Un Libro con problemas tipo admision para practicar, todos los agradecimientos a @Rubiños, una de las mejores academias para la formacion pre-uni.

1. RAZONESTRIGONOMÉTRICAS
DEUN ÁNGULOAGUDO- I
DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo.
En el triángulo adjunto, tenemos:
A B
C
ab
c
a y c : catetos
b : hipotenusa
B : recto
A y C : s agudos
222
bca
A + C = 90º
A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico;
para Aˆ tenemos:
a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA)
Luego se definen :
b
a
H
COSenA
b
c
H
CA
CosA
c
a
CA
COTanA
a
b
CO
HCscA
c
b
CA
HSecA
a
c
CO
CA
CotA
Por ejemplo:
13
5
12
5
12Cot;
13
12Cos
12
5Tan;
13
5Sen
* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales
conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de
dicho triángulo. Dos de los más usados son :
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.
37º
53º
3
5
4
www
com
.
.
M
atem
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2. A partir de estos se determinarán otros adicionales como:
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 +1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
No olvide además:
30º 37º 45º 53º 60º
Sen
2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
Cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
Tan
3
3
4
3
1
3
4
3
Cot 3
3
4
1
4
3
3
3
Sec
3
32
4
5
2
3
5
2
Csc 2
3
5
2
4
5
3
32
* PROPIEDADES:
I. Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados del
triángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:
A
Q
M
NP B
C
Iguales
AC
BC
Sen
AN
MNSen
AQ
PQ
Sen
II. R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, que
existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estas
parejas son las siguientes:
1CotTan1SecCos1CscSen
Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1 3x - 10º = x + 30º x = 20º
III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudos
de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Esta
característica la vamos a indicar de la siguiente manera:
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com
.
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3. Si: son agudos; tales
que: + = 90º
entonces:
Sen = Cos
Tan = Cot
Sec = Csc
Por ejemplo:
Sen10º = Cos80º
Tan20º = Cot70º
Sec40º = Cos 50º
Cos24º = Sen 66º
Tan = Cot (90º )
Sen( + 10º) = Cos (8 )0º
Si: son agudos; tales
que:
entonces: = 90º
Sen = Cos
Tan = Cot
Sec = Csc
Por ejemplo: hallar "x", si:
Sen (2x + 10º) = Cos3x
2x + 10º + 3x = 90º
5x = 80º x = 16º
Otro ejemplo; hallar "x" si:
Tan (2x + y) = Cot (x - y)
o
2x + y + x y = 90º
3x = 90º x = 30º
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com
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4. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si " " es la medida de un ángulo agudo y se cumple
que:
3
2Tg ; calcular: Cot12Sen13T
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
02. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple
que: 4SenA=7SenB; calcular: TgB42ASen65E 2
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
03. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la
cosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6.
Calcular la longitud del mayor cateto.
a) 20 u b) 30 u c) 40 u
d) 50 u e) 60 u
04. Del gráfico mostrado, calcular: "Cot.Cot"
A
B
C
E
F
a2a
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 3/2
05. Del gráfico mostrado, calcular: "TgwTg" , si: ABCD
es un cuadrado.
A
B C
D
E
2a
3a
w
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
d) 0,4 e) 0,5
06. Del gráfico, calcular: "Cot" , si: 4,2Cot
A
B C
DE
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Del gráfico, calcular: "Tg" , si:
12
5Tgw
w
a) 0,5 b) 1 c) 1,5
d) 2 e) 2,5
08. Calcular:
3
Cos3
6
Sen6
4
Tg4E
a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5
d) 8,5 e) 9,5
09. Calcular:
º45Secº30Tg2
º45Cotº.60Secº.30CotE
22
2
a) 2 b) 2,25 c) 2,5
d) 2,75 e) 3
10. Del gráfico, calcular: Cot
A
O B
E
F
37º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: "Tg"
A
B
C
M 8
N
2
a)
5
3
b)
5
32
c)
7
3
d)
7
32
e)
7
33
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5. 12. Del gráfico mostrado, calcular: Tan11
A
B C
DE
F
45º
37º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Del gráfico mostrado, calcular: "Cotw" .
a
4a
45ºw
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
14. Del gráfico mostrado, calcular: "Tg" , si: ABCD es un
cuadrado.
