Descripción de los estadísticos de prueba para diferentes casos de hipótesis en una y dos poblaciones. Para casos de varianzas conocidas y casos de varianzas desconocidas. Para casos de muestra dependientes y muestras independientes.
2. 2
Pruebas de Hipótesis. Contenido.
1. Conceptos Generales.
2. Pruebas de Hipótesis para una sola
población.
1. Medias.
2. Proporciones.
3. Pruebas de Hipótesis para dos
poblaciones independientes.
1. Diferencias de dos medias.
2. Diferencias de dos proporciones.
4. Pruebas de Hipótesis para dos
poblaciones dependientes.
4. 4
Hipótesis.
Hipótesis son los supuestos o afirmaciones que hacemos
basados en datos o experiencia, y que luego serán probados
estadísticamente con una muestra.
En estadística se distinguen dos tipos de Hipótesis:
Hipótesis Nula, Ho: Es la hipótesis que se prueba (se
rechaza o no se rechaza). Esta, es el punto inicial de la
investigación.
Hipótesis Alternativa, Ha: Es la afirmación que representa
el interés del investigador, y está relacionada con el mismo
parámetro de la población de la Hipótesis Nula. A veces la
hipótesis alternativa se denomina hipótesis de investigación.
La hipótesis nula y alternativa son opuestas la una a la otra.
5. 5
Ejemplo.
Supóngase que realizará un fiesta, y se quiere demostrar el
éxito de la misma. Usted, podría pensar o estar casi
seguro de una alta probabilidad de que ésta sea un
éxito.
Entonces la hipótesis Nula, a probar, es:
Ho: “La fiesta será un fracaso”,
mientras que su hipótesis alternativa (de investigación) es
que:
Ha: “La fiesta será un éxito o no será un fracaso”.
La hipótesis alternativa, es una posible respuesta distinta a
lo planteado en la hipótesis nula.
6. 6
Hipótesis Estadística.
Las hipótesis, se prueban para los parámetros o estadísticas
poblacionales: media, proporción o varianzas, entonces una
forma de expresar la hipótesis estadísticamente es por ejemplo:
Ho: = o. (la media es igual a un valor hipotético o)
Ha: o. (la media es igual a un valor hipotético o)
Expresado literalmente, es decir, lo de arriba, significa:
Ho: La media es igual a un valor o.
Ha: La media es distinta de un valor o.
Obsérvese que o es un valor específico de interés o de
comparación para determinar el “rechazo” o” no rechazo” de
Ho. Por ejemplo, Ha. El porcentaje de fracaso en Bioestadística
es del 30% - 30% es po.
7. 7
TIPOS DE PRUEBAS de
hipótesis: Dos colas.
Cuando la hipótesis del investigador, considera la relación
“diferente” ó “ ”. La hipótesis es de dos colas.
c representa el valor crítico del estadístico de prueba y se obtiene a
partir de la probabilidad de la prueba estadística. Por ejemplo, para
un 95% de probabilidad, z=1.96 (siempre).
-c c
Cola 1. Cola 2.
Caso donde las
Hipótesis son:
Ho: = o.
Ha: o.
8. 8
TIPOS DE PRUEBAS de
hipótesis: Una cola - izquierda.
Específicamente, se utiliza cuando la hipótesis del
investigador, considera la relación “menor que (<)”.
-c
Cola 1.
Caso donde las
Hipótesis son:
Ho: = o.
Ha: < o.
El valor crítico, es
uno solo y la
región de rechazo
de Ho, se ubica del
lado izquierdo de
la curva (cola 1).
9. 9
Regla de decisión. Pruebas
de hipótesis de una cola.
Recordemos, que el valor crítico depende del estadístico
de prueba a utilizar y del nivel de significancia. Estos
valores se encuentran en las tablas de distribuciones de
probabilidad t-student, Z-Normal estándar, según sea el
caso.
c
Cola 2.
Caso donde las
Hipótesis son:
Ho: = o.
Ha: > o.
Relación “mayor que”
10. 10
Procedimiento de cinco pasos. Prueba de
Hipótesis clásica.
