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- 1. 3aSy/Ma7h MATEMÁTICA – FACIL GUÍA DE APRENDIZAJE DE FUNCIONES MATEMÁTICAS
- 2. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez VICERRECTORADO ACADÉMICO DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN EDUCACIÓN COMERCIAL MATEMÁTICAS 3aSy/Ma7h MATEMÁTICA – FACIL GUÍA DE APRENDIZAJE SOBRE FUNCIONES MATEMÁTICAS AUTORES: NELSON ARÉVALO GÉNESIS FERNÁNDEZ NEIDY GAONA JAZMÍN JIMÉNEZ SELENA SAÉNZ BYRON ZUMBA PARALELO: V02 PRF: Ing. MANUEL DELGADO Segundo semestre 2015 Machala – El Oro –Ecuador
- 3. PRESENTACIÓN.- . La presente guía matemática fue elaborada con el afán de compartir los conocimientos adquiridos en la asignatura de Matemáticas, teniendo como objetivo ser una herramienta practica y sencilla que la puedan utilizar sin ninguna complicación cualquier persona que la necesite.
- 4. La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes Las matemáticas las descubrió el hombre y por lo tanto están al alcance de todos. No son para seres especiales o genios. Richard Feynman
- 5. DESARROLLO FUNCIONES DE VARIABLE REAL Introducción.- El análisis real o teoría de las funciones de variable real es la rama del análisis matemático que tiene que ver con el conjunto de los números reales. En particular, estudia las propiedades analíticas de las funciones y sucesiones de números reales; su límite, continuidad y el cálculo de los números reales. Definición.- Dominio y Rango de una Función.- Calculo del Dominio Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R. X: R R X x² Es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles. DOMINIO Sea f(x) una función de variable real, cuyo cociente este dado por una función, el dominio no existe cuando el denominador se haga cero por lo que se debe excluir del dominio ese valor. REGLA 1
- 6. Ejemplo F(x)= 2x²-4/x-5 y= 2x²-4/x-5 Condición: x-5≠0 x≠5 dom f= (-∞,5) U (5, ∞) Ejemplo F(x)= √(-x+5) y= √(-x+5) Condición: -x+5 ≥ 0 x-5 ≤ 0 x ≤ 5 Comprobación: (4) √(-x+5) ≥ 0 √(-4+5) ≥ 0 √(1) ≥ 0 1 ≥ 0 = verdadero (6) √(-x+5) ≥ 0 √(-6+5) ≥ 0 √(-2) ≥ 0 no existe = falso dom f= (-∞,5] E es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles. Rango Si f(x) una función de variable real y contiene una raíz de índice par, el dominio existirá solo si cuando el radicando sea positivo o cero. REGLA 2
- 7. Calculo del Rango Gráfica de una función de variable real.- Ejemplo F(x) = 4x-1/ x-1 y = 4x-1/ x-1 (x-1) y = 4x-1 xy-y = 4x-1 xy-4x = y-1 x(y-4) = y-1 x= y-1/ y-4 Condición/ regla 1: y-4≠0 y≠4 rg f= (-∞,4) U (4, ∞) Gráfica de una función.- La gráfica de una función está formada por todos los puntos (x,f(x), donde x pertenece al dominio de f. Sea f(x) una función de variable real, cuyo cociente este dado por una función, el rango no existe cuando el denominador se haga cero por lo que se debe excluir del rango ese valor. REGLA 1 Si f(x) una función de variable real y contiene una raíz de índice par, el rango existirá solo si cuando el radicando sea positivo o cero. REGLA 2
- 8. Técnicas para graficar funciones.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN Asíntotas de la gráfica de una función.- En el caso de una recta vertical, esta puede cortar la gráfica de la función de x a lo mucho una vez; si corta dos veces en la recta no es una función. CRITERIO de la recta vertical Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
- 9. Verticales Horizontales Oblicuas TIPOS DE FUNCIONES Función Inyectiva.- Son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas. Son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Son rectas de ecuación, sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales. Significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A"). En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.
- 10. Gráfica Función Sobreyectiva.- Gráfica El conjunto inicial de g es R. El conjunto final de g es: R. La imagen de g es también R, es decir: Im(g) = R La imagen de g y el conjunto final de g coinciden es R: Véase la parte rayada del eje OY. Coincide con todo R. Función Biyectiva.- Una función es sobreyectiva cuando cada uno de los elementos del rango es imagen de uno o varios elementos del dominio. Una función f: X Y, es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva (suprayectiva), es decir si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
- 11. Gráfica Función Creciente y Decreciente.- Creciente Gráfica Decreciente Gráfica Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x van aumentando los valores de y. O al ir disminuyendo los valores de x van disminuyendo los valores de y; La pendiente de la recta m es positiva. Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x van disminuyendo los valores de y, o viceversa; La pendiente de la recta m es negativa.
- 12. Función Constante.- Gráfica Función Par o Impar.- Función Par Gráfica Función Impar Gráfica Es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente (x), la variable dependiente (f (x)) no cambia, es decir, permanece constante. -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 Una función es par si se cumple con el siguiente criterio: f(-x) = f(x) Y gráficamente presenta simetría con el eje y. Una función es impar si se cumple con el siguiente criterio: f(-x) = -f(x) Y gráficamente presenta simetría con el origen.
- 13. Función Periódica.- Gráfica Función Acotada.- Gráfica Una funcion es periodica, De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función f, también lo es 2T, 3T,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que recibe el nombre de periodo principal o propio. Una función está acotada cuando existe un valor K tal que la gráfica de la función no está por encima de él, y un valor k, tal que la gráfica de la función no está por debajo de él, es decir, k≤f(x)≤K, para todo x perteneciente al dominio de la función.
- 14. Función Acotada Superiormente Gráfica Función Acotada Inferiormente Gráfica Funciones Lineales.- Función lineal Gráfica Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El número k se llama cota superior. Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. El número k′ se llama cota inferior. Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
- 15. Dominio Rango Aplicación de la función lineal Ejercicio.- Un turista recorre 30km en carro cada hora, para visitar la provincia de Cotopaxi y demora media hora para calentar el coche. ¿Cuántos Km recorrerá en 2 horas? Función del enunciado: y= 30x – 15 Tabla de valores X (tiempo en horas) Y (km recorridos) ½ 0 1 15 1 ½ 30 2 45 Grafica.- El dominio está formado por todos los números reales o aquellos valores de X. Números para los que se pueden calcular la imagen f(x). Es el conjunto formado por las imágenes, son los valores que toma la función Y, la variable dependiente porque depende de los valores de X.
- 16. CONCLUSIONES 1. Las matemáticas no son difíciles, las estrategias que se utilizan pueden ser las incorrectas. 2. Las funciones son expresiones matemáticas que representan variables que poseen valores reales. 3. Existen varios tipos de funciones. 4. El dominio y rango de una función son todos los números reales. 5. Las funciones nos puede ayudar a resolver problemas mediante su aplicación con datos verdaderos. 6. Las respuestas de una función se evidencian mejor representándolas gráficamente en el plano cartesiano.