A
B C
D
E F
37º
a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7
d) 3/5 e) 3/8
15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo,
calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º).
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
16. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1
Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
17. Calcular: E = (3Tg10º+8Cot80º)Cot10º
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
18. Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º)
a) 20 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1
Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.
Calcular: Tgy.Tgx).
3
yx
(Cot).
2
yx
(TgE
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
21. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden
3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dicho
triángulo mide " ".
Halle el valor de: 1Sen17W 2
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5
d) 4,5 e) 5,5
22. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :
3
2
SecB
SecA
Calcular :
CtgB3CosA13E
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
23. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de sus
ángulos agudos es 0,96.
Si su hipotenusa mide 50 m.
Hallar el perímetro de dicho triángulo.
a) 112 m b) 224 m c) 96 m
d) 52 m e) 412 m
24. Calcule el área de la región triangular ABC .
Donde: AC = 36m; si, además
26CscC17CscA
a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2
d) 18 m2 e) 360 m2
25. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m.
Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4.
¿Cuánto mide el cateto menor?
a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m
d) 56,33 m e) 55 m
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6. 26. De la figura, hallar
2
)2Tan(
m
n
2 mn
a) 1 b) 4 c) 2
d) 3 e) 0
27. Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y el
producto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22.
a) 3 m b) 4 m c) 5 m
d) 6 m e) 7 m
28. Del gráfico, calcule : Tan .
Si: BN = 2AN
A N B
C
45º
M
a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6
d) 0,8 e) 0,75
29. Si en el gráfico : AB = BC.
Calcule: Tan
A
B
C
53º
M
a)
9
2
b)
9
4
c)
3
2
d)
3
1
e)
5
2
30. Del gráfico, obtener Tan
M
37º
A
BO
a)
3
4
b)
4
3
c)
4
5
d)
3
2
e)
5
4
31. Si:
1n
Cos2
n2
Tan
n3
Cscf
)x(
Calcular: )2(
f
a) 0
2 b) 1
2 c) 2
2
d) 3
2 e) 0
32. Si en el triángulo ABC, equilátero, M, N y P son puntos
medios de AB, BC y AC, respectivamente.
Además: NQ = 2QP
Calcular:
Tan
Tan5Tan7K
PA C
B
M N
Q
a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 14
33. Si:
2
x y 1)Tanx( 2
3Sen
El valor de "q" es:
xCtg1
xTan1q
2
2
a) 2 b)
3
2
c) 3
d)
2
1
e)
3
1
34. Del gráfico, calcular: Cot
Si: ABCD: cuadrado.
A
B C
D
37º
a) 6 b) 12 c) 9
d) 18 e) 14
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7. 35. Si:
Sen 3x . Cscy = 1
Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º)
Determinar "y - x"
a) 12º b) 18º c) 20º
d) 24º e) 32º
36. Si: Tgx . Tgy = 1
Determinar:
3
yx
2Sec
3
yx
Tan
2
yx
SenE
a)
3
6
b)
6
6
c) 1
d)
3
5
e)
6
2
37. Calcular:
E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)
a) 12 b) 10 c) 8
d) 6 e) 16
38. Calcule el valor de la expresión:
º80Csc...º30Cscº20Cscº10Csc
º80Sec...º30Secº20Secº10Sec
W
a) 1 b) 2 c) 2
d) 3 e) 23
39. Hallar los ángulos agudos y tales que:
)º90(Ctg)º353(Tan
º152
a) 11º y 10º b) 15º y 13º
c) 20º y 17º30' d) 35º y 25º
e) 17º y 16º
40. Siendo:
Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º -
x + y)
Calcule:
K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 e)
3
3
41. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente
con radios R y r.
Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo
formado por la recta tangente a ambas circunferencias
y la recta que une los centros.
a) 2
)rR(
Rr4
b) 2
)rR(
Rr4
c) 2
)rR(
Rr2
d) 2
)rR(
Rr2
e) 2)rR(
Rr
42. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b.
