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1.
Cinemática Introducción El movimiento es
fundamental para nuestras vidas y nuestro pensamiento. El movimiento de un lugar a otro en una cantidad determinada de tiempo ayuda a definir quiénes somos y cómo vemos el mundo. Al ver a otras personas, objetos o animales en movimiento y ser capaz de imaginar de dónde vienen, a dónde van y cuánto tiempo va a tomar para llegar allí es natural para nosotros. Todos los animales, no sólo los seres humanos, hacen cálculos del movimiento de sí mismos y del mundo que los rodea. Sin esa capacidad no podríamos sobrevivir. Una comprensión básica del movimiento se encuentra en lo profundo de nuestras mentes y estaba allí mucho antes de que pudiéramos escribir o hablar acerca de la física. No debería sorprender entonces que la primera y más importante de las cuestiones de la física esté relacionada con el movimiento. Muchos de los primeros escritos de la física tratan acerca de este tema y datan de miles de años atrás. El estudio del movimiento se llama cinemática. Viene de las palabras griegas kinema, que significa movimiento. Casi todo lo que aprendemos en la física implica el movimiento de objetos. Por lo tanto, la cinemática debe entenderse bien para que el resto de los temas que estudiaremos más adelante tenn sentido. Tiempo y distancia Todo el mundo sabe qué es el tiempo y la distancia hasta que se les pide que los definan. Ahora trata de definir qué es el tiempo sin utilizar la idea del tiempo mismo en tu definición. Aquí hay algunas definiciones que hemos escuchado hasta ahora. Seguramente también encontrarás algunas nuevas. El tiempo es la cantidad de tiempo que pasa. El tiempo es cuánto toma para que algo suceda. El tiempo es cuánto tengo que esperar. El problema con estas definiciones es que utilizan la palabra "tiempo", o implican su uso. En la primera definición, si no sabes qué hora es, ¿cómo se puede utilizar para definir el tiempo? En las dos siguientes, la palabra "cuánto" es sólo otra manera de decir "qué cantidad de tiempo". No se consideran definiciones debido a que si no sabías qué era el tiempo al iniciar, sigues sin saberlo. Fíjate si puedes hacer algo mejor en la formulación de una definición de la distancia. Pensamos que te encontrarás con el mismo problema. Todos creemos que sabemos qué significan estos términos, pero es imposible definirlos. Nos movemos a través del tiempo y del espacio de forma tan natural como se mueve un pez en el agua. El tiempo y el espacio nos rodean, pero aún así no podemos decir lo que son. Son demasiado fundamentales para ser definidos. Los debemos tomar "como vienen". Tenemos la sensación de que sabemos lo que son. Ese sentido viene directamente de nuestras mentes y cuerpos, pero en realidad no podemos definirlos más allá de eso. Nuestro sentido del tiempo y la distancia que debe haber evolucionado en nosotros mucho antes de que pudiéramos pensar en ellos. Todos los animales necesitan una percepción básica del tiempo y la distancia para poder sobrevivir. Los animales unicelulares más primitivos se mueven a través del tiempo y del espacio, y Cinemática - 1 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
2.
seguramente no tienen
una definición de lo que esos conceptos representan. El sentido del tiempo y la distancia es anterior a nuestra capacidad de pensar y tal vez por eso no podemos usar nuestra mente para definirlos, pero podemos trabajar con ellos. Podemos medir el flujo del tiempo con los relojes y la distancia entre las ubicaciones en el espacio con una regla. Si bien no representan definiciones, nos permiten comparar los diferentes intervalos de tiempo y espacio entre sí. La capacidad de medir el tiempo y la distancia representa un punto de partida para la física. Por ejemplo, supongamos que la cantidad de tiempo que me toma correr una vez alrededor de una pista es de 2 minutos. Esto significa que el minutero de mi reloj dará la vuelta dos veces, mientras yo corro alrededor de la pista una vez. Eso no me dice qué hora es, pero sí me dice que los dos procesos consumieron la misma cantidad de tiempo. Por lo tanto puedo comparar el tiempo que toma para que algo suceda con el tiempo necesario para que otra cosa suceda. Del mismo modo, no necesito conocer la distancia para comparar la distancia entre dos objetos con la distancia entre otros dos objetos. Puedo decir que la distancia desde el talón hasta la punta de mi pie es la misma que la distancia de un extremo al otro de una regla de un pie de longitud. Por lo tanto puedo decir que mi pie tiene pie de largo, incluso sin una definición de lo que significa la longitud. Unidades de Tiempo y Distancia Para que la gente pueda comparar sus medidas con las tomadas por otros, se acordó un sistema internacional de medidas. El Sistema Internacional (SI) es utilizado por casi todos los científicos del mundo. En ese sistema, la unidad básica de longitud es el metro y la unidad básica de tiempo es el segundo. La distancia se mide en metros (m). El tiempo se mide en segundos (s). Las mediciones de longitud se realizan mediante la comparación de la distancia entre dos lugares con la distancia entre los dos extremos de una barra de un metro de largo. Las mediciones de tiempo se realizaron al medir el tiempo entre los eventos con el tiempo que tarda un segundo en mover la aguja de un reloj Los científicos usan el metro, en lugar del pie, para medir distancias, debido a que es más simple. No resulta más preciso utilizar el sistema del SI para medir longitudes en metros, en lugar del sistema inglés para medir longitudes en pies. Sin embargo, resulta mucho más sencillo. Esto se debe a que la matemática de tratar con 12 pulgadas en un pie y 5280 pies en una milla es mucho más difícil que en el sistema métrico, que involucra 100 centímetros en un metro y 1000 metros en un kilómetro. Cuando comiences a resolver problemas, estarás feliz de saber que no tendrá que lidiar con pies, millas y pulgadas. Rapidez constante Si todo en el mundo se detuviera, sólo necesitaríamos medir el tiempo y la distancia de forma independiente y eso sería todo. Pero eso sería un mundo muy aburrido. Muchas de las cosas más interesantes implican movimiento, objetos que se mueven de un lugar a otro en cierto período de tiempo. La rapidez con lo que lo hacen es la rapidez del objeto. La velocidad no es una propiedad fundamental del mundo, como la distancia y el tiempo, pero es una invención Cinemática - 2 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
3.
humana. Se define
como el radio entre la distancia recorrida dividida por el tiempo que tardó en recorrer esa distancia. Rapidez ≡ Distancia / Tiempo o r ≡ d/t El signo de igualdad con tres líneas paralelas solo marca que se trata de una definición. Hemos creado la palabra "rapidez" y la definimos para que signifique el radio de la distancia y el tiempo. No hay manera de que esto pueda demostrarse que está bien o mal, mediante la experimentación ni por cualquier otro medio, ya que acabamos de inventarlo. Cuando utilicemos la fórmula, por lo general la escribiremos sólo con un signo igual, pero debemos recordar que es sólo nuestra definición. La rapidez y la distancia no dependen de la dirección del recorrido. Por lo tanto, si caminas dos millas hasta la escuela y luego regresas a tu casa, la distancia total que viajaste es de cuatro millas. Si te tomó una hora para hacerlo, tu rapidez media fue de cuatro millas por hora. En esta sección asumimos que tu rapidez es constante. En las siguientes secciones trataremos los casos en los que tu rapidez cambia. Unidades de rapidez Las unidades de rapidez pueden derivar de su fórmula: r = d/t La unidad SI de la distancia es el metro (m) y del tiempo, el segundo (s). Por lo tanto, la unidad de la rapidez es el m/s. Resolución de problemas Cuando se resuelven problemas de física, hay una serie de pasos que deben seguirse. En los primeros problemas que vamos a desarrollar, es posible saltarse algunos pasos y aún así obtener la respuesta correcta. Pero eso no tendrás la oportunidad de practicar los métodos que necesita para resolver los problemas más difíciles. Es aconsejable aprender a nadar en la parte menos profunda de la piscina, pero si uno sólo se pone de pie allí, no será de mucha ayuda cuando el agua se vuelva más profunda. Por lo tanto, utiliza el siguiente enfoque en todos los problemas que resuelvsdesde el principio. Al final valdrá la pena. 1. Lee el problema con atención y subraya o toma nota de cualquier información que parece que puede resultar útil. 2. Lee todo el problema nuevamente, pero ahora empieza a escribir la información que te resultará útil. Identifica qué se pide y qué se proporciona. 3. Si corresponde, haga un dibujo. 4. Identifica una fórmula que relacione la información que te han proporcionado con la información que te han pedido. 5. Reorganiza la fórmula para buscar la variable que deseas encontrar. Esto quiere decir que debes conseguir que la variable esté sola en el lado izquierdo del signo igual. 6. Sustituye los valores proporcionados, incluso las unidades. 7. Calcula el resultado numérico. 8. Resuelve las unidades del lado derecho de la ecuación y compáralas con las unidades que son Cinemática - 3 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
4.
adecuadas para lo
que se está buscando. Por ejemplo, si buscas la distancia, las unidades deben ser metros, no metros por segundo. 9. Vuelve a leer el problema y comprueba que tu respuesta ten sentido. Se ha demostrado que los estudiantes que tienen éxito en la física leen cada problema por lo menos tres veces. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 1: Si manejas tu bicicleta con una rapidez constante, te llevará 25 segundos recorrer una distancia de 1500 metros. ¿Cuál fue tu rapidez? Tenemos la distancia y el tiempo, y debemos encontrar la rapidez. r=? d = 1500 m t = 25 s Podemos utilizar directamente la ecuación r = d / t. Esto proporciona la relación entre las tres variables y ya está resuelto para la variable que estamos buscando. Después de escribir la fórmula sólo tenemos que sustituir los valores con unidades. r = d/t r = 1500m/25s r = 60 m/s Ten en cuenta que no solo 1500 se divide por 25 con un resultado de 60, sino que también los m divididos por la r tienen como resultado m/s, que es la unidad correcta para la rapidez. Al hacer siempre las mismas operaciones matemáticas en las unidades y en los números, deberías obtener las unidades correctas en tu respuesta. Es una buena forma de comprobar si resolviste correctamente el problema. __________________________________________________________________________________________ Ahora veamos un ejemplo donde la fórmula no puede utilizarse directamente. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 2: ¿Qué tan lejos llegarás si manejas con una rapidez constante de 25 m/s durante 360 s? Tenemos la rapidez y el tiempo, y debemos encontrar la distancia. r = 25 m/s d=? t = 360 s Utilizaremos la misma fórmula (r = d/t), ya que relaciona los valores conocidos (rapidez y tiempo) con el valor desconocido (distancia). Pero, en este caso, mientras tenemos que buscar la distancia (d), la fórmula que tenemos (r = d/t) funciona para buscar la rapidez (s). En primer lugar debemos utilizar el álgebra para reorganizar la fórmula para buscar la distancia. Sólo en ese momento los valores deben ser sustituidos en la fórmula. __________________________________________________________________________________________ Utilizaremos tres reglas para reorganizar la fórmula. 1. Si la variable que estamos buscando está en el lado del número y no está sola, entonces está Cinemática - 4 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
5.
