Este documento presenta diferentes temas de álgebra, incluyendo sumas y restas de expresiones algebraicas, multiplicación y división, productos notables, factorización, fracciones algebraicas, radicación y más. Los ejercicios resueltos muestran cómo aplicar estas operaciones y conceptos para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Estado LARA
Expresiones algebraicas, factorización
y radicación.
Integrante:
Ezequiel Piña, 28.591.675
Materia: Matemática
Sección: 0103

2. • Suma, Resta y Valor Numérico de Expresiones Algebraicas.
Ejercicio 1
Realizar la siguiente suma ( 9x + y + z + u) ; (-3x -4y -2z +3u) ; (5x +5y +3z
-4u) ; (-9x –y +z +2u)
Teniendo en cuenta( para conseguir el valor numérico) lo
siguiente: X= -2 ; y= 4 ; z=6 ; u=-3
Solución:
9x + y + z + u
-3x -4y -2z +3u
5x +5y +3z -4u
-9x -y +z +2u
2x + y + 3z + 2u
Sustituimos para conseguir el valor numérico:
2x + y +3z + 2u
2(-2) +4 +3(6) +2(-3)
-4 +4 +18 -6
=12
Ejercicio 2
Realizar lo siguiente, de (2ab +3ac -3cd -6de) restar (-4ac +8ab -5cd +6de)
Teniendo en cuenta (para conseguir el valor numérico) lo siguiente: a= 1 ;
b= 3 ; c= -2 ; d= -1 ; e= 4
Solución:
2ab +3ac -3cd -6de
-(-4ac +8ab -5cd +6de)
Multiplicamos signos y ordenamos la operación:
2ab +3ac -3cd -6de
-8ab +4ac +5cd -6de

3. -6ab +7ac +2cd -12de
Sustituimos para conseguir el valor numérico:
-6ab +7ac +2cd -12de
-6(1)(3) +7 (1)(-2) +2(-2)(-1) -12(-1)(4)
-18 -14 +4 +48
=20
• Multiplicación y división de expresiones algebraicas.
Ejercicio 1:
Realizar la siguiente multiplicación, (3×^4 +2x^3 +6x^2 -4x -1) × ( x
+5) Solución:
3x^4 + 2x^3 + 6x^2 - 4x -1
× x+5
15x^4 +10x^3 +30x^2 -20x -5
3x^5 + 2x^4 + 6x^3 -4x^2 -x +
= 3x^5 +17x^4 +16x^3 +26x^2 -21x -5
Ejercicio 2:
Realizar la siguiente división, (7x^5 +3x +2) ÷ (3x +2)
Solución:
Completar los especiales que faltan.
7x^5 + 0×^4 +0x^3+0x^2 +3x+2|3x +2
-7x^5-14/3 x^4 |7/3x^4-14/9x^3+28/27x^2 -56/81x+335/243
0x^5-14/3×^4+0x^3
+14/3x^4+28/9×^3
0x^4 +28/9×^3 +0x^2
-28/9x^3-56/27x^2
0x^3 -56/27x^2 +3x
+56/27x^2+112/81x
0x^2 +355/81×+2

4. -335/81x -670/243
Residuo = 0x + 184/243
• Productos notables de expresiones algebraicas.
Algunos productos aparecen con mucha frecuencia en los cálculos
algebraicas, por lo cual a estos se les conoce como productos notables. Los
principales productos notables son:
1. (a +b)(a -b) =a^2 - b^2
2. (a +b)^2 = a^2 +2ab +b^2
3. (a -b)^2 = a^2 - 2ab +b^2
4. (a +b)^3= a^3+ 3a^2(b)+3ab^2 +b^3
5. (a -b)^3= a^3 -3a^2(b) +3ab^2 -b^3
Ejercicio 1: Aplicando los productos notables hallar.
(3x^3+√(8)) (3x^3 -√(8))
Solución: Aplicando fórmula 1
(3x^3+√(8)) (3x^3 -√(8)) = (3x^3)^2 – (√(8))^2 = 9x^6 – 8
Ejercicio 2: Aplicando los productos notables hallar.
(4x^2 +3y)^3
Solución: Aplicando fórmula 4
(4x^2 + 3y)^3 = (4x^2)^3 +3 (4x^2)^2 (3y) +3 (4x^2)(3y)^2
+3y^3 = 64x^6 +3 (16x^4)(3y) +3(4x^2)(9y^2) +27y^3
= 64x^6 +144x^4 + 108x^2(y^2) +27y^3
• Factorización por Productos Notables.
Se llama factorización al proceso de convertir una expresión algebraica en
el producto de sus factores. La factorización por Productos Notables no es
más que los productos notables escritos de izquierda a derecha, estos son:
1. a^2 -b^2 = (a +b)(a -b)
2. a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2
3. a^2 -2ab +b^2 = (a -b)^2