Hallar su área en términos de "m" si:
6
Sen2
3
tSecta 2
3
Cos2
6
tCsctb 2
22
m
4
Tanmt2t
a) 1m2 b)
2
2
2
1m
c)
2
2
2
1m
d)
2
)1m( 22
e) 1m2
43. En la figura, calcular el valor de x, si se cumple la
siguiente condición:
0)3º30(Ctg)º30(Tan
20m
x
a) m210 b) 10 m c) m35
d) 5 m e) m310
44. Una semicircunferencia de radio )31( cm. se divide
en treinta arcos iguales.
Calcular la proyección del arco comprendido entre la
quinta y décima división sobre el diámetro horizontal
en centímetros.
a)
4
1
b)
2
1
c) 1
d)
4
5
e) 2
45. Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajo
un ángulo de 32' y si la distancia del observador a la
superficie de Sol es 150 millones de kilómetros.
Determinar el radio del Sol en millones de kilómetros
sabiendo que:
Sen16' = 0,00465
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com
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8. a) 0,70 b) 0,819 c) 1,395
d) 2,629 e) 1,402
46. En un triángulo isósceles, las medianas trazadas de sus
vértices de ángulos iguales se intersecan
perpendicularmente.
Entonces, el Coseno de uno de los ángulos iguales es:
a)
3
1
b)
2
1
c)
2
3
d)
10
1
e)
32
1
47. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"
en direcciones que forman un ángulo " " uno a
5 km/h y el otro a 12 km/h.
Calcular el Cos sabiendo que al cabo de 1 hora la
distancia desde el punto "P" al punto medio del
segmento que separa ambos autos es de 7 km.
a)
8
5
b)
16
7
c)
80
3
d)
40
9
e)
25
13
48. En el trapecio ABCD : BC // AD.
Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida del
ángulo DADˆC ; el valor de:
K = CscD + CtgD ; es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
49. En un triángulo rectángulo ABC )º90Bˆ( señale el
equivalente de:
1
2
ACotTanA1
2
ATanTanAK
a) ASen2
b) ACos2 c) ATan2
d) ACot2
e) ASec2
50. Si: 3 es un ángulo agudo, tal que:
5
2
3Cot
Calcule: 2Cos6Csc5K
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
51. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros.
Calcule:
Tany
Tanx
Si:
2
EG
3
CEAC
A
B
C
D
E
F
M N
x y
G
a)
66
35
b)
77
65
c)
72
55
d)
11
13
e)
7
5
52. Del gráfico, hallar: Tan
nm
A
B C
D
E F p
a)
mn
pn
b) pn
mn
c)
nm
pm
d) pm
nm
e) np
np
53. Si:
Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º)
2
)y4º100(Sen
)º10y4(Cos)yx(Cos
Calcular:
)º10yx(Cos
y3Sec)º10x(Sec
K
22
a) 4 b) 8 c) 16
d) 24 e) 32
54. Del gráfico, calcular:
Tan5Cot32K
Si: CD se dibuja con centro en "E"
60º
CB
A D
P
Q
E
a) 3 b) 5 c) 7
d) 8 e) 10
www
com
.
.
M
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9. 55. En el cuadrado ABCD; calcular:
Tan9Tan3K
B C
A D
E
8º
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
56. Sabiendo que:
Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1)
Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89º
Calcule:
222
Csc)º5y(Tan)º5x2(SecW
)º5xy(
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 11
57. En el cuadrado ABCD, calcular:
Cos5Cos22W
Si: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD
M
A
B C
D
F
N
E
a) 11 b) 13 c) 64
d) 19 e) 17
58. Sabiendo que:
y2
2
x3Cos)º20yx2(Sen
1y3
4
x
Tany3
2
x
Tan
Calcule:
y3Csc)yx(CscW 22
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 5
59. Del gráfico calcular:
)1Csc)(1Csc)(1Csc)(1Csc(W
O1 O2 O3
a) 4 b) 9 c) 16
d) 81 e) 100
60. Del gráfico calcule:
CosCos)1Sec)(1Sec(W
Siendo "A" centro del arco BD.