1. Describir el parámetro de la población de interés.
2. Establecer la hipótesis nula (Ho) y alternativa Ha).
3. Especificar los criterios de prueba.
a. Comprobar los supuestos.
b. Identificar la estadística de prueba a utilizar.
c. Determinar el nivel de significancia, .
d. Determinar la(s) región (regiones) crítica(s) y el (los) valores
crítico(s).
4. Recolectar y presentar los hechos muestrales.
a. Recolectar la información muestral.
b. Calcular el valor de la estadística de prueba.
5. Determinar los resultados
a. Determinar si el valor de la estadística de prueba está o no en la región
crítica.
b. Tomar una decisión sobre Ho.
c. Escribir una conclusión sobre Ha.
11. 11
Pruebas de Hipótesis. Una población.
1. Pruebas de Hipótesis de la media (
conocida): Enfoque clásico.
Supuesto para pruebas de hipótesis sobre la media
usando una conocida: la distribución muestral de la media
muestral, está contenida en la distribución muestral de medias
muestrales y en el Teorema de Límite Central. (Visto
anteriormente en clases).
12. 12
Un grupo de abogados, que protegen los intereses de los
consumidores, desea refutar la afirmación que hace un
fabricante de gasolina sobre un modelo de automóvil
que promedia 24 millas por galón de gasolina.
Específicamente, el grupo quiere demostrar que las
millas medias por galón son considerablemente menores
que las 24 millas que dice el fabricante. Establecer la
hipótesis nula y la alternativa.
Veamos esta prueba de hipótesis con una ilustración:
Ejemplo
13. 13
Solución
Datos:
• El parámetro de población en cuestión es: “el número medio de
millas recorridas logrado por este modelo de automóvil”
• 24 millas por galón, es el valor específico de interés o de
comparación del parámetro, es decir, o .
• La relación propuesta por los abogados es, “el número medio de
millas recorridas logrado por este modelo de automóvil” es
menor que 24 millas por galón, es decir: < 24.
14. 14
Solución (continuación)
Datos (continuación):
• La afirmación opuesta a lo propuesto por los abogados, es:
“el número medio de millas recorridas logrado por este
modelo de automóvil no es menor que 24 millas por
galón”, es decir, (mayor o igual que) 24.
• Recuerde que la hipótesis nula contiene el signo “igual”.
15. 15
Solución (conclusión)
Datos (continuación):
• Las Hipótesis, planteadas son:
•Ho: El número medio de millas recorridas logrado por
este modelo de automólvil es mayor o igual que 24.
•Ha: El número medio de millas recorridas logrado por
este modelo de automólvil es menor que 24.
• Estadísticamente,
•Ho: 24 ó ( = 24) y Ha: < 24
16. 16
Estadístico de Prueba de Hipótesis de
la media , con conocida
El estadístico de prueba en este caso, se define como, “zeta
estrella” ó z*
n
x
z
/
*
Bajo el supuesto de que los las medias muestrales siguen una
distribución normal y cumpliendo con el Teorema de Límite
Central, además considerando la varianza poblacional ( )
conocida.
17. 17
Nivel de significación (alfa)
El nivel de significancia, , generalmente se establece de
acuerdo al rigor en la decisión deseado del
investigador, en 0.05 ó 0.01. (probabilidad de cometer
el error tipo I). Y se busca en las tablas de distribución t
ó Z, según sea el caso, tal como se hizo al elaborar
intervalos de confianza.
18. 18
Ejemplo:
Se afirma que el peso medio de las estudiantes de una
universidad es de 54.4 kg. El profesor Hart no cree en esta
afirmación y trata de demostrar lo contrario. Para probar la
afirmación, recolecta una muestra aleatoria de 100 pesos
entre las alumnas universitarias. Obtiene una media de la
muestra de 53.75 kg. ¿este hecho es suficiente para que el
profesor Hart rechace la afirmación?. Use =0.05 y
=5.4kg.
Datos: n= 100, o= 54.4 kg., =0.05 y =5.4kg.
19. 19
Ejemplo: Solución.
Datos: n= 100, o= 54.4 kg., =0.05 y =5.4kg.
Paso 1. El parámetro de interés: , el peso
medio de todas las estudiantes de una
universidad.
Paso 2. La hipótesis nula y alternativa son:
Ho: El peso medio de las estudiantes de
una universidad es igual a 54.4 kg.
