
De esta columna
obtenemos L y el
inventario
promedio
De esta
columna
obtenemos
W

 Inventario promedio: Oscila entre los 150 y 160 unidades, en la
tabla anterior se resalta un valor de 155.04 (aprox 155). El dato
obtenido en forma analítica era de 154 unidades.

 Utilización (Promodel Vs. Analítico)
r  78.12%A
r  92.32%B
r  49.71%C
r  71.02%D
Soluciones obtenidas
en forma analítica

 Se observa la gran precisión y similitud entre los
resultados obtenidos con Promodel y los obtenidos en
forma analítica
 Este ejercicio es una clara muestra de la utilidad de la
simulación por ordenadores para plasmar casos reales
contrastados además por soluciones matemáticas.

Recursos
 Un recurso es aquello que se utiliza para realizar una
operación o transporte dentro del modelo.
 Pueden ser personas, equipos, máquinas, etc., siempre
que estos sean limitados.
 Esto quiere decir además que los recursos pueden tener
un costo asociado
 A diferencia de las locaciones, un recurso se mueve,
toma otros objetos, descansa, tiene turnos de trabajo,
etc.
 Para mover un recurso es necesario asignar una red en
el layout del modelo.

Recursos
 Para crear un recurso, entramos al menú de
construcciones.
 Una vez definido el nombre, cantidad y gráficos,
podemos asignar también una red de
movimientos, lógicas de operación, turnos y
tiempos muertos (Downtimes)

Redes
 Las redes son los recorridos que los recursos pueden
realizar dentro del lay out del modelo.
 Siempre se debe asociar los nodos con las locaciones.

Ejemplo Bodega Televisores
Suponga una bodega en la zona franca donde se almacenan televisores para
ser distribuidos a almacenes de grandes superficies. Diariamente se reciben
camiones con cargas de 20 televisores, el tiempo de llegada entre cada
camión es de 60 minutos distribuidos exponencialmente. Una vez ingresan
pasan por un control de calidad que tarda 1 minuto con distribución
exponencial. El flujo de salida es constante por lo que no existe una demanda
como tal, por ende el único proceso que determina la salida es el de
preparación, donde unos operarios (10) reciben los televisores, verifican el
estado y les agregan en la caja unas instrucciones en español y un folleto de
garantía, lo empacan nuevamente en una caja propia de la compañía. Este
proceso está distribuido normalmente con media de 6 minutos y desviación
estándar de 1 minuto. Luego estos televisores pasan a un muelle de salida
donde varios camiones esperan hasta que se complete un lote de 10 aparatos
y salen con destino a los clientes. El almacén cuenta con 2 montacargas para
realizar estos movimientos, ¿es suficiente para cubrir la, operación? Suponga
que los movimientos del montacargas tienen una duración de 2 min cada uno.

Turnos de trabajo
 Son los horarios de trabajo y descanso
que se asignan únicamente a los
recursos del modelo.
 Para crearlos se ingresa en la ruta que
se muestra a la derecha y su resultado
es algo similar a los cuadros inferiores.
 Cada turno se debe crear por separado.
Turno 1 Turno 2

Ciclos de llegadas
 Esta útil herramienta permite
establecer llegadas al modelo en
distribuciones de tiempo horarias.
 Pueden establecerse en
cantidades fijas o variables
(porcentuales)

Distribuciones personalizadas
 En ocasiones no es posible hallar una
distribución de probabilidad predeterminada
acorde con el proceso modelado.
 En estos casos es recomendable utilizar
una distribución personalizada que permite
asignar resultados enteros o reales a un
porcentaje de ocurrencia.
 Ejemplo, suponga un dado cargado donde
la probabilidad de obtener un número
específico es el doble que la de los otros, en
este caso el número en cuestión tendrá una
probabilidad de 1/3 mientras que los demás
números tendrán una probabilidad de 2/15

