PRESENTACIÓN DE MATEMÁTICA

1. Razones Trigonométricas

2. TEMARIO

3. Temario
¿Qué es la trigonometría?
¿Qué es ángulo?
Razones Trigonométricas
Razones Trigonométricas en el triángulo rectángulo
Ángulos en posición normal
Ángulos Cuadrantales
Razones Trigonométricas de un ángulo en posición
normal
Razones Trigonométricas de un ángulo negativo

4. INTRODUCCIÓN

5. Introducción
Paradesarrollarelsiguientetema,seutilizarapresentacionesenelordenenelquesepresentaeneltemario,deacuerdoaunprocesodondesepretendelaestructuracióndelosconocimientos.
Enestapresentaciónseabordaunaintroducciónalatrigonometríaasunivelmáselemental:lasrazonestrigonométricasdeángulosagudos.Sesuponeconocidalanocióndeánguloysumedidaasícomolanocióndeánguloscomplementarios.
Seiniciatambiénunacercamientoalarelaciónentrerazonestrigonométricasylarelaciónfundamental,necesariasparalaresolucióndetriángulosrectángulos.

6. CONTENIDO
TEÓRICO

7. ¿Qué es la trigonometría?
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones
entre los lados y los ángulos de triángulos, de las
propiedades y aplicaciones de las funciones
trigonométricas de ángulos. las dos ramas
fundamentales son la trigonometría plana, que se
ocupa de figuras contenidas en un plano, y la
trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que
forman parte de la superficie de una esfera.

8. ¿Qué es un ángulo?
el Angulo es la porción de plano delimitada por dos
semirrectas del mismo origen
Los ángulos se identifican por 3 letras donde :
La letra central corresponde al vértice
Las otras 2 letras son puntos cualquiera de las
semirrectas que lo forman

9. Clasificación de los ángulos
Angulo recto : mide 90 gradosAngulo agudo: mayor que 0 menor que 90
Angulo obtuso: mayor que 90 menor que 180 Angulo llano: mide 180 grados

10. Razones Trigonométricas
Razón: En forma general se le define como la
comparación entre dos cantidades, por medio de un
cociente aplicando esta definición a un triangulo
cualquiera y relacionando sus 3 lados 2 a 2, obtenemos
6 razones veamos:

11. Razones Trigonométricas
Operador Trigonométrico: Se llama así al símbolo
matemático que como tal, no tiene significado cuando
actúa por si solo, pero que se transforma cuando lo
acompaña un ángulo. Estos operadores
trigonométricos son 6.

12. Razón Trigonométrica:
Es aquella que se obtiene como consecuencia de
fusionar un operador trigonométrico y un ángulo
obteniéndose como resultado un número, veamos el
siguiente ejemplo:
I). tg45° = 1
II) sen30° = (1/2)
III) cos60° = (1/2)
IV) sec45° =

13. Triángulo
rectángulo
α
hipotenusa
β
γ
catetos
Característica principal de un triángulo
rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900
Triangulo Rectángulo

14. RazonesTrigonométricaseneltriangulorectángulo
Se les define como los cocientes que se obtienen al
relacionar los catetos y la hipotenusa de un triangulo
rectángulo, a continuación veamos las definiciones de
cada una de dichas razones trigonométricas con
respecto al ángulo agudo A.

15. b
CatetoOpuesto
a c = Hipotenusa
Cateto Adyacente
B
C
A
SenA =Cateto Opuesto/Hipotenusa =a/c
CosA =Cateto adyacente/Hipotenusa =b/c
TanA =Cateto opuesto/Cateto adyacente =a/b
CotA =Cateto adyacente/Cateto Opuesto =b/a
SecA =Hipotenusa/Cateto adyacente =c/b
CscA =Hipotenusa/Cateto Opuesto =c/a
RazonesTrigonométricaseneltriangulorectángulo

16. Condicionesquehayquetenerpresente:
y ; son menores que 1.
y ; toman cualquier valor.
y ; son mayores que 1.

17. Ángulos en posición normal.-
Un ángulo está en posición normal si su vértice esta
en el origen y su lado inicial coincide con el semieje
positivo de las abscisas, y su lado final en cualquier
parte del plano, si el lado final coincide con un eje,
entonces el ángulo es múltiplo de 90°.

18. Ángulos en posición normal.-
α: ángulo en posición normal(-)
β: ángulo en posición normal(+)
OA: coincide con el eje (+) Ox
β: ángulo de Q1(primer cuadrante)
α: ángulo de Q3(tercer cuadrante)

19. Ángulos en posición normal
x
Y
Lado inicial del ángulo
en posición normal
Lado final del ángulo
en posición normal
Medida del ángulo
en posición normal Ángulo en el 2do
Cuadrante
o
Origen de
Coordenadas
θ

20. Y
X
Lado inicial
Lado Final
Medida del ángulo en
posición normal
Ángulo
ubicado en el
3er
cuadrante
X
Y
Lado inicial
Lado Final
Ángulo
ubicado en el
4to
cuadrante
Ángulos en posición normal
θ
θ

21. Ángulos Cuadrantales.-
 Un ángulo en posición normal es cuadrantal, cuando
su lado final coincide con cualquiera de los semiejes
de un sistema de coordenadas rectangulares. Los
ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún
cuadrante y son de la forma:
Paratodo“n”quepertenecealosnúmerosnaturales.

22. Ángulos Cuadrantales.-
“n” (# entero) Angulo
-1
0
1
2
3
4
“n” (# entero) Angulo
-1
0
1
2
3
4

23. RazonesTrigonométricasdeunánguloenposiciónnormal
Las razones trigonométricas del ángulo “θ” se definen
como se muestra en la tabla: en las definiciones que
sigue, se va a establecer el dominio y el recorrido de
las razones trigonométricas aunque deberían ser
evidentes.
Sea “θ” un ángulo en posición normal y sea “P” un
punto cualquiera (distinto de O) en el lado terminal
de “θ”

24. RazonesTrigonométricasdeunánguloenposiciónnormal

25. RazonesTrigonométricasdeunánguloenposiciónnormalRazón Trigon. Regla de correspondencia Dominio Recorrido
Sen θ =
Todo los ángulos
Cos θ =
Todo los ángulos
Tag θ =
Todo los ángulos para los cuales Todos los números reales
Cot θ =
Todo los ángulos para los cuales Todos los números reales
Sec θ =
Todo los ángulos para los cuales Todos los números reales
Csc θ =
Todo los ángulos para los cuales Todos los números reales
Razón Trigon. Regla de correspondencia Dominio Recorrido
Sen θ = Todo los ángulos
Cos θ = Todo los ángulos
Tag θ = Todos los números reales
Cot θ = Todos los números reales
Sec θ =
Csc θ =

26. CUADRODELASR.T.DELOSANGULOS:O°,90°,180°,270°y360°.
Ángulo
R.T.
0° 90° 180° 270° 360°
Sen 0 1 0 -1 0
Cos 1 0 -1 0 1
Tan 0 N 0 N 0
Cot N 0 N 0 N
Sec 1 N -1 N 1
Csc N 1 N -1 N

27. RazonesTrigonométricasdeunángulonegativo
La determinación de las razones trigonométricas de
un ángulo negativo, se puede lograr mediante la regla
de Reducción al primer cuadrante, conviene, sin
embargo, disponer de una relación especial. Trace
ángulos iguales a “θ” y “-θ”, en posición normal y
escoja P(-x;y) y P´(-x;-y) como se muestra en la figura,
obteniendo dos triángulos congruentes.

28. RazonesTrigonométricasdeunángulonegativo

29. Luego hallamos las RT del TR OMP y el TR OMP´.

30. EJERCICIOS
RESUELTOS

31. Un ángulo agudo tiene . Halla las restantes razones trigonométricas de este ángulo.
Por el Teorema de Pitágoras, hallamos el cateto que nos falta:
Resolución:
EjercicioN°1

32. Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonométricas y
encontramos:

33. Para el triangulo rectángulo PQR recto en R; halla el seno, coseno y la
tangente del ángulo de P y Q.
EjercicioN°2

34. Resolución:

35. Puedes usar el triángulo de la derecha para hallar el seno y el coseno de 42°. Primero, usa el teorema de Pitágoras para hallar la longitud, h, de la hipotenusa.
EjercicioN°3

36. Para el ángulo de 42°, el cateto opuesto tiene una longitud de 9 y el cateto adyacente tiene una longitud de 10.
Resolución:

37. Desde lo alto de un edificio de 60 m de altura se observa
una señal en el suelo con un ángulo de depresión de 53º. ¿A
que distancia del edificio se halla la señal observada?
a) 40 m
b) 42 m
c) 44 m
d) 45 m
e) 48 m
d
60 m
53º
37º
EjercicioN°4

38. Resolución:
Utilizando triángulos notables, hallamos el valor de k:
Si 3K = 60, entonces k = 20.
Por lo tanto la señal se encuentra a una distancia de 4K; es
decir: 4(20) y eso vendría a ser 80 metros.

39. Para el ángulo “α” , 16 es el C.O y 12 el C.A
Hallamos las razones trigonométricas del ángulo “α”:
EjercicioN°5

40. Senα = 16
20
Cos α = 12
20
Tg α = 16
12
Csc α = 20
16
Sec α = 20
12
Ctg α = 12
16
Resolución:

41. EjercicioN°6
DeterminaelvalornuméricodeE:
2sen
E =
+ 3 sen - Cos 2π
3π
2
π
6
Sec 180° + tg 2π

42. Resolución:

43. EJERCICIOS
PROPUESTOS

44. Halla la medida de los dos catetos del siguiente
triángulo
EjercicioN°7
30
25
b
a

45. Siendo P(-3;4) un punto del lado final de un ángulo “x” en posiciòn normal, calcular:
E = sec x + csc x
Marca con una (x) la respuesta correcta
a) -5/12
b) -6/15
c) 2/13
EjercicioN°8

46. Estamos cargando una escalera de largo L por un pasillo
de 3 pies de ancho hacia un area de 4 pies de ancho,
Según el siguiente dibujo.
Halla la medida del largo de la
escalera como función del
ángulo θ tal como se ilustra.
3 pies
4 piesθescalera
EjercicioN°9

47. ¿Qué es un ángulo cuadrantal?
Halla las funciones trigonométricas de los ángulos: 0º , 90º ,
180º , 270º Y 360º, no olvides que la division por cero no esta
determinado.
EjercicioN°10

48. EjercicioN°11