relacionada matemáticamente con
otros números y/o variables. Podemos despejarla al realizar la operación inversa en cada una de las otras variables o números. Por ejemplo, si la d se divide por t, podemos conseguir la d sola al multiplicarla por t (ya que la multiplicación es lo contrario de la división). 2. Podemos hacer lo que deseemos en un lado de una ecuación, siempre y cuando también lo hagamos en el otro lado (excepto al dividir por cero). Por lo tanto, si multiplicamos por t el lado derecho de la ecuación (d/t), también debemos multiplicar por t el lado izquierdo de la ecuación (r). 3. Siempre podemos cambiar los lados derecho e izquierdo de una ecuación. __________________________________________________________________________________________ Utilicemos este enfoque para resolver la ecuación para la d, r = d/t. r = d/t Ya que estamos buscando la d, y la d se divide por el t, debemos multiplicar la d/t por el t. Pero sólo podemos hacerlo si también multiplicamos la r por el t. Por lo tanto multipliquemos ambos lados por el t. rt = (d/t)t Cancelemos el t a la derecha, ya que está en el numerador y el denominador, y t/t = 1 rt = d Cambiemos la d al lado izquierdo d = rt Sustituyamos los valores de r y t d = (25 m/s) (360 s) d = 9000m Ten en cuenta que no sólo 25 veces 360 da como resultado 9000, sino que también los metros por segundo multiplicado por los segundos es igual a los metros, ya los segundos se cancelan. Eso nos da como resultado unidades de metros, lo cual tiene sentido, ya que son la solución para una distancia. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 3: ¿Cuánto tiempo te tomará recorrer 3.600 m si estás manejando con una rapidez constante de 20 m/s? Tenemos la distancia y la rapidez, y debemos encontrar el tiempo. r = 20m/s d = 3600m t=? En este caso estamos buscando el tiempo (t), pero la fórmula que tenemos (r = d/t) funciona para buscar la rapidez (r). En primer lugar debemos utilizar el álgebra para reorganizar la fórmula para buscar el t. Sólo en ese momento los valores deben ser sustituidos en la fórmula r = d/t. En este caso necesitamos agregar otra regla adicional para reorganizar la fórmula. Cinemática - 5 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
6.
__________________________________________________________________________________________
4. Lo desconocido que estamos buscando debe estar en el numerador, no en el denominador. Por lo tanto, si buscamos la fórmula r = d / t para t, nuestro primer paso debe ser mover t para el numerador a la izquierda en lugar de dejarlo en el denominador de la derecha. Para ello, debemos multiplicar ambos lados de la ecuación por t, que nos da como resultado rt = d. Entonces podemos proceder tal como lo hicimos anteriormente. __________________________________________________________________________________________ r = d/t Multiplica ambos lados por t para cancelar la T a la derecha y llévala a la izquierda rt = (d/t)t Cancela t a la derecha, ya que t / t = 1 rt = d Debido a que t no está solo, ya que se multiplica por r, debemos dividir ambos lados por r (rt)/r = d/r Cancela r en el lado izquierdo, debido a que r/r = 1 t = d/r Sustituye los valores de d y r t = (3600m)/(20m/s) d = 180s Las unidades pueden ser un poco más difíciles de entender en este caso. Tenemos metros dividido por metros por segundo. Pero recuerda de las fracciones que al dividir por una fracción es igual que multiplicar por su recíproco. (Dividir por 1/3 es lo mismo que multiplicar por 3). Por lo tanto, si divides m/s, es lo mismo que multiplicar por s/m. Esto deja claro que los metros se cancelan, cuando multiplicamos s/m por m, y nos quedamos con los segundos, una unidad apropiada de tiempo. Rapidez instantánea Hay una vieja broma acerca de una persona que es detenida por manejar demasiado rápido. El oficial de policía le dice al infractor que iba 60 millas por hora en una zona de cuarenta millas por hora. La respuesta del infractor es que él no podría haber ido a sesenta millas por hora, ya que sólo había estado conduciendo durante quince minutos. La razón por la que tal argumento no funciona es que la rapidez es una relación entre la distancia y el tiempo. Hay una cantidad interminable de formas en que puede calcular una rapidez de diez metros por segundo. Algunas se muestran en la tabla a continuación. Distancia Tiempo Rapidez (m) (s) (m/s) 1000 100 10 500 50 10 100 10 10 Cinemática - 6 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
7.
10
1 10 1 0,1 10 0,1 0,01 10 0,01 0,001 10 0,001 0,0001 10 Puedes ver que en la parte inferior de la tabla que si viajas una milésima parte de un metro en diez milésimas partes de un segundo, estarás viajando con una rapidez de diez metros por segundo. El tiempo y la distancia puedan ser tan pequeños como quieras. Cuando el tiempo durante el cual se mide la rapidez es muy corto, la rapidez que se calcula se llama rapidez instantánea. Esta es la rapidez que se lee en el velocímetro o que un policía lee en su radar o láser. Rapidez promedio Mientras estés viajando, tu rapidez puede variar, subir y bajar, a lo largo del recorrido. Puede ser que incluso te detengas por un momento para almorzar. Tu rapidez instantánea en algún momento durante el viaje y tu rapidez promedio para todo el viaje normalmente no son lo mismo. La rapidez promedio se calcula al determinar la distancia total que recorriste y al dividirla por el tiempo total que te llevó recorrer esa distancia. _________________________________________________________________________________________ Ejemplo 4: Manejas una bicicleta desde la escuela hasta tu casa, y pasas por la casa de un amigo. Te lleva 7 minutos recorrer los 2.500 metros hasta la casa de tu amigo. Luego, pasas 10 minutos allí. A continuación, recorres los 3500 m hasta tu casa en 9 minutos. ¿Cuál fue tu rapidez promedio durante todo el recorrido hasta tu casa? Tu rapidez promedio se obtendrá al dividir la distancia total recorrida por el tiempo total que te tomó recorrer tal distancia. En este caso, el viaje consistía en tres segmentos. El primer segmento (I) es el recorrido hasta la casa de tu amigo, el segundo segmento (II) fue el tiempo que pasaste en la casa de tu amigo y el tercer segmento (III) fue tu viaje a casa desde la casa de tu amigo. En el siguiente gráfico, la rapidez se calcula para cada segmento, a pesar de no ser necesaria para obtener la respuesta solicitada: la rapidez promedio de todo el viaje. Todas las cifras calculadas se muestran en negritas. Segment Distancia Tiempo Rapidez o (m) (s) (m/s) I 2500 420 6,0 II 0 600 0,0 III 3500 540 6,5 Total / Promedi 6000 1560 3,8 o Por ejemplo, la rapidez para el primer segmento está dada por: r=? d = 2500m t = 7 minutos = 420 segundos Cinemática - 7 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
8.
