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1. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y
EMPRESARIALES
Matemáticas
Financieras
Docente: Mgs. Econ. Guisella Mera Espinoza

2. Capítulo 6:
ANUALIDADES

3. Objetivo General
Identificar los diferentes tipo de
Anualidades existente, con la finalidad de
desarrollar ejercicios y comprender como
esto afecta a la toma de decisiones
financieras.

4. Contenido del Capítulo
 Definición Renta o pago y Período de renta
 Condiciones para que una serie de pagos sea una
anualidad
 Clases de anualidades
 Anualidad vencida
 Anualidad anticipada
 Anualidad diferida
 Anualidad perpetua
 Ejercicios prácticos de anualidades vencidas, anticipadas,
diferida y perpetua

5. Bibliografía
• Díaz Mata Alfredo y AGUILERA Víctor, Matemáticas Financieras,
Cuarta edición, 2008, McGraw-Hill .
Bibliografía Complementaria
• Lincoyan Portus Goviden, Matemáticas Financieras , Cuarta Edición ,
1997, Mc Graw-Hill.
• Alvarez A, Alberto A, Matemáticas Financieras, Segunda Edición,
2005, Mc Graw Hill.

6. Distribución del Tiempo de Clase
• 50% Clase Magistral
• 10% Planteamiento de Preguntas
• 40% Ejercicios prácticos

7. ANUALIDADES
Se llama serie uniforme o anualidad a un conjunto de pagos iguales y
periódicos. Aquí el término de pagos hace referencia tanto a ingresos como
egresos. De la misma manera, el término anualidad se utiliza para indicar
que los pagos son periódicos y no necesariamente cada año. Los períodos
pueden ser el día, la semana, la quincena, etc.
Tipos de Anualidades:
• Vencidas
•Anticipadas
•Diferidas
•Perpetuas
Anualidades Vencidas :
Se llama anualidad vencida a aquella en donde el pago se hace al final del
período de pago.

8. Ejemplo de Anualidades vencidas:
El salario mensual de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la
adquisición de un vehículo o de electrodoméstico por el sistema de financiación,
etc.
F
0 1 2 3
Anualidad
P
n
𝐹 = 𝐴 (
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
)
Valor Futuro:
A = Anualidad

9. Ejemplo 1:
Durante un año y medio se hacen depósitos por mes
vencidos de $12.000 cada uno en una institución de ahorro que paga
un interés de 3% mensual. Calcule la suma total acumulada en las
cuenta de ahorro al final de este período.
F
0 1 2 3
$12.000
1 año
y
medio
𝐹 = 12.000
1 + 0,03 18
− 1
0,03
= $280.973

10. Ejemplo 2:
El curso de administración de empresa decide depositar en una cuenta de
ahorro durante 16 meses por un valor equivalente a $45.250 cada fin de
mes para realizar una despedida a los alumnos egresados. Si la entidad
financiera paga por los depósitos 12 % de interés efectivo trimestral.
Cuanto dinero se reúne al final del período.
A= 45.250
i= 12 % efe_trim
n = 16 meses
F
0 1 2 3
Anualidad
n
𝐹 = 45.250
1 + 0,0385 16
− 1
0,0385
= $975.781

11. Valor Presente de una Anualidad Vencida:
El valor presente de una anualidad está expresado por la ecuación:
𝑷 = 𝑨 (
𝟏+𝒊 𝒏− 𝟏
𝒊 ( 𝟏+𝒊 )𝒏 ) o 𝑷 = 𝑨 (
𝟏− 𝟏+𝒊 −𝒏
𝒊
)
Ejemplo:
Hallar el valor contado de un artículo que a crédito se adquiere con 18
cuotas de $20.000 cada una por mes vencido, sabiendo que se cobra un
interés del 2,5% mensual. Calcular el valor presente.
0 1 2 3
$20.000
P
18
P = ?

12. • Cálculo de Anualidad Vencida con respecto al
Futuro:
De acuerdo a la ecuación que determina el valor futuro con respecto a la
anualidad, despejando la anualidad tenemos:
𝐴 = 𝐹 (
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
)
Ejemplo: Se debe reunir $850.000 dentro de dos años. Con tal fin se
decide hacer depósitos iguales por mes vencidos en una institución que
paga 2,65% mensual. Hallar el valor de los depósitos.
Resultado: A = $ 25.792
𝑃 = 20.000
1 − 1 + 0,025 −18
0,025
= 287.067

