Clases de topografia ii (2015 ii)

UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO
CLASES DE TOPOGRAFIA II
FACULTAD DE ING. CIVIL ING. FRANCISCO ROSALES SANCHEZ
1
1
1
UNIDAD DIDACTICA 01: POLIGONACION ELECTRONICA
1.1. Funciones especiales y programas en la estación Total.
Se denomina estación total a un aparato electro-óptico utilizado en topografía, cuyo funcionamiento se apoya en
la tecnología electrónica. Consiste en la incorporación de un distanciómetro y un microprocesador a un
teodolito electrónico.
Algunas de las características que incorpora, y con las cuales no cuentan los teodolitos, son una pantalla
alfanumérica de cristal líquido (LCD), leds de avisos (Diodo emisor de luz), iluminación independiente de la
luz solar, calculadora, distanciómetro, trackeador (seguidor de trayectoria) y la posibilidad de guardar
información en formato electrónico, lo cual permite utilizarla posteriormente en ordenadores personales. Vienen
provistas de diversos programas sencillos que permiten, entre otras capacidades, el cálculo de coordenadas en
campo, replanteo de puntos de manera sencilla y eficaz y cálculo de acimutes y distancias
Funcionamiento
Vista como un teodolito, una estación total se compone de las mismas partes y funciones. El estacionamiento es
idéntico, aunque para la estación total se cuenta con niveles electrónicos que facilitan la tarea. Los tres ejes y
sus errores asociados también están presentes: el de verticalidad, que con la doble compensación ve reducida su
influencia sobre las lecturas horizontales, y los de colimación e inclinación del eje secundario, con el mismo
comportamiento que en un teodolito clásico, salvo que el primero puede ser corregido por software, mientras
que en el segundo la corrección debe realizarse por métodos mecánicos.
El instrumento realiza la medición de ángulos a partir de marcas realizadas en discos transparentes. Las lecturas
de distancia se realizan mediante una onda electromagnética portadora con distintas frecuencias que rebota en
un prisma ubicado en el punto a medir y regresa, tomando el instrumento el desfase entre las ondas. Algunas
estaciones totales presentan la capacidad de medir "a sólido", lo que significa que no es necesario un prisma
reflectante.
Este instrumento permite la obtención de coordenadas de puntos respecto a un sistema local o arbitrario, como
también a sistemas definidos y materializados. Para la obtención de estas coordenadas el instrumento realiza
una serie de lecturas y cálculos sobre ellas y demás datos suministrados por el operador. Las lecturas que se
obtienen con este instrumento son las de ángulos verticales, horizontales y distancias. Otra particularidad de
este instrumento es la posibilidad de incorporarle datos como coordenadas de puntos, códigos, correcciones de
presión y temperatura, etc.
La precisión de las medidas es del orden de la diezmilésima en ángulos y de milímetros en distancias, pudiendo
realizar medidas en puntos situados entre 2 y 5 kilómetros según el aparato y la cantidad de prismas usada.
1.2. Almacenamiento de datos en la colectora.
1.3. Transferencia de datos a la computadora
1.4. Replanteo de una poligonal con Estación Total

