1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 23
Dpto. de Matemáticas - Goretti
TRIANGULOS NO RECTANGULOS
Los triángulos NO rectángulos pueden ser: Acutángulo y Obtusángulo.
TRIANGULO ACUTANGULO: es aquel que tiene sus tres ángulos agudos.
TRIANGULO OBTUSANGULO: es aquel que tiene UN ángulo Obtuso.
RESOLUCION DE TRIANGULOS.
El problema general en la resolución de un triángulo consiste en hallar las longitu-
des de los lados a, b, y c y el valor de los ángulos internos A, B, C.
En general basta con conocer tres elementos cualesquiera de los tres lados y tres
ángulos que posee el triángulo, con el fin de obtener los otros tres elementos res-
tantes. Las posibilidades de elegir los tres elementos del triángulo son:
1. Se conoce dos ángulos y un lado.
2. Se conoce dos lados y un ángulo.
3. Se conoce los tres lados.
4. Si se conoce los tres ángulos NO tiene solución única, ya que hay infinitos
triángulos semejantes que cumplen la condición.
Para resolver los tres primeros casos se utiliza dos teoremas llamados:
1. Teorema del Seno
2. Teorema del Coseno.
TEOREMA DEL SENO
Este teorema dice que: “El cociente formado entre la longitud del lado de un trián-
gulo entre el seno del ángulo opuesto a este lado es constante”. Es decir:
No hay ninguna diferencia si se escribe

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En la aplicación del teorema de los Senos, se conoce dos casos a saber:
Caso 1: Resolver un triángulo cualquiera cuando se conoce dos ángulos y un lado
Caso 2: Resolver un triángulo cualquiera cuando se conoce dos lados y el ángulo
opuesto a uno de ellos.
Ejemplos del caso 1:
a) Resolver el triángulo ABC si, A=20º; B=130º y a= 6.
Procedimiento:
1.- Ordenamos los datos del problema como se indica a continuación:
A=20º a= 6
B=130º b=?
C= ? c=?
2.- Aplicamos la relación entre los ángulos de un triángulo: así.
̂+ ̂ ̂ = 180º entonces:
̂ = 180º - ̂ - ̂
̂ = 180º - 20º - 130º
̂ = 30º
3.- Para encontrar las longitudes de los lados del triángulo b y c aplicamos el teo-
rema del Seno. Así:
Entonces:
A) ⇒b= = 13,43
B) ⇒c= = = 8,77
b) Ejemplo: Resolver el triángulo ABC si A= 30º, B=100º y c = 5 cmts.

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Procedimiento:
1.- Ordenamos los datos del problema como se indica a continuación:
A=30º a= ?
B=100º b=?
C= ? c= 5 cmts
2.- Aplicamos la relación entre los ángulos de un triángulo: así.
̂+ ̂ ̂ = 180º entonces:
̂ = 180º - ̂ - ̂
̂ = 180º - 30º - 100º
̂ = 50º
3.- Para encontrar las longitudes de los lados del triángulo a y b aplicamos el teo-
rema del Seno. Así:
Entonces:
A) ⇒a= = 3,05 cmts
B) ⇒b= = 6,01 cmts
Ejemplo del Caso 2
Resuelva el triángulo ABC, del que se conoce b = 8, c = 9 y B =52º
Procedimiento:
1.- Ordenamos los datos del problema como se indica a continuación:
A=? a= ?
B=52º b=8
C= ? c=9
2,- Para encontrar el valor del ángulo C, aplicamos el teorema del Seno. Así:
Entonces:

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A) ⇒ Sen C =
Sen C = 0,8865
Sen-1.Sen C = Sen-1.(0,8865)
C = Sen-1(0,8865)
C = 62,4366º = 62º 29´ 12,05”
3.- De la relación de ángulos de un triángulo se tiene que:
̂+ ̂ ̂ = 180º entonces:
̂ = 180º - ̂ - ̂
̂ = 180º - 52º - 62º 26´ 12,05”
̂ = 65º 33´ 47,95”
̂ = 65,5633º
4.- Para encontrar el lado a, aplicamos el teorema del Seno. Así:
Entonces a= = 9,24 o también
a= = 9,24 o también
TEOREMA DEL COSENO
Este teorema también es conocido con el nombre de Carnot, en memoria de Lázaro Carnot,
personaje famoso de la revolución francesa e ilustre matemático, a quien se le atribuye su
invención.
Este teorema dice que: “En todo triángulo ABC el cuadrado de un lado, es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados, por el co-
seno del ángulo comprendido por forman dichos lados”. Es decir:

2 2 2
a = b + c - 2bc Cos A

2 2 2
b = a + c - 2ac Cos B

2 2 2
c = a + b - 2ab Cos C.

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Gracias al teorema del coseno se puede conocer:
 El tercer lado del triángulo si se conocen los dos lados y el ángulo que lo forman.
 También se puede conocer los ángulos de un triángulo, si se conocen sus tres lados,
para ello no es más que despejar el coseno del ángulo que se quiera buscar.
Ejemplos:
a) Resolver el triángulo ABC, dado a= 132, b=224 y C = 20º 40´.
Solución:
A=? a= 132
B=? b= 224
C= 28º 40´ c= ?
Como dan los valores de dos lados y un ángulo entonces aplicamos el teorema de los cosenos,
al lado c. Así:
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b
.c = 125.
Para encontrar el angulo A, aplicamos el teorema de los Senos así:
Sen A = = = 0,5065
Sen A = 0,5065
-1 -1
Sen .Sen A = Sen (0,5066)
A= 30,4351º =30º 26´ 6,36”
Para encontrar el angulo B, aplicamos ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ = 180º - 30º 26´ 6,36” – 28º 40´
̂ = 120º 53` 53,6”.
b) Resolver el triángulo ABC, dados a =25,2 b=37,8 y c= 43,4

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Para encontrar el ángulo A, aplicamos el teorema de los cosenos así:
2 2 2
a = b + c - 2bc Cos A
Entonces Cos A =
Cos A =
Cos A = 0,8160
-1 -1
Cos . Cos A = Cos 0,8160
A= 35,3136º = 35º 18´ 49,1”
Para encontrar el ángulo B, aplicamos el teorema de los cosenos así:
2 2 2
b = a + c - 2ac Cos B
Entonces Cos B =
Cos B =
Cos B = 0,4982
-1 -1
Cos . Cos B = Cos 0,4982
B= 60,1190º = 60º 7´ 8,46”
Para encontrar el ángulo C, aplicamos el teorema de los cosenos así:
2 2 2
c = a + b - 2ab Cos C.
Entonces Cos C =
Cos C =
Cos C = 0,0946
-1 -1
Cos . Cos C = Cos 0,0946
C= 84,5717º = 84º 34´ 18,13”
TALLER DEL TEOREMA DEL SENO
1. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Si el segmento c mide 20 cm. y el ángulo C, opuesto
a este lado, mide 42º. Calcular:
a) el lado b
b) el lado a
c) el ángulo B
2. Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos c y b miden 2 m. y 4 m., respecti-
vamente. Calcular:
a) el lado a
b) el ángulo B
c) el ángulo C
3. Si ABC es un triángulo rectángulo en B y los lados c y a miden 8 m. y 6 m., respectivamente.
Calcula:
a) el lado b
b) el ángulo A
c) el ángulo C

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4. La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la
medida del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la
sombra y del árbol?
5. Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta
que logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra
en ese momento.
6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del
suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo
de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura
del edificio de enfrente.
TALLER DEL TEOREMA DEL COSENO
1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras
que A, B, C son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve
el triángulo en cada caso:
a) a = 10 cm. b= 12 cm. C= 35º
b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.
c) c = 10 cm. B= 40º A = 70º
d) a = 12 cm. b = 16 cm B = 43º
e) A = 53º B = 75º c = 30,5 cm.
f) A = 48º C= 68º c = 47,2 mm.
2. Dos lados adyacentes o vecinos de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y cada
uno de ellos tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor.
3. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo
de 35º. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran sepa-
rados después de dos horas de viaje.
4. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n,
y el ángulo A formado por los dos lados.