Ten en cuenta
que tenemos que convertir el tiempo en segundos con el fin de utilizar las unidades SI. Debido a que hay 60 segundos en un minuto, esto requiere multiplicar siete minutos por la fracción (60 segundos / 1 minuto). Esto nos deja con 420 segundos. r = d/t r = 2500m / 420s r = 6,0 m/s Para el segundo segmento, tu rapidez fue cero, ya que estabas dentro de la casa. Pero a pesar de que no estabas en movimiento, el tiempo pasaba. Por lo tanto, los 10 minutos (o 600 segundos) siguen contando para el tiempo total transcurrido. El tercer segmento se calcula de la misma manera que el primero. r=? d = 3500m t = 9 minutos = 540 segundos r = d/t r = 3500m / 540s r = 6,5 m/s La rapidez promedio se calcula al tomar la distancia total, 6000m, y dividirla por el tiempo total, 1560 s, para obtener una rapidez promedio de 3,8 m/s. Si bien en este caso no era necesario calcular la rapidez para cada intervalo, es importante tener en cuenta que la rapidez promedio no es el promedio de toda la rapidez. El promedio de 6,0 m/s, 0,0 m/s y de 6,5 m/s es 4,2 m/ s. Pero esta no es la respuesta correcta. La respuesta correcta sólo se puede obtener al encontrar primero la distancia total y dividirla por el tiempo total. De esta manera se obtiene la respuesta de 3,8 m/s. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 5: Corres una distancia de 210 metros con una rapidez de 7 m/s. Luego corres una distancia de 200 metros en 40 segundos. Por último, corres 25 segundos con una rapidez de 6 m/s. ¿Cuál fue la rapidez promedio del total que corriste? Tu rapidez promedio se obtendrá al dividir la distancia total recorrida por el tiempo total que te tomó recorrer tal distancia. En este caso, el viaje consistía en tres segmentos. En la siguiente tabla, se necesitan cálculos diferentes para cada segmento con el fin de obtener la rapidez promedio del viaje total. Segment Distancia Tiempo Rapidez o (m) (s) (m/s) I 210 30 7,0 II 200 40 5,0 III 150 25 6,0 Total / 550 95 5,8 Cinemática - 8 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Promedi
o El tiempo para el primer segmento está dado por: r = 7,0 m/s d = 210m t=? r=d/t rt = d t = d/r t = (210m) / (7,0 m/s) t = 30 s No necesitamos realmente calcular su rapidez para el segundo segmento, pero lo haremos de todos modos. r=? d = 200m t = 40s r = d/t r = 200m/40s r = 5,0 m/s Debe calcularse la distancia para el tercer segmento. r = 6,0 m/s d=? t = 25 s r = d/t rt = d d = rt d = (6,0 m/s) (25s) d = 150 m La rapidez promedio se calcula al tomar la distancia total, 550m, y dividirla por el tiempo total, 95 s, para obtener 5,8 m/s. Posición, Desplazamiento y Velocidad Hasta el momento nuestro análisis no ha sido necesario, ni permitido, que sepamos algo acerca de la dirección del movimiento en estudio. Pero en la vida real, la dirección suele ser muy importante. Si estás conduciendo 60 millas por hora hacia el norte o 60 millas por hora hacia el sur hace una gran diferencia en cuanto a dónde terminarás. Los escalares son cantidades que se definen sólo por su magnitud, qué tan grandes son. La rapidez, el tiempo Cinemática - 9 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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y la distancia
son todos ejemplos de escalares. Cuando hablamos de 40 m/s, 20 minutos o 3 millas, no estamos dando ninguna información acerca de la dirección. Los vectores son cantidades que se definen por su magnitud y su dirección. Por lo tanto, si en lugar de decir que he viajado una distancia de 400 metros, digo que viajé 400 metros al norte, ahora estaría definiendo un vector. El vector que se define al combinar la distancia con la dirección se llama desplazamiento. El símbolo para el desplazamiento es "Δx". Hablaremos más sobre este símbolo un poco más adelante, pero puede utilizarlo mientras tanto. Además, con el fin de no perder de vista qué es un escalar y qué es un vector, siempre vamos a mostrar los vectores en letra negrita. Hay importantes diferencias entre la forma en que trabajamos con escalares y vectores. Esto puede ser más claro al utilizar la distancia y el desplazamiento como ejemplos. Por ejemplo, mientras las distancias son siempre positivas, ya que no tienen una dirección asociada con ellos, el desplazamiento puede ser positivo o negativo. Esto significa que si yo tuviera que recorrer 200m hacia el norte y luego 200m al sur, puedo obtener respuestas muy diferentes para la distancia total recorrida y mi desplazamiento total. Obtengo mi distancia total al sumar 200m a 200m y obtener 400m. Esa es la distancia total que caminé. Por otro lado, mi desplazamiento representa la suma de los dos desplazamientos. Mi desplazamiento inicial hacia el norte es igual y opuesto a mi desplazamiento final hacia el sur, por lo que se anulan entre sí. Si pienso en el norte como la dirección positiva, entonces ese primer desplazamiento es de +200 m, mientras que mi segundo desplazamiento de -200m, ya que es hacia el sur. La suma de +200 metros y -200 metros es igual a cero. Esto se debe a que la dirección del movimiento influye a los desplazamientos, mientras que no influye en la distancia. Como resultado, el desplazamiento le dice qué tan lejos está del punto de partida. En este caso, no tengo distancia desde donde comencé, ya que terminé nuevamente donde comencé. ________________________________________________________________________________________ Ejemplo 6: Conduce 1500 metros hacia el norte y 500 metros hacia el sur. Determina la distancia total recorrida y tu desplazamiento total desde el punto de partida. La distancia recorrida es la suma de las dos distancias, 1500m y 500m: 2000m. Con el fin de determinar el desplazamiento total es necesario definir en primer lugar nuestras direcciones. Llamemos "positivo" al movimiento hacia el norte y "negativo" al movimiento hacia el sur (la dirección que llamamos positiva no afectará a nuestra respuesta, siempre y cuando seamos consistentes). Esto significa que para la primera parte del viaje, tu desplazamiento es de +1500 metros y para la segunda parte del viaje tu desplazamiento es de -500m. Tu desplazamiento total es la suma de los dos: +1000 m. Desde que decidimos que íbamos a llamar a la dirección norte "positiva", tu desplazamiento final es de 1000m hacia el norte. El último paso de la conversión de +1000m a 1000m norte es importante para que nuestra elección de + o - fue arbitraria, por lo que necesitamos regresar a las directivas originales que se nos proporcionaron en el problema. El punto importante aquí es que las respuestas son diferentes y tienen diferentes usos. La distancia recorrida, 2000m, dice algo acerca de lo cansado que puedes estar debido a que te comunica la distancia total que se tenía que mover por sí mismo durante este recorrido. Tu desplazamiento, 1000m al norte, te dice dónde estás en este momento de tu viaje en relación al punto de partida. __________________________________________________________________________________________ Cinemática - 10 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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La misma diferencia
existe entre la rapidez y la velocidad. El símbolo de la velocidad es v y el símbolo de la velocidad promedio es de vpromedio. La velocidad promedio se determina al dividir el desplazamiento total por el tiempo que tomó tal desplazamiento. Esto es similar a cómo calculamos la rapidez promedio al dividir la distancia total recorrida por el tiempo total que te tomó recorrer tal distancia. r ≡ d/t mientras que vpromedio ≡ Δx/t __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 7: Si el viaje en el ejemplo 6 se llevó a cabo con una velocidad constante y requiere un tiempo total de 500s, determina la rapidez promedio y la velocidad promedio. r=? d = 2000m t = 500s r = d/t r = 2000m/1200s r = 4,0 m/s vpromedio = ? Δx = 1000m norte t = 500s vpromedio = Δx/t v = (1000m norte)/500s v = 2m/s norte Ten en cuenta que las respuestas numéricas son diferentes y que el resultado de la velocidad incluye una dirección, mientras que el resultado de la rapidez no la incluye. Sistemas de coordenadas El desplazamiento de un objeto nos dice cómo ha cambiado su posición. Para entender mejor qué significa esto necesitamos una manera de definir la posición: necesitamos un sistema de coordenadas. Los requisitos de cualquier sistema de coordenadas son un origen y una orientación. En otras palabras, necesitarás escoger un punto cero desde donde tomarás las medidas y necesitarás conocer la dirección en la que se va a medir. El tipo más sencillo de sistema de coordenadas es unidimensional, en cuyo caso el sistema de coordenadas se convierte en una recta numérica, como se muestra a continuación. El origen se encuentra en el punto cero, las posiciones negativas están a la izquierda del origen y las posiciones positivas están a la derecha. Podemos identificar diferentes lugares en la recta numérica, como x0, x1 y x2. En el diagrama anterior, x0 se encuentra en 0, x1 se encuentra en +5m y x2 se encuentra en -5m. Cinemática - 11 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Ahora podemos ajustar
nuestra definición de desplazamiento, el cambio en la posición de un objeto, como la diferencia entre la posición final de un objeto, x, y su posición inicial, xo. Ahora se vuelve más claro por qué el símbolo de desplazamiento es "Δx". La letra griega delta "Δ", significa "el cambio", por lo tanto "Δx" se puede leer como "delta x" o "el cambio en x ". Simbólicamente esto se convierte en: Δx = x - xo _________________________________________________________________________________________ Ejemplo 8: Un objeto se mueve desde una posición inicial de +5m hasta una posición final de +10m en un tiempo de 10 segundos. ¿Qué desplazamiento experimentó? ¿Cuál fue su velocidad promedio? x = +10m xo = + 5m Δx = ? Δx = x - xo Δx = (+10m) – (+5m) Δx = +5m vpromedio = ? Δx = +5m t = 10 s vpromedio = Δx/t v = +5m/2s v = +2,5m/s __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 9: Un objeto se mueve desde una posición inicial de +5m hasta una posición final de -10m en un tiempo de 0,25s. ¿Qué desplazamiento experimentó? ¿Cuál fue su velocidad promedio? x = -10m xo = + 5m Δx = ? Δx = x - xo Δx = (-10m) – (+5m) Δx = -15m vpromedio = ? Δx = -15m t = 0,25 s vpromedio = Δx/t vpromedio = -15m/0,25s vpromedio = -60m/s Cinemática - 12 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Una vez más,
observe que la respuesta incluye una magnitud, 15m, además de una dirección, "-". _________________________________________________________________________________________ Los vectores, como el desplazamiento o la velocidad, pueden estar representados con una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector y la dirección que se señala representa la dirección del vector. Los vectores se pueden añadir de manera gráfica o algebraica. (Incluso si estás resolviendo un problema algebraico, también resulta útil dibujar la adición de forma gráfica para que puedas asegurarte de que tu respuesta tiene sentido.) La forma de añadir vectores gráficamente es dibujar el primer vector desde el punto de origen del problema. Debe ser dibujado a escala y apuntado en la dirección correcta. El segundo vector se dibujará de la misma manera, pero comenzando donde terminó el primero. La suma de los dos vectores es simplemente un tercer vector que comienza al principio del primer vector y termina el final del último vector. En otras palabras, la solución es un tercer vector que conecte el principio del primer vector con el final del último vector dibujado. La punta de flecha del vector debe apuntar hacia afuera de la ubicación desde donde comenzó. En el ejemplo siguiente se resuelve gráfica y algebraicamente. _________________________________________________________________________________________ Ejemplo 10: Comenzando en un lugar a 400 m al este de tu casa, viajas 500m al este y después 300m hacia el oeste. ¿A qué distancia estás ahora de tu casa? ¿Qué desplazamiento has experimentado durante tu viaje? Si este recorrido tomó un tiempo total de 20 s, ¿cuál fue tu velocidad promedio? La solución gráfica, que se muestra a continuación, se inicia al dibujar un eje este-oeste lo suficientemente grande. Si tu casa se encuentra en x = 0m, entonces tu posición inicial, xo, es 400 metros al este. Dibuja un vector que describa la primera parte de tu viaje con un dibujo de una flecha que comience en la ubicación a 400 metros al este de tu casa, ten 500 metros de largo y apunte hacia el este. La punta de la flecha debe estar a 900m al este de tu casa. Luego dibuja el vector de la segunda parte de tu viaje mediante el dibujo de una flecha que comienza en la punta de la primera flecha, a 900 metros al este de tu casa, que tiene 300 metros de longitud y que apunta hacia el oeste, hacia tu casa. La punta de flecha que ahora se encuentra en una ubicación a 600 metros al este de tu casa, que es su ubicación final, x. Su desplazamiento es la diferencia entre tus posiciones inicial y final. Esto se obtiene, gráficamente, al dibujar una flecha que comienza en su posición inicial y termina en su posición final. La longitud de esta flecha, que puede ser medida físicamente o leída desde la escala, es la magnitud de su desplazamiento. La dirección de la flecha es la dirección de tu desplazamiento. Como se muestra a continuación, se puede ver que su desplazamiento es de 200 metros al este. Su velocidad promedio es tu desplazamiento total dividido por el tiempo total que demoró en experimentar el desplazamiento. En este caso, hemos determinado gráficamente que su desplazamiento se encuentra 200 metros al este y se nos ha informado que su tiempo de viaje fue de 20 segundos. Por lo tanto, vpromedio = ? Δx = 200m este t = 20s Cinemática - 13 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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vpromedio = Δx/t vpromedio