2
2
2
UNIDAD DIDACTICA 02: TRIANGULACION TOPOGRAFICA
2.1 Generalidades
Concepto.
Se entenderá por triangulación el método de levantamiento geodésico horizontal consistente en un conjunto de
figuras conformadas por triángulos interconectados y traslapados que forman una cadena o cubren un área
específica, en donde se han medido algunos lados y los ángulos de los vértices, con el propósito de determinar
las coordenadas de dichos vértices.
La Triangulación topográfica, por su precisión, es uno de los métodos más usados en el levantamiento de
coordenadas planimétricas de vértices ubicados a distancias considerables. Estos vértices sirven a su vez para
ligar diversos trabajos topográficos.
El principio de la triangulación se basa en procedimientos trigonométricos muy simples
La triangulación consta de tres etapas donde la primera es un anteproyecto realizado en gabinete, la siguiente
etapa es conocida como etapa de reconocimiento o de observaciones de campo y por ultimo se tendrá la etapa
de cálculo.
2.2 Elementos y notación
Los elementos para una triangulación son los siguientes:
- Base
Es la única longitud que se mide para una triangulación, y debe de realizarse con la mayor precisión
posible, porque de esta medida depende el cálculo de los elementos longitudinales.
Tenemos dos clases de bases:
Base medida
En algunos casos si fuese necesario se mide una distancia directamente en el terreno conocida como base
medida, en este caso la medida se realiza con cinta de acero o invar. En la que se debe de realizar las
respectivas correcciones (Temperatura, catenaria, horizontalidad, etc.), como también por medios
electrónicos existentes en la actualidad.
Estará situada en dos puntos de coordenadas geodésicas conocidas y con una longitud no mayor de 1km.
Para la medición de esta base se debe de buscar terrenos llanos (que no tengan demasiada pendiente) 10%
como máximo, libres de todo obstáculo y con una longitud aproximada de 100 a 200 m., con la finalidad de
tener la mayor facilidad para la medición.
Base deducida.
Cuya longitud se obtiene a partir de la base medida, y es la longitud que une los dos primeros vértices de la
triangulación.
Si para los trabajos contamos con equipos electrónicos nos es necesario medir la “base medida”, porque
dichos equipos nos permiten medir grandes distancias.
- Ángulos.
Los ángulos medidos son los horizontales y los verticales, correspondientes a cada uno de los vértices
(estaciones).
Los ángulos horizontales se miden de tal forma que se debe de cerrar el horizonte es decir cerrar 360°, por
lo tanto hay que medir los ángulos interiores y exteriores.
Para la medición de los ángulos interiores se debe de tener en cuenta que los cálculos se basan en la ley de
senos, por esta razón los ángulos próximos a 90° son los más óptimos, asimismo no se deben de incluir
ángulos menores a 20° o mayores a 120°.
Así como la medición de la base, la medición de los ángulos también debe de realizarse con el mayor
esmero posible, utilizando los diferentes métodos conocidos.
Los ángulos horizontales generalmente se denotan por medio de números.
Los ángulos verticales nos sirven para calcular el desnivel entre cada vértice, por consiguiente se tiene que
medir también la distancia inclinada de los lados de la triangulación.
- Vértices o Estaciones
Los vértices o estaciones son los puntos que vamos a utilizar para formar la figuras en la triangulación,
asimismo nos van a servir para estacionar nuestro equipo topográfico y realizar las medidas angulares
correspondientes.
Se debe de buscar que exista visibilidad entre las estaciones, facilidad de acceso y un lugar adecuado para
poder estacionar los equipos con toda comodidad.
Los vértices se deben de ubicar en lugares dominantes con la finalidad que sean claramente visibles a la
mayor distancia posible.
La notación de los vértices se hace generalmente identificándolo con algún nombre que tenga relación con
el lugar donde se encuentran ubicados.

3
3
3
- Lados
Aquellas longitudes que unen cada uno de los vértices, la longitud de los lados estará comprendida entre los
diez y cuarenta kilómetros.
La longitud de los lados estará comprendida entre los diez y cuarenta kilómetros
- Coordenadas
Las coordenadas que se obtienen en el campo son solamente de la base calculada, y con referencia a esta se
calculan las demás coordenadas
- Azimut
Así como las coordenadas. el azimut que se obtiene en el campo solamente es el de la base calculada.
- Señales
Como las distancias entre los vértices son por lo general de varios kilómetros, es necesario que las señales
destaquen bien, el color blanco se observa muy bien a grandes distancias, pero se debe de alternar con el
color rojo cunado se tiene como fondo un cielo nublado o una superficie clara.
Las señales empleadas pueden ser opacas o luminosas.
Cuando los extremos de la base y los vértices se marcan con estacas firmemente clavadas en el suelo. Con
la finalidad que estos puntos sean visibles a la distancia, se coloca sobre ellos un palo sostenido
verticalmente por vientos de alambre y provistos en su parte superior de una bandera (fig. 01)
También pueden emplearse trípodes de madera suficientemente altos, con la finalidad que estén
permanentes y no sea necesario moverlos para el estacionamiento de los equipos sobre la estaca (fig. 02).
Figura 01
Figura 02