Caso Call-Center
 La empresa Call Inc. Tiene una infraestructura que le permite servir
como operador de servicio al cliente para diferentes empresas
mediante líneas 1-800.
 Actualmente cuenta con 2 clientes
 Banco El Porvenir
 Editorial El Buho
 Con ambos tiene contratado el servicio de atención al cliente 24
horas al día, 365 días al año
 Por el tipo de servicio y empresa requiere que los asesores tengan
una capacitación especial (el recurso es exclusivo)

Descripción General del Caso
 Cuenta con 3 turnos de
trabajo (6-14, 14-22, 22-
6)
 En cuanto a su estructura
cuenta con un
coordinador para cada
cliente y 21 asesores.
 La distribución actual de
los asesores está dada
de acuerdo a la tabla
siguiente:

 En cuanto a la distribución de las llamadas en
el día, se reciben cerca de 1000 para el banco
y 200 para la editorial, con diferentes
frecuencias según la hora del día.
 La tabla siguiente contiene una distribución
promedio por cada hora y cliente.
 Las llamadas tienen una duración promedio
de:
 Banco: 5 min
 Editorial: 10 min
Hora Banco Editorial
6 1.00% 0.50%
7 2.00% 0.50%
8 3.00% 1.00%
9 4.00% 1.50%
10 6.50% 2.50%
11 7.00% 4.00%
12 9.00% 10.00%
13 9.50% 10.00%
14 10.00% 11.00%
15 9.00% 13.00%
16 8.00% 12.00%
17 5.50% 9.50%
18 5.00% 9.00%
19 6.00% 8.00%
20 4.50% 2.50%
21 4.00% 2.00%
22 2.00% 1.00%
23 1.50% 0.50%
0 1.00% 0.25%
1 0.50% 0.25%
2 0.25% 0.25%
3 0.25% 0.25%
4 0.25% 0.25%
5 0.25% 0.25%
100.00% 100.00%

 Usted ha sido contratado para establecer cuál debe ser la
distribución adecuada de los turnos de trabajo, optimizando recurso
y garantizando un tiempo de espera no mayor a 10 minutos (en
cola) por llamada (adicional al tiempo de atención).
 Su respuesta debe presentarse simulada y con un soporte de
investigación de operaciones donde se compruebe que la cantidad
de recursos elegidos, es la solución óptima del problema.

Solución Analítica
 Es claro que por el comportamiento de las llamadas en el día no es
posible asociarlas a una distribución de probabilidad que describa
las llegadas.
 Esto hace que el análisis se centre en una mixta, mediante el uso
de la programación lineal y algunos principios de la teoría de colas.

 El planteamiento debe ser entonces hallar una
distribución de turnos tal que la capacidad de atención
por hora sea equivalente a la demanda de llamadas
para una cola con tiempo de espera no superior a 10
minutos, dividiendo el día en varios escenarios, y que la
suma de los recursos no supere la cantidad de recursos
totales.
 Bajo el esquema de teoría de colas (asumiendo un
proceso Poisson), esto querría decir que nuestro
proceso estuviese balanceado bajo la condición de no
saturación:
 
1i
i
i iS

r
m
 

 Hallando entonces el valor máximo de llamadas en cada turno se
puede evaluar esta ecuación para establecer que la cantidad de
recursos necesarios está dada por:
 Esta solución no es factible pues implicaría la contratación de 8
funcionarios más.
 La solución (si la hay) estará dada entonces por un análisis de
máximos en cada hora del día, hallando patrones en rangos de 8
horas que permitan conformar el turno, en las diapositivas
siguientes se encuentra esta solución.
Turno Max(Banco)
Funcionarios
Requeridos B
Max(Editorial)
Funcionarios
Requeridos ED
T1 95 8 20 4
T2 100 9 26 5
T3 20 2 2 1
19 10
Disponibilidad 13 8

