TURUNAN FUNGSI ALJABAR.pptx
β’Transferir como PPTX, PDFβ’
0 gostouβ’739 visualizaçáes
--
Recomendados
Mais conteΓΊdo relacionado
Mais procurados
Mais procurados (20)
Semelhante a TURUNAN FUNGSI ALJABAR.pptx
Semelhante a TURUNAN FUNGSI ALJABAR.pptx (20)
Mais de Franxisca Kurniawati
Mais de Franxisca Kurniawati (13)
Γltimo
Γltimo (20)
TURUNAN FUNGSI ALJABAR.pptx
- 1. Turunan Fungsi Aljabar Oleh : Franxisca Kurniawati, S.Si.
- 2. Turunan Fungsi Aljabar Pengertian Rumus-Rumus Turunan Fungsi Persamaan Garis Singgung pada Kurva Fungsi Naik dan Fungsi Turun Titik Stasioner Suatu Fungsi dan Jenis βJenis Ekstrim Kecepatan Sesaat Definisi Turunan Rumus Umum Turunan Fungsi Konstan Fungsi Identitas Fungsi Pangkat Hasil Kali Konstanta dgn Fungsi Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi Hasil Kali Fungsi-Fungsi Hasil Bagi Fungsi-Fungsi Fungsi π π = {πΌ π }π Definisi Syarat Teorema Nilai Stasioner Jenis-Jenis Ekstrim Fungsi Komposisi
- 4. 1. Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat pada waktu π = ππ diperoleh apabila nilai π = ππ β ππ mendekati nol. Dengan konsep limit diperoleh : π½ππππππ πππ π ππ = lim πβπ π½ππππβππππ = lim πβπ βπ βπ = lim πβπ ππ β ππ ππ β ππ = lim πβπ π ππ β π ππ ππ β ππ = lim πβπ π ππ + π β π ππ π π π
- 5. 2. Definisi Turunan Fungsi Misal diketahui fungsi π = π(π) yang terdefinisi untuk setiap nilai π di sekitar π = π. Jika lim πβπ π π+π βπ π π ada, maka bentuk limit tersebut dinamakan turunan dari fungsi π(π) pada π = π π π
- 6. 3. Rumus Umum Turunan Fungsi Misal diketahui fungsi π = π(π) yang terdefinisi dengan π«π = {π|πππΉ} turunan fungsi π(π) terhadap π ditentukan oleh : π π πβ²(π) = lim πβπ π π + π β π π π Dengan catatan jika nilai limit itu ada
- 7. Untuk menyatakan turunan fungsi π = π(π) dapat digunakan notasi berikut : Turunan pertama πβ² π atau π π π π atau πβ² atau π π π π Turunan kedua πβ²β²(π) atau π ππ π ππ atau πβ²β² atau π ππ π ππ Turunan ketiga πβ²β²β²(π) atau π ππ π ππ atau πβ²β²β² atau π ππ π ππ Dst..
- 9. 1. Turunan Fungsi Konstan πβ²(π) = lim πβπ π π + π β π π π = lim πβπ π β π π = lim πβπ π π = lim πβπ π = π Misal diketahui fungsi π π = π dengan π β πΉ Maka turunan fungsi π(π) terhadap π adalah : Note : π π = π π π + π = π π π = π β πβ² π = π
- 10. 2. Turunan Fungsi Identitas πβ²(π) = lim πβπ π π + π β π π π = lim πβπ π + π β π π = lim πβπ π π = lim πβπ π = π Misal diketahui fungsi π π = π Maka turunan fungsi π(π) terhadap π adalah : Note : π π = π π π + π = π + π π π = π β πβ² π = π
- 11. 3. Turunan Fungsi Pangkat πβ²(π) = lim πβπ π π + π β π π π = lim πβπ π(π + π)πβπππ π .... = ππππβπ Misal diketahui fungsi π π = π. ππ dengan π β πΉ, π β π dan π β ππππ πππππ πππππππ Maka turunan fungsi π(π) terhadap π adalah : Note : π π = πππ π π + π = π(π + π)π π π = π. ππ β πβ² π = ππ. ππβπ
- 12. Contoh soal 1 : Tentukan turunan pertama dari: π(π) = πππ Jawab : πβ² π = ππ. ππβπ = π. π. ππβπ = ππ ππ
- 13. 4. Turunan Hasil Kali Konstanta dengan Fungsi πβ²(π) = lim πβπ π π + π β π π π = lim πβπ π. π(π + π) β π. π(π) π = π lim πβπ π(π + π) β π(π) π = π. πβ²(π) Misal diketahui fungsi π π = π. π(π) dengan π β πΉ, π β π dan π(π) fungsi dari π mempunyai turunan πβ²(π) Maka turunan fungsi π(π) terhadap π adalah : Note : π π = π. π(π) π π + π = π. π(π + π) π π = π. π(π) β πβ² π = π. πβ² (π)