4
4
4
2.3 Planeamiento
Escoger el lugar adecuado para la ubicación de la base (en caso de ser la base medida).
Si la base no es la base medida entonces se toma en cuenta la base asumida en la etapa del anteproyecto.
Anteproyecto de la triangulación.
Se realizará en gabinete y para ello se utilizará una carta topográfica del lugar y las coordenadas geodésicas de
puntos de control existentes.
Especificaciones de los lados de la triangulación
El criterio general que debe normar el anteproyecto es el de trazar una red o cadena de triángulos que se ajuste a
los criterios antes mencionados.
Cubrimiento del terreno para fines cartográficos o desarrollo para la medida de linderos o estudios geodésicos.
Se realizará una red de triángulos a partir de una línea base que debe tener las siguientes características. Una
vez que hemos determinado la línea base, se realizarán la red de triángulos con las especificaciones antes
mencionadas. Los puntos de la triangulación serán colocados en lugares donde sean vistos por las estaciones
anteriores.
Es necesario recordar que hay dos puntos importantes que se deben considerar, que los ángulos interiores se
encuentren dentro de los criterios antes mencionados y cuidar la intervisibilidad entre las estaciones.
NOTA: El anteproyecto por lo general se realiza en una carta topográfica, sobre ésta es donde se realizará la red
de triángulos.
El anteproyecto será confirmado o bien modificado convenientemente, de acuerdo a las observaciones que se
realicen en campo, por lo tanto como una segunda acción se necesita verificar los puntos asumidos en el
gabinete para realizar los ajustes necesarios es decir, comprobar la buena intervisibilidad de los puntos
dominantes y observar si se puede disponer de madera para construir las señales.
Como todo trabajo topográfico, su práctica queda limitada a una extensión de terreno considerado como una
superficie plana, se debe de tener en cuenta como uno de los aspectos importantes, para realizar los trabajos
adicionales tales como los rellenos y otros levantamientos es necesario conocer los linderos o los límites del
terreno por levantar, para lo cual se recurre a personas que conozcan bien la zona, con la finalidad de programar
el personal necesario para los trabajos de campo.
2.4 Figuras formadas en la triangulación.
Sobre el croquis levantado se seleccionarán los puntos para formar la triangulación, teniendo en cuenta lo
indicado para la formación de los ángulos.
La red puede estar formada por triángulos, combinando los triángulos para formar cuadriláteros o formando
polígonos con punto central, en forma mixta (triángulos, cuadriláteros y polígonos con punto central).

5
5
5
2.5 Compensación de figuras.
La compensación de figuras consiste en corregir los ángulos medidos en el campo, de tal manera que
satisfagan todas las condiciones geométricas, de modo que al calcular los lados, azimuts y coordenadas de los
vértices se halle siempre los mismos valores, cualquiera que sea el camino seguido para llegar a determinado
vértice.
Si los ángulos medidos son los estrictamente necesarios para fijar los vértices, no se habrá creado ninguna
condición, pero si se ha medido un número mayor de ángulos, cada ángulo excedente creará una ecuación de
condición, puesto que éste al no ser necesario para los cálculos puede deducirse teóricamente de los otros; así,
conociendo un lado o base AB de un triángulo, basta conocer dos ángulos para calcular los otros dos lados, ya
que puede deducirse el tercer ángulo restando 180º la suma de los otros dos, pero si se ha medido los tres
ángulos sus respectivos valores no podrán utilizarse , antes que sean compensados para la condición
geométrica de que su suma sea exactamente igual a 180º.
De lo anteriormente expuestos, resulta que el número de condiciones que tiene una figura es igual al número
total de ángulos que se ha medido de dicha figura menos el número de ángulos estrictamente necesarios para
calcular los triángulos que ella encierra.
Del mismo modo, cuando se quiere hacer una compensación debe de cuidarse de disponer el esquema de
triangulación de manera que no resulten figuras demasiado complicadas que hagan excesivamente laborioso
el trabajo de compensación, lo ideal sería disponer el esquema de manera que la red esté formada solo por
cuadriláteros con sus dos diagonales, polígonos con punto interior, y si es necesario, triángulos simples para
los vértices finales, tal como se aprecia en la siguiente figura.