D T
O
A C
B
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e)
2
3
www
com
.
.
M
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10. ClavesClaves
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
e
d
e
c
b
e
c
d
b
b
d
c
b
c
c
a
b
c
e
c
c
e
a
a
d
d
c
e
b
e
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
c
d
e
b
d
a
a
a
e
d
a
d
b
c
a
d
d
d
e
c
b
a
c
e
d
d
e
c
c
c
www
com
.
.
M
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11. Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DEUN ÁNGULOAGUDO- II2* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo
rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
conocido).(T.R
conocidoLado
odesconocidLado
Casos:
1 .
A B
C
L
BCTan
L
BC
AC
L
AC
I)
II)
2 .
A B
C
L
ABCot
L
AB
AC
L
AC
I)
II)
3 .
A B
C
L BCSen
L
BC
L
AB
I)
II)
www
com
.
.
M
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12. * SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las
medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.
a
b
c
A
B
C
h
2
hbSABC
2
aSenCbSABC
Sabemos:
pero: h = aSenC
luego:
SenC
2
ab
SABC
SenB
2
acSABC SenA
2
bc
SABC
Análogamente
www
com
.
.
M
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atica1

13. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:
K
a) Cos.SenK2 b) Cos.Sen)2/K( 2
c) Cos.Sen)3/K( 2 d) Cos.Sen)4/K( 2
e) Cos.Sen)5/K( 2
02. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se sabe que
los ángulos congruentes miden " " mientras que el
lado desigual mide "L". Hallar uno de los lados
congruentes.
a) Sec
2
L
b) Csc
2
L
c) Tg
2
L
d) Ctg
2
L
e) Cos
2
L
03. Obtener "x", en:
m
a) mSen b) mCos c) mSec
d) mCsc e) mTg
04. Obtener "x"
A
B
O
R
H
x
a) )Sen1(R b) )1Sec(R
c) )Cos1(R d) )1Csc(R
e) )Tg1(R
05. En la figura, halla "x".
A
B
C
m n
x
a) nCosmSen b) nCosmCos
c) nSenmCos d) nSecmSec
e) nSecmSen
06. Halla "x" en:
A C
B
D
x
m
a) TgmSec b) CscmCos
c) CtgmCos d) CosmSen
e) mTg
07. Halla "x":
m
x
a) Cot.mSen b) Tan.mSen
c) Sen.mSen d) Cot.mCos
e) Tan.mCos
08. Hallar "x":
B
A
D
HCm
x
a)
2
mSen b)
2
mCos
c) CosmSen d) TgmSen
e) CscmSec
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com
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M
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14. 09. Hallar "x", de la figura:
x
m
a) Cos.mSen b) Cos.Sen
c) mSen d) mCos
e) mTg
10. Del gráfico, hallar: AC .
B
C A
m n
x y
a) mSenx+nSeny b) mCosx+nSeny
c) nSenx+mCosy d) mCosx+nCosy
e) mSeny+nCosx
11. Del gráfico, hallar "x", si: ABCD es cuadrado.
A B
CD
x
m
a) )Sen1(m b) )Cos1(m
c) )Tg1(m d) )Ctg1(m
e) )CtgTg(m
12. Obtener "AB":
A
C
B
R
O
a) )CtgCsc(R b) )Ctg1(R
c) )Csc1(R d) )Sen1(R
e) 2R+1
13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB.
A B
O
R
x
a) RSen b) RCos
c) )Sen1(R d) )Cos1(R
e) )Cos21(R
14. Hallar "x".
m
x
a) SenmSen b) CosmSen
c) CosmCos d) SenmCos
e) CtgmTg
15. Hallar la distancia mínima del punto "P" a la
circunferencia:
P
2
R
a) RCsc b) )1Csc(R
c) )1Tg(R d) )1Ctg(R
e) )1Csc(R
16. Determine "x" en:
A
C
BD
m
x
a) Cos.mSen b) Sec.mSen
c) Ctg.mSen d) Ctg.mCos
e) Tg.mCos
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com
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M
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15. 17. Hallar "x".
