En esta presentación de FdeT aprenderás a hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto determinado y es perpendicular a una recta conocida. Aprenderás a calcular el punto simétrico de un punto conocido respecto de una recta dada en el espacio.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular la ecuación de un plano perpendicular a una recta dada y que pasa por un punto
determinado.
• Calcular el simétrico de un punto respecto de una recta conocida.

2. Vídeo tutorial FdeT GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
ENUNCIADO
Considera el punto 𝑃(1,0,2) y la recta r dada por las ecuaciones
2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0
𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0
a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.
b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.

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PROBLEMA RESUELTO: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.
La recta r viene determinada por:
𝑟:
2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0
𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0
Como estamos buscando la ecuación de un plano que sea perpendicular a r, los vectores normales de r, serán
vectores directores del plano, o dicho de otra forma el vector director de r es el vector normal del plano buscado.
Llamaremos 𝜋 al plano que estamos buscando. Vamos a calcular su ecuación de dos formas distintas:
Forma1: Usaremos que el vector director de r es normal al plano 𝜋. Para ello calcularemos el vector director de r,
como el producto vectorial de los dos vectores normales de la recta, es decir, como el producto vectorial de
2, −1,0 × 0,1,2

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2, −1,0 × 0,1,2 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 −1 0
0 1 2
=
−1 0
1 2
𝑖 −
2 0
0 2
𝑗 +
2 −1
0 1
𝑘 = −2 𝑖 − 4 𝑗 + 2𝑘 = −2, −4,2
Por lo tanto el vector normal del plano 𝜋, viene dado por −2, −4,2 .
De esta forma la ecuación del plano viene determinada por:
𝜋: −2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 + 𝐾 = 0
Para calcular el valor de K, imponemos que el punto 𝑃 1,0,2 ∈ 𝜋, es decir sustituimos el punto P en la ecuación
del plano y tenemos que:
𝑃 ∈ 𝜋 − 2 1 − 4 0 + 2 2 + 𝐾 = 0 𝐾 = −2

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De esta forma el plano viene dado por:
𝜋: −2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 − 2 = 0
O bien si simplificamos la ecuación entre -2, se tiene que:
𝜋: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
Forma 2: Usaremos que los vectores normales de la recta son vectores directores del plano, y además usaremos
que el punto 𝑃(1,0,2) es un punto del plano.
Los vectores normales de la recta son: −2,1,0 , 0,1,2
Por tanto la ecuación general del plano viene determinada por:

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𝑥 − 1 𝑦 − 0 𝑧 − 2
2 −1 0
0 1 2
= 0
Resolviendo el determinante llegamos a:
−2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 − 2 = 0
Simplificando entre -2, se llega a que la ecuación del plano viene determinada por:
𝜋: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.

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Para calcular el punto simétrico de P con respecto a r, en primer lugar debemos hallar el plano perpendicular a r
que pasa por P, pero este plano es el que hemos calculado en el apartado anterior, y su ecuación viene
determinada por:
𝜋: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
A continuación estudiamos la intersección de 𝜋 y de r.
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0
𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0
Este sistema de ecuaciones nos da la solución: 𝑥 =
13
6
𝑦 =
2
6
𝑧 =
23
6
Llamaremos a este punto M, 𝑀 =
13
6
,
2
6
,
23
6

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El punto M es el punto medio de P y su simétrico al que denotaremos por P´, por lo tanto:
𝑀 = 𝑀 𝑃𝑃´ =
𝑃 + 𝑃´
2
De donde tenemos que:
𝑃´ = 2M − P = 2
13
6
,
2
6
,
23
6
− 1,0,2 =
13
3
,
1
3
,
23
3
− 1,0,2 =
10
3
,
1
3
,
17
3
Por lo tanto el punto simétrico de P respecto de r, viene determinado por:
𝑃´ =
10
3
,
1
3
,
17
3
FIN