= 200m este / 20s vpromedio = 10m/s este El mismo problema puede resolverse de forma algebraica, aunque un boceto inicial sigue siendo una buena idea. El paso clave para una solución algebraica es la de convertir las direcciones para que sean positivas o negativas. En este caso, podemos definir al este como positivo y al oeste como negativo (la elección no importa mientras que seamos coherentes en todo el problema). Su posición inicial se convierte en +400m (400 m al este), su recorrido inicial es de +500m (500 m al este) y la última etapa de su recorrido es -300m (300 m al oeste). Ahora puede simplemente añadir estos datos para obtener su posición final, +600m. Esto se traduce en una posición final de 600 metros al este de tu casa. Su desplazamiento es sólo el cambio en tu posición. x = +600m xo = +400m Δx = ? Δx = x - xo Δx = +600m – (+400m) Δx = +200m Δx = 200m al este ten en cuenta que este último paso es necesario ya que nuestra elección de positivo o negativo fue arbitraria El cálculo de la velocidad promedio se puede realizar de la forma anterior para la solución gráfica. Aceleración y velocidad instantánea El mundo más aburrido sería aquel en el que las posiciones de todos los objetos son constantes... nada se mueve: la velocidad no tendría sentido. Afortunadamente, nuestro mundo es mucho más interesante que eso. Los objetos cambian posiciones todo el tiempo, por lo que la velocidad es un concepto importante. Pero nuestro mundo es aún más interesante que eso... los objetos también cambian su velocidad todo el tiempo: se trata de acelerar, cambiar de dirección y/o frenar. Como el cambio en la posición con el tiempo lleva a la idea de velocidad, el cambio de velocidad con el tiempo nos lleva al concepto de la aceleración. De la misma manera que definimos la velocidad instantánea como la velocidad medida en un periodo corto de tiempo, ahora podemos definir la velocidad instantánea como la velocidad medida en un periodo corto de tiempo. Se utilizará el símbolo "v" para la velocidad instantánea. En un mundo con aceleración, la idea de la velocidad instantánea es muy importante, ya que la velocidad de un objeto puede cambiar frecuentemente de un momento a otro. v ≡ Δx/t durante un corto periodo de tiempo...un instante Ahora podemos definir la aceleración como el cambio de velocidad con el tiempo. Cinemática - 14 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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a ≡ Δv/t o a
≡ (v- vo)/t Unidades de aceleración Las unidades de aceleración pueden derivar de su fórmula: a ≡ Δv/t La unidad SI de la velocidad son los metros por segundos (m/s) y del tiempo es el segundo (s). Por lo tanto, la unidad de aceleración es (m/s)/s o m/s/s. Esto es igual que (m/s) x (1/s), ya que la división por s es lo mismo que la multiplicación por 1/s. Esto se traduce en m/s2, que, al mismo tiempo no tiene ningún significado intuitivo, es mucho más fácil no perder de vista que los m/s/s (metros por segundo por segundo), la forma alternativa de escribir las unidades de la aceleración. Debido a que la velocidad es un vector, tiene una magnitud y una dirección. Para el resto de este capítulo, nos enfocaremos en las aceleraciones que cambia la magnitud de la velocidad de un objeto. Sin embargo, en los capítulos posteriores, un aspecto clave de la aceleración implica cambiar la dirección de la velocidad de un objeto. Estos son ejemplos de aceleración. Pero primero comencemos con las aceleraciones que cambian sólo la magnitud de la velocidad de un objeto. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 11 Un objeto se mueve a una velocidad de 20m/s hacia el norte cuando experimenta una aceleración de más de 12 s que aumenta su velocidad de 40m/s en la misma dirección. ¿Cuál fue la magnitud y la dirección de la aceleración? Resolvamos esto de forma algebraica mediante la definición de las velocidades hacia el norte como positivas y hacia el sur como negativas. Por lo tanto, v = +40m/s vo = +20m/s t= 12s a=? a ≡ Δv/t a ≡ (v - vo)/t a = (+40m/s - (+20m/s))/12s a = (+20m/s)/12s a = +1.7m/s2 __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 12 ¿Cuál será la velocidad de un objeto al final de 8,0 s si su velocidad inicial es de +35m/s y está sujeta a una aceleración de -2,5m/s2? v=? vo = +35m/s Cinemática - 15 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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t= 8,0s a =
-2,5m/s2 a ≡ Δv/t a ≡ (v - vo)/t Buscar v: Primero multiplica ambos lados por t at = v - vo Luego agrega vo para ambos lados vo + at = v Cambie para que la v quede del lado izquierdo de la = v = vo + at Sustituye los valores y resuelva 2 v = +35m/s + (-2,5m/s ) (8,0s) v = +35m/s + (-20m/s) v = +15m/s Caída libre Ahora conocemos lo suficiente para poder comprender uno de los grandes debates que marcaron el comienzo de lo que hoy llamamos física. El término "física" ya era utilizado por los antiguos griegos hace más de 2000 años. Su filosofía, en gran parte descripta en el libro de Aristóteles titulado "Física" (Physics), que incluía algunas ideas que se mantuvieron hasta que Galileo estableció algunas mediciones y argumentos importantes que demostraron que la física griega antigua tenía un valor limitado. La física de la antigua Grecia incluye la idea de que todos los objetos estaban compuestos de una combinación de cuatro elementos (el quinto elemento estaba reservado para los objetos que estaban más allá de la tierra). Los cuatro elementos de nuestro mundo eran la tierra, el agua, el aire y el fuego. Cada uno de estos elementos tenía su lugar natural. Si eliminaba un elemento de su lugar natural, regresaría, en su liberación, de forma inmediata a ese lugar y lo haría con su velocidad natural (constante). Su visión del mundo puede ser pensada como un conjunto de círculos concéntricos con cada uno de los elementos que ocupan una capa. La tierra ocupaba el centro del círculo, por lo que las rocas, que son en su mayoría de tierra, naturalmente se mueven hacia abajo, hacia el centro de nuestro mundo. Sobre la tierra estaba el agua, que lo llenaba el área sobre las rocas, como un lago o un océano por encima de la tierra que forma un lago o lecho marino. Por encima del agua estaba el aire, que se ve en todas partes del mundo, por encima de la tierra y del agua. Por último, el fuego se eleva sobre el aire, en busca de su lugar natural por encima de todo. Todos los objetos se consideraban como una mezcla de estos cuatro elementos. Las rocas estaban principalmente en la tierra; por lo que si se te cae una piedra, caerá mientras intenta volver a su lugar natural en el centro de la tierra. De este modo, pasará a través del agua y del aire: Si se te cae una piedra en un lago, se hundirá hasta el fondo. Fuego pasa hacia arriba hasta la ubicación más alta, por lo que si haces un fuego, siempre pasa hacia arriba a través del aire. Una conclusión a la que llevó esto es que los objetos que estaban formados por un porcentaje más alto de tierra sentirían un mayor impulso para llegar a su lugar natural. Debido a que la tierra es el elemento más pesado, esto significaría que los objetos más pesados caerían más rápido que los objetos más livianos. Además, caerían con Cinemática - 16 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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una velocidad constante
natural. Esa filosofía estuvo presente más de 2000 años hasta que Galileo, en el siglo XVII hizo una serie de declaraciones y desarrolló una serie de experimentos que demostraron que ninguna de estas dos conclusiones era precisa. Demostró que la tendencia natural de todos los objetos sin apoyo es la de caer hacia el centro de la tierra con la misma aceleración: 9,8m/s2. El número 9,8 m/s2 se utiliza tan a menudo que se le ha generado su propio símbolo: “g”. En términos modernos, su conclusión puede establecerse de la siguiente manera. Todos los objetos sin apoyo caen hacia el centro de la Tierra con una aceleración de g: 9,8m/s2. Esta afirmación requiere una explicación y algunas advertencias. 1. Sin apoyo significa que nada está sosteniendo el objeto hacia arriba. Por lo tanto, si libera algo y nada detiene su caída, entonces no tiene apoyo. En ese caso, todos los objetos experimentarán la misma aceleración hacia abajo. No depende de qué tan pesado es el objeto: todos los objetos caen con la misma aceleración. 2. El apoyo también puede venir de la resistencia del aire. Por lo tanto, un paracaídas proporciona apoyo aéreo al capturar el aire, por lo que frena al paracaidista. En ese caso, el paracaidista no es un objeto sin apoyo: él o ella están apoyados por la resistencia del aire. Pero esto es generalmente cierto en menor medida. Por lo tanto, una pluma o un pedazo de papel sin arrugar también reciben apoyo del aire;para que tampoco caigan con una aceleración constante. La conclusión de Galileo es una idealización; supone que podemos ignorar la resistencia del aire, que nunca es del todo cierto cerca de la tierra (o los aviones y los paracaídas la pasarían muy mal), pero funcionará para los problemas que vamos a resolver. 3. Su conclusión no depende del movimiento del objeto. Por lo tanto, las pelotas de béisbol que se lanzan hacia la base del bateador, que se lanzan o arroja hacia arriba caen con la misma aceleración hacia el centro de la tierra. Esta es un área que genera gran confusión a los estudiantes, por lo que se recordará con frecuencia. Cada vez que nada impida que un objeto caiga, se acelerará hacia abajo a 9,8 m/s2, sin importar su movimiento global. En este libro, supondremos que puede ignorarse la resistencia del aire, excepto que se especifique claramente que se trata de un factor. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 13 Un objeto se deja caer cerca de la superficie de la tierra. ¿Cuál será su velocidad después de caer durante 6,0s? v=? vo = 0 t= 6,0s a = g = -9,8m/s2 Todos los objetos no apoyados tienen una aceleración hacia abajo de 9,8m/s2 a ≡ Δv/t Cinemática - 17 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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a ≡ (v
- vo)/t Buscar v: Primero multiplica ambos lados por t at = v - vo Luego agrega vo en ambos lados vo + at = v Cambie para que la v quede del lado izquierdo de la = v = vo + at Sustituye los valores y resuelva 2 v = 0 + (-9,8m/s ) (6,0s) v = -59m/s Las ecuaciones cinemáticas Hasta ahora tenemos dos definiciones de movimiento que vamos a utilizar como la base de nuestro estudio del movimiento: vpromedio ≡ Δx/t y a ≡ Δv/t. Debemos añadir sólo una ecuación más para completar nuestra base, y entonces podemos comenzar a construir el conjunto de ecuaciones que vamos a utilizar para resolver una serie de problemas a lo largo de este libro. La última ecuación nos dice cómo calcular la velocidad promedio de un objeto si conocemos su velocidad inicial y final. Resulta que la condición de la aceleración constante de la velocidad promedio de un objeto es sólo el promedio de sus velocidades inicial y final. Este promedio se calcula al sumar simplemente las dos velocidades, v y v0, y dividir por 2: vpromedio = (v0 + v) / 2 O, ya que dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por ½ vpromedio = ½ (v0 + v) Esto será cierto siempre que la aceleración sea constante. Sin embargo, tal condición de aceleración constante es válida no sólo para este curso, sino también para la mayoría de las clases de física a las que asistirás en la escuela secundaria o en universidades. Sería posible resolver todos los problemas que afectan a la ubicación, velocidad y aceleración de un objeto, al utilizar simplemente las dos definiciones y el cálculo de la velocidad promedio que se muestran arriba. Sin embargo, en la física a veces es mejor hacer un trabajo más difícil desde el principio para que más adelante resulte más fácil. En este caso, vamos a utilizar las tres ecuaciones anteriores para crear un conjunto de ecuaciones cinemáticas que son más fáciles de trabajar. Primero obtendremos esas ecuaciones de forma algebraica, y luego las vamos a sacar con un enfoque gráfico. Luego practicaremos trabajar con ellas. Comencemos al utilizar nuestra definición de aceleración para obtener una ecuación que nos dirá la velocidad de un objeto en función del tiempo. a ≡ Δv / t Sustituye: Δv = v - vo a = (v - vo) / t Multiplica ambos lados por t at = v - vo Luego agrega vo en ambos lados vo + at = v Reorganiza para encontrar v Cinemática - 18 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
19.
