1. Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar vektor dan operator-operator vektor yang digunakan dalam medan dan gelombang elektromagnetik, seperti gradien, divergensi, dan curl. 2. Dibahas pula sistem koordinat kartesian, silindris, dan bola yang digunakan untuk merepresentasikan vektor dalam ruang tiga dimensi. 3. Operator-operator vektor digunakan untuk menghitung laju perubahan medan skalar dan vektor.

1. 1
Aplikasi Vektor untuk
Medan dan Gelombang EM

2. 2
Dasar-dasar Vektor
( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxx az,y,xAaz,y,xAaz,y,xAz,y,xA ++=

Konvensi:
Vektor ditulis dengan anak
panah diatas atau cetak tebal
Vektor biasanya
fungsi dari koordinat
spasial
Konvensi:
vektor satuan dilambangkan
dengan topi diatasnya
magnitude dari komponen vektor
(bisa jadi fungsi dari x,y,z)
ke arah sumbu-y
A
A
aˆora

=
( )2
1
2
z
2
y
2
x AAAA ++=


3. 3
Penjumlahan vektor
( ) zzzyyyxxx a)BA(a)BA(aBAC +++++=

Pengurangan ekivalen dng penjumlahan
A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)

4. 4
Vektor posisi dan vektor jarak
z2y2x22
z1y1x11
azayaxR
azayaxR
++=
++=


Vektor R12 adalah vektor dari
P1 ke P2 dan jaraknya (panjang
atau magnitude) adalah d:
( ) ( ) ( ) z12y12x12
1212
azzayyaxx
RRR
−+−+−=
−=

( ) ( ) ( )[ ] 212
12
2
12
2
12
12
zzyyxx
Rd
−+−+−=
=


5. 5
Vektor posisi dan vektor jarak
Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1)
Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az
Vektor posisi OQ = rQ= 2ax - 2ay + az
Vektor jarak RPQ = rQ - rP = ax - 4ay - 2 az

6. 6
Perkalian titik (perkalian skalar)
( )ABBABA θcos

=⋅
• Selalu menghasilkan bilangan skalar
• A cos(θAB) adalah komponen A sepanjang B.
Disebut sebagai proyeksi dari A pada B.
• Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar
nol:
• A·A=|A|2
=A2
0ˆˆ =⋅ yx

7. 7
Perkalian titik (perkalian skalar)
( )
332211
z3y2x1
z3y2x1
AB
BABABABA
aBaBaBB
aAaAaAA
θcosBABA
++=⋅
++=
++=
=⋅





8. 8
Perkalian silang (perkalian vektor)
Aturan sekrup putar bisa dipakai:
Pemutaran A ke B menggerakkan
sekrup ke arah vektor hasil
Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan
vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung
dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan
Komponen tangensial dan normal.
!!!!PENTING!!!

9. 9
Perkalian silang (ljt)
Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil
perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah
berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian
silang negatif.
xa
yaza
yzx
yxz
zyx
aaa
aaa
aaa
−=×
=×
=×
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA =×


10. 10
Triple Products
Hasil operasi lain yang penting:
( ) ( ) ( )BACACBCBA

×⋅=×⋅=×⋅
Scalar triple product
Vector triple product (aturan bac-cab)
( ) ( ) ( )BACCABCBA

⋅−⋅=××
Menghasilkan skalar
Menghasilkan vektor

11. 11
VECTOR REPRESENTATION
3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS:
• RECTANGULAR
• CYLINDRICAL
• SPHERICAL
Choice is based on
symmetry of problem
Examples:
Sheets - RECTANGULAR
Wires/Cables - CYLINDRICAL
Spheres - SPHERICAL

12. 12
Sistem Koord. Kartesian
x
y
z
(x, y, z) Kuantitas diferensial:
dV, dS and d!
yxz
zyx
aˆdzdxaˆdzdyaˆdydxsd
aˆdzaˆdyaˆdxld
dzdydxdv
===
++=
=


xaˆ
yaˆ
zaˆ

13. 13
Sistem Koord. Kartesian
yxz
zyx
aˆdzdxaˆdzdyaˆdydxsd
aˆdzaˆdyaˆdxld
dzdydxdv
===
++=
=



