Concepto de trabajo

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE
CAMPECHE
INGENIERIA INDUSTRIAL PRIMER SEMESTRE
FISICA 1
UNIDAD III TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y CONSERVACION DE ENERGIA.
Q. B. B. MARCOS MARTIN KU KUMUL
CLAKINI, CAMPECHE, ENERO DE 2006.
1

2.- PRESENTACION.
En términos generales el presente paquete didáctico contiene los
conceptos de trabajo mecánico, tanto cuando la fuerza aplicada es paralela a la
horizontal, como cuando la fuerza forma un ángulo con respecto a la horizontal.
De igual forma contiene las definiciones de energía, energía potencial, energía
cinética, sus ecuaciones y la resolución de problemas.
Asimismo también se presenta el teorema de conservación de la energía
mecánica, así como la resolución de sus problemas, el concepto de potencia
mecánica y sus problemas.
En la última parte se presentan los conceptos y resolución de problemas
de oscilaciones armónicas.
2

3.- INDICE DE CONTENIDO.
Contenido Número de página
Portada 0
Presentación 1
Indice de contenido 2
Objetivos generales de la
Unidad temática 4
Instrucciones generales
para el uso del paquete
didáctico 4
Temas integrantes de la
Unidad temática 5
Instrucciones específicas
para el autoaprendizaje 5
Objetivos por tema 6
Desarrollo del tema
3.1. Concepto de trabajo 7
Ejercicios de aplicación del trabajo mecánico 7
Evaluación del tema 3.1 11
Bibliografía específica del
tema 3.1. 12
Desarrollo del tema 3.2.
Teorema del trabajo y la energía 12
Ejercicios de energía cinética 13
Bibliografía específica 15
del tema 3.2
Desarrollo del tema 3.3. 15
Potencia mecánica
Ejercicios de potencia mecánica 16
3

Bibliografía específica del
tema 3.3 19
Desarrollo del tema 3.4. 19
Fuerzas conservativas y no conservativas
Ejercicios de energía potencial 20
Evaluación del tema 3.4. 21
Bibliografía específica del tema 3.4 22
Desarrollo del tema 3.5.
Teorema de la conservación de la energía mecánica 22
Ejercicios del teorema de conservación de 24
la energía mecánica.
Bibliografía específica del tema 3.5. 26
Desarrollo del tema 3.6 Oscilaciones armónicas 26
Ejercicios de Oscilaciones armónicas 34
Evaluación del tema 3.6. 35
Bibliografía especifica del tema 3.6 36
Evaluación de la Unidad
Temática III. Trabajo, energía cinética y conservación de 37
la energía.
4.- OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD TEMATICA
4

1.- El alumno conocerá el concepto de trabajo mecánico y resolverá problemas
cuando la fuerza aplicada se efectúa en forma horizontal y con un cierto ángulo
respecto a la horizontal.
2.- El alumno enunciará el concepto de energía, energía cinética y resolverá
problemas de energía cinética.
3.- El alumno enunciará el concepto de potencia mecánica, conocerá sus
ecuaciones y sus unidades así como resolverá problemas de potencia
mecánicas.
4.- El alumno enunciará el concepto de energía potencial, sus ecuaciones,
unidades y resolverá problemas de energía potencial
5.- El alumno enunciará el concepto del teorema de la conservación de la
energía mecánica, su ecuación, y resolverá problemas del teorema.
6.- El alumno enunciará el concepto de oscilaciones armónicas, sus
características, y resolverá problemas de oscilaciones armónicas.
7.- El alumno enunciará el concepto de fuerzas no conservativas, sus
ecuaciones y resolverá problemas.
5.- INTRUCCIONES GENERALES PARA EL USO DEL PAQUETE
DIDACTICO
1.- Conocer el concepto de trabajo mecánico, sus ecuaciones, despeje de las
mismas y su utilización para resolver problemas.
2.- Conocer el concepto de energía, energía cinética, sus ecuaciones despeje
de las mismas y utilizarlas en la resolución de problemas.
3.- Solucionar problemas de potencia mecánica, utilizando sus ecuaciones, y
despejándolas para hallar los otros parámetros, así como convertir sus
unidades como watts, caballos de fuerza y caballos de vapor.
4.- Conocer e interpretar la energía potencial, utilizar sus ecuaciones y
despejarlas para hallar los otros parámetros en la resolución de problemas.
5.- Conocer e interpretar el concepto del teorema de conservación de la
energía mecánica, utilizar sus ecuaciones en la resolución de problemas y
despejarlas para hallar los otros parámetros.
6.- Conocer e interpretar las oscilaciones armónicas, sus características y la
utilización de sus ecuaciones para resolver problemas.
6.- TEMAS INTEGRANTES DE LA UNIDAD TEMATICA.
5

a.- UNIDAD III. Trabajo, energía cinética, y conservación de energía.
Tema 3.1. Concepto de trabajo
Subtema 3.1.1. Trabajo efectuado por fuerzas paralelas a la
horizontal.
Subtema 3.1.2. Trabajo efectuado por fuerzas que forman un
ángulo con la horizontal.
Tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.
Subtema 3.2.1. Concepto de energía cinética.
Subtema 3.2.2. Resolución de problemas de energía cinética.
Tema 3.3. Potencia mecánica
Subtema 3.3.1. Definición, ecuaciones y unidades de la potencia
mecánica.
Subtema 3.3.2. Resolución de problemas de potencia mecánica.
Tema 3.4. Fuerzas conservativas y no conservativas.
Subtema 3.4.1. Concepto de energía potencial, sus ecuaciones y
sus unidades.
Subtema 3.4.2. Resolución de problemas de energía potencial.
Tema 3.5. Teorema de la conservación de la energía mecánica
Subtema 3.5.1. Enunciado del teorema de conservación de la
energía mecánica.
Subtema 3.5.2. Resolución de problemas del teorema de la
conservación de la energía mecánica.
Tema 3.6. Oscilaciones armónicas
Subtema 3.6.1. Definición, características y ecuaciones de las
oscilaciones armónicas.
Subtema 3.6.2. Resolución de problemas de oscilaciones
armónicas.
b. INSTRUCCIONES ESPECIFICAS PARA EL AUTOAPRENDIZAJE.
1.- Conocer el concepto trabajo mecánico, sus ecuaciones y resolución de
problemas
2.- Enunciar el concepto de energía cinética conocer sus ecuaciones y
utilizarlas en la resolución de problemas.
3.- Definir el concepto de potencia mecánica, conocer sus ecuaciones y
utilizarlas en la resolución de problemas
4.- Definir el concepto de energía potencial, conocer sus ecuaciones y
utilizarlas en la resolución de problemas.
5.- Definir el concepto del teorema de conservación de la energía mecánica,
sus ecuaciones y sus unidades y resolver problemas.
6.- Definir el concepto de oscilaciones armónicas, sus características, y
resolver sus problemas.
c. Objetivos por tema.
6

1.- Aprender el concepto de trabajo mecánico
2.- Utilizar las ecuaciones del trabajo mecánico para resolver problemas al
respecto.
3.- Aprender el concepto de energía cinética y resolver sus problemas.
4.- Aprender el concepto de potencia mecánica, y resolver sus problemas
5.- Aprender el concepto del enunciado del teorema de conservación de la
energía mecánica.
6.- Aprender el concepto de oscilaciones armónicas, sus características y
resolver problemas de oscilaciones armónicas.
e. Desarrollo del Tema 3.1. Concepto de trabajo.
7