v = vo
+ at Esta ecuación nos dice que la velocidad del objeto en algún momento más adelante será la suma de dos términos: su velocidad al inicio del problema, vo, y el producto de su aceleración, a, y la cantidad de tiempo que se aceleró, t. Si su aceleración es cero, esto sólo dice que su velocidad nunca cambia. Si su aceleración no es cero, esta ecuación nos dice que la velocidad del objeto cambiará más a medida que pasa el tiempo y que cambiará más rápido si su aceleración es mayor. A menudo en la física queremos conocer la posición final o la velocidad de un objeto después de una determinada cantidad de tiempo. La ecuación anterior en negrita nos ofrece una forma directa de calcular las velocidades en tiempos más avanzados, dadas las condiciones iniciales: esta es una ecuación cinemática clave. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 14 ¿Cuál será la velocidad de un objeto al final de 15s si su velocidad inicial es de -15m/s y está sujeta a una aceleración de +4,5m/s2? v=? vo = -15m/s t= 15s a = +4,5m/s2 v = vo + at v = -15m/s + (+4,5m/s2) (15s) v = -15m/s + 68m/s v = +53m/s __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 15 ¿Cuánto tiempo se tarda un objeto en alcanzar una velocidad de 86m/s si su velocidad inicial es de 14m/s y si experimenta una aceleración de 1,5 m/s? v = 86m/s vo = 14m/s t= ? a = +1,5m/s2 v = vo + at Buscar t: Primero resta la vo de ambos lados v - vo = at Luego divide ambos lados por una (v - vo) / a = t Finalmente, cambia los lados para que el t quede a la izquierda t = (v - vo) / a Ahora sustituye los valores y resuelva 2 t = (86m/s – 14m/s) / (1,5m/s ) t = 72 m/s / 1,5m/s2 t = 48s Cinemática - 19 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
20.
Ten en cuenta
que al igual que 72 dividido 14 es igual a 48, (m/s) / (m/s2) es igual a los segundos. Esto se puede ver si recuerda que la división por una fracción es igual que multiplicar por su recíproco: así (m/s) / (m/s2) es igual que (m/s) (s2/m). En este caso, se puede observar que los metros se cancelan del mismo modo que los segundos en el numerador, dejando sólo segundos en el numerador, que es la unidad correcta para el tiempo. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 16 ¿Qué aceleración experimenta un objeto si debe alcanzar una velocidad de 40m/s hacia el norte en un tiempo de 18s y si comienza con una velocidad de 24m/s hacia el sur? Para este problema, primero definamos al norte como positivo y al sur como negativo. Por lo tanto, v = +40m/s vo = -24m/s t= 18s a=? v = vo + at Busca el t: Primero resta la vo de ambos lados v - vo = at Luego divide ambos lados por t (v - vo) / t = a Finalmente cambia los lados para que la a quede a la izquierda a = (v - vo) / t Ten en cuenta que esta es sólo nuestra definición original de la aceleración. Podríamos haber utilizado esa definición, pero es bastante fácil de recuperar de la ecuación que vamos a utilizar... funciona de cualquier manera. Ahora sustituye los valores y resuelve a = (40m/s – (-24m/s)) / (18s) Ten en cuenta que al sustituir -24m/s por vo, la ponemos entre sus propios paréntesis. Eso es para que no perdamos el signo negativo... un error común. Ahora podemos ver que -(-24m/s) es igual a +24 m/s a = 64 m/s / 18s a = 3,6 m/s2 Ya que la respuesta es positiva, la aceleración debe ser hacia el norte según nuestra decisión original de que el norte sea positivo a = 3,6 m/s2 hacia el norte Ten en cuenta que al igual que 64 dividido 18 es igual a 3,6, (m/s) / s es igual a m/s2. Esto se puede ver si recuerdas que la división por una fracción es igual a la multiplicación por su recíproco: por lo tanto, (m/s) / s es igual que (m/s) x (1/s). Ahora tenemos una ecuación útil para determinar cómo la velocidad de un objeto puede variar con el tiempo, a partir de su velocidad inicial y de su aceleración. Debemos buscar una expresión similar que nos diga dónde se Cinemática - 20 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
21.
encuentra un objeto
en función del tiempo a partir de su posición inicial, velocidad y aceleración. Debemos combinar tres de nuestras ecuaciones para lograrlo v = vo + at La ecuación que acabamos de derivar de la definición de aceleración vpromedio ≡ (x - x0) / t La definición de velocidad promedio vpromedio = ½ (v + v0) La ecuación de la velocidad promedio en caso de aceleración constante Debido a que tenemos dos ecuaciones para la velocidad promedio, vpromedio, deben ser iguales entre sí. vpromedio = vpromedio Luego podremos sustituir en las dos ecuaciones diferentes el vpromedio anterior: uno en el lado izquierdo del signo igual y el otro a la derecha [(x - x0) / t] = [½ (v + v0)] Busquemos la x: en primer lugar multipliquemos ambos lados por t para sacarlo del denominador de la izquierda x - x0 = ½ (v + v0)t Luego agreguemos x0 a ambos lados para obtener x solo x = x0 +½ (v + v0)t Distribuyamos el t entre paréntesis de la derecha x = x0 + ½ vt + ½v0t Ahora sustituyamos en nuestra nueva ecuación v: v = vo + at x = x0 + ½ (vo + at) t + ½v0t Distribuyamos el ½t que está entre paréntesis 2 x = x0 + ½ vot + ½at + ½v0t Combinemos los dos términos ½ vot 2 x = x0 + vot + ½at Esta es otra de las ecuaciones clave en cinemática. Nos permite determinar dónde estará un objeto con el paso del tiempo a partir de un conjunto de condiciones iniciales. En este caso, hay tres términos: x0 nos dice dónde comenzó el objeto; vot nos dice qué tan rápido se desplazaba originalmente y cuánto tiempo ha estado viajando; y ½at2 nos dice cuánto ha afectado la aceleración la distancia recorrida. La razón de que t al final esté elevada al cuadrado es porque no sólo cambia más su velocidad con el paso del tiempo, sino que también ha tenido más tiempo para que el cambio de velocidad afecte la distancia recorrida. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 17 Un automóvil está en reposo cuando experimenta una aceleración de 2,0 m/s2 hacia el norte durante 5,0s. ¿Qué tan lejos viajará durante el tiempo que acelera? Para este problema, primero definamos al norte como positivo y al sur como negativo. Además, ya que no se nos informa dónde comienza el automóvil, vamos a definir su posición inicial como el origen para este problema, cero. En ese caso, la distancia que viaja solo será su posición, x, al final del problema. Por lo tanto, x0 = 0 x=? Cinemática - 21 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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vo = 0 t=
5,0s a = 2,0m/s2 x = x0 + vot + ½at2 La ecuación ya está resuelta para x, por lo que sólo tenemos que sustituir los números. Sin embargo, un buen primer paso es eliminar los términos que claramente va a tener un resultado de cero, en este caso el primer y segundo término. (Ya que vo = 0, todo lo que se multiplique por vo también tendrá un resultado de cero). x = ½at2 Esto simplifica muchísimo la ecuación y evita algunos errores de álgebra. Ahora podemos sustituir los números con las variables. x = ½(2,0m/s2)( 5,0s) 2 Asegúrate de elevar al cuadrado los 5,0s antes de multiplicar por cualquier otra cosa x = (1,0m/s2)(25s 2) x = 25m El automóvil viajará 25m al norte durante el tiempo de aceleración __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 18 Un objeto acelerará desde su reposo. ¿Cuánto tiempo tomará para que recorra 40m si su aceleración es de 4m/ s2? Ya que no se nos informa dónde comienza el objeto, vamos a definir su posición inicial como el origen para este problema, cero. En ese caso, la distancia que recorre, 40m, solo será su posición, x, al final del problema. Además, ya que al principio está detenido, esto significa que su velocidad inicial es cero. Por lo tanto, x0 = 0 x = 40m vo = 0 t= ? a = 2,0m/s2 x = x0 + vot + ½at2 Eliminemos los términos que claramente va a tener un resultado de cero, en este caso el primer y segundo término. (Ya que vo = 0, todo lo que se multiplique por vo también tendrá un resultado de cero). x = ½at2 Ahora busquemos t: Multipliquemos ambos lados por 2 y dividamos ambos lados por a 2x/a = t2 Ahora tomemos la raíz cuadrada de ambos lados, para obtener t en lugar de t2 y llevemos la t a la izquierda Cinemática - 22 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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t = [2x/a]½
Ahora podemos sustituir con las variables 2 ½ t = [2(40m)/( 2,0m/s )] t = [80m)/( 2,0m/s2)]½ t = [40s2]½ t = 6,3s La primera ecuación que obtuvimos nos permite determinar la velocidad de un objeto en función del tiempo si conocemos su aceleración. La segunda ecuación nos permite determinar la posición de un objeto en función del tiempo si conocemos su posición inicial, velocidad y aceleración. A veces utilizamos ambas ecuaciones para resolver un problema. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 19 Un avión debe alcanzar una rapidez de 36m/s para el despegue y su aceleración máxima es de 3,0 m/s. ¿Cuánto tiempo requiere una pista? Para resolver este problema necesitamos utilizar ambas ecuaciones cinemáticas. Primero veamos cuándo tiempo debe acelerar hasta alcanzar la velocidad de despegue. Entonces, averigüemos hasta dónde va a viajar en ese momento. x0 = 0 x=? vo = 0 v = 36m/s t= ? a = 3,0m/s2 v = vo + at Buscar t v - vo = at t = (v - vo) / a t = ((36m/s) – 0) / 3.0m/s2 t = 12s Ahora podemos agregar la nueva información a lo que conocíamos anteriormente: x0 = 0 x=? vo = 0 v = 120m/s t = 12s a = 3,0m/s2 Ahora podemos utilizar la segunda ecuación para buscar la ubicación del avión cuando despega. Esa será la longitud mínima requerida de la pista. Cinemática - 23 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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x = x0
