MATRIKS

Matematika
Wajib
Bab 3
Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks
Anggota
• Ferry
• Firda
• Rasyid
2022
Hello!

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara
baris dan kolom (atau membentuk pola persegi panjang),
dan ditempakatkan didalam kurung biasa atau kurung
siku.
Pengertian Matriks

KELAS IZI N SAKIT ALPHA
XI MIPA 1 1 0 0
XI MIPA 2 0 0 0
XI IPS 1 0 1 1
XI IPS 2 1 1 0
XI IBB 2 2 1
Contoh I
Keadaan absensi XI
Apabila pembatas-pembatas dihilangkan
maka akan didaptkan susunan
parlemen-parlemen berikut
𝟏 0 0
0 0 0
0 1 1
1 1 0
2 2 1
Matriks dari keadaan absensi siswa-
siswi kelas XI

A.
Contoh II
8 5
9 2 3
4 7 1
Bukan matriks karena tidak membentuk pola persegi panjang.
B.
8 5 6
9 3
4 7 1
Bukan matriks karena ada posisis di tengah tidak terisi.

Ordo Matriks
M : Banyak baris suatu
matriks
N : Banyak kolom suatu
matriks
Ordo Matriks = M x N . 𝟏 0 0
0 0 0
0 1 1
1 1 0
2 2 1
Baris ke-1
Baris ke-2
Baris ke-3
Baris ke-4
Baris ke-5
Kolem ke-1 Kolem ke-2 Kolem ke-3
Banyak baris : 5
Banayak Kolom : 3
Ordi Matriks : 5 x 3

Notasi Matriks
Dalam matriks A = [ aij ],
dengan i dan j
merupakan bilangan
bulat yang menunjukkan
baris ke-i dan kolom ke-j
Penjelasan
Misalnya a12 artinya
elemen baris ke-1 dan
kolom ke-2.
Contoh
.
Contoh
5 6 7
3 8 9
Dapat dinotasikan A =
(aij)2 x 3
Dengan a11 = 5, a12 = 6, a13 =
7, a21 = 3, a22 = 8, a23 = 9.
2 x 3 disebut ordo atau ukran
matriks.

Beberapa
Matriks
Khusus Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.
Contoh : [ 3 6 ] ; [ 5 1 9 ]
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.
contoh : R = S =
Matriks Baris
Matriks Kolom
Matriks Persegi










4
9
2








3
7
Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan
banyak kolom.
Contoh : A =








8
9
7
6

Beberapa
Matriks
Khusus Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen
di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh : M =
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen
elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
contoh : N =
Matriks Segitiga Atas
Matriks Segitiga Bawah
Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar
diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh : M =








4
0
0
2










6
4
6
0
2
9
0
0
2








4
0
0
2

Beberapa
Matriks
Khusus
Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal
utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya
bernilai nol. Contoh : S =
Matriks Skalar
Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal
utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya
sama dengan 0.
Contoh : I = J =










6
0
0
0
6
0
0
0
6








1
0
0
1










1
0
0
0
1
0
0
0
1

Transpose Matriks
Transpose matriks adalah matriks baru yang diperoleh
dengan cara menukar elemen-elemen baris menjadi
elemen kolom atau sebaliknya.
Sifat transpose matriks adalah :
Contoh : Matriks A =
Matriks =
A
A t
t

)
(








8
9
7
6
t
A 







8
7
9
6

Matriks Simetri
Matriks A disebut simetris jika dan
hanya jika
Contoh :
t
A
A 

Dua matriks sama jika kedua matriks tersebu berukuran
sama dan elemen-elemen yang seletek bernilai sama.
Misal A = (aij)mxn dan B = (bij)mxn Jika A = B maka aij = bij
Kesamaan Dua Matriks
Contoh : Misal A =
3 2 7
4 9 6
Misal B =
3 2 7
4 9 6
Karena A dan B berordo sama yaitu (2 x 3) dan elemn elemen yang seletak
sama maka A = B.