TEMA 3.1. CONCEPTO DE TRABAJO. SUBTEMA 3.1.1. CALCULO DEL
TRABAJO PARA FUERZAS PARALELAS A LA HORIZONTAL.
El trabajo es una magnitud escalar producido sólo cuando una
fuerza mueve un cuerpo en su misma dirección. Su valor se calcula
multiplicando la magnitud de la componente de la fuerza localizada en la misma
dirección en que se efectúa el movimiento del cuerpo, por el desplazamiento
que éste realiza.
Si la fuerza que mueve el cuerpo se encuentra totalmente en la misma
dirección en que se efectúa el desplazamiento, el ángulo θ es igual a cero o
90° ya que el coseno de 0 ó 90° es igual a 1, donde el trabajo será igual a:
T = F d.
Se realiza un trabajo de un joule (1 J) cuando al aplicar una fuerza de un
Newton a un cuerpo, este se desplaza un metro. De donde:
1 J = N.m.
Resolución de problemas de trabajo mecánico.
1.- Una persona levanta una silla cuyo peso es de 49 Newtons hasta una altura
de 0.75 metros. ¿Qué trabajo realiza?
Datos Fórmula Sustitución.
P = F = 49 N T = Fd T = 49 N x
0.75 m.
d = h = 0.75 m T =
36.75
N.m
T = T = 36.75
Joules
2.- Determinar el trabajo realizado al desplazar un bloque 3 metros sobre una
superficie horizontal, si se desprecia la fricción y la fuerza aplicada es de 25
Newtons.
Datos Fórmula Sustitución
T = T = Fd T = 25 N x 3 m
d = 3 m T = 75 N.m
F = 25 N T = 75 N.m
3.- ¿Qué peso tendrá un cuerpo si al levantarlo a una altura de 1.5 metros se
realiza un trabajo de 88.2 Joules?.
8

P = F F = T/d F = 88.2 N.m
h = d = 1.5 m 1.5 m
T = 88.2 J F = 58.8 N
= 88.2 N.m
4.- Un ladrillo tiene una masa de 1 kg, ¿a qué distancia se levantó del suelo si
se realizó un trabajo de 19.6 Joules?.
Datos Fórmulas Sustitución
m = 1 kg P = mg P = 1 kg x 9.8 m/seg2
.
g = 9.8 m/seg2
. d = T/F P = F= 9.8 kgm/seg2
.
T = 19.6 J F = 9.8 Newtons
19.6 N.m d = 19.6 N.m
d = h= 9.8 N
P = F d = 2 metros
5.- Un viajero levanta su petaca de 196 Newtons hasta una altura de 0.5
metros. ¿Qué trabajo realiza?
F = 196 N T = Fd T = 196 N x 0.5 m =
h = d = 0.5 m T = 98 Joules.
T = ¿
1.- Un bloque cuya masa es de 3 kg es jalado por una fuerza de 45 Newtons
con un ángulo de 30° respecto a la horizontal, desplazándolo 5 metros.
Calcular el trabajo realizado para mover el bloque.
F = 45 N T = Fd cos θ T = 45 N x 5 m
x cos 30°
θ = 30° T = 45 N x 5 m x
0.8660
d = 5 m T = 194.85 N.m
T = T = 194.85 Joules
2.- Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 200 Newtons que forma un
ángulo de 25° respecto a la horizontal, al desplazar 2 metros al cuerpo.
T = ¿ T = F d cos θ T = 200 N x 2 m x
0.9063
F = 200 N T = 362.52 N.m
9

d = 2 m T = 362.52
Joules.
θ = 25°
3.- ¿A que distancia, se desplazará un cuerpo, si se le aplica una fuerza de 350
N, con un ángulo de 60° respecto a la horizontal y se realiza un trabajo de 500
Joules?.
d = ¿ d = T/F cos θd = 500 N.m/350 N x
0.5
d = 500/175 = 2.85 m
F = 350 N
θ = 60°
T = 500 J
4.- ¿A que distancia se desplazará un cuerpo, si se le aplica una fuerza de 600
N, con un ángulo de 75° respecto a la horizontal y se realiza un trabajo de 750
Joules?
d = ¿ d = T/F cos θd = 750 N.m/600 N x
0.2588
d = 500N.m/155.28 N
= 3.22 metros.
F = 600 N
θ = 75°
T = 750 J
5.- ¿Con que ángulo se desplazará un cuerpo, si sobre él se realiza un trabajo
de 825 Joules y se desplaza una distancia de 5.25 metros, al aplicarle una
fuerza de 450 Newtons?
θ = ¿ cos θ = T/Fd cos θ = 825 N.m/450 N x
5.25 m.
T = 825 J cos θ = 825 N.m/2362.5
N.m.
F = 450 N cos θ = 0.3492
d = 5.25 m θ = cos-1
0.3492 = 69.5°.
10

1.- Este término se define como una magnitud escalar, producido solo cuando
una fuerza mueve un cuerpo en su misma dirección.
A. Ímpetu
B. Impulso
C. Trabajo
D. Momento
E. Energía
2.- ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza de 20 newtons que actúa a
través de una distancia paralela de 8 metros?
A. 190 Joules
B. 165 Joules
C. 170 Joules
D. 178 Joules
E. 160 Joules
3.- Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000 newtons sobre un
barco, cuando lo desplaza a una distancia de 15 metros. ¿Cuál es el trabajo
realizado?
A. 98 kJ
B. 75 kJ
C. 85 kJ
D. 60 kj
E. 92 kj
4.- Un empuje de 30 libras se aplica a lo largo de un asa de una cortadora de
césped, produciendo un desplazamiento horizontal de 40 pies. Si el asa forma
un ángulo de 30° con el suelo. ¿Qué trabajo fue realizado por la fuerza de 30
libras?
A. 1048 lb.ft
B. 1040 lb-ft
C. 2033 lb.ft
D. 1150 lb.ft
E. 2200 lb.ft
5.- ¿Qué trabajo realiza una fuerza de 60 newtons al arrastrar un bloque a
través de una distancia de 50 metros, cuando la fuerza es transmitida por
medio de una cuerda que forma un ángulo de 30° con la horizontal?
A. 2550 Joules
B. 2300 Joules
C: 2490 Joules
D. 2330 Joules
E. 2600 Joules
11

e. Desarrollo del Tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.
TEMA 3.2. TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA
SUBTEMA 3.2.1. CONCEPTO DE ENERGIA CINETICA
SUBTEMA 3.2.2. APLICACIONES DE LA ENERGIA CINETICA.
Energía Cinética
Encontrar una definición precisa para la energía no es
algo sencillo, sin embargo podemos decir:
La energía es una propiedad que caracteriza la
interacción de los componentes de un sistema físico que tiene la
capacidad de realizar un trabajo. Es importante señalar que la
energía de diferentes formas, sin embargo, no se crea de la nada, ya
que cuando hablamos de producir energía, en realidad nos referimos
a sus transformación de una energía a otra, ya que la energía no se
crea ni se destruye sólo se transforma. En conclusión: un cuerpo
tiene energía si es capaz de interaccionar con el sistema del cual
forma parte, para realizar un trabajo. La unidad de energía en el
Sistema internacional es el Joule (J).
Dos de los principales tipos de energía son la energía potencial
y energía cinética.
Energía cinética. Todo cuerpo en movimiento tiene
energía cinética. Por ejemplo una persona cuando camina o corre, un
avión en pleno vuelo o al momento de adquirir velocidad para su
despegue, una corriente de agua, un disco que gira, la rueda de la
fortuna, un pájaro al volar, una canica al rodar por el suelo, una
manzana que cae de un árbol y en fin, todo aquello que está en
movimiento tiene energía cinética.
Un cuerpo suspendido a cierta altura, al ser soltado transforma su
energía potencial gravitacional en energía cinética traslacional. Por
ejemplo, para construir la Torre Latinoamericana, edificio ubicado en
el centro de la Ciudad de México, fue necesario reforzar el suelo
blando de esa área, mediante pilotes, los cuales fueron introducidos
o clavados por medio de un martinete, elaborado básicamente por un
gran mazo dentro de guías para mantenerlo correctamente en la
dirección del blanco u objetivo.
La ecuación que representa a la energía cinética es la siguiente:
Ec = ½ mv2
.
Donde Ec = energía cinética en Joules
m = masa del objeto en kg
v = velocidad del objeto en m/seg.
Teorema del trabajo.- El trabajo de una fuerza externa resultante
sobre un cuerpo es igual al cambio de la energía cinética del
cuerpo.
12