A
B
C
D
a
b
x
a) aCosSen b) CosbSen
c) aCosbSen d) bCosaSen
e) bTgaSec
18. Determine el perímetro del triángulo ABC.
A
B
C
m
a) )CosSen1(m
b) )TgSec1(m
c) )CtgCsc1(m
d) )CscSec1(m
e) )CtgTg1(m
19. Hallar: "x" en:
m
x
a) CosmCtg b) Cos.mTg
c) SenmTg d) mTg
e) mSen
20. Del gráfico, hallar: "Ctgx".
x
a)
Sen
CosSec2
b)
Sen
CosSen
c)
Sen
CosSec
d)
Cos
SenCsc
e)
Sen
CosSec
21. Del gráfico, determine "x".
m
x
a) Senm b) Cosm c) Secm
d) Cscm e) Tanm
22. Determinar CD .
A
B
C D
m
a) SenmTan b) CosmCtg
c) CosmTan d) CscmTan
e) SenmCtg
23. Del gráfico, hallar "x".
m
45°
x
a)
1Tan
m
b) 1Ctg
m
c) Ctg1
m
d)
Tan1
m
e) )Tan1(m
24. Determine "x" en :
m x
a) SenSenm b) CosSenm
c) SecSenm d) SecCosm
e) SenCosm
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com
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M
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16. 25. Determine "x" en:
m
x
a) 2
Secm b) 2
Cosm
c) 2
Senm d) 2
Cscm
e) CscSecm
26. Si ABCD es un cuadrado, determine "x".
A
B
C
D
x
L
a) 2
SenL b) 2
CosL
c) )CosSen(L d) CosSenL 2
e) 2
CosSenL
27. Del gráfico, hallar "x":
m
x
a) )1Sec(m 2 b) )1Csc(m 2
c) )1Tan(m
2 d) )1Ctg(m 2
e) )CtgTan(m
22
28. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado.
n
A B
CD
x
a) nSen b) nCos c) CscnTan
d) nCsc e) nCtg
29. Del gráfico, hallar: ED.
A B
C
D
E m
a) mCtg b) mSec c) 2mSec
d) 2mCtg e) 2mTan
30. En el gráfico, hallar MP, en términos de " " y " "; " "
y " ".
M
N
R P
b
a
a) Sec)Cosba( b) Csc)Cosba(
c) Ctg)Tanba( d) Tan)bSeca(
e) Csc)bSena(
31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y el
cateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx es
igual a:
a) 2TanC b) TanB + TanC
c) 2TanB d) TanC + CtgC
e) 2(TanC + TanB)
32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al área
del triángulo ABC.
El valor de será:
A B
C
D
a)
2
1
ArcTan b)
2
1ArcCtg
c)
2
1ArcTan d)
2
1
ArcCtg
e) 2ArcTan
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com
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17. 33. En la región limitada por una circunferencia de radio R
y dos tangentes a ésta; se quiere inscribir otra
circunferencia (de radio menor que R). Si las tangentes
se intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A qué
distancia de la intersección de éstas, debe encontrarse
el centro de la circunferencia inscrita?
a)
Sena1
Sena1
Sena
R b)
Sena1
Sena1
Sena
R
c) Sena1
R
Sena d) Sena1
Sena
R
e) Sena1
Sena
R
34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, y,
O A
B
C
OA = x
AC = y
a) ySenxCosOB
yCosxSenBC
b) ySenxCosOB
xCosySenBC
c) ySenxCosOB
yCosxSenBC
d) ySenxCosOB
xSenyCosBC
e) ySenxCosOB
yCosxSenBC
35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la
circunferencia de centro O, ARD ; AB//RS , AB=a.
Hallar el radio de la circunferencia.