Ha. El peso medio de las estudiantes de
una universidad no es igual a 54.4 kg.
20. 20
Ejemplo: Solución.
Paso 2.
Estadísticamente, las hipótesis son expresadas
como:
Ho. = 54.4 kg.
Ha. 54.4 kg.
Paso 3.
Los criterios de prueba son:
a. Los pesos de un grupo de estudiantes siguen
una distribución aproximadamente norma,
debido a que la muestra es suficientemente
grande (n=100).
b. La estadística de prueba, por tanto, a utilizar es
z*
21. 21
Ejemplo: Solución.
Paso 3.
Los criterios de prueba son:
c. El nivel de significancia planteado es: = 0.05
(dado en el problema).
d. Las regiones críticas (valores críticos), se
determinan, con el nivel de significancia entre
dos, ya que se trata de una prueba de hipótesis
de dos colas, entonces el nivel de significancia
es 0.025.
-c c
/2=0.025 /2=0.025
22. 22
Ejemplo: Solución.
Paso 3.
Luego, buscando en la tabla Normal estándar, el valor
crítico, para /2 = 0.025 y para (1- /2)= 0.975, ó
simplemente para (1- /2)= 0.975, ya que la
distribución normal es simétrica.
Entonces, el valor de z, para 0.975, es 1.96.
Reempalzando en –c y c. La región de decisión, se
determina como: -1.96 y 1.96.
Si el estadístico z*, se encuentra entre –1.96 y 1.96 no se
rechaza Ho.
-1.96 1.96
/2=0.025 (/2)=0.025
Región de
no rechazo
de Ho.
23. 23
Ejemplo: Solución.
Paso 4.
a. La información muestral es: media muestral “equis
barra” es 53.75 y n=100.
b. El cálculo del estadístico de prueba, al aplicar la
fórmula es:
-1.96 1.96
/2=0.025 (/2)=0.025
Región de
no rechazo
de Ho.
20.1
100/4.5
4.5475.53
/
*
n
x
z
24. 24
Ejemplo: Solución.
Paso 5.
a. Decisión: Como z*=-1.20, se encuentra en la región
de no rechazo de Ho.
b. En conclusión, No hay suficientes hechos al nivel de
significancia 0.05 que demuestren que las
estudiantes tienen un peso medio diferente de los
54.4 kg indicados. En otras palabras, no hay hechos
estadísticos que sustenten los argumentos del
profesor Hart.
-1.96 1.96
/2=0.025 (/2)=0.025
Región de
no rechazo
de Ho.
25. 25
2. Pruebas de Hipótesis de
la media ( desconocida):
El estadístico de prueba, a utilizar es:
ns
x
t o
n
/
1
Cuando la varianza poblacional es desconocida, se utiliza
el estadístico t-student, también, se utiliza la desviación
estándar de la muestra (S), en lugar de sigma (). El
estadístico t, sigue una distribución t-student con n-1
grados de libertad.
26. Ejemplo
Se quiere comprobar que el índice
académico de los estudiantes de la
Escuela de Estadística es 2.00. En una
muestra de 10 estudiantes, se
determina que la media es 1.95, y una
desviación estándar de 0.1. Con estos
datos realizar la comprobación de
hipótesis usando un nivel de confianza
del 95%. 26
27. Ejemplo
Datos
o = 2.00.
n=10 estudiantes,
Media muestral 𝑥= 1.95,
y
Desviación estándar
(S)= 0.1.
Nivel de confianza de
95%
Hipótesis Estadística:
Ho: = 2.0
Ha: ≠ 2.0 27
ns
x
t o
n
/
1
Estadístico de Prueba
Decisión: Para un nivel de confianza del
95%, el valor crítico de t, para (n-1)= 9
grados de libertad, es 2.26
Se rechazará la hipótesis nula si el valor
calculado es menor que -2.26, o mayor
que 2.26.
Conclusión: Como el estadístico
calculado es -1.58, no se puede rechazar
la hipótesis nula, por lo tanto el índice
académico promedio de los estudiantes
es igual a 2.00.