PROBLEMAS DE ENERGIA CINETICA.
1.- Calcular en joules la energía cinética traslacional que lleva una
bala de 8 gramos si su velocidad es de 400 m/seg.
Ec= Ec = ½ mv2
. Ec= 0.5 x 0.008 kg
(400 m/seg)2
.
m = 8 gr
= 0.008 kg Ec = 640 Joules
v = 400 m/seg
2.- Calcular la masa de un cuerpo cuya velocidad es de 10 m/seg y
su energía cinética traslacional es de 1000 Joules.
m = m = 2Ec m= 2 (1000 N.m) =
v = 10 m/seg v2
. (10 m/seg)2
Ec = 1000 J m = 20 kg
= 1000 N.m
3.- Determinar la velocidad que lleva un cuerpo cuya masa es de 3
kg si su energía cinética traslacional es de 200 Joules.
v = v = √2Ec v= √2 (200 N.m)
m = 3 kg m 3 kg
Ec = 200 J v = 11.55 m/seg
= 200 N.m
4.- Calcule la energía cinética de un mazo de 4 kg en el instante en
que su velocidad es de 24 m/seg.
Ec = ¿ Ec = ½ mv2
. Ec = 0.5 x 4 kg x (24
m/seg)2
.
m = 4 kg Ec = 1152 Joules.
v = 24 m/seg
5.- Calcule la energía cinética de un automóvil de 3200 lb de peso
que viaja a 88 pies/seg. Utilice para los cálculos el valor de la
gravedad del sistema inglés (32 pies/seg2
.)
13

P= 3200 lb m = P/g m = 3200 lb/32 ft/seg2
.
m = 100 slugs
v = 88 ft/seg Ec = ½ mv2
. Ec = 0.5 x 100 slugs x
(88
ft/seg)2
.
g = 32 ft/seg2
. Ec = 3.87 E 5 lb.ft.
e. Evaluación del tema 3.2. Teorema del trabajo y la energía.
1.- Un martillo de 0.6 kg se mueve a 30 m/seg inmediatamente antes
de golpear una alcayata. Calcule su energía cinética.
A. 345 Joules
B. 270 Joules
C. 322 Joules
D. 288 Joules
E. 290 Joules
2.- Se define como una propiedad que caracteriza la interacción de
los componentes de un sistema físico que tiene la capacidad de
realizar un trabajo.
A. Ímpetu
B. Impulso
C. Cantidad de movimiento
D. Energía
E. Trabajo
3.- Es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento
A. Energía Eólica
B. Energía radiante
C. Energía química
D. Energía potencial
E. Energía cinética
4.- La energía cinética de un cuerpo con relación a la velocidad tiene
la siguiente relación.
A. Es igual al cuadrado de la velocidad
B. Es igual a la raíz cuadrada de la velocidad.
C. Es igual al cubo de la velocidad
D. Es igual a la mitad de la velocidad
E. Es igual a la raíz cúbica de la velocidad.
5.- La energía cinética de un cuerpo con relación a la masa del
mismo tiene la siguiente relación:
14

A. Es igual al cubo de la masa
B. Es igual al doble de la masa
C. Es igual al cuadrado de la masa
D. Es igual a la mitad de la masa
E. Es igual a la raíz cuadrada de la masa.
f. Bibliografía específica del tema 3.2. Teorema del trabajo y la
energía.
d. Desarrollo del tema 3.3. Potencia mecánica.
TEMA 3.3. POTENCIA MECANICA.
SUBTEMA 3.3.1. DEFINICION DE POTENCIA MECANICA
SUBTEMA 3.3.2. RESOLUCION DE PROBLEMAS DE POTENCIA
MECANICA.
La potencia mecánica se define como la rapidez con que se realiza
un trabajo. Se mide en watts (W) y se dice que existe una potencia mecánica
de un watt cuando se realiza un trabajo de un joule por segundo:
1 W = J/seg.
Por ejemplo, mientras una persona sube por una escalera un bulto de
cemento de 50 kg a un departamento que se encuentra en reparación en el
cuarto piso de un edificio, otra persona utilizando una polea, sube otro bulto de
50 kg hasta el mismo piso en un menor tiempo, ¿quién realiza mayor trabajo?
puesto que cada quien elevó un bulto de 50 kg a la misma altura el trabajo
realizado es el mismo, sólo que uno lo efectuó en menor tiempo.
El hombre siempre ha buscado realizar su trabajo en el menor tiempo
posible, de ahí la necesidad de introducir un nuevo concepto que señale
claramente con qué rapidez se hace un trabajo, este concepto recibe el nombre
de potencia. Por definición: Potencia mecánica es la rapidez con que se
realiza un trabajo. Su expresión matemática es:
P = T
t
donde P = potencia en Joules/seg = watts (W).
T = trabajo realizado en Joules (J).
t = tiempo en que se realiza en trabajo en segundos (seg).
Como se observa, la unidad usada en el Sistema Internacional para
medir potencia es el watt y significa trabajo de un joule realizado en un
segundo. (En honor al escocés James Watt, 1736-1819, famoso por la
construcción de una máquina de vapor).
Sin embargo, todavía se emplean las siguientes unidades prácticas: el
caballo de fuerza (H.P.) y el caballo de vapor (C.V.)
1 H.P. = 746 Watts 1 C. V. = 736 Watts.
Como el trabajo es igual a T = Fd y como la potencia es P = T/d = Fd/t,
pero d/t = v (velocidad) entonces la potencia es igual a:
P = Fv.
P = Potencia mecánica en Watts.
15

F = Fuerza en en Newtons.
v = velocidad en metros por segundo (m/seg).
Esta expresión permite calcular la potencia si se conoce la velocidad que
adquiere el cuerpo, misma que tendrá una dirección y un sentido igual a la de
la fuerza que recibe.
Para conocer la eficiencia (η) o rendimiento de una máquina que
produce trabajo, tenemos la expresión:
η = Trabajo producido por la máquina x 100.
Trabajo suministrado a la máquina.
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE POTENCIA MECANICA.
1.- Calcular la potencia de una grúa que es capaz de levantar 30 bultos de
cemento hasta una altura de 10 metros en un tiempo de 2 segundos, si cada
bulto tiene una masa de 50 kg.
Datos Fórmula
P = ¿ P = T/t = Fd/t
m = 30 x 50 kg
m = 1500 kg
h = 10 m
t = 2 seg
Solución : Para elevar los 30 bultos a velocidad constante, debe desarrollarse
una fuerza igual a su peso, donde :
F = P = 1500 kg x 9.8 m/seg2
. = 14 700 Newtons.
P = 14700 N x 10 m/2 seg = 73500 Watts.
2.- Calcular el tiempo que requiere un motor de un elevador cuya potencia es
de 37500 Watts, para elevar una carga de 5290 Newtons hasta una altura de
70 metros.
Datos Fórmula
t = ¿ P = Fd/t despejando t tenemos:
P = 37500 Watts t = Fd/P.
F = 5290 Newtons
h = 70 m.
Sustitución y resultado:
t = 5290 N x 70 m/37500 N.m/seg. = 9.87 seg.
3,. La potencia de un motor eléctrico es de 50 H.P.¿A qué velocidad constante
puede elevar una carga de 9800 Newtons?
Datos Fórmula
16

