El documento explica cómo usar el método de iteración del punto fijo para resolver una ecuación. Primero, se expresa la ecuación como x = g(x) para aplicar el método. Luego, se demuestra que la función g(x) cumple las condiciones necesarias para garantizar la convergencia del método. Finalmente, se realizan 6 iteraciones que producen una aproximación de la solución con un error menor a 10-4.
En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular las distribuciones marginales de una variable aleatoria bidimencional. Calcularemos la media de una distribución marginal y hallaremos probabilidades utilizando la función de densidad conjunta.
Este video tutorial enseña cómo resolver un problema de optimización para encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima con una diagonal de 8 metros. Se obtiene una ecuación que relaciona las variables del problema usando el teorema de Pitágoras, se define la función objetivo a optimizar, y se calculan los extremos de la función para determinar que las dimensiones óptimas son 4.2 metros por 4.2 metros.
En esta presentación de FdeT aprenderás a demostrar que un determinado conjunto es un espacio vectorial paso a paso. Así como a demostrar la independencia lineal de un conjunto de vectores y a calcular el subespacio complementario de uno dado.
Este video tutorial resuelve dos problemas relacionados con matrices. En el primer problema, se determinan las matrices M y N que satisfacen dos ecuaciones matriciales dadas. En el segundo problema, se calcula el determinante de una matriz M cuyas columnas están relacionadas con las de otra matriz G dada.
Con este problema aprenderás a estudiar la diagonalización de una matriz cuadrada. Aprenderás a calcular también los subespacios propios asociados a cada vector propio.
Aprende a calcular los valores de ciertos parámetros para que una determinada función definida a trozos sea derivable. Calcula los extremos de una función definida a trozos.
El documento explica cómo usar el método de iteración del punto fijo para resolver una ecuación. Primero, se expresa la ecuación como x = g(x) para aplicar el método. Luego, se demuestra que la función g(x) cumple las condiciones necesarias para garantizar la convergencia del método. Finalmente, se realizan 6 iteraciones que producen una aproximación de la solución con un error menor a 10-4.
En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular las distribuciones marginales de una variable aleatoria bidimencional. Calcularemos la media de una distribución marginal y hallaremos probabilidades utilizando la función de densidad conjunta.
Este video tutorial enseña cómo resolver un problema de optimización para encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima con una diagonal de 8 metros. Se obtiene una ecuación que relaciona las variables del problema usando el teorema de Pitágoras, se define la función objetivo a optimizar, y se calculan los extremos de la función para determinar que las dimensiones óptimas son 4.2 metros por 4.2 metros.
En esta presentación de FdeT aprenderás a demostrar que un determinado conjunto es un espacio vectorial paso a paso. Así como a demostrar la independencia lineal de un conjunto de vectores y a calcular el subespacio complementario de uno dado.
Este video tutorial resuelve dos problemas relacionados con matrices. En el primer problema, se determinan las matrices M y N que satisfacen dos ecuaciones matriciales dadas. En el segundo problema, se calcula el determinante de una matriz M cuyas columnas están relacionadas con las de otra matriz G dada.
Con este problema aprenderás a estudiar la diagonalización de una matriz cuadrada. Aprenderás a calcular también los subespacios propios asociados a cada vector propio.
Aprende a calcular los valores de ciertos parámetros para que una determinada función definida a trozos sea derivable. Calcula los extremos de una función definida a trozos.
El video tutorial explica cómo calcular los valores de los parámetros a y b para que una función definida a trozos sea continua y derivable. Se estudia la continuidad y derivabilidad de la función, encontrando que a=1 y b=-2 cumplen las condiciones. Con estos valores, se calcula la ecuación de la recta tangente en x=0, que resulta ser y=-2x+1.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de optimización, para ello en primer lugar obtendremos la relación existente entre las variables que intervienen y finalmente la función a optimizar. Hallaremos el valor óptimo de la función que resuelve el problema.