TABLA DE TURNOS PARA EL BANCO
Hora
del día
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 Demanda Capacidad % Holgura
6 x 10 12 17%
7 x x x 20 36 44%
8 x x x x 30 48 38%
9 x x x x 40 48 17%
10 x x x x x x 65 72 10%
11 x x x x x x 70 72 3%
12 x x x x x x x x 90 96 6%
13 x x x x x x x x 95 96 1%
14 x x x x x x x x x x 100 120 17%
15 x x x x x x x x 90 96 6%
16 x x x x x x x x 80 96 17%
17 x x x x x x x x 55 96 43%
18 x x x x x x 50 72 31%
19 x x x x x x 60 72 17%
20 x x x x 45 48 6%
21 x x x x 40 48 17%
22 x x 20 24 17%
23 x x 15 24 38%
0 x 10 12 17%
1 x 5 12 58%
2 x 2.5 12 79%
3 x 2.5 12 79%
4 x 2.5 12 79%
5 x 2.5 12 79%
1000
Horas 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

TABLA DE TURNOS PARA LA EDITORIAL
Hora
del día
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 Demanda Capacidad % Holgura
6 x x 1 12 92%
7 x x 1 12 92%
8 x x 2 12 83%
9 x x x 3 18 83%
10 x x x 5 18 72%
11 x x x 8 18 56%
12 x x x x 20 24 17%
13 x x x x x 20 30 33%
14 x x x x x 22 30 27%
15 x x x x x 26 30 13%
16 x x x x x 24 30 20%
17 x x x x 19 24 21%
18 x x x x 18 24 25%
19 x x x x 16 24 33%
20 x x x 5 18 72%
21 x x 4 12 67%
22 x 2 6 67%
23 x 1 6 83%
0 x 0.5 6 92%
1 x 0.5 6 92%
2 x 0.5 6 92%
3 x 0.5 6 92%
4 x 0.5 6 92%
5 x 0.5 6 92%
200
Horas 8 8 8 8 8 8 8 8

 Como se puede observar, en forma analítica se puede hallar una
distribución de turnos tal que permita resolver el problema
aparentemente en forma óptima. Esta solución será llevada a
Promodel para contrastar en una forma más real si es o no viable.
 En las diapositivas siguientes está este desarrollo.

 Par simular este modelo establecemos 3 locaciones:
 Conmutador
 Operador de Banco
 Operador de Editorial
 Los operadores se tomarán como locaciones y no como recursos ya
que para efectos prácticos es más fácil su modelación y asignación
de turnos
 El counter se tomará como una fila de capacidad finita de 100
llamadas, con ruteo por tipo de entidad (banco o editorial)
 Las llamadas serán tomadas como dos tipos de entidad Banco o
Editorial, cada una con su ciclo de llegadas según lo descrito en el
enunciado del ejercicio.
 Se asignan en primera instancia los tres turnos básicos con los que
cuenta el call center
 Finalmente se crean los procesos de atención con demoras de 5 y
10 minutos según el caso.

 El siguiente es el layout del modelo

 Luego de correr el modelo se vuelve a modelar esta vez con los 10
turnos de trabajo hallados en la solución analítica
 El rendimiento del modelo en ambos escenarios será analizado
teniendo en cuenta el tiempo medio de espera y las llegadas
fallidas. Si el número es muy grande, significa que aún no está
balanceado el modelo
 También se incluyeron en el modelo una serie de variables y
archivos externos para poder analizar esta información en Excel.
Turno Hora Funcionarios
Turno 1 6 a 14 B1, E1, E2
Turno 2 14 a 22 B9, B10, B11, E6, E7
Turno 3 22 a 6 B13, E8
Turno 4 7 a 13 B2, B3
Turno 5 8 a 16 B4
Turno 6 9 a 17 E3
Turno 7 10 a 18 B5, B6
Turno 8 12 a 22 B7, B8, E4
Turno 9 14 a 23 E5
Turno 10 16 a 24 B12

 Al correr el modelo con los turnos originales se observan los
siguientes resultados:
 Por otra parte, al correrlo con los 10 turnos hallados en forma
analítica se observan estos resultados:
 No hubo arribos fallidos

