1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO MONAGAS
ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES
MATEMÁTICAS I-0081613
SUCESCIONES, SUMATORIAS Y PROGRESIONES
Profesora: Bachilleres:
Coraspe Milagros Coro Ely Saul C.I 27.325.137
Mendoza Paola C.I 26.762.180
Sec.41
Maturín, Febrero de 2017
2. Sucesiones
Una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el
conjunto de los enteros positivos o ℤ+∪{0} y su codominio es
cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras
geométricas o funciones. Cada uno de ellos es
denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y
al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le
denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con
una serie matemática, que es la suma de los términos de una
sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos
sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una
posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como
una función sobre el conjunto de los números naturales (o un
subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
3. El término general de una sucesión es an es un criterio que nos
permite determinar cualquier término de la sucesión.
Por el término general
an= 2n-1
a) a1= 2 ·1 - 1 = 1
b) a2= 2 ·2 - 1 = 3
c) a3= 2 ·3 - 1 = 5
d) a4= 2 ·4 - 1 = 7
1, 3, 5, 7,..., 2n-1
No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la
sucesión de los números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
4. • Por una ley de recurrencia:
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término
es el cuadrado del anterior.
2, 4, 16, ...
• Sucesión de Fibonacci:
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los
dos términos anteriores.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
5. • Suma de sucesiones
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
• Propiedades:
Asociativa:
(an + bn) + cn = an + (bn + c n)
Conmutativa:
an + bn = bn + a n
Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ...)
an + 0 = an
Sucesión opuesta
(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)
an + (-an) = 0
6. Tipos de sucesiones
Sucesiones convergentes
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite
finito.
Límite = 0 Límite = 1
Sucesiones divergentes
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite
finito.
Límite = ∞
7. Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus
términos alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...
Sucesiones monótonas
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la
sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
8. Sumatorias
La sumatoria o sumatorio se emplea para representar la suma de
muchos o infinitos sumandos.
La expresión se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores de 1 a
n".
La operación sumatoria se expresa con la letra griegra sigma
mayúscula Σ.
i: es el valor inicial llamado límite inferior.
N: es el valor final llamado límite superior.
Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, su expresión se
puede simplificar:
9. Es frecuente el uso del operador sumatoria en Estadística.
La suma de las frecuencias absolutas se puede expresar como:
1. 2.
Y la media como:
1. 2.
10. Propiedades de las sumatorias
La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la
sumatoria de la variable.
La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante.
La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término.
La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada
término.
11. La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es
igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado.
Progresiones aritmética
En matemáticas, una progresión aritmética es
una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos
sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad
llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso
«distancia».
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
12. Término general de una progresión aritmética
Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
a4= -7 y d = -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Interpolación de términos
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es
construir una progresión aritmética que tenga por extremos los
números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7 , -12.
13. Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple
que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los
extremos.
Suma de n términos consecutivos
8, 3, -2, -7 , -12.
Suma de términos equidistantes
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
14. Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -
2, -7, -12, ...
Progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se
obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2
12 / 6 = 2
24 / 12 = 2
48 / 24 = 2
r= 2.
Término general de una progresión geométrica
Si conocemos el 1er término.
an = a1 · rn-1
15. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la
progresión.
an = ak · rn-k
Interpolación de términos
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es
construir una progresión geométrica que tenga por extremos los
números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos
entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24 , 48.
16. Suma de n términos consecutivos
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24,
48, ...
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente
ilimitada:
17. Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que
el producto de términos equidistantes es igual al producto de los
extremos.
ai . aj = a1 . an
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an
3, 6. 12, 24, 48, ...
48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12
144 = 144 =144
Producto de n términos equidistantes
