🦄💫4° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docx
Plano Numérico o Plano Cartesiano
1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DEL ESTADO
LARAANDRES ELOY BLANCO-UPTAEB
BARQUISIMETO ESTADO LARA
PLANO
NUMÉRICO O
CARTESIANO Estudiante:
Genessis Arteaga
29.831.470
Trayecto Inicial
Matemática
Sección: 0101
2. PLANO NUMÉRICO
O PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas
numéricas, una horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta horizontal es llamada
eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje
de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se
cortan recibe el nombre de origen.
X
Y
Origen
Eje de la Abscisas
Eje de las Coordenadas
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la
posición de puntos, los cuales se representan por sus
coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de
las equis y uno de las yes, respectivamente, esto indica
que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con
base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
3. PUNTO MEDIO
(ORIGEN DE COORDENADAS)
Se llama origen al punto en el que se intersecan
los ejes “x” y “y”, punto al cual se le asigna el
valor de cero (0). Por ese motivo, también se
conoce como punto cero (punto 0). Cada eje
representa una escala numérica que será
positiva o negativa de acuerdo a su dirección
respecto del origen.
Origen o
Punto Cero
(0,0)
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento
derecho del eje “x” es positivo, mientras que el
izquierdo es negativo. Consecuentemente, el
segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras
que el segmento descendente es negativo.
4. DISTANCIA
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o
en una recta paralela a este eje, la distancia entre los
puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de
sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4
+ 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o
en una recta paralela a este eje, la distancia entre los
puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de
sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del
sistema de coordenadas, la distancia queda determinada
por la relación:
B (x2,y2)
M
A (x1,y1)
5. CIRCUNFERENCIA
Se define como el lugar geométrico de los puntos del
plano equidistantes de otro, llamado centro de la
circunferencia.
ELEMENTOS:
Centro: punto central que está a la misma distancia de
todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.
Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier
punto perteneciente a la circunferencia.
Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera
de una circunferencia.
Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una
circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por
el centro de la circunferencia.
Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de
una circunferencia.
Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un
solo punto y es perpendicular a un radio.
Arco: el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a
la circunferencia.
Centro
Arco
CIRCUNFERENCIA
6. TRAZADO DE
CIRCUNFERENCIA
Se trata de hacer pasar un arco de circunferencia, o bien una
circunferencia completa, por tres puntos (no alineados) que se
tienen como datos.
OPERACIONES:
• Se unen los tres puntos, dos a dos, por ejemplo A-B y B-C.
• Se trazan las mediatrices de los segmentos AB y BC.
• El punto O, donde se cortan las dos mediatrices, es el centro
del arco solicitado. Desde este punto se traza el arco o la
circunferencia que deberá pasar por los tres puntos.
Trazado de un arco de circunferencia que
pasa por tres puntos
7. Determinar el centro de un arco de
circunferencia
OPERACIONES:
• Se toman tres puntos A, B y C cualesquiera a
partir del arco dado.
• Se unen los tres puntos, dos a dos, por ejemplo
A-B y B-C.
• Se trazan las mediatrices de los segmentos AB
y BC. El centro del arco (O) está situado donde
se cortan las mediatrices.
Trazado del Arco capaz.
Se trata de determinar el arco capaz del ángulo a para el
segmento dado.
OPERACIONES:
• Se traza el segmento AB y se halla su mediatriz.
• Sobre el segmento se construye el ángulo a.
• En el punto A, se traza una perpendicular a r (lado
del ángulo construido), corta a la mediatriz en O.
• Haciendo centro en O (centro del arco capaz), se
traza el arco que pase por A y B.
8. Construcción de un arco de gran radio
Se trata de construir un arco de gran radio conociendo la cuerda
AB y la flecha CD.
OPERACIONES:
• Por D (extremo de la flecha) se traza una paralela a la cuerda
AB.
• Por los extremos de la cuerda AB, se trazan perpendiculares
a la misma.
• Se une el punto D con A y B, y se levantan perpendiculares a
DA y DB en los puntos A y B.
• Se dividen los segmentos AC, CB, AE, BF, DM y DN en
igual número de partes y se numeran.
• Se une D con 1′, 2′, y 3′; y 3, 2 y 1 con 3”, 2” y 1”. La
intersección de estos puntos dan la mitad del arco.
• Se realiza la misma operación en la otra mitad y se traza el
arco por los puntos obtenidos.
9. ECUACIONES
CIRCUNFERENCIA CON
CERO EN (O,O)
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la
ecuación de una circunferencia se simplifica a:
A está ecuación se le conoce como ecuación
canónica y se da cuando el centro de la
circunferencia es el punto C(0,0), por lo que la
expresión ordinaria queda reducida a:
Ejemplo: Determinar la ecuación de la
circunferencia que pasa por el punto
6,3 y cuyo centro se encuentra en
C(0,0)
La circunferencia con
centro en el origen y de
radio igual a la unidad,
es llamada
circunferencia
goniométrica,
circunferencia unidad o
circunferencia unitaria.
10. CIRCUNFERENCIA CON
CENTRO (h , k)
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la
circunferencia con centro en el punto (h, k) distinto
del origen y radio r consta de todos los puntos (x, y)
que satisfacen la ecuación.
(x-h)² + (y-k)² =r², donde (h,k) es el centro y r es el
radio.
Para determinar la ecuación ordinaria de a
circunferencia se necesita las coordenadas del centro
y la medida del radio.
Ej. Determinar la ecuación de la
circunferencia cuyo centro está en
C(3,-4) y que pasa por el punto
A(6,12)
Ejemplo: Escribir la
ecuación de la
circunferencia de centro
(3, 4) y radio 2.
11. ECUACIÓN GENERAL DE
LA CIRCUNFERENCIA
Si conocemos el centro y el radio de una
circunferencia, podemos construir su ecuación
ordinaria, y si operamos los cuadrados,
obtenemos la forma general de la ecuación de la
circunferencia, así:
Demostración:
12. LA PARÁBOLA
Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del
plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo:
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D.
Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una
parábola se le llama parámetro p.
Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco
recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola.
Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También
se puede ver como el punto de intersección del eje con la
parábola.
Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la
parábola con el foco.
Directriz
Parábola
Eje de Simetría
90°
Foco
Vértice
PARÁBOLA
13. LA ELÍPSE
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante.
Elementos de la elipse:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto
de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es
el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con
los ejes: A, A', B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es
el valor del semieje mayor.
9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es
el valor del semieje menor.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje
mayor o al eje menor.
11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse,
que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
14. LA HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante.
Elementos de la hipérbola:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los
focos.
3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del
segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de
intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje
imaginario con la circunferencia que tiene por centro
uno de los vértices y de radio c.
6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un
punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o
al eje imaginario.
11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
12. Relación entre los semiejes:
