1. INTRODUCCIÓN A LOS
PROCESOS
ESTOCÁSTICOS Y SUS
APLICACIONES EN LA
ACTUARÍA
Emmanuel Ruíz Guarneros

2. INTRODUCCIÓN
 La probabilidad es una estrategia mediante la
cual se intenta estimar la frecuencia con la
que se obtiene un cierto resultado.
 En muchas ocasiones de nuestra vida diaria
nos enfrentamos a procesos afectados por
eventos fortuitos que inciden en los resultados
que esperábamos. Dichos procesos son los
Procesos Estocásticos.

3. VARIABLES ALEATORIAS
Definición
 Una variable aleatoria es una función X de w
de valor numérico, que puede ser el resultado
de algún experimento. Por ejemplo:
 Sea A={w1, w2, ..., wn} un conjunto de
alumnos.
Definamos E(w) como la edad de w. Así, E(w)
es una variable aleatoria.

4. VARIABLES ALEATORIAS
Conceptos Básicos
 Distribución: La distribución de probabilidades
nos muestra toda la gama de posibles
resultados que puede tomar una variable
aleatoria.
 Función de Distribución: Es una función que
nos proporciona la probabilidad de que un
evento se realice en el futuro, o de que una
variable tome cierto valor.
 Esperanza Matemática: Es el valor esperado
de una variable.

5. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Definición y Conceptos Básicos
 Un proceso estocástico es una colección
o familia de variables aleatorias {Xt, con t
en T}, ordenadas según el subíndice t que
generalmente se suele identificar con el
tiempo

6. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Definición y Conceptos Básicos
 Conjunto discreto: Un conjunto se puede
considerar discreto si es divisible un
número finito de veces. En otras palabras,
entre dos elementos de un conjunto
discreto siempre hay un número finito de
ellos.
 Conjunto Continuo: Un conjunto es
continuo si no es discreto. Es decir, entre
dos elementos hay un número finito de
ellos.

7. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Definición y Conceptos Básicos
 Sucesión: Una sucesión de números reales es
una función de dominio {n que pertenece a Z :
n≥m, con m en Z} y de rango R, donde Z es el
conjunto de los enteros, y R el de los reales.
Es decir, es una agrupación de números
ordenada.
 Realización: Una realización de una
experiencia aleatoria es el resultado de hacer
esa acción.

8. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Clasificación
Sea T el espacio paramétrico del proceso:
 Si T es continuo, diremos que el proceso es
de parámetro continuo
 Si T es discreto, diremos que el proceso es de
parámetro discreto.
 Si para cada instante t la variable aleatoria Xt
es de tipo continuo, el proceso es de estado
continuo
 Si para cada instante t la variable aleatoria Xt
es de tipo discreto, el proceso es de estado
discreto

9. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Clasificación
Procesos de Estado Discreto
 Dentro de los procesos de estado discreto se
incluyen tanto los procesos de parámetro
discreto como los de parámetro continuo,
siempre y cuando los estados sean discretos.

10. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Clasificación
Procesos de Estado Discreto
Cadenas de Markov
 Una cadena de Markov es un proceso
estocástico a tiempo discreto {Xn: n = 0, 1,…},
con espacio de estados discreto, y que
satisface la propiedad de Markov, esto es,
para cualquier entero n ≥ 0, y para
cualesquiera estado xo, …, xn+1, se cumple:
p(xn+1|xo,…,xn)=p(xn+1|xn).”, donde p(xn) es
la probabilidad de que la variable aleatoria Xn
tome el valor de xn, es decir, p(Xn = xn).

11. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Clasificación
Procesos de Estado Discreto
Procesos de Saltos Puros
 Los procesos de saltos puros son aquellos
procesos estocásticos de estado continuo
pero de parámetro discreto. Como por ejemplo
una señal de telégrafo.

12. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Clasificación
Procesos de Estado Continuo
 Dentro de los procesos de estado continuo se
incluyen tanto los procesos de parámetro
discreto como los de parámetro continuo,
siempre y cuando los estados sean continuos.

13. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Clasificación
Procesos de Estado Continuo
Series Temporales
 Una serie temporal es una realización parcial
de un proceso estocástico de parámetro
continuo. Las cuales pueden ser
determinísticas o estocásticas.

14. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Clasificación
Procesos de Estado Continuo
Procesos Estacionarios y No Estacionarios
 Los procesos estacionarios son aquellos en
los que la variabilidad de la variable es
constante a lo largo del tiempo.
 Los procesos no estacionarios son en los que
la variabilidad cambia en el tiempo.

15. APLICACIONES DE LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS EN LA
ACTUARÍA
Valoración de Títulos
Obligaciones
 Una obligación es una garantía que devenga
intereses que se compromete a pagar una
cantidad determinada (o cantidades) de dinero
en una fecha futura (o fechas).
 El final del plazo de una obligación se llama
“fecha de vencimiento”.
 Las obligaciones no están libres de riesgo al
100%, ya que su riesgo financiero está
asociado con la evolución de los tipos de
interés.

16. APLICACIONES DE LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS EN LA
ACTUARÍA
Valoración de Títulos
Acciones
Acciones Preferentes
 Las acciones preferentes son un tipo de
seguridad que ofrece una tasa fija de rendimiento
similar a los bonos. Sin embargo, se diferencia de
un bono, ya que técnicamente es una seguridad
de la propiedad en lugar de un título de deuda
 A pesar de ser técnicamente dueño, alguien que
tiene acciones preferentes por lo general tiene
derechos limitados de voto, o quizá ninguno en
absoluto.
 El pago periódico de las acciones preferentes se
suele llamar un dividendo, ya que se paga a un
propietario.

17. APLICACIONES DE LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS EN LA
ACTUARÍA
Valoración de Títulos
Acciones
Acciones Comunes u Ordinarias
 Las acciones comunes son un tipo de
seguridad de propiedad, éstas no ganan una
tasa fija de dividendos. Los dividendos de las
acciones comunes son pagados sólo después
de haber pagado todas las demás deudas, así
como los dividendos de las acciones
preferentes. Las tasas de dividendos de las
acciones comunes son completamente
flexibles.

18. APLICACIONES DE LOS PROCESOS
ESTOCÁSTICOS EN LA ACTUARÍA
Evaluación de Proyectos de Inversión
 La evaluación de proyectos de inversión tiene
por objeto conocer la rentabilidad económica y
social del proyecto, de tal manera que le
asegure resolver una necesidad humana en
forma eficiente, segura y rentable.

19. APLICACIONES DE LOS PROCESOS
ESTOCÁSTICOS EN LA ACTUARÍA
Evaluación de Proyectos de Inversión
 Algunas técnicas:
 La Tasa Interna de Retorno consiste en igualar
a cero la diferencia de la inversión inicial del
proyecto menos el valor presente de todos los
flujos de efectivo de cierto tiempo
 El Valor Presente Neto consiste en algo muy
parecido a los que es la Tasa Interna de
Retorno. Se trae a valor presente todos los
flujos de efectivo, y después se les resta la
cantidad de la inversión inicial.

20. CONCLUSIONES
 Los procesos estocásticos son en general una
agrupación de variables que tienen un valor
incierto, y que se puede tener una
aproximación de los valores que pueden
tomar éstas. Los podemos clasificar según
que tan seguido cambian, o también según los
valores que puedan tomar las variables del
proceso.

21. CONCLUSIONES
 Son de gran importancia para un actuario, ya
que estos nos pueden servir para pronosticar
el precio de una acción, los cuales varían
diariamente, así como para poder pronosticar
el rendimiento que ésta tendrá, ya que no
tienen un rendimiento fijo. También podemos
utilizarlos para poder ver la evolución que
tienen los tipos de interés, lo cual altera el
rendimiento de una obligación, aunque el
riesgo de éstas es muy pequeño comparado
con otros títulos de crédito como las acciones.

22. CONCLUSIONES
 También podemos ocuparlos para evaluar
proyectos próximos a realizarse, para poder
verificar que en verdad los proyectos sean
rentables, eficaces, y que no se generen
pérdidas en lugar de ganancias, ya que en los
métodos de evaluación de proyectos hay
mucha incertidumbre y es necesario
pronosticar bastantes cosas.

23. REFERENCIAS
 Martínez, J. (2003). Introducción al Cálculo
Estocástico Aplicado a la Modelación Económico-
Financiero-Actuarial. España: Netbiblo
 Leandro, L. (29 de Mayo del 2012). Aplicación de
los Procesos Estocásticos a la Vida Diaria.
Milenio. Recuperado de:
http://www.milenio.com/cdb/doc/impreso/9148799
 Ruíz, M. (2012). Procesos Estocásticos. España
 Rincón, L. (2011). Introducción a los Procesos
Estocásticos. Facultad de Ciencias UNAM.
México. Pp. 23 – 27, 123¬ – 127.

24.  Martínez, J. & Pedreira, L. (2012). Valoración de
Títulos mediante el uso de los Procesos
Estocásticos. España. Pp. 269 – 288.
 Lai, C. (1983). Elementary Probability Theory With
Stochastic Processes. Barcelona. Reverte
 Broverman, S. (2008). Mathematics of Investment
And Credit. Actex Publications
 Cruz, F. (2012). Procesos Estocásticos en la
valuación de proyectos de inversión, opciones
reales, árboles binomiales, simulación bootstrap y
simulación Monte Carlo: Flexibilidad en la toma
de decisiones. México. Pp 83 – 112