P = 50 H.P. P = Fv despejando v tenemos: v = P/F.
v = ¿
F = 9800 N.
Sustitución y resultados.
Conversión de unidades:
50 H. P. x 746 W = 37300 Watts.
1 H.P.
v = 37300 N.m/seg = 3.81 seg.
9800 N
4.- Determinar en watts y en caballos de fuerza, la potencia que necesita un
motor eléctrico para poder elevar una carga de 20 x 103
N a una altura de 30
metros en un tiempo de 15 segundos.
Datos Fórmula. Sustitución.
P = ¿ P = Fd/t P = 20 x 103
N x 30 m
F = 20 x 103
N 15 seg
d = 30 m P = 40000 Watts.
t = 15 seg P = 40000 W x 1 H.P/746 W = 53.62 H.P.
5.- Un motor cuya potencia es de 70 H.P. eleva una carga de 6 x 10 3 N a una
altura de 60 metros. ¿En qué tiempo la sube?
Datos Fórmula.
P = 70 H.P. P = Fd/t. despejando t tenemos: t = Fd/P.
F = 6 x 103
N.
h = d = 60 m
Sustitución y resultado:
Conversión de la potencia a watts:
70 H.P. x 746 Watts = 52220 Watts.
1 H.P.
t = 6 x 103
N. x 60 m = 6.89 seg.
52220 N.m/seg.
e. Evaluación del tema 3.3. Potencia mecánica.
1. Este parámetro se define como la rapidez con que se
realiza un trabajo, su unidad es el watt.
A. Impulso
B. Ímpetu
17

C. Cantidad de movimiento
D. Potencia mecánica
E. Energía cinética.
2.- Este parámetro se obtiene al dividir el trabajo mecánico
entre el tiempo que se emplea en realizar dicho trabajo.
A. Cantidad de movimiento
B. Potencia mecánica
C. Ímpetu
D. Energía Cinética
E. Impulso
3.- La potencia mecánica con relación al trabajo mecánico,
tiene la siguiente relación:
A. Es igual a la raíz cuadrada del trabajo
B. Es inversamente proporcional
C. Es igual al cuadrado del trabajo
D. Es igual al doble del trabajo
E. Es directamente proporcional
4. La potencia de un motor eléctrico en watts es de 1960 watts
¿Cuál es la potencia en caballos de vapor (C.V.)
A. 3.88
B. 1.55
C. 3.57
D. 2.66
E. 4.35
5. Si un estudiante de 50 kg de masa sube al tercer piso de su
escuela, que se encuentra a 11 metros de altura, en 15
segundos. ¿Qué trabajo realiza por unidad de tiempo?
A. 299.44 watts
B. 156.23 watts
C. 188.44 watts
D. 250.25 watts
E. 123.56 watts
f. Bibliografía específica del tema 3.3. Potencia
mecánica. Física General. Héctor Pérez Montiel.
Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.
d. Desarrollo del tema 3.4. Fuerzas conservativas y no
conservativas.
18

TEMA 3.4. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS
SUBTEMA 3.4.1. CONCEPTO DE ENERGIA POTENCIAL.
SUBTEMA 3.4.2. APLICACIONES DE LA ENERGIA POTENCIAL.
Energía Potencial. Cuando levantamos un cuerpo
cualquiera, a una cierta altura (h), debemos efectuar un trabajo igual
al producto de la fuerza aplicada por la altura a la que fue
desplazado. Este trabajo se convierte en energía potencial
gravitacional, llamada así pues su origen se debe a la atracción
gravitacional ejercida por la tierra sobre el cuerpo. Así pues, debido a
la atracción de la tierra, si el cuerpo se deja caer, será capaz de
realizar un trabajo del mismo valor sobre cualquier objeto en el que
caiga, ya que puede comprimir un resorte, perforar el piso e introducir
pilotes hechos de hormigón armado en terrenos frágiles.
Como el trabajo (T) realizado para elevar un cuerpo es igual a la
energía potencial gravitacional (EPG), tenemos:
EPG = T = Ph.
La fuerza requerida para elevar un cuerpo a una cierta altura es igual
a su peso, por lo tanto:
F = P = mg
Donde la energía potencial gravitacional es igual a:
EPG = Ph = mgh.
g = 9.8 m/seg2
. Sistema Internacional
g = 32.2 ft /seg2
. Sistema Inglés.
La energía potencial gravitacional de un cuerpo
localizado a una cierta altura depende del nivel tomado como
referencia. Por ejemplo, si un bloque de madera de 2 kg de masa
está sobre una mesa cuya altura es de 1 metro y se levanta a una
altura de 0.6 metros arriba de la mesa, el bloque tendrá una energía
potencial gravitacional respecto a la mesa igual a:
EPG = mgh = 2 kg x 9.8 m/seg2
x 0.6 m= 11.76 J.
Pero respecto al suelo, su altura es de 1.6 metros, por lo tanto
considerando este nivel de referencia su energía potencial
gravitacional es de:
EPG = mgh = 2 kg x 9.8 m/seg2
x 1.6 m = 31.36 J.
PROBLEMAS DE ENERGÍA POTENCIAL.
1.- Un cuerpo de 4 kg se encuentra a una altura de 5 metros. ¿Cuál
es su energía potencial gravitacional?.
19

m = 4 kg Ep = mgh Ep = 4 kg x 9.8 m/seg2
x 5 m
h = 5 metros Ep = 196 Joules
Ep =?
2.- Calcular la altura a la que debe estar una persona, cuya masa es
de 60 kg, para que su energía potencial gravitacional sea de 5000
Joules.
h= h = Ep h= 5000 N.m
m = 60 kg mg 60 kg x 9.8 m/seg2
.
Ep 5000 J h = 8.5 metros.
= 5000 N.m
g = 9.8 m/seg2
.
3.- Calcular la masa de una piedra que tiene una energía potencial
gravitacional de 49 Joules si se eleva a una altura de 2 metros.
m = m = Ep m = 49 N.m______ =
Ep = 49 J gh 9.8 m/seg2
.x 2 m
= 49 N.m m = 2.5 kg
h= 2 m
4.-Un carburador de 250 gramos se mantiene a 200 mm sobre un
banco de trabajo que está a 1 metro del suelo. Calcule la energía
potencial con (a) respecto a la parte superior del banco (b) el piso.
m = 0.250 kg EP= mgh a) Ep = 0.250 kg x 9.8 m/seg2
x
0.200 m.
h1 = 0.200 m a) Ep = 0.49 Joules.
h2 = 1.2 m b) Ep = 0.250 kg x 9.8 m/seg2
x
1.2 m.
g = 9.8 m/seg2
. b) Ep = 2.94
Joules.
a) Ep = banco= ?
b) Ep = piso = ?
5.- Una unidad comercial de aire acondicionado de 800 libras de
peso es elevada por medio de un montacargas a 22 pies del piso.
¿Cuál es la energía potencial con respecto del piso?.
Datos Fórmulas Sustitución.
P = 800 lb Ep = Ph Ep = 800 lb x 22 ft =
h = 22 ft
20

Ep = ¿ Ep = 17600 lb.ft.
e. Evaluación del Tema 3.4. Fuerzas conservativas y no
conservativas.
1. Un bloque de 2 kg reposa sobre una mesa a 80 cm del piso.
Calcule la energía potencial del bloque en relación al piso.
A. 22.3 joules
B. 18.4 joules
C. 15.7 joules
D. 25.6 joules
E. 12.3 joules
2.- Es la energía que posee un cuerpo debido a su posición
A. Energía eléctrica
B. Energía potencial
C. Energía eólica
D. Energía química
E. Energía potencial
3.- Es el parámetro indispensable para hacer cálculos de la
energía potencial.
A. peso
B. velocidad
C: masa
D. gravedad
E. fuerza
4.- En un problema de energía potencial, la misma es
directamente proporcional a estos dos parámetros.
A. aceleración y velocidad
B. peso y fuerza
C. masa y altura
D. aceleración angular y velocidad angular
E. masa y velocidad.
5.- La energía potencial, con respecto al peso de un cuerpo
tiene la siguiente relación.
A. Es igual a la raíz cuadrada del peso.
B. Es inversamente proporcional
C. Es igual al doble del peso
D. Es igual a la mitad del peso
E. Es directamente proporcional.
21