6
6
6
Las condiciones geométricas que se presentan en las figuras son de dos clases: Condiciones independientes y
condiciones dependientes.
Para la compensación solamente es necesario tomar en cuenta las condiciones independientes y la mejor
manera de aplicarla es haciendo un croquis, partiendo de la base y anotando el número total de ángulos que
sea necesario para fijar cada vértice de la figura; ese número restado del número total de ángulos medidos,
nos dará el número de ecuaciones independientes; si un lado de una figura puede calcularse por varios
caminos, una de esas ecuaciones será una “Ecuación de lado”, y las otras serán “ecuaciones de ángulos”.
Si tomamos como ejemplo el siguiente cuadrilátero tendremos lo siguiente:
Partiendo de la base AB, luego con los ángulos 1,2 y 3 fijamos el vértice C y con los ángulos 1, 2 y 8 el
vértice D, con lo que queda determinada la figura.
El número total de ángulos medidos es ocho y el número de ángulos utilizados para fijar todos los vértices de
la figura son cuatro (los ángulos 1 y 2 utilizados dos veces se cuentan una sola vez).
De lo anteriormente expuesto se deduce que:
n = 2 (v-2)
Donde: n es el número de ángulos necesarios y v es el número de vértices.
Para un cuadrilátero: v=4, entonces n=2 (4-2) = 4
Si N es el número de condiciones independientes del cuadrilátero con sus diagonales, y si al número de
ángulos medidos lo denominamos A, entonces:
N = A - n
Para el cuadrilátero tendremos:
A = 8, n = 4, entonces: N = 8 - 4 = 4

7
7
7
De estas cuatro condiciones independientes, tres son de ángulo y una de lado, porque un lado del cuadrilátero
se puede calcular utilizando varios de los triángulos que encierra la figura.
Examinando la figura se deduce lo siguiente:
Ang.1 + Ang.2 + Ang.3 + Ang4 + Ang.5 + Ang.6 + Ang.7 + Ang.8 = 360° Ec.1
Ang.1 + Ang.2 = Ang.5 + Ang.6 Ec.2
Ang.3 + Ang.4 = Ang.7 + Ang.8 Ec.3
Ang.1 + Ang.2 + Ang.3 + Ang.4 = 180°
Ang.3 + Ang.4 + Ang.5 + Ang.6 = 180°
Ang.5 + Ang.6 + Ang.7 + Ang.8 = 180°
Ang.1 + Ang.2 + Ang.7 + Ang.8 = 180°
De las siete ecuaciones anteriores, basta tomar solo tres como condiciones independientes.
Por ejemplo si se toman las tres primeras, las otras cuatro resultarán dependientes.
Existen también condiciones de lado, porque cada lado es común a dos triángulos, así el lado CD puede
calcularse partiendo de AB, por medio de los triángulos ABC y BCD, por medio de ABD y BCD, o por
medio de ABC y ACD.
Asimismo del cuadrilátero se obtiene:
Tomando los triángulos ABC y BCD
En el triángulo ABC
BC = AB seno (Ang.1) / seno (Ang.4)
En el triángulo BCD
CD = BC seno (Ang.3) / seno (Ang.6)
De las dos igualdades anteriores obtenemos:
( .1) ( .3)
( .4) ( .6)
seno Ang seno Ang
CD AB
seno Ang seno Ang
 (1)
Tomando los triángulos ABD y ACD
En el triángulo ABD
AD = AB seno (Ang.2) / seno (Ang.7)
En el triángulo ACD
CD = AD seno (Ang.8) / seno (Ang.5)
De las dos igualdades anteriores obtenemos:
( .2) ( .8)
( .5) ( .7)
seno Ang seno Ang
CD AB
seno Ang seno Ang
 (2)
Dividiendo (1) entre (2)
( .1) ( .3) ( .5) ( .7
1
( .2) ( .4) ( .6) ( .8)
seno Ang seno Ang seno Ang seno Ang
seno Ang seno Ang seno Ang seno Ang

La relación anterior es la ecuación independiente de lado del cuadrilátero.
Aplicando logaritmos a la ecuación anterior, obtenemos la ecuación independiente de lado del cuadrilátero:
log(seno(Ang.1))+log(seno(Ang.3))+log(Seno(Ang.5))+log(seno(Ang.7))-log(seno(Ang.2))-
log(seno(Ang.4))-log(seno(Ang.6))-log(seno(Ang.8)) = 0 Ec.4
La compensación de la figura consiste en hallar las correcciones angulares v1, v2, v3, …, que sumadas
algebraicamente a los ángulos 1, 2, 3, ……., permitirán hallar los valores angulares corregidos que satisfagan
todas las condiciones geométricas de la figura.
Para realizar la compensación angular se tienen dos métodos:
- Aproximaciones sucesivas
El procedimiento se encuentra en el archivo de Excel (APROXIMACIONES) Hoja1, y la hoja de cálculo
resumida en la Hoja2