Penjumlahan Matriks
Dua matriks dapat dijumblah jika kedua matriks berordo sama.
Penjumlahan dilakukan dengan menjumlah elemen-elemen yang seletak.
Jika A = (aij)mxn dan
B = (bij)mxn, Maka
A + B = (aij + bij)mxn
Misal A = dan B =
A dan B berordo sama yaitu 2 x 3 berarti A dan B dapat dijumblahkan.
Yaitu : A + B = =
13 8 14
14 14 7
Contoh
7 4 5
6 9 3
6 2 9
8 5 4
7 + 6 4 + 2 5 + 9
6 + 8 9 + 5 3 + 4

Pengurangan Matriks
Adakalanya elemen-elemen matriks hasil
penjumblahan semuanya bernilai nol. Matriks
yang semua elemennya bernilai nol disbeut
matriks nol, sedangkan kedua matriks yang
sedang dijumblahkan disebut matriks yang
sedang berlawanan. Matriks nol umumnnya
dinotasikan dengan nol.
Misal A + B = 0 maka A
berlawanan dengan B atau
A = - B
Contoh :
A = dan B = maka :
A + B =
+ = =
Perhatikan bahwa A = -B atau B = -A
Jika B = -A maka A + B = A + (-A) = A – A = 0
Dapat dirumuskan bahwa A – C = A + (-C).










8
9
7
6










8
9
7
6










8
9
7
6










8
9
7
6
















8
8
)
9
(
9
7
7
)
6
(
6








0
0
0
0
Misal A = dan B = maka :
A – B = A + (-B) +
= =
=








8
9
7
4








5
3
8
6








8
9
7
4












5
3
8
6
















)
5
(
8
)
3
(
9
)
8
(
7
)
6
(
4












5
8
3
9
8
7
6
4







 

3
6
1
2

Perkalian Bilangan Real dengan
Matriks
Jika k adalah bilangan real dan
A adalah sebuah matriks maka : k A
(aij)mxn = (kaij)mxn
Contoh :
Miasal A : maka 2A =
2 x = =








8
9
7
4








8
9
7
4








8
.
2
9
.
2
7
.
2
4
.
2








16
18
14
8

Perkalian
Dua Matriks
• Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika
banyaknya baris matriks A sama dengan
banyaknya kolom matriks B.
• Untuk mencari hasil kali matriks A dengan
matriks B adalah mengalikan baris pada matriks
A dengan kolom-kolom pada matriks B kemudian
dijumblahkan hasil perkalian antara baris dan
kolom.
• AB = BA
• (AB) C = A (BC)
• A (B+C) = AB + AC
• (B+C) A = BA + CA
• k (A+B) = kA + kB
• Jika AB = 0, belum tentu A = 0 atau B = 0
• Jika AB = AC, belum tentu B = C
Sifat sifat perkalian dua
buah matriks atau lebih








s
r
q
p








w
v
u
t












sw
ru
sv
rt
qw
pu
qv
pt

Contoh soal
Perhatikan daftar pembelian alat tulis dari dua
orang anak di sebuah toko beserta daftar
hargannya berikut ini
Pensil Buku
Ana 3 2
Budi 4 5
Harga
Pensil 300
Buku 500
Pengeluaran
Ana 2100
Budi 3500

Nilai dari determinan diperoleh dari unsur-unsur matriks
dengan operasi tertentu. Determinan dan matriks A dapat
dinotasikan dengan det. A atau | A |.
Sebuah matriks persegi yang nilai determinannya sama
dengan nol disebut matriks singular.
Determinan Matriks

Determinan matriks berordo 1 x 1
a. Jika A = (3) maka determinan A adalah det. A = | A | = 3
b. Jika B = (12) maka determinan B adalah det. B = | B | = 12
Contoh I
Determinan matriks
Apabila A = (a) maka determinan A adalah: | A | = a.
Jika A =
4 3
8 6
maka | A | = 4 . 6 – 3 . 8 = 0
Apabila A = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
maka determinan A adalah: | A | = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= ad - bc
A adalah matriks singular

Contoh II
Penetuan nilai determinan matrik (3x3) seperti ini, disebut aturan Sarrus.
Apabila A =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
maka determinan matriks A adalah:
| A | =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝐹
𝑔 ℎ 𝑖
=
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝐹
𝑔 ℎ 𝑖
= aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
a
d
b
g
e
h
(+) (+) (+)
(-) (-) (-)
Jika A =
3 1 2
5 1 4
5 2 6
maka determinan A adalah:
| A | =
3 1 2
5 1 4
5 2 6
=
3 1 2
5 1 4
5 2 6
= 3 . 1 . 6 + 1 . 4 . 5 + 2 . 5 . 2 – 2 . 1 . 5 – 3 . 4 . 2 – 1 . 5 . 6
= 18 + 20 + 20 – 10 – 24 – 30 = - 6
3
5
1
5
1
2
(+) (+) (+)
(-) (-) (-)