+ vot + ½at2 Eliminemos los términos con resultado cero x = ½at2 x = ½(3,0m/s2)(12s)2 x = (1,5m/s2)(144s2) x = 216m _________________________________________________________________________________________ La ecuación cinemática final que vamos a desarrollar combina los primeros dos para que podamos determinar la velocidad de un objeto en función de su posición, más que en una función del tiempo. Esto nos permite resolver el ejemplo 18 en un solo paso. Básicamente, obtenemos esta ecuación al hacer exactamente lo que hicimos en el Ejemplo 18, pero sin insertar números, dejamos todo como variables. El resultado es una solución que podemos utilizar en el futuro para ahorrar mucho trabajo. Primero resolvamos la ecuación de velocidad vs. tiempo. v = vo + at v - vo = at at = v - vo t = (v - vo) / a Luego utilizaremos esta expresión para buscar el tiempo en la ecuación que nos indica la posición de un objeto en función del tiempo. Esto eliminará el tiempo de la ecuación. x = x0 + vot + ½at2 Ahora vamos a sustituir [(v - vo) / a] cada vez que vemos una "t". Los corchetes nos ayudan a ver lo que hemos hecho. Revisemos con cuidado la siguiente ecuación para ver que en todas partes donde solía estar "T", ahora hay [(v - vo) / a]. x = x0 + vo[(v - vo) / a] + ½a[(v - vo) / a] 2 Restemos x0 de ambos lados, distribuyamos la vo dentro del segundo corchete y llevemos al cuadrado el contenido de los terceros corchetes. x - x0 = (vov - vo2) / a] + ½a(v - vo) 2 / a 2 Ahora podemos cancelar una de las a en el último término y utilicemos el hecho de que (v - vo) 2 = v2 - 2v vo + vo2 x - x0 = (vov - vo2) / a] + ½(v2 - 2v vo + vo2) / a Dado que a está en el denominador de ambos términos a la derecha podemos simplificar un poco a multiplicar todos los términos por a Cinemática - 24 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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a(x - x0)
= vov - vo2 + ½(v2 - 2v vo + vo2) Ahora distribuyamos el ½ que está entre paréntesis a la derecha a(x - x0) = vov - vo2 + ½v2 - v vo + ½vo2 Al combinar los dos términos vvo, se cancelan. Al mismo tiempo podemos combinar - vo2 y ½vo2 para obtener -½vo2 a(x - x0) = ½v2 - ½vo2 Ahora multipliquemos ambos lados por 2 para cancelar los ½ 2 2 2a(x - x0) = v - vo Al cambiar los términos de la izquierda a la derecha se completa esta derivación v2 - vo2 = 2a(x - x0) Esto se escribe a veces al sustituir d por (x - x 0), ya que es la distancia que el objeto ha recorrido y es más fácil de leer v2 - vo2 = 2ad Esta ecuación nos permite determinar cómo cambiará la velocidad de un objeto a medida que cambia su posición. Al hacer todo este trabajo ahora, ahorraremos trabajo más adelante. En el Ejemplo 19, echemos un vistazo a cómo queremos utilizar esta ecuación para resolver el mismo problema que se planteó en el Ejemplo 18 __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 20 Como en el caso del Ejemplo 18, un avión debe alcanzar una rapidez de 36m/s para el despegue y su aceleración máxima es de 3,0 m/s2. ¿Cuánto tiempo requiere una pista? x0 = 0 x=? vo = 0 v = 36m/s a = 3,0m/s2 v2 - vo2 = 2a(x - x0) Simplifiquemos al eliminar los términos que dan un resultado de cero, vo & x0 v2 = 2ax Busque x al dividir por 2a y cambia los lados 2 x = v / 2a x = (36m/s) 2 / [2(3,0m/s2)] x = 216m __________________________________________________________________________________________ Resolución de problemas con las ecuaciones cinemáticas Cinemática - 25 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Las ecuaciones cinemáticas
x = x0 + vot + ½at2 v = vo + at v - vo2 = 2a(x - x0) 2 Todos los problemas de la cinemática se pueden resolver mediante el uso de una o dos de las ecuaciones anteriores. Nunca necesitamos utilizar las tres ecuaciones para contestar una pregunta. La pregunta más importante que los estudiantes tienen cuando trabajan con estas ecuaciones es cuál deben utilizar. Primero, necesitarás relajarte y comprender que no puedes obtener una respuesta incorrecta al utilizar mal la ecuación; simplemente no obtendrás ninguna respuesta en absoluto. Verás que te faltará la información necesaria para resolver el problema con esa ecuación. En ese punto, también deberás darte cuenta que es necesario utilizar una ecuación diferente, o leer el problema nuevamente para ver si te falta información que es necesaria, pero que has pasado por alto. Por ejemplo, si un problema indica o implica que un objeto estaba en reposo al inicio del problema, significa que su velocidad inicial era cero. A veces esto es obvio ... a veces no lo es. Por ejemplo, si "sueltas" algo, la implicación es que tenía una velocidad inicial de cero, pero explícitamente, sino de forma implícita. La física te ayudará a aprender a leer con mucha atención para entender lo que el autor quiso decir cuando escribió el problema o la situación descrita. Por lo tanto, el primer paso para resolver el problema es leerlo con mucha atención. El segundo paso es volver a leerlo. Esta vez, al escribir la información que se ha proporcionado en términos de las variables con las que vamos a trabajar. Por ejemplo, la traducción de "caída" sería "vo = 0". Parte de la información que se proporcionará es la que se supone que debes buscar: esa es la cuestión. Si el autor pregunta “¿Cuál es su velocidad final?” significa “v =?” y se vuelve otro de los hechos que debes agregar a tu lista de datos que utilizarás para resolver el problema. El siguiente paso es determinar cuál de las ecuaciones cinemáticas relaciona su colección de datos entre sí. Cada ecuación representa una relación entre un conjunto diferente de datos: elegir la ecuación correcta es sólo una cuestión de determinar que la ecuación se refiere a este conjunto específico de hechos. Si escoges el incorrecto, no pasará nada malo (excepto por el tiempo perdido), ya que sólo encontrarás que no tienes la información correcta para utilizar en la ecuación. Si el problema con el que estás trabajando no tiene el tiempo como uno de sus datos, entonces utilizarás la tercera de las ecuaciones mencionadas anteriormente: v2 - vo2 = 2a(x - x0), es el único que no incluye el tiempo como un factor. Si se incluye el tiempo, estarás usando uno de los primeros dos. En ese caso, necesitará determinar cuáles de esas dos primeras ecuaciones se deberá utilizar. Si el problema tiene que ver con la posición del objeto en función del tiempo, entonces tendrá que utilizar la primera ecuación: x = x0 + vo t + ½a2. Si trata con la velocidad del objeto con el tiempo, utilizarás la segunda ecuación: v = vo + at. Es así de sencillo. _______________________________________________________________ Ejemplo 21 En este ejemplo, sólo vamos a decidir cuál o cuáles ecuaciones serán necesarias para resolver cada problema. 1. Una pelota está sujeta a una aceleración de -9,8 m/s2. ¿Cuánto tiempo después de que se deja caer Cinemática - 26 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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llegará a la
velocidad de -24m/s? 2. Una pelota se lanza desde su posición detenida y está sujeta a una aceleración de -9.8 m/s2. ¿Qué tan lejos llegará antes de alcanzar una velocidad de 24m/s? 3. Una pelota que se deja caer está sujeta a una aceleración de -9,8 m/s2. ¿Qué tan lejos llegará en los primeros 5,0s? 4. Lanzas un objeto hacia arriba desde el piso con una velocidad de 20m/s y está sujeto a una aceleración hacia abajo de 9,8 m/s2. ¿Qué tan alto llega? 5. Lanzas un objeto hacia arriba desde el piso con una velocidad de 20m/s y está sujeto a una aceleración hacia abajo de -9,8 m/s2. ¿Cuánto tiempo más tarde se detiene por un momento? 6. Lanzas un objeto hacia arriba desde el piso con una velocidad de 20m/s y está sujeto a una aceleración hacia abajo de 9,8 m/s2. ¿Qué tan alto habrá llegado después de 2,0s? Tómate un segundo para escribir los datos de cada problema y luego determinar qué ecuación se debe utilizar. Luego compara tus resultados con los que se muestran a continuación. 1. "una aceleración de -9,8 m/s2" significa a =- 9,8 m/s2 "Cuánto tiempo después" significa t =? "se deja caer" significa vo = 0 "para alcanzar una velocidad de -24m/s" significa v =-24m/s Debido a que el tiempo, t, es un factor, debemos elegir sólo entre las dos primeras ecuaciones. Como la velocidad, v, es un factor, debe ser la segunda ecuación: v = vo + at 2. "Lanzar desde la posición detenida" significa vo = 0 2" "una aceleración de -9,8 m/s significa a =- 9,8 m/s2 "Qué tan lejos llegará" significa x0=0 y x=? "alcanza una velocidad de 24m/s" significa v = -24m/s Dado que el tiempo, t, no es un factor, debemos utilizar la tercera ecuación v2 - vo2 = 2a(x - x0) 3. "Una pelota que se deja caer" significa vo = 0 2" "Una aceleración de -9,8 m/s significa a = -9,8 m/s2 "Qué tan lejos llegará" significa x0=0 y x=? “en los primeros 5,0s” significa t = 5,0s Debido a que el tiempo es un factor, debemos elegir sólo entre las dos primeras ecuaciones. Como la posición, x, es un factor, debe ser la primera ecuación: x = x0 + vot + ½at2 4. "hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 20m/s" significa vo = + 20 m/s, x0 = 0 "una aceleración hacia abajo de Cinemática - 27 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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9,8 m/s2"