Este video tutorial explica cómo resolver un problema utilizando ecuaciones diofánticas sobre el número de personas que entraron a un teatro recaudando 900 euros. Primero se plantea la ecuación y se comprueba que tiene solución. Luego se encuentra una solución particular y la solución general, determinando que había 40 adultos y 24 niños o 45 adultos y 12 niños.
En esta presentación de FdeT aprenderás a realizar la diagonalización de una determinada matriz, calculando los subespacios propios asociados a cada valor propio.
Este documento presenta la resolución de dos problemas que involucran el uso de derivadas. El primer problema demuestra que una ecuación tiene exactamente dos soluciones reales aplicando los teoremas de Bolzano y Rolle. El segundo problema prueba una desigualdad entre funciones derivando una función auxiliar y analizando su crecimiento.
Este video tutorial resuelve un problema sobre la monotonía de la función f(x)=x^2e^-x. Explica cómo calcular los extremos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas de la función. En particular, la función es decreciente en -∞,0 y 2,+∞ y creciente en 0,2, tiene un mínimo en (0,0) y un máximo en (2,4e^-2), y su única asíntota horizontal es y=0.
El documento presenta un problema de optimización para determinar las dimensiones de un depósito cúbico con capacidad de 32,000 litros que requiera la menor cantidad posible de chapa para su construcción. Se modela matemáticamente la relación entre el volumen, las dimensiones de la base cuadrada y la altura, y se minimiza la función de la superficie lateral para encontrar que la dimensión óptima es una base de 40 dm de lado y una altura de 20 dm.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de ecuaciones diofánticas. Aprenderás a calcular la solución particular de una ecuación diofántica y a partir de ella a obtener la ecuación general de la ecuación. Finalmente obtendremos la solución al problema a partir de la solución general de la ecuación.
El documento resume un problema sobre el estudio de continuidad, derivabilidad y aplicación del Teorema de Rolle a una función definida a trozos. La función es continua pero no derivable en todo su dominio, por lo que no se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo dado.
El video tutorial muestra cómo resolver una integral racional utilizando el método de sustitución. Se presenta un problema que involucra calcular la integral 1+x1+x dx. Se realiza el cambio de variable t=x2 para transformar la integral en una función racional más simple de integrar, resolviendo la integral y obteniendo la solución final 2/3x3 - x2 + 4x - 4ln(x) + K.
Este video tutorial resuelve un problema de límites indeterminados aplicando la regla de L'Hôpital. Primero se determina que para que el límite sea finito, el valor de a debe ser 1. Luego, al aplicar L'Hôpital dos veces, se obtiene que el valor del límite es 1/2.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de geometría en el espacio. Aprenderás a estudiar cuando tres vectores son coplanarios, así como a hallar un vector perpendicular a otros dos dados.
Calcularemos también el valor de un determinado parámetro para que el volumen del tetraedro que forman tres vectores dependientes de un parámetro sea una cantidad determinada.
En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular la inversa de una matriz cuadrada utilizando el método de los determinantes. Aprende a estudiar cuando una matriz tiene inversa.
1) La temperatura mínima se alcanza en el punto interior (1/3, 2/3) y es de 2/3.
2) Los puntos en la frontera donde la tasa de incremento de la temperatura en la dirección (1,1) es máxima y mínima son (2/3, 1/3) y (-2/3, -1/3), respectivamente.
Este documento presenta 3 tareas relacionadas con el cálculo vectorial. La primera tarea instruye calcular el vector tangente a una curva de nivel circular en un punto y derivada direccional. La segunda tarea instruye realizar ejercicios de una guía basados en el último dígito de la cédula. La tercera tarea se refiere a ejercicios propuestos en clase.
Resolución de ejercicios de optimización de funcionesNorberto1801
El documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones de optimización de funciones y hallar el valor de la función F(t). Primero se despejan las variables X, Y y Z resolviendo el sistema de ecuaciones. Luego se sustituyen sus valores en la función F(t) y se deriva para obtener un valor numérico de 1047,5.