Conclusiones sobre las dos
metodologías
 Evidentemente el resultado de la atención mejora
considerablemente dada la distribución de turnos hallada como se
muestra en la tabla siguiente:
 Así mismo el tiempo de espera en el conmutador mejora
sustancialmente al pasar de 31.16 a 0.93 minutos, todo con los
mismos recursos.
 Esto se debe a la optimización de los recursos gracias a la
distribución hallada mediante técnicas heurísticas.
Variable Escenario Original Escenario 10 turnos Mejora
Llamadas Atendidas
Banco 3709 6000 61.77%
Editorial 707 1200 69.73%
Llamadas Fallidas
Banco 2207 0 100.00%
Editorial 493 0 100.00%

Conclusiones sobre las dos
metodologías
 No obstante se observan ciertas horas del día en las que el tiempo
de espera es superior a los 5 minutos.
 Es entonces necesario evaluar la necesidad de inclusión de otros
funcionarios para lograr cumplir el requerimiento de tiempo de 10
minutos.

Tarea
 Halle la cantidad de recursos adicionales y
su distribución de turnos, necesarios para
lograr mantener este parámetro de atención
en 5 minutos y extienda su análisis para la
editorial. Debe lograr este resultado con la
menor cantidad de operadores posibles.

Simulación
9. Modelos Avanzados
con Promodel®
Casos de Producción

Casos de producción
 La simulación es una herramienta básica para la
modelación de procesos de todo tipo.
 En el caso de la producción como ya lo hemos visto, es
una herramienta muy útil para aplicar con poco
esfuerzos mejoras en operaciones para establecer las
mejores soluciones.
 Promodel permite no solo el diseño de la operación sino
también la creación de indicadores a través de variables
y subrutinas, de forma que se evidencie el rendimiento
del procesos y se facilite hallar los puntos críticos a
mejorar.

Casos de producción
 Definiciones
 Throughput (TH): Tasa de producción de piezas por unidad de
tiempo, conocido también como tasa de facturación.
 Work in Process (WIP): Inventario en proceso en el sistema
 Cycle Time (CT): Tiempo que gasta un producto desde que
entra hasta que sale del sistema
 Cuello de Botella (CB): Proceso o serie de ellos que marcan la
pauta de producción pues limitan el Througput del proceso
 Tasa del cuello de botella (rb): Es la tasa (partes por unidad de
tiempo) de la estación con mayor utilización a largo plazo. Su
abreviatura se debe a sus siglas en inglés “Bottleneck Rate”

Caso Industrias ECI*
 La empresa ECI Ltda. Cuenta con un proceso productivo de 9
estaciones (4 almacenes, 4 procesos y 1 pallet de agrupación), con
un flujo de procesos como se muestra en la diapositiva siguiente.
 La fábrica procesa dos tipos de entidades: Piñones y Piezas
 Los tiempos de operación se distribuyen normalmente con los
siguientes parámetros:
 Los almacenes tienen capacidad infinita y las estaciones con
capacidad unitaria
* Modelo tomado de Blanco y Fajardo, Ver Bibliografía
Operación Piñón Pieza
Limpieza N(4, 0.8) N(2, 0.5)
Torno N(6, 1) N(4, 1)
Fresa N(5, 0.4) N(3, 0.6)
Inspección N(2, 0.2) N(6, 0.2)

Caso Industrias ECI
 Las llegadas ocurren de otros procesos anteriores, con un total de
100 veces en un día con una frecuencia de 5 minutos y 7 minutos
para piñones y piezas respectivamente
 La empresa cuenta además con 4 operarios para realizar todos los
movimientos de materiales entre estaciones.
 La empresa desea modelar este proceso para identificar los cuellos
de botella
 Para ello, usted debe hacer uso de sus conocimientos de
simulación y producción para establecer los indicadores ideales
para este proceso

Flujograma de procesos en
empresas ECI
Recepción 1
Limpieza
Recepción 2
Torno
Recepción 3
Recepción 4
Fresa
Inspección
Paletizado
Fresa
Recepción 3
Torno
PiezaPiñón