5. 4. a^3 -b^3 = (a -b)(a^2 +ab+b^2)
5. a^3 +b^3 = (a +b)(a^2 -ab +a^2)
Ejercicio 1: Aplicando fórmula 1
9×^4 -16y^2 =(3x^2)^2 –(4y)^2
= (3x^2 + 4y)(3x^2 -4y)
Ejercicio 2: Aplicando fórmula 4
8x^3 -27 = (2x)^3 -3x^3
= (2x-3) ((2x^2)+(2x)(3) +9^2)
= (4x -3) (4x^2 +6x +9)
• Simplificación de fracciones algebraicas. Suma y resta de fracciones
algebraicas.
Para simplificar una fracción una fracción algebraicas se factorizan el
numerador y el denominador, para así simplificar los factores
comunes. Para ello se utilizan el factor común y la factorización por
Productos Notables.
Ejercicio 1: Por Factor Común
x^2 -3x
3 -x
Solución: Se toman -× como factor común, así se simplifica el ( 3 -x)
del numerador con el ( 3 -x) del denominador.
x^2 -3x = -× (3 -x)
3 -x 3-x
= -x
Ejercicio 2: Por factorización por Productos Notables.

6. x^2 - y^2
x^2 +2xy +y^2
Solución: Se utiliza fórmula 1 para el nominador y fórmula 2 para el
denominador. Así simplificamos el (x +y) del nominador con uno de los
(x+ y) del denominador. Ya que (x +y)^2 es igual a (x +y)(x +y).
x^2 - y^2 = (x +y) (x -y)
x^2 + 2xy + y^2 (x + y)^2
= x - y
x +y
Para Sumar o restar fracciones que tienen el mismo denominador,
simplemente se suman o restan los numeradores y se coloca el mismo
denominador. Por otro lado cuando el denominador es diferente, se
multiplican los denominadores y se realiza un producto cruzado.
Ejercicio 1: Por denominador Común
6 + x - x -2
Solución:
x +2 x +2 x +2
= 6 +x - ( x -2 )
x + 2
= 6 +x -x +2
x+ 2
= 8_
x + 2
Ejercicio 2: Por Producto cruzado.
2_ + 3x
x +2 x^2 -7x +10

7. Solución: Después de realizar producto cruzado sacar factor común y así
simplificar la fracción.
2_ + 3x
x +2 x^2 -7x +10
= 2x^2 -14x +20 +3x^2 -6×
x^3 -7x^2 +10x -2x^2 +14x -20
= 5x^2 -20x +20
x^3 -9x^2 +24x -20
= 5 (x^2 -4x +4)_
(x^2 -4x +4)(x -5)
= 5
( x -5 )
• Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas.
Para resolver estos se deben a cabo las siguientes propiedades:
1. a_ × c_ = ac_
b d bd
2. a_ ÷ c_ = a_ × d_ = ad_
b d b c bc
Ejercicio 1: Multiplicación
y -1 x^2 +2x +4
x^3 -2^3 × y^2 +y +1
Solución: Utilizando fórmula 4 de factorización por Productos Notables
simplificar la operación.
x^3 -2^3 × y^2 +y +1
y -1 x^2 +2x +4

8. = (x -2)(x^2 +2x +4) × y^2 +y +1_
y -1 x^2 +2x +4
= ( x -2 ) × y^2 +y +1
y -1 1
= xy^2 + xy -x -2y^2 -2y +2
y – 1
Ejercicio 2: División
2x ÷ 4x
(x +1)(x -1) (x -1)(x +1)
Solución: Ser convierte la división en una multiplicación según la ecuación
2.
2x ÷ 4x
(x +1)(x -1) (x -1)(x +1)
= 2x × (×+1)(x-1)_
(x +1)(x -1) 4x
= 2x = 1_
4x 2
• Factorización por el método de Ruffini.
Se utiliza para factorizar Polinomios de grados altos.
Ejercicio 1:
x^3 -x^2 -10x -8 =0
Solución: Tenemos como candidatos 1, -1 , 2 , -2 , 4 y -4 . Tomamos los
coeficientes y los ordenamos de mayor a menor exponencial.
1 -1 -10 -8
-2 -2 6 8
1 -3 -4 0
-1 -1 4

9. 1 -4 0
4 4
1 0
Luego agrupamos los números elegidos (-2, -1, 4) y los multiplicamos por
– 1 y ordenamos de la siguiente manera obtenido la factorización (x
+2)(x+1)(x -4).
Ejercicio 2:
x^3 +x^2 -14x -24 = 0
Solución: Tenemos como candidatos 2, -2, 3 , -3 , 4, -4.
1 1 -14 -24
-2 -2 2 24
1 -1 -12 0
4 4 12
1 3 0
-3 -3
1 0
Teniendo como resultado: (x +2)(x -4)(x +3)
• Radicación. Suma y resta de Radicales.
La radicación es la operación opuesta a la potenciación. Consiste en
simplificar radicales de la siguiente manera:
√9 = √3^2 ya que 3×3= 9
√3^2 = 3
Ejercicio 1 : Radicandos iguales.