Ejercicios resueltos y explicados (norma de un vector)algebra
El documento presenta ejemplos de ejercicios resueltos relacionados con normas de vectores y el teorema de Pitágoras en espacios vectoriales. Incluye la demostración de que la norma de un escalar por un vector es el valor absoluto del escalar por la norma del vector. También presenta cómo probar la ley del paralelogramo y el teorema de Pitágoras para vectores en un espacio vectorial.
En esta presentación aprenderás a utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo integral en un ejemplo concreto.
Utilizaremos este Teorema para calcular un límite utilizando también la regla de L´Hôpital.
El video tutorial explica cómo calcular los valores de los parámetros a y b para que una función definida a trozos sea continua y derivable. Se estudia la continuidad y derivabilidad de la función, encontrando que a=1 y b=-2 cumplen las condiciones. Con estos valores, se calcula la ecuación de la recta tangente en x=0, que resulta ser y=-2x+1.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de optimización, para ello en primer lugar obtendremos la relación existente entre las variables que intervienen y finalmente la función a optimizar. Hallaremos el valor óptimo de la función que resuelve el problema.
Este video tutorial explica cómo resolver un problema utilizando ecuaciones diofánticas sobre el número de personas que entraron a un teatro recaudando 900 euros. Primero se plantea la ecuación y se comprueba que tiene solución. Luego se encuentra una solución particular y la solución general, determinando que había 40 adultos y 24 niños o 45 adultos y 12 niños.
En esta presentación de FdeT aprenderás a realizar la diagonalización de una determinada matriz, calculando los subespacios propios asociados a cada valor propio.
Este documento presenta la resolución de dos problemas que involucran el uso de derivadas. El primer problema demuestra que una ecuación tiene exactamente dos soluciones reales aplicando los teoremas de Bolzano y Rolle. El segundo problema prueba una desigualdad entre funciones derivando una función auxiliar y analizando su crecimiento.
Este video tutorial resuelve un problema sobre la monotonía de la función f(x)=x^2e^-x. Explica cómo calcular los extremos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas de la función. En particular, la función es decreciente en -∞,0 y 2,+∞ y creciente en 0,2, tiene un mínimo en (0,0) y un máximo en (2,4e^-2), y su única asíntota horizontal es y=0.
El documento presenta un problema de optimización para determinar las dimensiones de un depósito cúbico con capacidad de 32,000 litros que requiera la menor cantidad posible de chapa para su construcción. Se modela matemáticamente la relación entre el volumen, las dimensiones de la base cuadrada y la altura, y se minimiza la función de la superficie lateral para encontrar que la dimensión óptima es una base de 40 dm de lado y una altura de 20 dm.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de ecuaciones diofánticas. Aprenderás a calcular la solución particular de una ecuación diofántica y a partir de ella a obtener la ecuación general de la ecuación. Finalmente obtendremos la solución al problema a partir de la solución general de la ecuación.
El documento resume un problema sobre el estudio de continuidad, derivabilidad y aplicación del Teorema de Rolle a una función definida a trozos. La función es continua pero no derivable en todo su dominio, por lo que no se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo dado.
El video tutorial muestra cómo resolver una integral racional utilizando el método de sustitución. Se presenta un problema que involucra calcular la integral 1+x1+x dx. Se realiza el cambio de variable t=x2 para transformar la integral en una función racional más simple de integrar, resolviendo la integral y obteniendo la solución final 2/3x3 - x2 + 4x - 4ln(x) + K.
Este video tutorial resuelve un problema de límites indeterminados aplicando la regla de L'Hôpital. Primero se determina que para que el límite sea finito, el valor de a debe ser 1. Luego, al aplicar L'Hôpital dos veces, se obtiene que el valor del límite es 1/2.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de geometría en el espacio. Aprenderás a estudiar cuando tres vectores son coplanarios, así como a hallar un vector perpendicular a otros dos dados.
Calcularemos también el valor de un determinado parámetro para que el volumen del tetraedro que forman tres vectores dependientes de un parámetro sea una cantidad determinada.
En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular la inversa de una matriz cuadrada utilizando el método de los determinantes. Aprende a estudiar cuando una matriz tiene inversa.