significa a = -9,8 m/s2 "¿Qué tan alto llega?" Significa x =? y v = 0 (el segundo hecho, v = 0, es menos evidente, pero está implícito en el hecho de que cuando llega a su altura máxima se debe detener momentáneamente... o iría más alto Ya que el tiempo, t, no es un factor, necesitamos usar la tercera ecuación v2 - vo2 = 2a(x - x0) 5. "hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 20m/s” significa vo = + 20m/s y x0 = 0 "una aceleración hacia abajo de 9,8 m/s2” significa a = -9,8 m/s2 “Cuánto tiempo después” significa t = ? "se detiene por un momento" significa v = 0 Debido a que el tiempo, t, es un factor, debemos elegir sólo entre las dos primeras ecuaciones. Como la velocidad, v, es un factor, debe ser la segunda ecuación: v = vo + at 6. "hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 20m/s” significa vo = + 20m/s y x0 = 0 "una aceleración hacia abajo de 9,8 m/s2” significa a = -9.8 m/s2 “Qué tan alto es” significa x = ? “después de 2,0s” significa t = 2,0s Debido a que el tiempo es un factor, debemos elegir sólo entre las dos primeras ecuaciones. Como la posición, x, es un factor, debe ser la primera ecuación: x = x0 + vot + ½at2 Interpretación de gráficos de movimiento Hay dos tipos de gráficos de movimiento que vamos a considerar: el de "Posición vs. Tiempo" y el de "Velocidad vs. Tiempo". En ambos casos el eje x se utiliza para registrar el tiempo. En los gráficos de Posición vs. Tiempo, el eje vertical, el eje y, se utiliza para registrar la posición del objeto. En un gráfico de Velocidad vs. Tiempo, el eje vertical, el eje y, se utiliza para registrar la velocidad del objeto. En esta sección, vamos a aprender a generar e interpretar estos gráficos y ver su relación entre sí. Gráficos de Posición vs. Tiempo para la Velocidad constante Si mientras estabas en movimiento hubieras registrado tu posición cada segundo, sería sencillo realizar un gráfico de posición vs. tiempo. Tomemos el caso de que te estés alejando de tu casa con una velocidad constante de +1m/s (ten en cuenta que debido a que la velocidad es un vector necesita una dirección, "+", y un tamaño, "1 m/s"). Si defines tu casa como "cero" y tu hora de inicio como cero, los primeros cinco segundos de su paseo te proporcionarán los siguientes datos. Cinemática - 28 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Tiempo (t)
Posición (x) segundos metros 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Para crear un gráfico de posición vs. tiempo, todo lo que Posición vs. Tiempo necesita hacer es graficar estos puntos y luego conectarlos con una línea recta. 5 4 Este gráfico te permite leer tu posición directamente en cualquier momento. De hecho, te permite determinar su 3 Posición (metros) posición para tiempos no medidos, ese es el significado de 2 la línea que conecta los puntos. Por lo tanto, su posición a 1 los 1,5 segundos puede verse como x = 1,5m. Ahora bien, 0 esto supone que viajabas con una velocidad constante, 0 1 2 3 4 5 pero es la suposición de que se hizo en la creación de este Tiempo (segundos) gráfico. También puedes leer tu velocidad de forma indirecta a partir de esta tabla. La velocidad de un objeto será la inclinación de la línea en su gráfico de Posición vs. Tiempo. Esta definición de la inclinación de una línea, m, es m ≡ Δy / Δx. Esto significa que la inclinación de una línea fue determinada por la cantidad del valor vertical, el valor y, de los cambios de línea para un cambio proporcionado en su valor horizontal, su valor x. Si no cambia en absoluto, entonces la línea es horizontal, no tiene inclinación. Si tiene un valor positivo que se inclina hacia arriba, ya que significa que la coordenada "y" se hace más grande a medida que se mueve hacia la derecha a lo largo del eje "x". Una pendiente negativa significa que la línea se inclina hacia abajo, ya que disminuye su valor "y" a medida que se desplaza hacia la derecha. Si dibuja un gráfico de la posición vs. tiempo para un objeto en movimiento, con la posición en el eje "y" y el tiempo en el eje "x", la inclinación de la línea es proporcionada por m ≡ Δy / Δx, pero en este caso, los valores "y" son la posición (x) y los calores x son el tiempo (t). Esto puede resultar confuso, ya que la “x” en la definición de inclinación es diferente de la “x” utilizada en las ecuaciones cinemáticas. En la definición de inclinación, x significa el eje horizontal. En el debate del movimiento, x significa la posición del objeto. Cuando graficamos la posición de un objeto en función del tiempo, ponemos siempre la posición en el eje vertical, el eje "y", y el tiempo, t, en el eje "x". Esto puede confundir, ya que la coordenada "y" del gráfico de posición vs. tiempo proporciona la posición, que es "x" en las ecuaciones cinemáticas. Por lo tanto, la inclinación de la línea en un gráfico se convierte en lo siguiente: m ≡ Δy / Δx pero debido a que los valores "y" representa la posición, x, y los valores Cinemática - 29 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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de "x" proporcionan
el tiempo, t, esto se convierte en m ≡ Δx / Δt pero la definición de velocidad es la misma, v ≡ Δx / Δt, por lo tanto m=v la inclinación de un programa línea muestra el gráfico de posición vs. tiempo nos indica su velocidad Para el gráfico que se muestra arriba, la inclinación de la línea es la siguiente: m ≡ Δy / Δx con el primer y el último punto (cualquier par de puntos funcionarán) m = (5m - 0m) / 5s – 0s) m = 5m/5s m = 1 m/s v = 1 m/s __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 22 Determina la ubicación y la velocidad del objeto en el siguiente gráfico at cuando t = 2,5s. Posición vs. Tiempo 14 12 10 Posición (metros) 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 Tiempo (segundos) Solución: La ubicación del objeto se pueden leer directamente desde el gráfico al señalar que cuando el tiempo es igual a 2,5s entonces la posición es igual a 7 metros. La velocidad es constante durante todo el recorrido (de allí la línea recta) y por lo tanto, puede encontrarse al determinar la pendiente de esa línea entre dos puntos. Por lo general, elegimos los puntos que son fáciles de leer y están lo más alejado posible entre sí. En este caso, utilicemos los puntos (0,0) y (4,12). m ≡ Δy / Δx m = (12m - 0m) / 4s – 0s) m = 12m/4s m = 3 m/s v = 3 m/s _________________________________________________________________________________________ Cinemática - 30 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Ahora es posible
que la velocidad de un objeto cambie Posición vs. Tiempo durante el tiempo que está siendo observado. Por 6 ejemplo, si caminaras alejándote de tu casa con una velocidad de 1 m/s durante 6 segundos, te detienes 5 durante 3 segundos y luego vuelves corriendo a tu 4 Posición (metros) casa en 3 segundos, el gráfico de posición vs. tiempo 3 para tu recorrido sería el siguiente . 2 1 Puedes leer este gráfico para determinar la posición en 0 cualquier momento durante el recorrido. También se 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 puede ver a partir de esto que durante tu recorrido se Tiempo (segundos) experimentaron tres velocidades diferentes. Tu velocidad inicial es proporcionada por la inclinación de la línea durante los primeros 6 segundos. m ≡ Δy / Δx m = (6m - 0m) / 6s – 0s) m = 6m/6s m = 1 m/s v = 1 m/s Durante el tiempo que estás parado, tu velocidad debe ser cero. La inclinación de la línea debe ser cero si tu velocidad es cero, por lo tanto esta es la parte plana de la curva entre 6 y 9 segundos. Sólo para terminar de completarlo, se obtienen los mismos resultados de forma analítica. m ≡ Δy / Δx m = (6m - 6m) / 9s – 6s) m = 0m/6s m = 0 m/s v = 0 m/s Por último, durante tu viaje de regreso, la inclinación de la recta es negativa, lo que significa que tienes una velocidad negativa. m ≡ Δy / Δx m = (0m - 6m) / 12s – 9s) m = (-6m)/3s m = -2 m/s v = -2 m/s Gráficos de Velocidad vs. Tiempo para la Velocidad constante Cualquier movimiento que se puede registrar utilizando un gráfico de posición vs. tiempo también se puede registrar utilizando un gráfico de velocidad vs. tiempo. La elección del gráfico tendrá diferentes beneficios, pero es importante que puedas ver cómo se relacionan entre sí. Cinemática - 31 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Tomemos el primer
gráfico de posición vs. tiempo que hicimos anteriormente y reformulémoslo como un gráfico de velocidad vs. tiempo. En este caso, el eje vertical registra la velocidad y el eje horizontal continúa indicando el tiempo. En el primer gráfico, mantuvo una velocidad constante de 1 m/s durante 6 segundos, por lo que se convierte en lo siguiente: Velocidad vs. Tiempo 3 2 Velocidad (m/s) 1 0 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo (s) En este caso, la velocidad del objeto se puede leer directamente desde el gráfico, pero no es posible hacerlo con su desplazamiento y la distancia que ha recorrido. Sin embargo, podemos determinar el desplazamiento del objeto, qué tan lejos llegó desde el punto de partida, y la distancia que ha recorrido al medir el área debajo de la curva (en este caso la línea horizontal en v = 1 m/s). (Si la velocidad siempre es positiva, la distancia recorrida y el desplazamiento serán iguales). Un rectángulo tiene dos pares de lados opuestos. En este caso, una parte será la línea horizontal que indica la velocidad de viaje del objeto y el lado opuesto que es el eje horizontal. El segundo par de lados es una línea vertical que se dibuja derecho desde el momento que comenzamos a medir y el lado opuesto que es una línea vertical dibujada derecho desde el momento que dejamos de medir. Por lo tanto, si un objeto se mueve con una velocidad constante, podemos definir una forma rectangular cuya altura es su velocidad y cuya longitud es el intervalo de tiempo que estamos estudiando. El área de un rectángulo está dada por su altura multiplicada por su longitud, por lo que el área de este rectángulo es su velocidad, v, multiplicada por el tiempo transcurrido, t. Área = (altura)(longitud) A = (velocidad)(tiempo) A = vt Pero al principio del capítulo determinamos que Δx, por lo tanto A = Δx El desplazamiento de un objeto está determinado por el área entre su gráfico de velocidad y el eje horizontal. En el ejemplo actual, los lados horizontales son la línea horizontal en v = 1 m/s y el eje horizontal, y los lados verticales están formados por el eje vertical y t = 6s. Las dimensiones del rectángulo son de 1 m/s de alto por 6s de largo. Por lo tanto, el desplazamiento del objeto es simplemente el producto de los dos, o 6m. Este es el mismo resultado que se puedes esperar, un objeto que se mueve a una velocidad constante de 1 m/s durante 6s Cinemática - 32 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
33.
se desplazaría 6m.