8
8
8
- Mínimos cuadrados.
El procedimiento se encuentra en el archivo de Excel (MINIMOS CUADRADOS)
METODO DE PROXIMACIONES SUCESIVAS
ANGULOS MEDIDOS
ANGULOS EXTERIORES
ANG. ° ' " °
A 261 5 20 261.09
B 289 3 20 289.06
C 243 9 30 243.16
D 286 42 20 286.71
ANGULOS INTERIORES
ANG. ° ' " °
1 32 18 40 32.31
2 37 6 30 37.11
3 33 50 40 33.84
4 76 44 40 76.74
5 40 6 20 40.11
6 33 26 30 33.44
7 39 50 40 39.84
8 66 36 30 66.61
I.- CORRECCION POR VERTICE
VERTICE A ° ' " °
SUMA= 360 0 0 360.0000
SUMA ANG. MEDIDOS: SAM=<A+<1+<8
° ' " °
SAM= 360 0 30 360.0083
ERROR: E = SUMA - SAM
° ' " °
E = 0 0 -30 -0.0083
CORRECCION: C = E / 3
° ' " °
C = 0 0 -10 -0.0028
ENTONCES LOS ANGULOS CORREGIDOS SON:
ANG. ° ' " °
1 32 18 30 32.31
8 66 36 30 66.61
VERTICE B ° ' " °
SUMA= 360 0 0 360.0000
SUMA ANG. MEDIDOS: SAM=<B+<2+<3
° ' " °

9
9
9
SAM= 360 0 30 360.0083
° ' " °
E = 0 0 -30 -0.0083 -0.0083
° ' " °
C = 0 0 -10 -0.0028
ANG. ° ' " °
2 37 6 20 37.11
3 33 50 30 33.84
VERTICE C ° ' " °
SUMA= 360 0 0 360.0000
SUMA ANG. MEDIDOS: SAM=<C+<4+<5
° ' " °
SAM= 360 0 30 360.0083
° ' " °
E = 0 0 -30 -0.0083
° ' " °
C = 0 0 -10 -0.0028
ANG. ° ' " °
4 76 44 30 76.74
5 40 6 10 40.10
VERTICE D ° ' " °
SUMA= 360 0 0 360.0000
SUMA ANG. MEDIDOS: SAM=<D+<6+<7
° ' " °
SAM= 359 59 30 359.9917
° ' " °
E 0 0 30 0.0083
° ' " °
C = 0 0 10 0.0028
ANG. ° ' " °
6 33 26 40 33.44
7 39 50 50 39.85
RESUMEN DE ANGULOS CORREGIDOS POR VERTICE
ANGULOS INTERIORES
ANG. ° ' " °
1 32 18 30 32.31
2 37 6 20 37.11
3 33 50 30 33.84
4 76 44 30 76.74
5 40 6 10 40.10
6 33 26 40 33.44
7 39 50 50 39.85
8 66 36 30 66.61

10
10
10
SAM 360 0 0 360.00
COMPENSACION POR CONDICIONES ANGULARES
1.- PRIMERA CONDICION
Suma de ángulos interiores: SAI
Suma de ángulos medidos: SAM
Cálculo de la corrección C1
° ' " °
SAI= 360 0 0 360.00 -
SAM 360 0 0 360.00
E1 = 0 0 0 0.00
Corrección C1 = E1 / 8
° ' " °
C1 = 0 0 0 0.00 0.0000 "
2.- SEGUNDA CONDICION
Ang. 1 + Ang. 2 = Ang. 5 + Ang. 6
SUM1 SUM2
° ' " °
Ang.1: 32 18 30 32.31 +
Ang.2 37 6 20 37.11
SUM1 69 24 50 69.41
° ' " °
Ang.5 40 6 10 40.10 +
Ang.6 33 26 40 33.44
SUM2 73 32 50 73.55
E2 = SUM1 - SUM2 (considerar el valor absoluto)
° ' " °
E2 = 4 8 0 4.13
° ' " °
C2 = 1 2 0 1.03 3720.00 "
Como la suma del Ang. 1 y el Ang. 2 es menor que la suma del Ang. 5 y Ang. 6
entonces, hay que sumar la C2 a los angs. 1 y 2, y restar a los Angs. 5 y 6
3.- TERCERA CONDICION
Ang. 3 + Ang. 4 = Ang. 7 + Ang. 8
SUM1 SUM2
° ' " °
Ang.3 33 50 30 33.84 +
Ang.4 76 44 30 76.74
SUM1 110 35 0 110.58
° ' " °
Ang.7 39 50 50 39.85 +
Ang.8 66 36 30 66.61
SUM2 106 27 20 106.46
° ' " °
E3 = 4 7 40 4.13
° ' " °
C3 = 1 1 55 1.03 3715.00 "
Como la suma del Ang. 7 y el Ang. 8 es menor que la suma del Ang. 3 y Ang. 4
entonces, hay que sumar la C3 a los angs. 7 y 8, y restar a los Angs. 3 y 4
COMPENSACION POR CONDICIONES DE LADO
NOTA: tomando como base de cálculo los ángulos compensados por vértice.
TABLA DE CALCULOS