1) La temperatura mínima se alcanza en el punto interior (1/3, 2/3) y es de 2/3.
2) Los puntos en la frontera donde la tasa de incremento de la temperatura en la dirección (1,1) es máxima y mínima son (2/3, 1/3) y (-2/3, -1/3), respectivamente.
Este documento presenta 3 tareas relacionadas con el cálculo vectorial. La primera tarea instruye calcular el vector tangente a una curva de nivel circular en un punto y derivada direccional. La segunda tarea instruye realizar ejercicios de una guía basados en el último dígito de la cédula. La tercera tarea se refiere a ejercicios propuestos en clase.
Resolución de ejercicios de optimización de funcionesNorberto1801
El documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones de optimización de funciones y hallar el valor de la función F(t). Primero se despejan las variables X, Y y Z resolviendo el sistema de ecuaciones. Luego se sustituyen sus valores en la función F(t) y se deriva para obtener un valor numérico de 1047,5.
Ejercicios resueltos y explicados (norma de un vector)algebra
El documento presenta ejemplos de ejercicios resueltos relacionados con normas de vectores y el teorema de Pitágoras en espacios vectoriales. Incluye la demostración de que la norma de un escalar por un vector es el valor absoluto del escalar por la norma del vector. También presenta cómo probar la ley del paralelogramo y el teorema de Pitágoras para vectores en un espacio vectorial.
En esta presentación aprenderás a utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo integral en un ejemplo concreto.
Utilizaremos este Teorema para calcular un límite utilizando también la regla de L´Hôpital.
Este video tutorial enseña a: calcular límites usando la regla de L'Hôpital; hallar derivadas usando derivación logarítmica; estudiar continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos; y calcular ecuaciones de rectas tangentes. Resuelve un problema que involucra determinar los valores para que una función sea continua, hallar su derivada, y encontrar la ecuación de la recta tangente.
APLICACIONES DE LA OPTIMIZACIÓN, PROBLEMA 01FdeT Formación
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de optimización. Aprenderás a calcular la ecuación de la velocidad de una curva de la que se conoce la ecuación de la trayectoria.
En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular el valor de ciertos parámetros para que una función definida a trozos cumpla una serie de características.
En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular el área de la región determinada por la gráfica de dos funciones y a calcular el volumen de una figura de revolución.
Este video tutorial resuelve un problema de cálculo de áreas delimitadas por una parábola y sus tangentes. Primero se encuentran los puntos de intersección con el eje x y se calculan las ecuaciones de las tangentes. Luego se grafica la región y se calculan las integrales para hallar el área total, la cual resulta ser 16/3 unidades cuadradas.
En esta presentación de FdeT estudiaremos los extremos de una función racional. Calcularemos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. Además calcularemos las asintotas de la función.
Este video tutorial muestra cómo calcular el área delimitada por dos curvas. Primero se hallan los puntos de corte entre las funciones f(x)=x^2/4 y g(x)=2x. Luego se grafican las funciones y se representa la región delimitada. Finalmente, se calcula el área de la región usando la integral definida de g(x)-f(x) entre los límites 0 y 4, obteniendo un área de 16/3 unidades cuadradas.
En esta presentación aprenderás el método de Regula Falsi o método de la Falsa posición de forma teórica y práctica. Realizaremos un desarrollo donde obtendremos el método de forma natural y aprenderemos a utilizarlo en un caso concreto.
En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular una integral utilizando el método de Hermite cuando el integrando es una función racional cuyo denominador tiene todas sus raíces reales simples.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de optimización. En concreto hallaremos el punto de una curva dada que está más próximo a un punto dado.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de optimización paso a paso. Aprenderás a obtener la función a optimizar y la relación existente entre las variables que intervienen.
En esta presentación aprenderás a resolver una integral por cambio de variable. Una vez realizado el cambio de variable, la integral se transformará en una integral racional, en la que el grado del numerador es mayor que el del denominador.