También ha recorrido una distancia de 6 metros, ya que no se involucró ningún movimiento negativo Si el desplazamiento es sólo positivo, es igual a la distancia que el objeto ha recorrido. A pesar de haber obtenido esto para la velocidad constante, siempre será cierto que el desplazamiento será igual al área debajo de la curva del gráfico de velocidad vs. tiempo y que si la velocidad es siempre positiva, la distancia recorrida será igual al desplazamiento del objeto. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 23 Velocidad vs. Tiempo Determina el desplazamiento del siguiente objeto y la distancia que ha recorrido durante sus primeros 3 segundos 3 de viaje. 2 Velocidad (m/s) Solución: El área debajo de la curva del gráfico de velocidad 1 vs. tiempo es su desplazamiento. Debido a que estamos considerando sólo los 3 primeros segundos de su recorrido, 0 la altura es de 2 m/s y la duración de 3 segundos, por lo 0 1 2 3 4 5 6 tanto, su desplazamiento es de 6 metros. Esto también es Tiempo (s) igual a la distancia que ha recorrido. En caso de que un objeto ten una velocidad positiva y negativa, la distancia que ha recorrido y su desplazamiento no serán iguales. Esto se debe a que la distancia no depende de la dirección, mientras que el desplazamiento sí lo hace. __________________________________________________________________________________________ Ejemplo 24 Determina la distancia recorrida y el desplazamiento del siguiente objeto durante todo su recorrido. Viaja con una velocidad de +2m/s durante los primeros seis segundos y luego con una velocidad de -3m/s durante los últimos cuatro segundos. Velocidad vs. Tiempo 5 4 3 2 1 Velocidad (m/s) 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -3 -4 -5 Tiempo (s) El desplazamiento del objeto durante los primeros seis segundos está determinado por lo siguiente: Δx = Área Δx = (+2m/s)(6s) Cinemática - 33 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Δx = 12m Durante
los últimos cuatro segundos de su recorrido, su desplazamiento es Δx = Área Δx = (-3m/s)(6s) Δx = -18m Por lo tanto, el desplazamiento total es la suma de estas dos contribuciones: Δx = 12m + (-18m) Δx = -6m. Por otro lado, la distancia total que recorrió está dada por la suma de las dos áreas, tratándolas a ambos como números positivos, ya que la distancia recorrida no puede ser nunca negativa. Por eso, la distancia recorrida es la suma de 12m y 18m o 30m. d = 12m + 18m d = 30m Si tomamos el movimiento hacia la derecha como positivo y el movimiento a la izquierda como negativo, la interpretación física de esto es que el objeto viajó 12 metros a la derecha, se detuvo un momento y luego viajó 18 metros a la izquierda. Se movió una distancia de 30m, pero terminó 6 metros a la izquierda de donde comenzó. Gráficos de Velocidad vs. Tiempo para la Aceleración constante Hasta ahora sólo hemos considerado el movimiento con velocidad constante. Sin embargo, se aplican los mismos principios a la aceleración constante. Si la velocidad de un objeto cambia con el tiempo, su gráfico de velocidad vs. tiempo tendrá una inclinación. Tal inclinación te proporcionará la aceleración. La inclinación de una línea en el gráfico de velocidad vs. tiempo es la siguiente: m ≡ Δy / Δx pero debido a que los valores de "y" representan la velocidad, v, y los valores de "x" proporcionan el tiempo, t, esto se convierte en m ≡ Δv / Δt pero la definición de velocidad es la misma, v ≡ Δv / Δt, por lo tanto m=a La inclinación de una línea en el gráfico de velocidad vs. tiempo para un objeto nos proporciona su aceleración. Vamos a calcular la aceleración del siguiente objeto: Cinemática - 34 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Velocidad vs. Tiempo
6 5 4 Velocidad (m/s) 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo (s) Para el gráfico que se muestra arriba, la inclinación de la línea es la siguiente: m ≡ Δy / Δx Ahora utilicemos el primer y último punto (cualquier par de puntos funcionará) m = (6m/s - 0m/s) / 6s – 0s) m = (6m/s)/6s m = 1 m/s2 a = 1 m/s2 Sigue siendo el caso de que el área debajo del gráfico de velocidad vs. tiempo nos dará el desplazamiento y la distancia recorrida. Sin embargo, la forma ya no es un rectángulo, es un triángulo. El área de un triángulo está dada por la fórmula: Área = ½ (base) (altura). Podemos utilizar esto para determinar el desplazamiento y la distancia recorrida, en este caso serán iguales debido a que todo el movimiento es positivo. La base está dada por el tiempo transcurrido y la altura es la velocidad máxima alcanzada, ya que es el punto más alto del triángulo. Vamos a determinar el desplazamiento del objeto durante sus seis segundos de viaje. Δx = Área Δx = ½ base x altura Δx = ½ vt donde v es la velocidad en el tiempo t Δx = ½ (+6m/s)(6s) Δx = 18m debido a que todo el movimiento se encuentra en una velocidad positiva, ésta es también la distancia recorrida d = 18m En el siguiente ejemplo tenemos que dividir el movimiento en dos triángulos, ya que uno tendrá un área positiva, por debajo del eje horizontal y el otro tendrá un área negativa. Esto nos proporcionará diferentes respuestas para el desplazamiento y la distancia. Cinemática - 35 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Velocidad vs. Tiempo
6 5 4 3 2 1 Velocidad (m/s) 0 -1 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -4 -5 -6 Tiempo (s) _______________________________________________________________ Ejemplo 25 Determina el desplazamiento y la distancia recorrida por el objeto cuyo movimiento se describe en el gráfico anterior. Solución: Debido a que el movimiento incluye la velocidad negativa y positiva, debemos separar estas dos partes. Para el movimiento con una velocidad positiva que necesitamos para determinar el área del triángulo formado encima del eje horizontal: Δx = Área Δx = ½ base x altura Dx = ½ vt donde v es la velocidad máxima positiva y t es el tiempo total que el objeto se movió con una velocidad positiva Δx = ½ (+6m/s)(8s) Δx = 24m Este es el desplazamiento debido a la velocidad positiva Para el movimiento con velocidad negativa que necesitamos para determinar el área del triángulo formado debajo del eje horizontal: Δx = Área Δx = ½ base x altura Δx = ½ vt donde v es la velocidad máxima negativa y t es el tiempo total que el objeto se movió con una velocidad negativa Δx = ½ (-6m/s)(2s) Δx = -6m Este es el desplazamiento debido a la velocidad positiva En este caso, el desplazamiento y la distancia recorrida serán diferentes. El tiempo dedicado a viajar con una velocidad negativa reducirá el desplazamiento, pero sumará a la distancia total del objeto que se movió durante su viaje. Δx = +24m + (-6m) Cinemática - 36 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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Δx = +18m Para
encontrar la distancia recorrida que acabamos de tratar las áreas de ambos triángulos como positivos, ya que la distancia nunca es negativa. d = 24m + 6m debido a que la distancia es siempre positiva d = 30m Por lo tanto, después de recorrer una distancia total de 30m, el objeto está a 18m a la derecha de desde donde comenzó. Derivación alternativa de la Primera ecuación cinemática Se utilizó una gran cantidad de álgebra para obtener la siguiente ecuación antes en este capítulo: x = x0 + vot + ½at2 Sin embargo, esta misma ecuación también fue derivada de forma gráfica en el siglo XV por Oresme utilizando los métodos que acabamos de desarrollar: el reconocimiento del desplazamiento de un objeto viene dado por el área debajo de la curva de velocidad vs. tiempo. Para quienes prefieren una visión más general para un poco de álgebra complicada, vale la pena ver cómo lo hizo. También utilizaremos un enfoque similar para obtener algunas ecuaciones en los próximos capítulos. Todo lo que tenemos que hacer es dejar las variables en nuestros gráficos en lugar de los números. Por ejemplo vamos a comenzar con un objeto que se mueve a una velocidad constante v0 durante un tiempo t. Eso significa que el gráfico de velocidad vs. tiempo formará un rectángulo cuya altura es v0 y cuya longitud es t. El área de ese rectángulo, nos proporcionará su desplazamiento. Desplazamiento debido a la velocidad inicial Δx = Área Δx = altura x longitud Δx = v0t Debido sólo a la velocidad inicial Ahora agreguemos a eso el desplazamiento debido a una aceleración constante. Si la aceleración es positiva, significa que tiene una mayor velocidad a medida que pasa el tiempo y obtienes el gráfico que se muestra a continuación (suponiendo que la simplicidad es v0 = 0). Hemos demostrado anteriormente que el área debajo de la curva es igual al desplazamiento de un objeto. En este caso, su velocidad máxima será la altura del triángulo y la base del triángulo será el tiempo de su aceleración. Desplazamiento debido a aceleración Δx = Área Δx = ½ base x altura Δx = ½ vt Pero recuerda que v = v0 + at. En este caso, v0 es cero, por lo tanto v = at. Si sustituimos eso por la v obtenemos Δx = ½ (at)t Δx = ½ at2 Debido sólo a la aceleración Desplazamiento total Un objeto que tiene una velocidad inicial y experimenta una aceleración tiene un desplazamiento debido a estos Cinemática - 37 v 1.0 ©2009 por Goodman & Zavorotniy
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