O
A
B C
D
S
R
a) Cos2a b)
Cos2
a
c)
Sen2
a
d) aSen
e) Cos
2
1a
36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los
triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego Sen
es:
A B
CD
E
F
a)
6
53
b)
6
53
c)
6
53
d)
6
53
e)
6
53
37. En la figura mostrada, son conocidos: , y h.
Entonces los valores de x e y son dados por:
y
h
x
a)
TanTan
Tanhy;
TanTan
hx
22
b)
TanTan
Tanhy;
TanTan
hx
c) 22
22
22
2
TanTan
Tanh
y;
TanTan
h
x
d) 2
22
2
2
)TanTan(
Tanhy;
)TanTan(
hx
e) TanTanhy;TanhTanx 2
38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si:
AB = 3 y
16
27AC
x
y
A
B
C
a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29
d) 4,19 e) 3,19
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18. 39. De la figura hallar:
nzCtgxTanyTa
Tany3Tanz6
F
y
z
k
k
x
a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30
d) 3,00 e) 3,20
40. En un triángulo rectángulo BAC, se cumple que
4
2
CosBCosC .
Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que
esta mide m26 .
a) m2 b) m3 c) 3 m
d) m5 e) m7
41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 2
m64 y
tal que PC = BP'.
Hallar: AM
Si: AP = 6 m
M
P
P'
A B
C D
O6m
a) m512 b) m3
5
12
c) m3
5
16
d) m5
5
12
e) m312
42. En la siguiente figura, G es el baricentro del triángulo
ABC, AD = BD y 3CosSen3
Hallar la tangente del ángulo DCG.
G
A
B
CD
a) 3 b)
3
2
c)
3
1
d)
2
3
e)
2
1
43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx Ctgy
Si: AB = AD = 1 ; DC = 2
DA
B
C
x
y
a)
2
1
b)
3
1
c) 2
d)
4
1
e) 1
44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra el
globo respecto del lago?
H
Lago
Imagen
Globo
a) 2HCos b) 2HSen
c) 2HSec d) 2HCsc
e) 2HCtg
45. En la figura: DC = 2AB = 2.
Calcular el área del triángulo EFG.
G
A
B
E
F C
D
a) Tan
18
1
b) Ctg
45
2
c) Tan
45
2
d) )CtgTan(
18
1
e) )CtgTan(
9
1
46. En un sector circular, cuyo ángulo central es , está
inscrito un cuadrado de lado L.
El radio de la circunferencia correspondiente es:
a)
2
1
2 5
2
Ctg
2
Ctg
2
L
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M
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19. b)
2
1
2 5
2
Ctg2
2
Ctg
2
L
c)
2
1
2 5
2
Ctg4
2
Ctg
2
L
d) 2
2
Ctg
2
L
e)
2
1
2
2
Ctg
2
L
47. Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el lado
AC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la bisectriz
de longitud w relativa al vértice B.
Hallar el área del triángulo ABC.
a)
3
CACos
3
wb
b)
2
CACos
2
wb
c)
2
CACos
3
wb
d)
3
CACos
2
wb
e)
4
CACos
2
wb
48. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ángulos ABC
y BCD miden
6
5
y
4
3
, respectivamente.
Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangente
a los tres segmentos de la poligonal si cumple que :
m
8
3Ctg
12
5Ctg y BC = n
a)
m
n2
b)
m
n
c)
m2
n
d)
mn
mn
e) nm
49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KH
es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo
equilátero de lado 6.
Hallar el radio R.
R
K N H T
S
2
L
a)
4
Ctg32 b)
4
Tan32
c)
3
Tan32 d)
4
Tan34
e)
3
Ctg32
50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD con
uno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyo
lado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DM
divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio
cuyas áreas están en la relación de 1 : 4.
Calcule la tangente del ángulo MDC.
M
A B
CD
a)
4
1
b)
5
2
c)
3
1
d)
4
3
e)
5
3
51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazan
dos circunferencias, la primera de radio r que es
tangente a todos los lados del polígono, y la segunda
de radio R que pasa por todos sus vértices.
El valor de la razón
R
r
es :
a)
n
Sen b)
n2
Sen c)
n
2Sen
d)
n
Sen
2
1 e)
n
Cos
52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden 22 ,
está inscrito en una circunferencia.
