Recopilación de la unidad I de Matematica II impartida bajo la modalidad SAIA en la UFT

1. REP REÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
INGENIERIAS UNIFICADAS
CABUDARE ESTADO LARA
GABRIEL LUGO C.I 19.953.347
SAIA B-2013/01
PROFESOR: DOMINGO MENDEZ
ABRIL 2013

2. 1. La Integral Definida
2. Propiedades de La Integral Definida
3. Suma Superior e Inferior
4. La Integral Definida y sus Propiedades
5. Teorema del Valor Medio para Integrales
6. Teorema Fundamental del Calculo
7. Sustitución y Cambio de Variable

3. La Integral Definida
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las
rectas verticales x = a y x = b.
La integral definida se representa por:
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

4. Notación Sigma
Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una expresión algebraica y que mediante alguna
expresión se puede generalizar en un tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.
La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (∑), en cuya parte inferior y superior se especifica el tamaño del intervalo en
que se desarrollará. Estos números reciben el nombre de índice inferior e índice superior.
Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede comenzar en cualquier entero y el índice superior
siempre será mayor o igual que el inferior. La expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá a la
variable, en este caso es "Xk".
El desarrollo de la expresión anterior nos queda:
Ejemplos:

5. Propiedades de las Sumas
Sean las sucesiones y
Entonces, para todo entero positivo y todo número real , sabemos:
1. 4.
2. 5.
3. 6.

6. Demostración de las propiedades de la suma
Para la demostración de la 1 propiedad escribiremos el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera:
para obtener:
Sabemos que la suma es asociativa y conmutativa por lo que los términos se reordenan y queda de la siguiente manera:
y sabemos que la sucesión y se puede escribir en notación sigma de la siguiente
manera:
y
por lo que al sustituir obtendremos la 1 propiedad:
La demostración de la 2 propiedad es similar por lo que no la llevaremos a cabo. Para la 3 propiedad utilizaremos la propiedad
distributiva de la suma:

7. como se menciono antes por la distributividad de la suma sabemos que:
y por notación sigma sabemos que:
por lo que al momento de sustituir obtendremos la 3 propiedad:

8. Suma Superior e Inferior
Área bajo la curva
Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje
"x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará
un valor aproximado del área real.
Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del
rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que
cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área
real.
Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área
buscada.

9. La Integral Definida
Integral Definida
Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos
definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.
Observando la definición de los términos de la integral definida, observamos que F(bk) es la altura del rectángulo que llamamos
partición y Dxk es el ancho del rectángulo de tal manera que su producto no es más que el área del rectángulo y después de sumar
cada una de estas mismas, obtendremos dicha área bajo la curva, siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].

10. Propiedades de la integral definida

12. Ejercicios Resueltos

13. Soluciones

20. Teorema del valor medio para integrales
Dada una función "f" contínua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la
función evaluada en "c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.
La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema fundamental del cálculo.

21. Ejercicios resueltos
En los ejercicios 3 a 6, utilice le Teorema del valor medio para la integral definida, PID11, para demostrar
la desigualdad dada.

22. Soluciones

29. Teorema fundamental del cálculo
Primer teorema fundamental del cálculo:
Segundo teorema fundamental del cálculo:

30. Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14, evalúe la integral definida.
En los ejercicios 15 a 21, calcule la derivada.
Nota: para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas técnicas de
integración, por el momento sólo es indispensable aprender la integración directa y
la integración por sustitución.

31. Soluciones

46. Sustitución y cambio de variable
No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando los teoremas de la integración. Existen expresiones
(funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión integrando, para poder encontrar su
antiderivada.
Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se
complementan mediante aplicación de artificios matemáticos. Veamos el siguiente ejemplo:
Sea x2 + 2 = u, entonces du = 2xdx de donde du/2 = xdx y
reemplazando nos queda:

47. Ejercicios

3 z
a) dz
z

dz dz u4 u4
Sea u  3  z entonces du  de donde 2du  y sustituyendo en la integral propuesta nos queda u 3 2 du  2 C   C y regresando
2 z z 4 2
el cambio nos queda
3 z 4  C
2

x(x  1)
b) dx
x  x2  x 1
3
Factorizamos el denominador: x3 + x - x2 - 1; x(x2 + 1) - (x2 + 1) y obtenemos (x2 + 1)(x - 1)
 
x ( x  1) x dx
dx  hacemos el cambio t = x2 + 1 entonces dt = 2xdx de donde
2 2
(x  1)( x  1) x 1
dt
 2 1

dt 1 1
xdx = dt/2 por lo que al reemplazar en la integral  ln t  C  ln x 2  1  C
t 2 t 2 2

48. 4

s 1
c) I = ds
1 s
4 4 4 1 4 1 4 1 1 4
    
s ds  
I= ds   ss 2 ds  s 2 ds  s 2 ds  2s 2
1 s 1 s 1 1 1
1
 3 1 4 3 1  3 1
2  2 2 16 2  8
I   s 2  2s 2   (4 2 )  2(4 2 )   (1) 2  2(1) 2    4    2 
 3 1 3 3  3  3  3
  
 