- 14. Contoh soal 2 : Tentukan turunan pertama dari: π(π) = π(ππ + ππ) Jawab : π(π) = π(ππ + ππ), misal π(π) = ππ + ππ β πβ² π = πππ + π maka πβ² π = π. πβ² π = π. (πππ + π) = (ππππ + ππ)
- 15. 5. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi - Fungsi πβ²(π) = lim πβπ π π + π β π π π = lim πβπ {π π + π Β± π π + π } β {π(π) Β± π(π)} π = lim πβπ π(π + π) β π(π) π Β± lim πβπ π(π + π) β π(π) π = πβ² π Β± πβ²(π) π π = π π Β± π(π) β πβ² π = πβ² π Β± πβ² (π) Misal diketahui fungsi π(π) dan π(π) berturut β turut mempunyai turunan πβ²(π) dan πβ²(π) dgnπ π = π(π) Β± π(π) Maka turunan fungsi π(π) terhadap π adalah :
- 16. Contoh soal 3 : Tentukan turunan pertama dari: π π = πππ β πππ + πππ β ππ + π Jawab : πβ² π = ππππ β πππ + ππ β π
- 17. 6. Turunan Hasil Kali Fungsi - Fungsi Misal diketahui fungsi π(π) dan π(π) berturut β turut mempunyai turunan πβ²(π) dan πβ²(π) dengan π π = π(π). π(π) Maka turunan fungsi π(π) terhadap π adalah : π π = π π . π(π) β πβ² π = πβ² π . π π + π π . πβ²(π)
- 18. Contoh soal 4: Tentukan turunan pertama dari: π π = ππ + π ππ + ππ Jawab : π = ππ + π β πβ² π = π π = ππ + ππ β πβ² π = ππ + π πβ² π = πβ² π . π π + π π . πβ² π = π. ππ + ππ + (ππ + π). ππ + π = πππ + πππ + ππππ + πππ + ππ = ππππ + πππ + ππ
- 19. 7. Turunan Hasil Bagi Fungsi - Fungsi π π = π(π) π(π) β πβ² π = πβ² π . π π + π π . πβ² π {π π }π Misal diketahui fungsi π(π) dan π(π) berturut β turut mempunyai turunan πβ²(π) dan πβ²(π) dengan π π = π(π) π(π) Maka turunan fungsi π(π) terhadap π adalah :
- 20. Contoh soal 5 : Tentukan turunan pertama dari: π(π) = ππ + π ππ + ππ Jawab : π = ππ + π β πβ² π = π π = ππ + ππ β πβ² π = ππ + π πβ² π = πβ² π . π π + π π . πβ² π {π π }π = π. ππ + ππ + (ππ + π). ππ + π (ππ + π)π = πππ + πππ + ππππ + πππ + ππ πππ + πππ + ππ = ππππ + πππ + ππ πππ + πππ + ππ
- 21. 8. Turunan Fungsi π π = {πΌ π }π Misal diketahui fungsi π(π)mempunyai turunan πβ² (π) dengan π π = {π π }π Maka turunan fungsi π(π) terhadap π adalah : π π = {π π }π β πβ² π = π. π(π) πβπ. πβ²(π)
- 22. Contoh soal 6 : Tentukan turunan pertama dari: π(π) = (ππ + ππ)π Jawab : π(π) = (ππ + ππ)π, misal π(π) = ππ + ππ β πβ² π = πππ + π maka πβ² π = π. π(π) πβπ . πβ² (π) = π. (ππ +ππ)π . (πππ + π) = (ππ+ππ)π. (ππππ + ππ)
- 23. 9. Turunan Fungsi Komposisi Misal diketahui fungsi π = πππ π = π π π dengan π π = π Maka turunan fungsi πππ π terhadap π adalah : πππ β² π = πβ² π π . πβ²(π) atau π π π π = π π π π . π π π π
- 24. Contoh soal 7 : Tentukan turunan pertama dari: π = π (ππ + ππ)π Jawab : π = π (ππ + ππ)π, misal π = ππ + ππ maka π = π π π β π π π π = π π π π π π = ππ + ππ β π π π π = ππ + π π π π π = π π π π . π π π π = π π π π π . ππ + π = π π (ππ +ππ) π π . ππ + π = π π . ππ + π . π (ππ + ππ)π
- 26. Definisi Misal fungsi π = π(π) mempunyai turunan pada π = π. Turunan fungsi π(π) pada π = π atau πβ² π ditafsirkan secara geometris sebagai gradien garis singgung kurva di titik π, π π Contoh soal 8 : Diketahui kurva π = π π = ππ . Tentukan : a. πβ² (π) b. Gradien garis singgung ketika π = π c. Gradien garis singgung ketika π = π d. Gradien garis singgung ketika π = π e. Gradien garis singgung ketika π = π Jawab : a. πβ² = πβ² π = ππ b. ππ = πβ² π = π π = π c. ππ = πβ² π = π π = π d. ππ = πβ² π = π π = π e. ππ = πβ² π = π π = π