Este video tutorial explica cómo calcular los extremos de una función de beneficios f(x) de una empresa en función de la inversión x. Se determina que la inversión que maximiza los beneficios es 9000 euros, obteniendo unos beneficios máximos de 300000 euros. También se calcula el valor de f'(7) y se concluye que la función es creciente en ese punto. Finalmente, se determina que para obtener unos beneficios de 138000 euros se requiere una inversión de 18000 euros.
Este documento presenta información sobre cálculo diferencial, incluyendo técnicas de derivación, teoremas y fórmulas para calcular derivadas de funciones simples y compuestas. Contiene ejercicios resueltos sobre derivadas básicas, productos, cocientes y funciones trascendentes.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de programación lineal. Calcularemos las restricciones que aparecen en un problema de programación lineal así como la función objetivo. Hallaremos la región factible y finalmente resolveremos el problema.
El documento presenta un problema de optimización para determinar las dimensiones de un depósito cúbico con capacidad de 32,000 litros que requiera la menor cantidad posible de chapa para su construcción. Se modela matemáticamente la relación entre el volumen, las dimensiones de la base cuadrada x y la altura h, y el área total. Minimizando esta función se obtiene que las dimensiones óptimas son una base de 40 dm de lado y una altura de 20 dm.
Este video tutorial explica el método de descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo cómo realizar la descomposición LU de una matriz, utilizarla para resolver sistemas, y las variantes de Doolittle y Crout. Luego, resuelve un problema paso a paso aplicando la descomposición LU de Doolittle a una matriz dada y usando la descomposición para encontrar la solución de un sistema relacionado.
Este documento presenta la resolución de un problema de contraste de hipótesis. Se plantea comprobar si el 70% de los jóvenes de una ciudad usan redes sociales para comunicarse, tomando una muestra aleatoria de 500 personas. Se define la hipótesis nula y alternativa, se calcula el estadístico de contraste y las regiones de aceptación y rechazo, y finalmente se acepta la hipótesis nula de que el porcentaje es del 70% con un nivel de significación del 1%.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un sistema de ecuaciones matriciales paso a paso, así como a utilizar las propiedades de los determinantes de matrices.
En esta presentación de FdeT aprenderás a demostrar que una determinada función es una función de densidad, así como a calcular la esperanza matemática de la variable y determinadas probabilidades utilizando la función de densidad.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de geometría en el espacio. Aprende a calcular el ángulo que forman dos rectas y a estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de optimización paso a paso.
Aprenderás a obtener la función a optimizar así como la relación existente entre las variables que intervienen.
En esta presentación de FdeT aprenderás a estudiar si un determinado conjunto forma o no una topología. Aprenderás los axiomas que debe cumplir un conjunto para que sea una topología.
En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema con números escritos en distintos sistemas de numeración. Aprenderás a expresar números en distintos sistemas de numeración.
Este documento explica el método de las potencias para calcular el valor propio dominante de una matriz cuadrada. El método implica multiplicar repetidamente la matriz por un vector inicial para que los componentes del vector resultante se aproximen al vector propio asociado con el valor propio dominante cuando k tiende a infinito. Se ilustra el método con un ejemplo para calcular el valor propio dominante de una matriz dada.
Este video tutorial muestra cómo calcular la integral x lnx2 dx utilizando el método de integración por partes. Se eligen u = lnx2 y dv = x dx. Luego se integra por partes la subexpresión x lnxdx obtenida. Tras varios pasos de integración por partes, la solución final es x lnx2 dx = 2/3 x3 lnx2 - 4/3 lnx - 8/9 + K.
Este video tutorial muestra cómo resolver una integral doble en una región determinada cambiando las variables a coordenadas polares. Se calcula la integral de la función f(x,y)=cos(x2+y2) sobre la bola unitaria mediante el cambio a coordenadas polares, obteniendo como resultado final πsen(1).
Este video tutorial enseña cómo encontrar puntos críticos de una función usando el método de Newton-Raphson. Explica cómo aplicar el método para encontrar una aproximación de cuatro cifras decimales de la raíz de la ecuación cosx - xsenx = 0, partiendo del valor inicial x0 = 1 y realizando tres iteraciones. El resultado obtenido es una aproximación de 0.86033377 para el punto crítico de la función f(x) = xcosx.