Sifat-sifat
Determinan Contoh :
2 3
4 1
=
2 4
3 1
= 2 x 1 – 4 x 3 = - 10
Contoh :
1 2 3
4 5 6
7 8 9
= –
4 5 6
1 2 3
7 8 9
1. Determinan A = Determinan A'
2. Tanda determinan berubah jika dua baris atau
dua kolom yang berdekatan ditukar tempat.
3. Jika satu baris/kolom dari suatu determinan
mempunyai faktor k, maka k dapat dikeluarkan
menjadi pengali di depan.
Contoh :
5 6 3
2 8 6
1 4 2
=
5 6 3
2.1 2.4 2.3
1 4 2
= 2
5 6 3
1 4 3
1 4 2

Sifat-sifat
Determinan Contoh :
1 2
3 6
= 0, karena (baris 2) = 2 x (baris 1)
Contoh :
2 3 5
0 4 7
0 0 6
=
2 0 0
3 4 0
5 7 6
= 2 . 4 . 6 = 48
4. Nilai determinan suatu matrik sama dengan 0 jika
ada dua baris/kolom saling berkelipatan.
5. Nilai determinan matriks segitiga bawah/atas dan
matriks diagonal sama dengan hasil kali elemen-
elemen diagonal utamanya.
6. Harga determinan tidak berubah jika baris ke i
ditambah dengan k kali baris ke j
Contoh :

Sifat-sifat
Determinan
7. Determinan dari perkalian dua matriks sama
dengan hasil kali determinan kedua matriks tersebut.
| AB | = | A | | B |.
Contoh :

Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear yang disusun dalam bentuk matriks juga dapat
ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode determinan.
Misalnya, sistem persamaan linear untuk dua variable
Misal system persamaan
linearya adalah :
ax + by = p
cx + dy = q
Pada sistem persaman linear dua variabel, bentuk tersebut dapat diubah
ke bentuk matriks berikut.
, dengan A = , X = , dan B = .
D = = ad – bc (Determinan koefisien x dan y, dengan elemen-elemen matriks A)
Dx = = pd – bq (Ganti kolom ke-1, dengan elemen-elemen matriks B)
Dy = = aq – cp (Ganti kolom ke-2, dengan elemen-elemen matriks B)
Nilai x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut.

Sistem persamaan linear yang disusun dalam bentuk matriks juga dapat
ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode determinan.
Misalnya, sistem persamaan linear untuk tiga variable.
Misal system persamaan
linearnya adalah :
Dengan cara yang sama dapat ditentukan D, Dx, Dy, dan Dz untuk
sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.
Nilai x, y, dan z dapat ditentukan dengan cara berikut.
; z =
𝐷𝑧
𝐷
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3

Invers Matriks
Matriks bujur sangkar A = (𝑎𝑖𝑗)
berordo nxn, mempunyai invers,
jika ada matriks B sedemikian
sehingga: AB = BA = I𝑛𝑥𝑛
dengan I adalah matriks satuan
atau matriks identitas. Pada
persamaan: AB = BA = I𝑛𝑥𝑛, A
dan B disebut saling invers.
. Contoh:

Contoh
Tentukanlah invers dari matriks berikut.
Pembahasan:
Elemen-elemen yang berada di lingkar biru merupakan diagonal utama
matriks A yang ditukar posisinya, sedangkan elemen-elemen yang berada
di lingkar oranye merupakan diagonal kedua matriks A yang dikalikan
dengan minus satu (-1).

1. AA−1
= A−1
A = I
2. 𝐴−1 −1 = A
3. (A𝐵)−1 = B−1 A−1
4. | A−1
| =
1
𝐴
Matriks singular (matriks yang determinannya = 0) tidak
mempunyai invers.
Sifat-sifat Invers Matriks

Dua Peubah
Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan
menggunakan matriks

MATRIKS

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a MATRIKS

Semelhante a MATRIKS (20)

Último

Último (20)

MATRIKS