f. Bibliografía específica del tema 3.4. Fuerzas conservativas y
no conservativas. Física General. Héctor Pérez Montiel.
Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión 2004.
d. Desarrollo del tema 3.5. Teorema de la conservación de la
energía mecánica.
SUBTEMAS 3.5.1. Y 3.5.2. DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE
CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA, Y APLICACIONES DEL
TEOREMA.
Con mucha frecuencia, a velocidades relativamente bajas tiene lugar un
intercambio entre las energías potencial y cinética. Por ejemplo, supongamos
que se levanta una masa m hasta una altura h y, luego se deja caer, como se
muestra en la figura siguiente:
Una fuerza externa ha incrementado la energía del sistema, dándole una
energía potencial, Ep = mgh en el punto más alto. Esta es la energía total
disponible para el sistema y no puede modificarse, a menos que se enfrente a
una fuerza de resistencia externa. A medida que la masa cae, su energía
potencial disminuye debido a que se reduce la altura sobre el piso. La
disminución de energía potencial reaparece en forma de energía cinética a
causa del movimiento. En ausencia de la resistencia del aire, la energía total
permanece igual (Ep + Ec). La energía potencial sigue transformándose en
energía cinética hasta que la masa llegue al piso (h = 0). En esta posición final,
la energía cinética es igual a la energía total, y la energía potencial es cero. Es
importante señalar que la suma de Ep y Ec es la misma en cualquier punto
durante la caída.
Energía total = Ep + Ec = constante.
Se dice que la energía mecánica se conserva. En nuestro ejemplo, la
energía total en el punto más alto es mgh y la energía total a ras de suelo es ½
Máxima= Ep = mgh Ec = 0
h
Y
Ep + Ec = mgY. + ½ mv2
.
= mgh
= ½ mv2
f.
Ep = 0, final Ec = ½ mv2
f.
Vf
O
V
22

mv2
, si se desprecia la resistencia del aire. Ahora podemos enunciar el principio
de la conservación de la energía mecánica:
Conservación de la energía mecánica: En ausencia de resistencia del aire o
de otras fuerzas disipativas, la suma de las energías potencial y cinéticas
es una constante, siempre que no se añada ninguna otra energía al
sistema.
Siempre que se aplique este principio resulta conveniente pensar en el
inicio y el final del proceso de que se trate. En cualquiera de esos puntos, si la
velocidad no es igual a cero, existe una energía cinética, y si la altura no es
cero hay una energía potencial. Así pues, podemos escribir:
(Ep + Ec)inicial = (Ep + Ec) Final. (1)
mgho + ½ mv2
o. = mghf + ½ mv2
f. (2)
Los subíndices o y f indican los valores iniciales y finales, respectivamente. La
ecuación (2), por supuesto, se aplica cuando no participan fuerzas de fricción.
En el ejemplo donde se plantea el caso de un objeto que cae a partir del
reposo desde una posición inicial ho, la energía total inicial es igual a mgho (Vo
= 0) y la energía total final es 1/2mv2
f (h=0).
mgho = 1/2mv2
f. (3)
Resolviendo esta ecuación para vf obtenemos una ecuación útil para
determinar la velocidad final, a partir de las consideraciones generales sobre la
energía de un cuerpo que cae desde el reposo sin que lo afecte la fricción.
vf = √2gho. (4).
Una gran ventaja de este método es que la velocidad final se determina
a partir de los estados de energía inicial y final. La trayectoria real no tiene
importancia cuando no hay fricción. por ejemplo, se obtiene la misma velocidad
final si el objeto sigue una trayectoria curva partiendo de la misma altura inicial
ho.
PROBLEMAS DE LA CONSERVACION DE LA ENERGÍA MECANICA.
1.- Una masa de 40 kg se impulsa lateralmente hasta que queda 1.6 metros por
arriba de su posición más baja. Despreciando la fricción, a) ¿Cuál será su
velocidad cuando regrese a su punto más bajo?. ¿Cuáles son sus energías
potencial y cinética?
Solución: a) La conservación de la energía total requiere que (Ep + Ec) sea la
misma al principio y al final. Por lo tanto:
23

mgho + 0 = 0 + 1/2mv2
f. De donde se puede eliminar las masas y obtener:
_____ __________________
vf = √2gho. = √2 (9.8 m/seg2
) x 1.6 m = 5.60 m/seg.
Ep = mgh = 40 kg x 9.8 m/seg2
.x 1.6 m = 627 Joules.
Ec = ½ mv2
. Ec = 0.5 x 40 kg x (5.60 m/seg)2
.= 627 Joules.
2.- Si se arroja una pelota de 0.200 kg verticalmente hacia arriba, con una
velocidad inicial de 27.77 m/seg, ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
Despréciese la fuerza de rozamiento.?
Ec = Ep = 1/2mv2
= mgh. despejando h tenemos:
h = 1/2mv2
./mg = 0.5 x 0.200 kg x (27.77
m/seg)2
/0.200 kg x 9.8 m/seg2
. = 39.34 metros.
3.-Se deja caer una piedra de 500 gr, desde la azotea de una casa de 6 metros
de altura. ¿Con qué velocidad llega a la superficie terrestre?. No considere la
fuerza de rozamiento.
____ ________________
vf = √2gho. = √2 x 9.8 m/seg2
x 6 m = 10.84 m/seg
4.- ¿A qué altura se encontrará una piedra de 500 gr que se deja caer, si su
energía potencial es de 29.4 Joules y la velocidad con que llega al suelo es de
5.42 m/seg?
Solución: Cuando se suelta la piedra, su energía cinética es cero y la Energía
potencial 29.4 joules, así que la energía mecánica total es:
ET = Ec + Ep . ET = 0 + 29.4 J = 29.4 Joules.
Ahora calculamos la energía cinética cuando la piedra lleva una velocidad de
5.42 m/seg :
Ec = ½ mv2
. = 0.5 x 0.5 kg x (5.42 m/seg)2
. = 7.34 Joules.
Como se conserva la energía mecánica total, la energía potencial en ese punto
es:
Ep = ET- Ec = 29.4 J – 7.34 J = 22.06 J
Despejando h de la fórmula de Ep:
Ep = mgh. h = Ep/mg = 22.06 N.m/0.5 kg x 9.8 m/seg2
. =
22.06 N.m/4.9 N = 4.50 metros.
5.- Una bala de plomo de 10 gramos choca contra un bloque de madera,
firmemente sujeto a la pared, con una velocidad de 500 m/seg, penetrando en
el bloque a una distancia de 15 cm. ¿Qué cantidad de calor se produce debido
a la fuerza de rozamiento que detiene a la bala? ¿Cuál es el valor de la fuerza
de rozamiento?
24

Solución: La energía cinética de la bala, antes del choque, se convierte en calor
debido al trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Por lo tanto
calcularemos primero la energía cinética:
Ec = ½ mv2
. = 0.5 x 0.010 kg x (500 m/seg)2
. = 1250 Joules.
El calor es igual a la energía cinética; esto es, 1250 Joules que convertidos a
calor nos dan 298.61 calorías mediante la conversión con el equivalente
mecánico del calor.
1 cal = 4.186 Joules. 1250 Joules (1 cal/4.186 Joules) = 298.61 cal.
La fuerza de rozamiento la obtenemos de la fórmula del trabajo:
T = Fd. despejando F = T/d. F = 1250 N.m/0.15 m = 8333.33 N.
e. Evaluación del tema 3.5. Teorema de Conservación de la energía mecánica.
1.- El enunciado “La energía total de un sistema se
conserva cuando no hay fuerzas de rozamiento”.
Corresponde a:
A. Conservación de la potencia mecánica
B. Conservación de la energía cinética total
C. Conservación de la energía potencial total
D. Conservación de la energía mecánica total
E. Conservación del trabajo total.
2.- El enunciado “En ausencia de resistencia del aire o
de otras fuerzas disipativas, la suma de las energías
potencial y cinéticas es una constante, siempre que no
se añada ninguna otra energía al sistema.”
A. Conservación de la energía cinética total
B. Conservación de la energía potencial total
C. Conservación de la energía mecánica total
D. Conservación de la potencia total
E. Conservación del trabajo total
3.- De acuerdo a la teoría de la conservación de la
energía mecánica, esta es:
A. Variable
B. Constante
C. Es igual a la unidad
D. Es igual al 100%
E. Es igual al 50%.
energía mecánica, un cuerpo antes de ser soltado a
25

una cierta altura con relación al suelo, su energía
potencial con respecto a la energía total es de:
A. 90 %
B. 50%
C. 0%
D. 1 %
E. 100%
energía mecánica, cuando se suelta un cuerpo desde
una cierta altura y este llega al suelo, este tendrá una
energía potencial igual al:
A. 25%
B. 100%
C. 50%
D. 0%
E. 90%
f. Bibliografía específica del tema 3.5. Teorema de
conservación de la energía mecánica. Física, conceptos
y aplicaciones. Paul E. Tippens. Ed. McGraw-Hill. Sexta
Edición 2001.
d. Desarrollo del tema 3.6. Oscilaciones armónicas.
TEMA 3.6. OSCILACIONES ARMONICAS
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, es
decir se repite a intervalos iguales de tiempo. Puede ser descrito en
función del movimiento circular uniforme, considerándolo como la
proyección sobre cualquier diámetro de un punto que se mueve en una
trayectoria circular con velocidad constante como se ve en la figura siguiente.
26