14. 14
Sistem Koord. Tabung atau Silindris
z
y
x
φ
ρ
(ρ, φ, z)
Perhatikan kuantitas diferensial:
dV, dS and d!
dzdddv
aˆdzdsd
aˆdzaˆdaˆdld z
φρρ=
φρ=
+φρ+ρ=
ρ
φρ


zaˆ
φaˆ
ρaˆ

15. 15
Sistem Koord. Tabung atau Silindris
dzdddv
aˆdzdsd
aˆdzaˆdaˆdld z
φρρ=
φρ=
+φρ+ρ=
ρ
φρ



16. 16
Sistem Koordinat Bola
z
y
x
r
φ
θ
(r, θ, φ)
nb : harga θ adalah 0 sampai π
, bukan 0 sampai 2π
Lihat lagi kuantitas diferensial:
dV, dS and d!
ddθdrsinθr
aˆddθsinθr
aˆdsinθraˆdθraˆdrld
2
r
2
θr
φ
φ
φ φ
=
=
++=
dv
sd


θaˆ
φaˆ
raˆ

17. 17
Sistem Koordinat Bola
ddθdrsinθrdv
aˆddθsinθrsd
aˆdsinθraˆdθraˆdrld
2
r
2
θr
φ=
φ=
φ++= φ



18. 18
Transformasi Koordinat
Kadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem
koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari
sistem kartesian ke bola :
φ+θ−=
θ−φθ+φθ=
θ+φθ+φθ=
φ
θ
cosAsinAA
sinAsincosAcoscosAA
cosAsinsinAcossinAA
yx
zyx
zyxr
Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan

19. 19
Soal2
1. Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3)
Cari :
– Vektor dari A ke C
– Vektor satuan dari B ke A
– Jarak dari B ke C
•-ax+8ay-4az
•0,762ax-0,127ay-0,635az
•12,45

20. 20
Soal2
2. Sebuah medan vektor dinyatakan oleh
W=4x2
y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2
) az
Cari :
– Besar medan di P(2,-3,4)
– Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P
– Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan
• 53,4
• -0,899ax-0,412ay+0,150az
• +- 0,455

21. 21
Soal2
3. Diketahui F = 2ax-5ay-4az; G = 3ax+5ay+2az
Cari :
3. F.G
4. Sudut antara F dan G
5. Panjang proyeksi F pada G
6. Proyeksi vektor F pada G
• -27,0
• 130,8 o
• -4,38
• -2,13ax-3,55ay-1,42az

22. 22
Soal2
4. Diketahui F = -45ax+70ay+25az; G = 4ax-3ay+2az
Cari :
4. F x G
5. ax (ay x F)
6. (ay x ax ) x F
7. Vektor satuan yang tegak lurus F pada G
• 215ax+190ay-145az
• -45ay
• -70ax-45ay
• +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)

23. 23
Soal2
5. Diketahui P(ρ=6,φ=1250
, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4)
Cari :
– Jarak dari P ke titik asal
– Q tegak lurus pada sumbu z
– P ke Q
• 6,71
• 3,16
• 11,20

24. 24
Soal2
6. a. Nyatakan T=240+z2
-2xy dalam koordinat
tabung
b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika
kerapatannya ( )ϕρ 23
cos2
2
+−z
e
• 240+z2
–ρ2
sin 2φ
• 8,66

25. 25
Soal2
7. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam
koordinat tabung
b. Cari medan F dalam koord cartesian jika
F= ρ cosφ aρ
• ρ(cos φ- sin φ)(sin φ aρ+cos φ aφ
•
( )yx yaxa
yx
x +








+ 22

26. 26
Operator Del = ∇
( )
( )
( )Bolaa
sinr
a
r
a
r
Tabunga
z
aa
Cartesiana
z
a
y
a
x
r
z
zyx
φθ
φρ
φ∂θ
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
=∇
∂
∂
+
φ∂
∂
+
ρ∂
∂
=∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇

27. 27
Grad, Div dan Curl
an vektormenghasilkuntukvektorpadaberoperasi:Curl
AAA
zyx
aaa
ACurlA
skalaranmenghasilkuntukvektorpadaberoperasi:Div
z
A
y
A
x
A
ADivergensiA
an vektormenghasilkuntukskalarfungsipadaberoperasi:Grad
a
z
a
y
a
x
Gradien
EMmedanteoridalammendasarsangatyang
halmerupakandanldiferensiaoperatoradalahKetiganya
zyx
zyx
zyx
zyx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==×∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==⋅∇
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
=φ=φ∇

28. 28
Gradien dari medan skalar
Jika ϕ(x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut
medan skalar. Gradien dari ϕ, dinyatakan sbg grad ϕ atau ∇ϕ
Adalah vektor menurut aturan berikut:
dibaca
“del phi”
Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu-
kaan yang digambarkan oleh ϕ(x,y,z) dan perubahan laju
ini muncul pada arah tertentu.
Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadi
fungsi vektor.
a
z
a
y
a
x
Grad zyx
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
==φ∇

29. 29
Contoh gradien
( )
( )
2
2
, ,
ˆ ˆ ˆMaka 2
z
z z
x y z x y xe
x e x x y xe z
ϕ
ϕ
= −
∇ = − + −
Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan
( ) ˆ ˆ ˆ5 4 2P x y zϕ∇ = − + −
Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan
teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan muncul
pada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya
adalah ( )
28
21
Pϕ
−
∇ = turunan
berarah

30. 30
Rapat fluks
Operator divergensi dinyatakan sbg ∇ dan selalu beroperasi
pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd
vektor !
Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber
Arah medan searah dengan anak
panah (jadi suatu vektor).
Kekuatan medan sebanding dengan
kerapatan anak panah (bukan panjangnya).
medan
seragam
medan tak seragam

31. 31
Divergensi
Divergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan
volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasan
Mendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya:
Secara matematika:
Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada
(fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.
z
E
y
E
x
E
EDivergensiE zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==⋅∇

32. 32
Contoh divergensi
x6x
x0x6E
zˆzxyˆz2xˆx3E
2
2
22
+=
++=⋅∇
++=


Di titik (2,-2,0)
( )
16
0,2,2
=⋅∇
−
E

Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan
mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini
menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan
adanya sink.

33. 33
Curl (Rotasi=Pusaran)
Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari
medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat
dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin
tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai
pusarannya.
Medan B seragam,
curl-nya nol.
medan tak-seragam,
Curl-nya tidak nol.

34. 34
Perhitungan curl
( )
teksbookpadaditemukanbisalainkoordinatsistemUntuk
Cartesian
BBB
zyx
aaa
BCurlB
zyx
zyx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==×∇

35. 35
Operator penting lainnya
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
z
2
y
2
x
22
2
z
V
y
V
x
V
V
AAA
0
0
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
∇+∇+∇=∇
=×∇⋅∇
=φ∇×∇
∇−⋅∇∇=×∇×∇
A
A
AAA
Dua rumus ini sangat
bermanfaat pd pembaha-
san mendatang.
Operator Laplacian

36. 36
Operator Laplacian (1)
Ingat: ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆx y z
x y z
x y z
A x A y A z
ϕ ϕ ϕ
ϕ
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
= + +
Sekarang ( )
2 2 2
2 2 2
yx z
AA A
x y z
x y y
ϕ
ϕ ϕ ϕ
∂∂ ∂
∇× ∇ = + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
Untuk praktisnya ditulis: ( )2
ϕ ϕ∇ = ∇× ∇
baca “del kuadrat”

37. 37
Laplacian (2)
Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor
ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE= + +

Jika
Maka,
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
ˆ ˆ ˆx y z
E E
x y y
x E y E z E
 ∂ ∂ ∂
∇ = + + ÷
∂ ∂ ∂ 
= ∇ + ∇ + ∇
 
Dapat juga ditunjukkan bahwa:
( )2
E E E∇ = ∇ ∇× −∇×∇×
  
“curl curl dari E”

38. 38
Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl
zyx
zyx
AAA
zyx
zyx
z
A
y
A
x
A
z
z
y
y
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
ˆˆˆ
ˆˆˆ
A
A
φφφ
φ

39. 39
Teorema integral
(teorema divergensi)
v S
E dv E dS∇× = ×∫ ∫
 
Ñ
Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume
menjadi integral permukaan.
( ) (teorema Stokes)
S C
B dS B dl∇× × = ×∫ ∫
 
Ñ
Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaan
menjadi integral garis.
permukaan atau lintasan tertutup

40. 40
Integral garis/permukaan
Contoh: teorema Stoke
rn ˆˆ =
( ) (teorema Stoke)
S C
B dS B dl∇× × = ×∫ ∫
rrr r
Ñ
Hitung integral ini
ke-seluruh segmen
permukaan.
Hitung integral ini
sepanjang garis-batas
dari segmen.