11
11
11
ANGULOS COMPENSADOS
POR VERTICE dif.tab.1" C4
° " ° Log(sen(ang.)) d1” x 106 (d1”)2
" °
1 32 18 30 32.31 -0.2720724 3.33 11.09 24294 6.75
3 33 50 30 33.84 -0.2542230 3.14 9.86 22913 6.36
5 40 6 10 40.10 -0.1910058 2.50 6.25 18242 5.07
7 39 50 50 39.85 -0.1933163 2.52 6.37 18408 5.11
-0.9106174
2 37 6 20 37.11 -0.2194772 2.78 7.75 -20309
-
5.64
4 76 44 30 76.74 -0.0117328 0.50 0.25 -3620
-
1.01
6 33 26 40 33.44 -0.2587474 3.19 10.16 -23260
-
6.46
8 66 36 30 66.61 -0.0372461 0.91 0.83 -6645
-
1.85
-0.5272035 SUMA 52.55
K = E4 x 106 / SUMA = 7296.401745
C4 = K x d1" ( K se multiplica por cada una de las diferencias tabulares de los ángulos)
El signo de C4 se asume de la siguiente manera:
- Si la suma de los logaritmos de los senos de los ángulos impares es mayor, entonces C4 se resta
a los ángulos impares, en caso contrario se suma a dichos ángulos.
PROCEDIMIENTO
1.-Calcular los logaritmos de los senos de todos los ángulos de la siguiente manera (COLUMNA 01)
Ejemplo para el ángulo 1
Log (sen (ang. 1)) = Log( sen ( 33° 20' 31" )) = -0.2720724
2.- calcular la diferencia tabular de un segundo (d1"), de los logaritmos de los senos de todos los ángulos de
la siguiente manera (COLUMNA 02).
Ejemplo para el ángulo 1
d1"=Log(sen(33° 20' 31"))-Log(sen(33° 20' 30"))
Log(seno(33° 20' 31")) = -0.27207237
Log(seno(33° 20' 30")) = -0.2720757
d1" = 0.0000033
Para facilidad de los cálculos d1" se multiplica por 10 elevado a la potencia 6
Entonces : d1" = 3.33
3.- Se elevan al cuadrado las difrencias tabulares, y luego se suman: (COLUMNA 03)
SUMA = Σ (d1”)2
4.- Cálculo de E4
E4 = Σ log ( sen ( ang. Impares)) – Σ log ( sen ( ang. Pares ))
SUMA(LOG(SEN(ANG. IMP.))) = -0.9106174
SUMA(LOG(SEN(ANG. PAR)))= -0.5272035
E4 = 0.3834139
E4 x 106
383413.9235
Para facilidad de los cálculos el valor de E4 se multiplica por 10 elevado a la potencia 6
5.- Luego se calcula el valor de la constante "K", el cual nos va a servir para obtener las correcciones C4
K = E4 / SUMA 7296.401745
6.- Cálculo de las correcciones C4 ( columnas 04 y 05)
Para obtener C4 se multiplica el valor de "K", por cada una de las diferencias tabulares obtenidas.
Ejemplo: Para el ángulo 1
C4 = K x d1" (del ángulo 1)
C4 = K x 3.20
NOTA: La corrección total (CT) se encuentra en grados
ANGULOS CORREGIDOS CORRECCIONES ANG. COMPENSADOS
POR VERTICE C1 C2 C3 C4 CT TOTALES
° " ° " " " " ° ° " °
1 32 18 30 32.31 0.00 3720 24293.72 7.78 40 5 24 40.09