Al observar el movimiento armónico que describe el punto A de la figura
anterior al moverse de un lado a otro de la línea recta formada por P y Q,
podemos apreciar que su velocidad cambia en forma constante: cuando está
en el punto central O su velocidad es la máxima, mientras en P y Q la velocidad
es momentáneamente nula; después aumenta poco a poco hasta llegar a O
donde es máxima para de nuevo disminuir hasta llegar a cero en el otro
extremo de la trayectoria.
Es evidente que si la velocidad va cambiando, existe una aceleración.
Dicha aceleración siempre se dirige a la posición central de equilibrio y su valor
varía de la siguiente forma: cuando se inicia el movimiento en cualquiera de los
extremos P o Q hacia el centro o punto O, en los extremos se tiene la mayor
aceleración, la cual disminuye a medida que se acerca al centro donde se hace
nula; después de pasar el punto central, nuevamente aumenta la aceleración
hasta llegar a su valor máximo, cuando llega al otro extremo, en el que la
velocidad de hace nula. Por lo tanto en la posición de equilibrio la aceleración
es nula y la velocidad tendrá su valor máximo, y en los extremos la aceleración
tendrá su valor máximo y la velocidad nula.
En el movimiento armónico simple resultan útiles los siguientes
conceptos:
Elongación.- Es la distancia de una partícula a su punto de
equilibrio. Puede ser positiva o negativa, según esté hacia la derecha o a la
izquierda de la posición de equilibrio.
Amplitud. Es la máxima elongación cuyo valor será igual al radio de
la circunferencia.
Para calcular la elongación de una partícula oscilatoria en cualquier
instante de tiempo t se usa la expresión: Y = r cos 2 π F t. obtenida mediante la
siguiente deducción:
Al representar a la elongación con la letra Y y al considerar que la
elongación de una partícula oscilatoria es igual a la proyección sobre el
diámetro horizontal del radio r descrita por el móvil de la figura siguiente se
tiene que el valor de Y equivale al cateto adyacente, por lo cual su valor es:
Y = r cos θ. (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), sustituyendo 2 y 3 en 1:
P Q
AO
r
VL
a
27

Y = r cos 2 π F t.
Donde: Y = elongación de la partícula en metros.
r = radio de la circunferencia en metros.
F = frecuencia en ciclos/seg
t = tiempo en segundos (seg)
Velocidad de oscilación.- Es el resultado de proyectar la velocidad lineal
del movimiento circular de un cuerpo sobre el diámetro de la
circunferencia como se ve en la figura siguiente, de modo que la expresión
matemática de la velocidad de oscilación será:
v = - vL sen θ (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), vL = ω r (4), sustituyendo 2, 3
y 4 en 1 queda:
v = - 2 π F r sen 2 π F t.
donde v = velocidad de oscilación en m/seg.
F = frecuencia en ciclos/seg.
r = radio de la circunferencia en metros (m)
t = tiempo en segundos (seg).
VL
Y
r
θ
A
C
D B
VL
VL
VL
VL
v
θ
θ
28

Como se observa en la figura anterior, cuando la velocidad lineal es
paralela al diámetro (puntos A y C), la velocidad de oscilación del cuerpo será
mayor y tendrá un valor igual a la velocidad lineal. Cuando la velocidad lineal
es perpendicular al diámetro (puntos B y D) su proyección sobre el diámetro es
nula, por lo tanto su valor es cero.
Aceleración de una partícula oscilante.- En el MAS, la aceleración
de una partícula oscilante tiene un valor igual a la proyección sobre el
diámetro de la aceleración radial ar, del movimiento circular uniforme de
un cuerpo como se ve en la figura siguiente, por lo que la expresión
matemática de la aceleración de una partícula oscilante será:
a = - ar cos θ.
como ar = ω2
r.
ω = 2 π F
θ = ω t
θ = 2 π F t.
tendremos que :
a = - 4 π2
F2
r cos 2 π F t.
puesto Y = r cos 2 π F t., la ecuación de la aceleración de una partícula
oscilante también se puede expresar como:
a = - 4 π2
F2
Y.
donde a = aceleración en m/seg2
.
F = frecuencia en ciclos/seg.
Y = elongación en metros (m).
El signo de la aceleración de una partícula oscilante es negativa, por que
su sentido es siempre contrario al sentido del movimiento.
Si observamos la ecuación de la aceleración de una partícula oscilante,
tenemos que ésta es directamente proporcional a la elongación, pero de
sentido contrario. De la ecuación de la aceleración de una partícula oscilante
puede despejarse la frecuencia quedando de la siguiente manera:
___________ ____
F = √ - a/4 π 2
Y = 1 / 2 π √ - a/Y
a
ar
θ
θ
VL
29

GRAFICAS SINUSOIDALES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
En el movimiento armónico simple (MAS) la elongación, la
velocidad y la aceleración se expresan en funciones
trigonométricas sencillas de un ángulo. Se le denomina simple para
distinguirlo de un movimiento amortiguado. Una curva senoide es la
gráfica del seno de un ángulo trazada en función del ángulo. Toda onda
de esta forma recibe el nombre de senoide o sinusoide. Para trazar las
gráficas sinusoidales del MAS, recordemos lo siguiente :
1.- La Elongación Y es la distancia que separa al móvil del centro o
posición de equilibrio. Es positiva si está a la derecha de su posición de
equilibrio y negativa si está a la izquierda. Su valor a un tiempo t se
calcula con la expresión:
Y = r cos ω t .
Nota: La amplitud es la máxima elongación, cuyo valor es igual al radio r de la
circunferencia.
2.- La velocidad de oscilación v, es el resultado de proyectar la velocidad
lineal vL del movimiento circular de un cuerpo, sobre el diámetro de la
circunferencia. Su valor a un tiempo t se calcula con la expresión:
v = - vL sen θ. como VL = ω r y θ = ω t por lo tanto:
v = - ω r sen ω t.
La velocidad de oscilación será positiva si el móvil va a la derecha
y negativa si va a la izquierda.
3.- La aceleración de una partícula oscilante a, tiene un valor igual a la
proyección sobre el diámetro de la aceleración radial ar del movimiento
circular uniforme de un móvil. Su valor a un tiempo t se calcula con la
expresión: a = - ar cos θ.
como ar = ω2
r y θ = ω t, por lo tanto:
a = - ω2
r cos ω t.
Oscilador Armónico.
Otro ejemplo de movimiento armónico simple es el que presenta
el resorte de la figura siguiente, el cual tiene suspendido un cuerpo en su
extremo inferior:
30