41. 41
Permasalahan nilai batas
Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial)
yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang
(dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh
jika diberikan sekumpulansyarat batas.
Secara umum ada tiga jenis syarat batas:
•Syarat batas jenis Dirichlet
•Syarat batas jenis Neumann
•Syarat batas jenis campuran
(kombinasi dari Dirichlet & Neumann)

42. 42
Syarat batas jenis Dirichlet
S

Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukan
suatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam
daerah S, sedemikian hingga V = g pada .
gV =
Persyaratan V = g pada  disebut sbg syarat batas Dirichlet.

43. 43
Syarat batas jenis Neumann
Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas
diberikan pada batasnya, mis, pada .f
dn
dV
=
S

f
dn
dV
=
Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.

44. 44
Contoh (1) batas bidang (planar)
Hi EiEr
Hr
x
θr θi
θtHt
Et
ε2µ2
ε1µ1
Kita perlu pernyataan mengenai medan normal
dan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat
batas. Hal ini memungkinkan kita menerus-
kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yang
lainnya (y<0).
y
incidentreflected
transmitted

45. 45
Contoh (2): bumbung gelombang
( ) 0y,xEk
yx
z
2
c2
2
2
2
=








+
∂
∂
+
∂
∂
( ) 02
2
2
2
2
=





+
∂
∂
+
∂
∂
yxHk
yx
zc ,
X
Y
a
b ε, µ
Perlu Ez=0 pada semua
dinding ⇒ syarat batas Dirichlet
perlu
pada dinding.
⇒ syarat batas Neumann
dan 0z zH H
x y
∂ ∂
=
∂ ∂

46. 46
Syarat batas dalam EM
Et1 nε1µ1σ1
ε2µ2σ2 Et2
E tangensial kontinyu
nε1µ1σ1
ε2µ2σ2 Ht2
Ht1
n × (H1-H2)=Js
nε1µ1σ1
ε2µ2σ2
Bn1
Bn2
B normal kontinyu
nε1µ1σ1
ε2µ2σ2
D2n
D1n
n·(D1-D2)=ρs
Ekivalen

47. 47
Lihat contoh berikut
Et1 nε1µ1σ1
ε2µ2σ2 Et2
E tangensial kontinyu
Hal ini menyatakan bahwa
medan (listrik) tangensial dalam
daerah-1 adalah sama dengan
medan (listrik) tangensial pada
daerah-2.
Ini tdk menyatakan apapun
mengenai kompenen lain dr E.
Jika kita punya: ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE= + +
r
Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!ˆn E×
r

48. 48
Dan satu contoh lagi
nε1µ1σ1
ε2µ2σ2 Ht2
Ht1
n × (H1-H2) = Js
Hal ini menyatakan bahwa medan
magnetik pada kedua sisi tidak
kontinyu oleh adanya arus.
Hal ini umum terjadi. Jika
medium kedua konduktif
sempurna, σ2→∞. Maka, sama
sekali tidak ada medan didalam
daerah-2, dan persamaan menjadi:
1
ˆ sn H J× =
r rIni berarti bahwa komponen
tangensial dari medan H
adalah arus permukaan.
“permukaan”

49. 49
Contoh:
( )
( )
0
0
2 2
0
2 2
ˆ
memenuhi 0
ˆ
ˆ memenuhi 0d
j z
i i
j z
r r
j z
t t d
E xE e
E
E xE e
E xE e E
β
β
β
β
β
−
+
−
= 
∇ + =
= 
= ∇ + =
r
r
r
r r
zε0
εd
Ei atau Er
Et
Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa
(pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu.
( )
0
1
i r t
t
i r
d
E E E
E
E E
Z Z
+ =
− =