13. • Cálculo de Anualidad Vencida con respecto al
Valor Presente:
𝐴 = 𝑃 (
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
( 1 + 𝑖 )𝑛 − 1
)
Ejemplo 1:
Un televisor tiene un precio al contado de $63.500. Se desea
adquirir a crédito así: una cuota inicial de $15.000 y el resto
financiar en 18 meses o cuotas mensuales iguales. Si la tasa de
interés que se cobra por la financiación es de 3% mensual, hallar
el valor de las cuotas . Resultado A = $3.526,37
Ejercicio 2:
Calcular la anualidad sabiendo que el valor futuro es de $ 1.250.000
por un depósito que paga 3.85% mensual durante 4 años y medio.
A= $ 7.193

14. Ejercicios Propuestos:
1.- El municipio de Puerto Montt Solicitó un crédito al BID de cinco
millones de dólares al 1,6% de interés anual para realizar obras de
mejoramiento comunal. Si se compromete a pagar con anualidades
durante un período de 10 años. Cuánto corresponde pagar por cada
anualidad vencida. Resultado:
2.- Si a Juan Pérez le calcularon que pagará finalmente un crédito
solicitado la cantidad de 400.000 pesos a una tasa de interés
mensual de 3,5% y con anualidades vencida durante 12 meses.
Calcular cuánto sale cada cuota. Resultad
o: 3.- Una persona deposita $2.000 al final de cada año durante 25
años en una cuenta de ahorros que paga 8% de interés anual. Hallar
el valor futuro incluyendo el último pago. Resultado:
4.- Una compañía vende neveras con una cuota inicial de $100.000 y
16 cuotas mensuales de 50.000. Si se carga el 1,5 % mensual. Hallar
el valor total a pagar por el artículo. Resultado:

15. Ejercicios Propuestos:
1.- El municipio de Puerto Montt Solicitó un crédito al BID de cinco
millones de dólares al 1,6% de interés anual para realizar obras de
mejoramiento comunal. Si se compromete a pagar con anualidades
durante un período de 10 años. Cuánto corresponde pagar por cada
anualidad vencida. Resultado: A = $ 545.047 dólares.
2.- Si a Juan Pérez le calcularon que pagará finalmente un crédito
solicitado la cantidad de 400.000 pesos a una tasa de interés
mensual de 3,5% y con anualidades vencida durante 12 meses.
Calcular cuánto sale cada cuota. Resultado: A = $ 27.393 pesos.
3.- Una persona deposita $2.000 al final de cada año durante 25
años en una cuenta de ahorros que paga 8% de interés anual. Hallar
el valor futuro incluyendo el último pago. Resultado: F = $ 146.212
4.- Una compañía vende neveras con una cuota inicial de $100.000 y
16 cuotas mensuales de 50.000. Si se carga el 1,5 % mensual. Hallar
el valor total a pagar por el artículo. Resultado: P = $ 806.563

16. Anualidades Anticipadas:
En los negocios, es frecuente que los pagos periódicos se
efectúen al comienzo de cada período ( Anualidad Anticipada );
tal es el caso de la renta de terrenos, edificios , oficinas y cuyo
alquiler se paga al principio de cada período. Otros ejemplos son:
seguros de bienes en general, seguros de vida, etc.
0
1 2 3
A. Anticipadas
A. Vencidas
1 2
n-2 n-1 n
n-1 n
…………………

17. Observe que al agregar un último pago A se obtiene el valor futuro de
una anualidad vencida A, por período, pagadera durante n+1 períodos.
Restando el último pago A, el cual se había agregado, se obtiene el valor
futuro de una anualidad anticipada A, pagadero durante n período; ( (
F/A, i%, n + 1) – 1 ).
-1
A A A A A
0 1 2 n-2 n
n-1
. . .
A
F
Valor Futuro de una Anualidad Anticipada:
𝐹 = 𝐴(
1 + 𝑖 𝑛+1 − 1
𝑖
− 1)
Despejando A, podemos
encontrar el valor de la
anualidad a partir del valor
futuro.

18. • Ejercicio:
• Una compañía deposita al principio de cada año $20.000 dólares
en una cuenta de ahorros que abona 7% de intereses anual. A
cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? Dibujar
diagrama de flujo de caja.
𝐹 = 20.000
1 + 0,07 5+1
− 1
0,07
− 1 = 123.065,81
0
1
2 3
$20.000
5
2
F

19. 𝑃 = 𝐴(
1 − 1 + 𝑖 – 𝑛−1
𝑖
+ 1)
Valor Presente de una Anualidad Anticipada:
1
A A
2
…….
A A
F
n
n-1
0
P
A
Despejando A, podemos
encontrar el valor de la
anualidad a partir del valor
presente.