12
12
12
2 37 6 20 37.11 0.00 3720 -20309.16
-
4.61 32 29 51 32.50
3 33 50 30 33.84 0.00
-
3715 22912.60 5.33 39 10 28 39.17
4 76 44 30 76.74 0.00
-
3715 -3619.84
-
2.04 74 42 15 74.70
5 40 6 10 40.10 0.00 -3720 18242.10 4.03 44 8 12 44.14
6 33 26 40 33.44 0.00 -3720 -23259.62
-
7.49 25 57 0 25.95
7 39 50 50 39.85 0.00 3715 18408.12 6.15 45 59 33 45.99
8 66 36 30 66.61 0.00 3715 -6645.43
-
0.81 65 47 40 65.79
360 0 0 360.00 368 20 22 368.34
SEGUNDA APROXIMACION
ANGULOS COMPENSADOS CORRECCIONES
ANGULOS
COMPENSADOS
POR PRIMERA APROXIMACION C1 C2 C3 C4 CT TOTALES
° " ° " " " " ° ° " °
1 40 5 24 40.09 -3752.81 -2250.519 310
-
1.58 38 30 30 38.51
2 32 29 51 32.50 -3752.81 -2250.519 -410
-
1.78 30 42 58 30.72
3 39 10 28 39.17 -3752.81
-
1883 320
-
1.48 37 41 52 37.70
4 74 42 15 74.70 -3752.81
-
1883 -71
-
1.59 73 7 8 73.12
5 44 8 12 44.14 -3752.81 2250.519 269
-
0.34 43 47 39 43.79
6 25 57 0 25.95 -3752.81 2250.519 -536
-
0.57 25 23 2 25.38
7 45 59 33 45.99 -3752.81 1883 252
-
0.45 45 32 35 45.54
8 65 47 40 65.79 -3752.81 1883 -117
-
0.55 65 14 32 65.24
368 20 22 368.34 360 0 17 360.00
TERCERA APROXIMACION
ANGULOS COMP. CORRECCIONES
ANGULOS
COMPENSADOS
POR VERTICE C1 C2 C3 C4 CT TOTALES
° " ° " " " " ° ° " °
1 38 30 30 38.51 -2.09 -41.89417 233 0.05 38 33 40 38.56
2 30 42 58 30.72 -2.09 -41.89417 -312
-
0.10 30 37 2 30.62
3 37 41 52 37.70 -2.09
-
28.52 240 0.06 37 45 22 37.76
4 73 7 8 73.12 -2.09
-
28.52 -56
-
0.02 73 5 42 73.09
5 43 47 39 43.79 -2.09 41.894173 194 0.06 43 51 32 43.86
6 25 23 2 25.38 -2.09 41.894173 -391
-
0.10 25 17 11 25.29
7 45 32 35 45.54 -2.09 28.52 182 0.06 45 36 3 45.60
8 65 14 32 65.24 -2.09 28.52 -86
-
0.02 65 13 33 65.23
360 0 17 360.00 360 0 4 360.00

13
13
13

14
14
14

15
15
15

16
16
16

17
17
17
3.- Cálculo de superficies en función de las coordenadas de los vértices
Conociendo las coordenadas de los vértices de un terreno se puede calcular el área considerando suma de
trapecios.
En la siguiente figura:

18
18
18
Si tomamos los trapecios en forma vertical (con las bases paralelas al eje Y), tenemos lo siguiente:
Suma de los trapecios:A’ABB’, B’BCC’, C’CDD’, menos la suma de los trapecios A’AFF’, F’FEE’,
E’EDD’
El área total del plano será el siguiente:
AREA = ½ (Y1 + Y2) (X2 – X1) + ½ (Y2 + Y3) (X3 – X2) + ½ (Y3 + Y4) (X4 – X3) - ½ (Y4 + Y5) (X4 – X5) -
½ (Y5 + Y6) (X5 – X6) - ½ (Y6 + Y1) (X6 – X1)
Sacando factor común ½ y cambiando de signo a los tres últimos signos y el orden de las X, tenemos:
AREA = ½ {(Y1 + Y2) (X2 – X1) + ½ (Y2 + Y3) (X3 – X2) + ½ (Y3 + Y4) (X4 – X3) + ½ (Y4 + Y5) (X5 – X4)
+ ½ (Y5 + Y6) (X6 – X5) + ½ (Y6 + Y1) (X1 – X6)} (1)
Generalizando para un polígono de “n” lados
AREA = ½ ∑ (Yn + Yn+1) (Xn+1 - Xn) (2)
Si los trapecios se toman en sentido horizontal la fórmula (1) se convertirá en :
AREA = ½ ∑ (Xn + Xn+1) (Yn+1 - Yn) (3)
Si en la ecuación (1) realizamos las operaciones y eliminamos términos iguales, obtenemos la siguiente
expresión:
AREA = ½ (Y1 X2 – Y2X1 + Y2 X3 - Y3X2 + Y3 X4 - Y4X3 + Y4 X5 -Y5X4 + Y5 X6 - Y6X5 + Y6 X1- Y1X6)
(4)
agrupando términos comunes con factor común “Y”, obtenemos:
AREA = ½ {Y1 (X2 – X6) + Y2 (X3 – X1) + Y3 (X4 – X2) + Y4 (X5 – X3) + Y5 (X6 – X4) + Y6 (X1 – X5)
(5)
Generalizando para un polígono de “n” lados tenemos:
AREA = ½ ∑ Yn (Xn+1 - Xn-1) (6)
AREA = ½ ∑ Xn (Yn+1 - Yn-1) (7)
La ecuación (4) puede transformarse en la siguiente determinante:
Y1 X1 Y2 X2 Y3 X3 Y4 X4 Y5 X5 Y6 X6
AREA = ½ + ½ + ½ + ½ + ½ + ½
Y2 X2 Y3 X3 Y24 X2 Y5 X5 Y6 X6 Y1 X1
Generalizando para un polígono de “n” lados:
Yn Xn
AREA = ½ ∑ (8)
Yn+1 Xn+1
Ejemplo: se tiene las coordenadas de los vértices de un terreno, calcular el área del terreno.
PUNTO COORDENADAS

19
19
19
X Y
A 20.00 90.00
B 50.00 120.00
C 110.00 70.00
D 130.00 40.00
E 80.00 20.00
F 35.00 35.00
FORMULA: AREA = ½ ∑ (Yn + Yn+1) (Xn+1 - Xn) (2)
PUNTO Y X Yn + Yn+1 Xn+1 - Xn
PRODUCTOS
POSITIVOS NEGATIVOS
A 90.00 20.00
B 120.00 50.00 210.00 30.00 6,300.00 0.00
C 70.00 110.00 190.00 60.00 11,400.00 0.00
D 40.00 130.00 110.00 20.00 2,200.00 0.00
E 20.00 80.00 60.00 -50.00 0.00 -3,000.00
F 35.00 35.00 55.00 -45.00 0.00 -2,475.00
A 90.00 20.00 125.00 -15.00 0.00 -1,875.00
Sumas 19,900.00 -7,350.00
Diferencia o doble área 12,550.00
Area del polígono 6,275.00 m2
FORMULA: AREA = ½ ∑ Yn (Xn+1 - Xn-1) (6)
PUNTO Y X Yn Xn+1 - Xn-1
PRODUCTOS
POSITIVOS NEGATIVOS
F 35.00 35.00
A 90.00 20.00 90.00 15.00 1,350.00 0.00
B 120.00 50.00 120.00 90.00 10,800.00 0.00
C 70.00 110.00 70.00 80.00 5,600.00 0.00
D 40.00 130.00 40.00 -30.00 0.00 -1,200.00
E 20.00 80.00 20.00 -95.00 0.00 -1,900.00
F 35.00 35.00 35.00 -60.00 0.00 -2,100.00
A 90.00 20.00
Sumas 17,750.00 -5,200.00
FORMULA. AREA = ½ ∑ Xn (Yn+1 - Yn-1) (7)
PUNTO Y X Xn Yn+1 - Yn-1
PRODUCTOS
POSITIVOS NEGATIVOS

20
20
20
F 35.00 35.00
A 90.00 20.00 20.00 85.00 1,700.00 0.00
B 120.00 50.00 50.00 -20.00 0.00 -1,000.00
C 70.00 110.00 110.00 -80.00 0.00 -8,800.00
D 40.00 130.00 130.00 -50.00 0.00 -6,500.00
E 20.00 80.00 80.00 -5.00 0.00 -400.00
F 35.00 35.00 35.00 70.00 2,450.00 0.00
A 90.00 20.00
Sumas 4,150.00 -16,700.00

Clases de topografia ii (2015 ii)

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (20)

Semelhante a Clases de topografia ii (2015 ii)

Semelhante a Clases de topografia ii (2015 ii) (20)

Último

Último (20)

Clases de topografia ii (2015 ii)