Este video tutorial explica cómo calcular potencias y la inversa de matrices cuadradas, y resolver ecuaciones matriciales. Presenta un ejemplo resolviendo la ecuación A3X - 4B = 0 para las matrices A y B dadas, encontrando la solución X = [-16, 0; 3, 0].
Este documento resuelve la integral x^2 sen(2x) dx mediante el método de integración por partes. Se aplica integración por partes dos veces para obtener la solución final de -1/2 x^2 cos 2x + 1/2 xsen 2x + 1/4 cos 2x + K.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: TFC
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Aplicar el Teorema fundamental del Cálculo.
• Calcular las derivadas sucesivas de una función.
• Calcular el polinomio de Taylor para aproximar una función.
2. ENUNCIADO
Sea la función F: ℝ → ℝ definida por
𝐹 𝑥 =
0
𝑥
𝑡2cos(𝑡2)𝑑𝑡
a) Calcula razonadamente la derivada de F(x).
b) Calcula el desarrollo en serie de Taylor de orden 3 de la función F(x) centrado en x=0.
c) Calcula
lim
𝑥→0
𝐹 𝑥
𝑥
Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: TFC
3. a) Calcula razonadamente la derivada de F.
Para calcular la derivada de F, basta con observar que la función
𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥2
Es una función continua en los números reales, por lo que aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene
que la función
𝐹 𝑥 =
0
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Es una función derivable, y además su derivada vale:
𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 ∀𝑥 ∈ ℝ
Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: TFC
4. b) Calcula el desarrollo en serie de Taylor de orden 3 de la función F(x) centrado en x=0.
Recordemos que el desarrollo en serie de Taylor de la función F(x) viene determinado por:
𝑝 𝑥 = 𝐹 0 +
𝐹´ 0
1!
𝑥 − 0 +
𝐹´´(0)
2!
(𝑥 − 0)2+
𝐹´´´(0)
3!
(𝑥 − 0)3
Calculamos las derivadas sucesivas de la función F(x)
𝐹 𝑥 =
0
𝑥
𝑡2cos(𝑡2)𝑑𝑡 𝐹 0 =
0
0
𝑡2cos(𝑡2)𝑑𝑡 = 0
𝐹´ 𝑥 = 𝑥2
𝑐𝑜𝑠 𝑥2
F´ 0 = 0
𝐹´´ 𝑥 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥2 − 4𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 𝐹´´ 0 = 0
Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: TFC
5. 𝐹´´´ 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥2
− 4𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥2
− 6𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥2
− 4𝑥4
cos 𝑥2
𝐹´´´ 0 = 2
Por lo tanto tenemos que el polinomio de Taylor de orden 3, de la función F(x) centrado en x=0 , viene
determinado por:
𝑝 𝑥 = 𝐹 0 +
𝐹´ 0
1!
𝑥 − 0 +
𝐹´´(0)
2!
(𝑥 − 0)2+
𝐹´´´(0)
3!
(𝑥 − 0)3
𝑝 𝑥 = 0 +
0
1
𝑥 +
0
2
𝑥2 +
2
6
𝑥3 =
1
3
𝑥3
Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: TFC
6. c) Calcula lim
𝑥→0
𝐹 𝑥
𝑥
Observemos que por el Teorema Fundamental del Cálculo, se tiene que la función F(x) es derivable en todo su
dominio y que además
𝐹´ 𝑥 = 𝑥2
𝑐𝑜𝑠 𝑥2
∀𝑥 ∈ ℝ
Si recordamos la definición de derivada tenemos que la derivada de F(x) en el punto x=0, viene dada por:
𝐹´ 0 = lim
𝑥→0
𝐹 𝑥 − 𝐹(0)
𝑥 − 0
= lim
𝑥→0
𝐹(𝑥)
𝑥
Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: TFC
Ya que 𝐹 0 = 0