20. Ejercicio:
Una compañía alquila un terreno en $4.000 dólares mensuales y propone
al propietario pagar el alquiler anual, al principio de cada año con una
tasa del 12% convertible en mensuales. Hallar el valor del alquiler.
Resultado: P= 45.470,51
Ejercicios Propuestos
El dueño de una propiedad cobra por su alquiler $5.000, por mes
anticipado. Hallar la pérdida que le significa en dos años, si el arrendatario
le pagó por mes vencido ( tasa nominal 12% con capitalización mensual ).
F. Vencido = 134.867,32; F. Anticipado = 136.216; diferencia = 1.348,48

21. Un comerciante vende equipos de sonido por un precio de 175.000 al
contado. Promueve su venta a plazos, en 18 meses, sin cuota inicial, con
un recargo del 24% nominal capitalizable mensualmente. Hallar la
cuota periódica o renta. Se entrega el equipo contra pago dela primera
cuota.
A=11.444
Un comerciante estima que puede aumentar sus ventas ofreciendo
equipos de sonido que valen $126.000 de contado, en cuotas mensuales
de $9.000 cada una, sin cuota inicial. Hallar el número de cuotas, si se
carga un 18% de interés, convertible mensualmente. Al retirar el
producto se paga la primera cuota.
n = 15,56905

22. Anualidades Diferidas
En los negocios, es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que los
primeros períodos de pago comience en una fecha futura, hasta después de
transcurrido cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio. Es decir, la
fecha inicial de la anualidad no coincide con la fecha del primer pago. En estos
casos, se dice que la anualidad es diferida.
Para el cálculo de los valores de las anualidades diferidas no se requieren nuevas
fórmulas. Para desarrollar este tipo de problemas es necesario analizar los
problemas utilizando diagramas que le permita determinar, cuidadosamente, el
tiempo diferido y el tiempo de pago, para luego plantear las ecuaciones de
equivalencia que conducen a la correcta solución.

23. A A A
0
1 2 k+1 k+n
k+2
. . .
P
Tiempo Diferido Tiempo de anualidad
k
1.- ( F/P, i% , k ) 2.- ( P/A, i%,n )
Igualando 1 = 2 tenemos:

24. P * ( 1 + i ) k
= 𝑨 (
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
𝒊
)
Despejando P tenemos:
P = 𝑨 (
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
𝒊
) * ( 1 + i )-k
Otra forma de cálculo:
P = A* [ ( P/A, i% , k + n) - ( P/A, i%, k ) ]

25. Calcular el valor actual de una renta de $5.000 semestrales, si el primer pago
debe recibirse dentro de 2 años, y el último dentro de seis años, si la tasa de
interés es de 8% nominal capitalizable semestralmente.
P = 33.049,91

26. Anualidades Perpetuas
En los negocios, es frecuente que ciertas rentas, salvo sucesos imprevistos,
se paguen indefinidamente. Entre muchas otras, las rentas que se pagan a
perpetuidad son renta de un terreno, los legados por instituciones de
beneficencias, los dividendos sobre acciones preferentes, las sumas que es
necesario reservar cada año para proveer la reposición de un puente, etc.
Definición: Una renta perpetua es una anualidad cuyo plazo no tiene fin.
0
1
2 3
Anualidades
períodos
4
P

27. Se deduce que el valor presente de la renta perpetua es aquella cantidad p
que, en un período, produce como intereses la suma A, o sea:
A = P * i; de donde
𝑃 = 𝐴
1
𝑖
El factor 1/i = (P/A, i%, ∞ ), es el valor presente de una renta perpetua
vencida de una unidad monetaria por período, a la tasa i por período.

28. Valor presente de las rentas perpetuas simple anticipada:
Cuando el pago de la renta es inmediato, al trazar el diagrama se observa que
el valor actual es equivalente al de una renta perpetua vencida, aumentada en
el primer pago que debe efectuarse de inmediato.
0
1
2 3
Anualidades
períodos
4
P
𝑃 = 𝐴 +
𝐴
𝑖
Si el pago que debe efectuarse de inmediato es W distinto de A, se tiene,
para el valor actual:
𝑃 = 𝑊 +
𝐴
𝑖

29. Ejercicios
En el testamento de una persona se establece que parte de sus bienes se
invertirán de modo que el hospital de anciano reciba, a perpetuidad, una
renta de $1.000.000 cada fin de año. Si en la localidad la tasa de interés es de
8%, hallar el valor actual de la donación.
P = 12.500.000
Al fallecer, una persona deja un legado a su sanatorio, estipulado así:
$600.000 para la adquisición de ciertos equipos y $800.000 anuales para su
mantenimiento. Hallar el valor actual del legado, si la tasa es del 8%.
P = $10.600.000