Al darle un tirón hacia abajo al cuerpo que tiene suspendido el
resorte, éste se estira (inciso b de la figura) y al soltar el cuerpo la fuerza
de restitución del resorte tratará de que recupere su posición de
equilibrio, pero al pasar por ella y debido a la velocidad que lleva, por
inercia sigue su movimiento comprimiendo el resorte (inciso c de la
figura), por ello vuelve a actuar la fuerza de restitución ahora hacia abajo
y nuevamente el cuerpo pasa por su posición de equilibrio. Sin embargo,
por la inercia no se detiene y se estira nuevamente, así actúa otra vez la
fuerza de restitución jalándolo hacia arriba. Se repiten en forma sucesiva
estos movimientos de abajo hacia arriba y el cuerpo se comporta como
un oscilador armónico. Si no existieran fuerzas de fricción, el movimiento
del cuerpo, a uno y otro lado de su posición de equilibrio, continuaría
indefinidamente.
Conforme aumenta la fuerza del tirón aplicado al cuerpo, la fuerza
de restitución encargada de que el cuerpo recupere su posición de
equilibrio, también aumenta en la misma proporción. Según la Ley de
Hooke la fuerza de restitución que actúa para que un cuerpo
recupere su posición de equilibrio es directamente proporcional al
desplazamiento del cuerpo. Como la fuerza de restitución es opuesta
al desplazamiento su signo es negativo y la expresión matemática
siguiente resume lo expuesto:
F = - kd.
donde F = fuerza de restitución en Newtons (N)
k = constante del resorte cuyo valor depende del tipo de
material elástico de que se trate y cuyas unidades son N/m.
d = desplazamiento experimentado por el cuerpo elástico de
que se trate en metros (m).
El periodo de un vibrador armónico simple, como es el caso
del resorte de la figura anterior depende de su rigidez. Por lo tanto, a
(a) posición de
equilibrio
(b) Fuerza
debida al
tirón.
(c) Fuerza de
restitución.
31

mayor rigidez del resorte, menor es su periodo. Si un resorte es más
rígido que otro realizará una fuerza de restitución mayor para un
desplazamiento dado y su aceleración también será mayor. La rigidez
del resorte se expresa mediante la constante del resorte k equivalente a
la fuerza de restitución por unidad de desplazamiento.
donde: k = F/d (1).
Por ejemplo, si para un resorte que se desplaza 0.1 metros actúa una
fuerza de restitución de 0.98 Newtons, y cuando se desplaza 0.2 metros
actúa una fuerza de 1.9 Newtons, su constante del resorte será igual a:
k = 0.98 N/0.1 m = 9.8 N/m ó bien k = 1.96 N/0.2 m = 9.8 N/m
De acuerdo con la Ley de Hooke: F = - kd, el signo (-) significa
que el sentido de la fuerza de restitución es opuesto al del
desplazamiento o elongación del resorte; y de la Segunda Ley de
Newton tenemos: F = ma, siendo a, la aceleración del resorte en
cualquier instante, de donde:
F = ma = -kd (2). por consiguiente : a = - (k/m) d (3).
La ecuación 3 nos indica que la aceleración de un cuerpo
vibrador con un movimiento armónico simple, es directamente
proporcional a su desplazamiento o elongación en cualquier
instante.
En forma experimental se ha encontrado que el periodo de un
vibrador armónico simple es directamente proporcional a la raíz
cuadrada de su masa, e inversamente proporcional a la raíz
cuadrada de la constante del resorte (k). Estos resultados
experimentales se expresan matemáticamente con la siguiente
ecuación, la cual nos permite calcular el periodo de vibración de un
cuerpo con un MAS, y en el que se observa que su valor es
independiente de la amplitud.
___________
T = 2 π √ m/k (4)
donde T = periodo en segundos (seg)
m = masa del cuerpo vibrador en kilogramos (kg).
k = constante del resorte en N/m.
PENDULO SIMPLE.
Un péndulo simple está constituido por un cuerpo pesado
suspendido en un punto sobre un eje horizontal por medio de un
hilo de masa despreciable. Cuando se separa un péndulo de su
posición de equilibrio y después se suelta, oscila a uno y otro lado del
mismo efecto de su peso, como se ve en la figura siguiente:
32

El movimiento de un péndulo es otro ejemplo de movimiento armónico
simple (MAS) y su periodo puede ser calculado con la siguiente
ecuación:
_______
T = 2 π √ l/g
Donde: T = periodo del péndulo en segundos (seg).
l = longitud del péndulo en metros (m) se mide desde el
punto donde está suspendido hasta el centro de gravedad del
cuerpo pesado que constituye al péndulo).
g = aceleración de la gravedad igual a 9.8 m/seg2
.
De la ecuación anterior se desprenden las dos leyes del péndulo:
1ª.- El periodo de las oscilaciones, por muy pequeñas que sean, no
depende de la masa del péndulo ni de la amplitud del movimiento, sino
de su longitud.
2ª.- El periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la
longitud del péndulo, e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de
la aceleración debido a la acción de la gravedad.
La ecuación empleada para calcular el periodo de un péndulo, se puede
deducir a partir de la figura anterior. En ella representamos la longitud
del péndulo con l, al peso con P, a la masa m, y al desplazamiento con
d. Como P = mg y sus dos componentes rectangulares son F y F’, y si
además consideramos pequeño al ángulo θ, por lo cual los triángulos
abc, y cde, son prácticamente iguales, tenemos lo siguiente:
F/mg = d/l (1)
reordenando términos: F/d = mg/l = k (2).
De acuerdo con la ecuación 4 de la sección anterior sabemos que:
T = 2 π √ m/k (3).
a
θ
l
b
d c
F F’
e
P = mg
33

Sustituyendo 2 en 3 tenemos:
______
T = 2 π √ m/mg/l (4)
___
Por lo tanto T = 2 π √ l/g
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE MOVIMIENTO ARMONICO
SIMPLE.
1.- Un cuerpo describe un movimiento armónico simple con un radio de 0.1 m.
Si su periodo es de 3 segundos. Calcular a) Su elongación a los 6
segundos. b) su velocidad a los 6 segundos. c) Su velocidad máxima.
Datos Fórmulas
r = 0.1 m F = 1/T
T = 3 seg a) Y = r cos 2 π F t
a) Y 6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F t
b) v 6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.
c) V max = ¿
Sustitución y resultados:
F = 1/3 seg = 0.33 ciclos/seg.
a) Y = 0.1 m cos 2 x 3.14 x 0.33 ciclos/seg x 6 seg
Y = 0.1 m cos 12.43 radianes.
12.43 rad x 57.3°/1 rad = 712.24°.
cos 712.24° = cos (720°- 712.24°) = cos 7.76° = 0.9909
Y = 0.1 m x 0.9909 = 0.099 m.
b) v = -2 x 3.14 x 0.33 ciclos/seg x 0.1 m x sen 712.24°
sen 712.24° = - sen (720° - 712.24°) = - sen 7.76° = - 0.1349
v = - 0.21 m/seg x -0.1349 = 0.028 m/seg.
c) La velocidad maxima se tiene cuando el cuerpo está pasando por un punto
de equilibrio y la elongación es cero. Situación que se presenta cuando
el ángulo es de 90° o bien de 270°.
v max = -2 x 3.14 x 0.33 ciclos/seg x 0.1 m x (+-1) = +- 0.21 m/seg ( la
velocidad máxima es positiva si elegimos el ángulo de 270°.
2.- Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS con un periodo de
4 segundos. Calcular: a) Su elongación, es decir su posición a los 3.6
segundos. b) Su velocidad a los 3.6 segundos. c) Su velocidad máxima.
d) su aceleración máxima.
Datos Fórmulas
r = 0.15 m F = 1/T
T = 4 seg a) Y = r cos 2 π F t
34

a) Y 3.6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F t
b) v 3.6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.
c) V max = ¿ d) a max = - 4 π 2
F2
Ymax
d) a max= ¿
Sustitución y resultados:
F = ¼ seg = 0.25 ciclos/seg.
a) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/seg x 3.6 seg = 0.15 m x 5.65 radianes.
5.65 rad x 57.3°/ 1 rad =323.86°.
cos 323.86° = cos (360° - 323.86°) = cos 36.14° = 0.8073
Y 3.6 seg = 0.15 m x 0.8073 = 0.12 metros.
b) V 3.6 seg = -2 x 3.14 x 0.25 ciclos/seg x 0.15 m x sen 323.86°
sen 323.86° = - sen (360°-323.86°) = - sen 36.14 = - 0.5901.
V 3.6 seg = -0.236 m/seg x – 0.5901 = 0.14 m/seg.
c) V max = - 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/seg x 0.15 m x sen 90° = - 236 m/seg.
d) a max = - 4 (3.14)2
(0.25 ciclos/seg)2
(0.15 m) = - 0.37 m/seg2
.
3.- Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40
cm,
Datos Fórmulas Sustitución
___
l = 40 cm = 0.40 m T = 2 π √ l/g T = 2 x 3.14 √0.4 m/9.8
m/seg2
T = 1.27 seg.
F = 1/T F = 1/1.27 seg = 0.79 ciclos/seg.
g = 9.8 m/seg2
.
T = ¿
F = ¿
e. Evaluación del tema 3.6. Oscilaciones armónicas.
1.- Se define como un movimiento periódico, es decir, se repite a
intervalos iguales de tiempo.
A. Movimiento circular uniforme
B. Movimiento armónico simple
C. Movimiento rotacional
D. Movimiento tangencial
35