- 27. Contoh soal 9: Tentukan persamaan garis singgung pada kurva π π = ππ β ππ β π yang sejajar terhadap garis π βΆ π = ππ β π Jawab : * π π = ππ β ππ β π β πβ² π = ππ β π * ππ = π karna sejajar maka ππ= ππ * ππ = πβ² π π = π π β π ππ = ππ π = π * Titik singgungnya π, π(π) = π, π(π) = (π, βπ) * Persamaan garis singgung π β ππ = ππ(π β ππ) π β (βπ) = π(π β π) π = ππ β ππ
- 29. 1. Definisi Misal fungsi π π terdefinisi dalam interval π° 1. Fungsi π π dikatakan fungsi naik dalam interval π° Jika untuk setiap bilangan ππ dan ππ dalam interval π° dan ππ < ππ maka berlaku hubungan π(ππ) < π(ππ) ditulis ππ < ππ β π(ππ) < π(ππ) 2. Fungsi π π dikatakan fungsi turun dalam interval π° Jika untuk setiap bilangan ππ dan ππ dalam interval π° dan ππ < ππ maka berlaku hubungan π(ππ) > π(ππ) ditulis ππ < ππ β π(ππ) > π(ππ)
- 30. 2. Syarat Misal fungsi π π diferensiabel untuk setiap π dalam interval π° 1. Jika πβ² (π) < π untuk π β π°, maka fungsi π(π) turun pada interval π° 2. Jika πβ² π > π untuk π β π°, maka fungsi π(π) naik pada interval π° 3. Jika πβ² π = π untuk π β π°, maka fungsi π(π) stasioner pada π = π
- 31. Contoh soal 10: Diketahui kurva π π = ππ β ππ β ππ. Tentukan : a. Titik stasioner b. Interval ketika kurva π π turun c. Interval ketika kurva π π naik Jawab : π π = ππ β ππ β π β πβ² π = ππ β π a. Syarat stasioner : πβ² π = π πβ² π = π ππ β π = π ππ = π π = π β π = π π = βππ Titik stasioner = (π, βππ) b. Syarat π π turun : πβ² π < π πβ² π < π ππ β π < π ππ < π π < π Interval π π turun π < π c. Syarat π π naik : πβ² π > π πβ² π > π ππ β π > π ππ > π π > π Interval π π naik π > π
- 32. Contoh soal 11: Diketahui kurva π π = ππ β πππ β πππ + ππ. Tentukan : a. Titik stasioner b. Interval ketika kurva π π turun c. Interval ketika kurva π π naik Jawab : π π = ππ β πππ β πππ + ππ πβ² π = πππ β ππ β ππ a. Syarat stasioner : πβ² π = π πβ² π = π πππ β ππ β ππ = π (ππ + π )(π β π) = π ππ = βπ atau ππ = π ππ = π(βπ) atau ππ = π(π) = ππ atau = βππ Titik stasioner (βπ, ππ) atau (π, βππ) b. Syarat π π turun : πβ² π < π Interval π π turun βπ < π < π -2 4 + + -- c. Syarat π π naik : πβ² π > π Interval π π naik π < βπ ππππ π > π Gambar garis bilangan dengan stasioner ππ = βπ dan ππ = π, kemudian tentukan tanda +/- untuk nilai πβ² π
- 34. 1. Teorema Nilai Stasioner Jika fungsi π = π π diferensiabel di π = π dengan πβ² π = π maka π π adalah nilai stasioner dari fungsi π π di π = π Titik stasioner π, π(π) disebut juga titik kritis / titik ekstrim / titik balik
- 35. 2. Jenis β Jenis Ekstrim Misal fungsi π π kontinu dan terdefinisi pada nilai β nilai π dalam daerah interval tertutup π«π dan π β π«π 1. Jika π π β₯ π(π) untuk semua π β π«π maka π(π) disebut nilai maksimum fungsi π(π) 2. Jika π π β€ π(π) untuk semua π β π«π maka π(π) disebut nilai minimum fungsi π(π)
- 36. Contoh soal 12: (lanjutan contoh 11) Diketahui kurva π π = ππ β πππ β πππ + ππ. Tentukan : a. Titik balik maksimum b. Titik balik minimum a. Titik balik maksimum: Ada di ππ = βπ β π = π βπ = ππ Yaitu (βπ, ππ) -2 4 + + -- Gambar garis bilangan dengan stasioner ππ = βπ dan ππ = π b. Titik balik minimum: Ada di ππ = π β π = π π = βππ Yaitu (π, βππ)