 Creamos 9 locaciones, de las cuales 4 son estaciones de trabajo, 4
recepciones y 1 pallet donde se realizará el paletizado. Estas
últimas 5 locaciones tienen capacidad infinita, las restantes tienen
capacidad unitaria.
 Se crean dos entidades: Piezas y Piñones
 Se establecen arribos con frecuencia de 5 y 7 minutos con 100
ocurrencias.
 Se parametriza la simulación para correr durante 8 horas
 Se crea 1 recurso con 4 unidades y una red de movimientos
 Se crean 17 variables, 3 atributos y 1 subrutina

 Una vez corrido el modelo, se encuentran los siguientes resultados:
Cuello de botella: Torno
Throughput de
cada entidad
y general
Tiempo de producción
de cada entidad

Cuello de botella

 Evolución del Througput general y de cada entidad en el tiempo.

Caso Integrador
Se tiene una línea de empaque a la que llegan piezas cada 2 minutos con
distribución exponencial. Esta línea cuanta con cinco procesos que se
describen a continuación:
 Recepción de materiales: Cuenta con un espacio ilimitado de almacenamiento. En este
lugar se reciben las piezas que llegan al sistema y luego estas pasan a un proceso de
lavado. El traslado de las piezas de una estación a otra tarda 3 minutos con distribución
exponencial.
 Lavado de la pieza: La lavadora tiene capacidad para limpiar 5 piezas a la vez. El
tiempo de proceso de cada pieza se distribuye normalmente con media de 10 minutos y
desviación estándar de 2 minutos. De aquí pasan a un proceso de pintura, antes del cuál
llegan a un almacén con capacidad para un máximo de 10 piezas. El tiempo de traslado
entre estas estaciones es de 2 minutos con distribución exponencial.
 Pintura: En el área de pintura se tiene capacidad para pintar 2 piezas a la vez. El tiempo
de pintado tiene una distribución triangular de (4, 8, 10) minutos. Posteriormente las
piezas pasan a un horno, el cual cuenta con un almacén que tiene capacidad para 10
piezas. El tiempo de transporte entre estos proceso está uniformemente distribuido con
límite inferior de 2 minutos y superior de 5 minutos.

Caso Integrador
 Horno: En el horno se seca la pintura. El horno sólo puede procesar una pieza a la
vez. La duración de este proceso es de 3±1 minuto. De aquí son transportadas a dos
mesas de inspección visual. No existe un almacén entre el horno y las mesas de
inspección. El tiempo de transporte entre estas estaciones es de 2±1 minuto.
 Inspección: En cada mesa hay un operario que realiza la inspección de 3 elementos
en cada pieza. La revisión de cada elemento tarda 2 minutos con distribución
exponencial. Al finalizar este proceso, las piezas salen del sistema.
Realice lo siguiente
 Simule el sistema por 30 días de 8 horas cada uno (consejo, ejecute primero un
calentamiento antes de cada réplica)
 Ejecute 3 réplicas de la simulación
 Determine en una tabla las utilizaciones de todas las locaciones del modelo

Caso Integrador
Análisis del modelo
Cada una de las siguientes preguntas es independiente y tienen como base el modelo
original. Respóndalas con base en el análisis de sus resultados.
1. Dónde se encuentra el cuello de botella?
2. Si pudiera lograr una mejoría de 10% en el tiempo de proceso de alguna de las
estaciones, ¿en cuál de ellas sería y por qué?
3. ¿Es necesario que alguno de los almacenes sea más grande? ¿Cuál y por qué?
4. ¿Considera necesario colocar un almacén entre el horno y las mesas de inspección?, ¿de
qué capacidad?
5. Cada pieza deja una utilidad de $5 y ninguna de las inversiones debe recuperarse en más
de 3 meses. ¿cuál sería su recomendación si se está analizando la posibilidad de comprar
otro horno con la misma capacidad y que cuesta $100.000?
6. Cuál sería su recomendación si lo que se desea comprar es otra lavadora de la misma
capacidad con un costo de $100.000?
7. Valdría la pena contratar otro operario para la inspección? El costo de esta operación es
de $50.000
8. Con base en su conocimiento del sistema, haga combinaciones de los incisos anteriores y
trate de obtener la mayor cantidad de piezas con el mínimo costo de inversión.