E. Movimiento lineal
2.- Se define como la distancia de una partícula a su punto de equilibrio
A. Aceleración de la partícula oscilante
B. Amplitud
C. Velocidad de oscilación
D. Elongación
E. Longitud de onda de la partícula oscilante
3.- Se define como la máxima elongación cuyo valor es igual al radio de
la circunferencia.
A. Velocidad de oscilación
B. Aceleración de la partícula oscilante
C. Longitud de onda de la partícula oscilante
D. Elongación
E. Amplitud
4.- Se define como el resultado de proyectar la velocidad lineal
del movimiento circular de un cuerpo sobre el diámetro de la
circunferencia.
B. Amplitud
C. Elongación
D. Longitud de onda de la partícula oscilante
E. Aceleración de la partícula oscilante
5.- Este parámetro tiene un valor igual a la proyección sobre el
diámetro de la aceleración radial, del movimiento circular
uniforme de un cuerpo
B. Elongación
C. Aceleración de la partícula oscilante
D. Amplitud
E. Longitud de onda de la partícula oscilante.
f. Bibliografía específica del tema 3.6. Oscilaciones armónicas.
Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural.
Cuarta reimpresión 2004.
36

7. Evaluación de la Unidad Temática III. Trabajo, energía y
conservación de la energía.
a.- Trabajo Documental. Los equipos 1 y 2 investigarán en
libros y sitios de internet, el concepto de trabajo mecánico y
resolverán 10 problemas de trabajo mecánico
Los equipos 3 y 4 investigarán en libros y en sitios de
internet, el concepto de energía, tipos de energía, el concepto
de energía cinética y resolverán 10 problemas de energía
cinética, hallando la misma, así como la masa y la velocidad
del objeto.
Los equipos 5 y 6 investigarán en libros y en sitios de
internet, el concepto de potencia mecánica, sus unidades,
ecuaciones y resolverán 10 problemas de potencia mecánica,
en la cual se hallen la potencia, trabajo mecánico, velocidad
en que se realice el trabajo y el tiempo en que se realiza el
trabajo.
Los equipos 7 y 8, investigarán en libros y en sitios de
internet, el concepto de energía potencial, sus ecuaciones, y
resolverán 10 problemas de energía potencial, calculando la
misma, la masa del objeto, el peso del mismo y la altura a la
cual se encuentra.
Los equipos 9 y 10, investigarán en libros y en sitios de
internet, el teorema de conservación de la energía mecánica,
su ecuación principal y resolverán 10 problemas de aplicación
del teorema, hallando energía cinética, energía potencial, la
velocidad final con que llega un cuerpo al suelo, la altura
desde la cual se encuentra un cuerpo.
Los equipos 11, 12 y 13, investigarán en libros y en sitios
de internet, las oscilaciones armónicas, sus características y
resolverán 10 problemas de aplicación.
b. Reactivos de evaluación de la Unidad Temática III Trabajo,
energía cinética y conservación de la energía.
1.- Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 200 Newtons que
forma un ángulo de 25°, respecto a la horizontal, al desplazar 2
metros a un cuerpo hacia el este . ¿Cuál es el trabajo si la fuerza es
paralela al desplazamiento?
A. T1= 400 J, T2= 362.525 J
B. T1= 84.52 J, T2=51.76 J
C. T1= 51.76 J, T2= 84.525 J
D. T1= 362.2 J, T2= 400 J
E. T1= 93.26 J, T2= 87.70 J
2. Una persona levanta un bulto de cemento de 490 Newtons desde
el suelo hasta colocarlo sobre su hombro a una altura de 1.45 metros
A. 1030.22 J
37

B. 32.09 J
C. 675.86 J
D. 378.3 J
E. 710.5 J
3. Una persona aplica una fuerza de 20 Newtons a una caja para
deslizarlo hacia el este, formando un ángulo de 37° con la horizontal
y la desplaza 80 cm, ¿Qué trabajo realiza la persona?
A. 160 Newtons
B. 12.77 Newtons
C. 16.33 Newtons
D. 43.44 Newtons
E. 67.77 Newtons
4.- ¿Qué trabajo realiza una grúa al levantar, con velocidad
constante, un contenedor de 20000 Newtons a una altura de
15 metros?
A. 30000 Joules
B. 150000 Joules
C. 300000 Joules
D. 20000 Joules
E. 200000 Joules
5. Una persona ejerce una fuerza de 50 Newtons, para
detener un carrito de supermercado, logrando detenerlo a una
distancia de 5 metros. ¿Qué trabajo realiza?
A. -125 Joules
B. -75 Joules
C. -225 Joules
D. -250 Joules
E. -150 Joules
6.- Una bala disparada por un revólver tiene este tipo de
energía.
A. Potencial
B. Calorífica
C. Cinética
D. Mecánica
E. Eléctrica.
7.- ¿Con qué velocidad llega una pelota de 100
gramos al guante de un jugador , si lleva una energía
cinética de 31.25 Joules?
A. 12.25 m/seg
38

B. 44 m/seg
C. 33.24 m/seg
D. 25 m/seg
E. 18.44 m/seg.
8.- Si la potencia del motor de una bomba es de
746 watts, ¿A qué velocidad constante puede
elevar 200 litros de agua? (La masa de un litro
de agua es de 1 kg)
A. 0.50 m/seg
B. 2.22 m/seg
C. 1.5 m/seg
D. 0.80 m/seg
E. 0.38 m/seg
9.- Una carga de 40 kg se eleva hasta una altura
de 25 metros. Si la operación requiere de un
minuto, encuentre la potencia en watts y en
caballos de fuerza (H.P.).
.
A. 550 watts, 0.345 H.P.
B. 250 watts, 0.850 H.P.
C. 400 watts, 0.450 H.P.
D. 163 watts, 0.219 H.P
E. 200 watts, 0.570 H.P.
10.- Un cuerpo que se encuentra enganchado a
un resorte, se estira 4 cm hacia abajo y al
soltarlo vibra con un movimiento armónico
simple. Si su frecuencia es de 0.3 ciclos/seg.
Calcular a) Su elongación a los 2 segundos, b)
Su velocidad a los 2 segundos c) su velocidad
máxima.
A. Y= -2.35 cm, 6.1 cm/seg + o – 7.53 cm/seg
B. Y= -4.44 cm, 8.2 cm/seg, + o -8.34 cm/seg
C. Y= -6.55 cm, 4.3 cm/seg, + o -4.5 cm/seg
D. Y=- 3.55 cm, 2.34 cm/seg, + o – 3.37 cm/seg
E. Y= -1.22 cm, 4.66 cm/seg, + o - -2.22 cm/seg
39

Concepto de trabajo

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Concepto de trabajo

Semelhante a Concepto de trabajo (20)

Mais de Fisica2_2012

Mais de Fisica2_2012 (7)

Concepto de trabajo