Cálculo del Estadístico de Prueba
58.1
10/1.0
00.295.1
1
nt
28. 28
3. Pruebas de Hipótesis para proporciones.
El estadístico de prueba, para el caso de proporciones en una sola
muestra, es:
n
pp
pp
Z
oo
o
)1(
p, es el número de éxitos en la muestra entre el tamaño
de la muestra: x/n.
po, es el valor hipotético específico de interés o de
comparación.
29. Ejemplo
En el tema de la Educación Ambiental, las
autoridades consideran que el mayor problema
del manejo de los desechos se debe a que más
del 90% de la población no tiene conocimientos
sobre este tema.
Se realiza un estudio con una muestra de 85
personas, y se determinó que el 96.5% no
tienen conocimiento sobre las RRR. Con un nivel
de confianza del 95% indique si las autoridades
tienen razón.
29
30. Ejemplo
Datos:
Po = 0.90 (proporción hipotética de la población que no
tiene conocimientos sobre este tema).
n = 85 personas,
p = 0.965 (proporción muestral de la población que no
tienen conocimiento sobre las RRR).
Nivel de confianza del 95%
Hipótesis Estadística:
Ho: p = 0.90
Ha: p > 0.90
30
31. Ejemplo
Hipótesis Estadística:
Ho: p = 0.90
Ha: p > 0.90
31
n
pp
pp
Z
oo
o
)1(
00.2
85
)90.01(90.0
90.0965.0
Z
Estadístico de Prueba:
Cálculo del Estadístico de Prueba:
Decisión y conclusión:
Con un nivel de confianza del 95%, el valor
crítico en la distribución Normal, es 1.96.
Se rechazará Ho, si el valor del estadístico
calculado es mayor que 1.96; en caso
contrario no se podrá rechazar Ho.
Conclusión.
Como el estadístico calculado es mayor que
el estadístico crítico, 2.00 mayor que 1.96,
no se puede aceptar la Ho., por lo tanto con
un nivel de confianza del 95% se concluye
que las autoridades tienen razón en cuanto a
la población que no tienen conocimiento
sobre las tres R.
32. Otros casos de Pruebas de
Hipótesis
Las pruebas de hipótesis se pueden
realizar para otros parámetros además
de la media y la proporción, así como
también en más de una muestra.
En cada uno de los casos, se deberá
considerar el Estadístico de Prueba más
apropiado.
32
33. Casos de Pruebas de Hipótesis para Medias
33
Casos de Número
de muestras para
Hipótesis
Una muestra
Tamaño de
muestra
Pequeño (n<30)
Se conoce la
varianza
* Z
Se desconoce la
varianza
* t-student
Grande (n≥30)
Se conoce la
varianza
* Z
Se desconoce la
varianza
*Z o t-student
Dos muestras
Independientes
Varianzas
conocidas
* Z
Varianzas
desconocidas
Varianzas asumen
iguales o No (**)
Dependientes
*T-student
Más de dos
muestras
*ANOVA
• Estadístico de prueba recomendado.
• (**) Se presentan los estadísticos en otra diapositiva
34. Estadísticos para la Comparación
de medias de dos muestras
34
Dos muestras dependientes
𝑡 =
𝑑 − 𝐷
𝑆 𝑑
𝑛
Donde:
𝑑 =
𝑑𝑖
𝑛
;
𝑆 𝑑 =
𝑑𝑖 − 𝑑
𝑛 − 1
Dos muestras independientes
Varianzas conocidas
𝑍 =
𝑋1 − 𝑋2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
35. Pruebas para dos medias de muestras
independientes con varianzas desconocidas
Ver más información en:
https://es.slideshare.net/DarioJara1306/prueba-de-hipotesis-v6-ok
https://www.academia.edu/31449724/UNIVERSIDAD_NACIONAL_ABIERTA_Y_A_DISTANCIA_UNAD_ESCUELA_
DE_CIENCIAS_B%C3%81SICAS_TECNOLOG%C3%8DA_E_INGENIER%C3%8DA 35
Se asumen las varianzas iguales Se asumen las varianzas diferentes
gl: son los grados de libertad para el
estadístico t.
36. Pruebas para comparar dos
proporciones
Tanto la muestra 1 como la muestra 2
deben ser grandes (n1 y n 2 >30) e
independientes.
Estadístico de Prueba:
36
Donde:
a, es el número de
éxitos en la muestra 1,
y
b, es el número de
éxitos en la muestra 2.