 A continuación el layout del modelo

Tarea
 Desarrolle nuevamente el modelo del caso
integrador incluyendo además el concepto
del Throughput y cuellos de botella, basado
en estos parámetros establezca nuevamente
la o las locaciones que podrían mejorarse en
el modelo.

Modelos de Control de
Inventarios
 A lo largo del siglo XX se hicieron múltiples desarrollos matemáticos
que facilitaran la planeación de inventarios en las empresas.
 Varios autores han realizado valiosos aportes que años después
conformaron todo el compendio de modelos de inventario (Harris, Taft,
Wagner & Whitin, etc.).
 Entre ellos estos métodos encontramos:
 EOQ (con todas sus variaciones y adiciones posteriores)
 Lotes Dinámicos
 Wagner-Whitin
 News Vendor
 Stock Base
 Punto de Re-Orden

Modelos de Planeación de la
producción
 Si bien los modelos de control de inventarios demostraron ser bastante
útiles en la administración de productos con demandas independientes,
no fueron lo suficientemente efectivos en procesos cuyo resultado final
fuese la fabricación o ensamble de artículos.
 En estos modelos, la demanda independiente estaba asociada al
producto terminado, generando así una demanda dependiente a las
partes intermedias, demanda que no puede ser modelada por los
métodos tradicionales.
 Es entonces cuando surge la necesidad de desarrollar nuevos métodos
capaces de responder a estos requerimientos
 Hacia el último tercio del siglo XX, nacen los métodos de planeación de
la producción, desarrollos liderados básicamente por dos diferentes
ideologías, la norteamericana y la japonesa.
 A continuación haremos una breve reseña de los modelos más
importantes de planeación de la producción.

producción
1. MRP (Material Requirements Planning): Desarrollado en la década
de los 60’s por Joseph Orlick, un ingeniero de sistemas que trabajando
para la IBM y basándose en el desarrollo de bases de datos, pudo
retroceder el proceso y los requerimientos de insumos, basado en la
demanda independiente de los productos terminados y la explosión de
materiales (composición del PT). De esta manera logró un sistema de
empuje (tipo PUSH) en el cuál los insumos eran procesados en la
medida que llegaban y posteriormente almacenados temporalmente
hasta lograr el ensamble del producto.
O1
A11 A12 O2
A21 A22
O3
A31 A32

producción
2. JIT (Just In Time): Desarrollado en la década de los 70’s en el
Japón por Taiichi Ohno para Toyota. Este modelo basado en el
consumo de productos en un supermercado, requiere que exista en
cada estación únicamente el material necesario para la exhibición o
en otras palabras, para la producción. Implica entonces la entrega
constante de materiales (arribos) y la utilización de controles para el
movimiento de productos (kanban), de manera que los insumos se
mueven en el proceso en forma de halado (tipo PULL), reduciendo el
nivel de inventarios y su respectivo costo.
O1 O2
A1 O3
A2 A3

producción
3. DRB (Drum-Buffer-Rope): Basado en la teoría de restricciones
(TOC) desarrollada por Eliyahu Goldratt en la década de los 80’s.
DRB es el aplicación de esta teoría en un proceso productivo.
 El Drum (tambor) se refiere a los cuellos de botella que marcan el paso del proceso.
 El Buffer es un amortiguador de impactos que protege al throughput de las
interrupciones y asegura que el Drum nunca se quede sin material. En lugar de los
tradicionales Inventarios de Seguridad "basados en cantidades de material" los Buffer
del TOC están "basados en tiempo de proceso“, ubicados solo en ciertas locaciones
que se relacionan con restricciones especificas.
 El tiempo de ejecución necesario para todas las operaciones anteriores al Drum, más
el tiempo del Buffer, es llamado "Rope-lenght" (longitud de la soga).La liberación de
materias primas y materiales, está entonces "atada" a la programación del Drum,
lográndose un flujo de materiales uniforme.
O1 O2
A1 O3
A2 A3
Cuello de botella (Drum ó Tambor)

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