10. 6√3x + 5√3x -2√3x
Solución: Se suman y restan los coeficientes y se deja el mismo
radicando común.
6√3x + 5√3x -2√3x = 9√3
Ejercicio 2 : Radicandos diferentes.
4 ∛54 – 3 ∛128 + 2 ∛250
Solución: En este caso se busca factorizar de manera conveniente la
operación. Y luego se suman y restan los coeficientes, dejando el radicando
común obtenido.
4 ∛54x – 3 ∛128x + 2 ∛250x
= 4 ∛3^3 (2x) – 3 ∛4^3 (2x) +2∛ 5^3 (2x) = 4( ∛3^3)( ∛2x) – 3( ∛ 4^3)(
∛2x) + 2 (∛5^3)( ∛2x) = 4 (3)( ∛2x) – 3 (4)( ∛2x) + 2(5)( ∛2x)
= (12 -12 + 10) ∛2x
= 10∛2x
• Multiplicación y División de Radicales.
Para multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo
número de índice. Hay que tener presentes las propiedades de los
radicales.
1. Si se multiplican se suman los exponentes.
2. Si se dividen se restan los exponentes.
Ejercicio 1: Índices iguales.
√6x × √10x ÷ √2x
Solución: Se toma la raíz con índice común y se multiplican o dividen los
radicandos.
√6x × √10x ÷ √2x
= √6x × 10x ÷ 2x
= √60x^2 ÷ 2x

11. = √30x
Ejercicio 2: Índices diferentes.
∛(64x^2 / 125x) ×√36x
Solución: Para obtener una raíz con índice común sacamos el m.c.m de sus
raíces ( 2; 3) el cual es 6. Luego dividimos el nuevo índice (6) entre el índice
original de la operación ( 2; 3) y elevamos nuestros radicandos a los mismos.
Extraemos los radicandos posibles y realizamos la multiplicación y división de
los restantes.
∛(64x^2 / 125x) ×√36x
= ⁶√(64x^2/ 125x)^2 × ⁶√(36x)^3
= ⁶√ (4^3×x^2/ 5^3)^2 × ⁶√(6^2×x^3
= ⁶√4^6(x^4) × ⁶√6^6 (x^3)
⁶√5^6(x^2)
= 4⁶√x^2 × 6⁶√x^3
5
= 24 ⁶√ x^5
5
• Expresiones conjugadas.
Se utilizan para racionalizar el numerador o denominador de determinada
operación. Tomar en cuenta lo siguiente.
1. ( a +b) (a -b) = a^2 – b^2
2. ( a +b) ( a^2 -ab + b^2) = a^3 +b^3
3. ( a -b) ( a^2 + ab +b^2)
Ejercicio 1:
2a _
√a+1 - √ a-1

12. Solución: Realizar la conjugada. Multiplicar tanto nominador y denominador
por el denominador con el signo inverso. Tenemos presente fórmula 1.
2a _
√a+1 - √ a-1
= 2a _ × √a+1 + √ a-1
√a+1 - √ a-1 √a+1 + √ a-1
= 2a ( √a+1 + √ a-1) _
( √a+1) ^2 – ( √ a-1)^2
= 2a ( √a+1 + √ a-1) _
( √a+1) ^2 – ( √ a-1)^2
= 2a ( √a+1 + √ a-1) _
a+1– ( a-1)
= 2a ( √a+1 + √ a-1) _
2
= a ( √a+1 + √ a-1)
Ejercicio 2:
16x -1 _
2∛x – 1
Solución: Decimos que 1 =∛1. Tomamos en cuenta fórmula 3.
16x -1 _
2∛x – ∛1
= 16x -1 _ × ( 2∛x)^2 + 2∛x (∛1) + ∛1^2 2∛x -∛1 ( 2∛x)^2 + 2∛x
(∛1) + ∛1^2

13. = 16x -1( 4∛x^2 + 2∛x (1) + 1 )
( 2∛x)^3 – (1^3)
= 16x -1( 4∛x^2 + 2∛x (1) + 1 )
8x – 1
= 2( 4∛x^2 + 2∛x +1)
= 8∛x^2 +4∛x +2