Calcular la distancia del punto Q al punto medio del
arco MN.
a) 5,0 b) 1 c) 5,1
d) 2 e)
2
2
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M
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20. 53. En la siguiente figura:
A
B
C
c
r
O
La relación 2
2
c
r4
es equivalente a:
a)
2
Cos12 b) Cos12
c) Sen12 d)
2
Cos12
e) )Sen-)(1Cos-1(2
54. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto
medio del lado AB.
Determine Csc
A B
C D
Q
a) 2 b)
4
5
c) 3
d) 4 e) 52
55. En la figura, hallar "x":
k
x
a) SenkSec5 b) TankSec
6
c) 7
SeckCtg d) 6
CoskTan
e) CoskSec5
56. En el cuadrado ABCD, las áreas de los triángulos OAP,
PDC y CBO son iguales.
Luego Csc es:
A B
C D
O
P
a) 53
6
b) 35
6
c)
53
6
d) 53
6
e)
53
6
57. En la figura hallar el valor de "h" en función de , y
. Si : c , Aˆ , Bˆ
h
A B
C
D
a)
CtgCtg
b)
TanTan
c)
SenSen
Sen
d) CtgCtg
e)
SenCos
58.En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el
cateto BA forman un ángulo agudo . Entonces, Tg
es:
a) 2 TanA b) 2 CtgA
c) 2TanC d) TanA + TgC
e) 2(TanC + CtgA)
59. En la semicircunferencia mostrada, halle:
2Sen
2SenK
1
3
A B
C
Q
O P
a) 2 b) 3 c) 4
d)
4
1
e)
3
1
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M
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21. 60. Del gráfico, hallar Tan
Si:
n
PB
m
AP
M
A
O B
P N
a) )nm2(n
m
b) )nm2(m
n
c) )mn2(m
n
d)
mn2
nm2
e)
nm2
mn2
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M
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22. ClavesClaves
b
a
c
c
b
d
a
a
a
d
c
c
d
b
b
c
c
c
c
a
b
e
b
c
d
c
d
c
d
e
a
a
c
b
d
b
e
b
b
d
c
d
c
a
c
b
b
b
b
b
e
b
e
b
b
d
a
a
c
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
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23. ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira)
y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos de
elevación y ángulos de depresión.
(ver gráficos).
Línea Horizontal
h
: Ángulo de Elevación
H
Línea Horizontal
: Ángulo de Depresión
Consideración: En el gráfico adjunto, " " es
el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note
que deben trazarse las dos visuales; una hacia
la parte alta y la otra hacia la parte baja.
Luego " " es el ángulo formado por las dos
visuales.
ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica.
Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto;
respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones :
AB
C
P
Referencia
Oeste (O) Este (E)
Norte (N)
Sur (S)
42º
40º 30º
Note que dichas direcciones en este caso para A;
B y C; forman con los ejes principales ciertos
ángulos; con quienes se van a denotar dichas
direcciones.
Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P"
"B" se halla al O40ºN de "P"
"C" se halla al S42ºO de "P"
Capítulo
ÁNGULOS VERTICALES
ÁNGULOS HORIZONTALES3
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24. Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van
a denotar dichas direcciones.
Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P" .
"B" se halla al O40ºN de "P" .
"C" se halla al S42ºO de "P" .
30º 66º
24º
10º
Q
N
P
EO
S
S
R
R""deNE66ºalEstá
R""deEN24ºalEstá
P
R""dealEstá
R""deNO30ºalEstá
Q
R""dealEstá
R""deES10ºalEstá
S
Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejes
principales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y usted
concluye los restantes por analogía.
E E
EE
O O
OO
S S
S S
N N
N N
NE
4
1N
NNE
N
4
1NE
NE
E
4
1NE
ENE
NE
4
1E
En cualquiera de los casos : '15º11 ó rad
16
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M
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25. SITUACIONES COMBINADAS
Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales
(uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir,
ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación:
"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Si luego nos desplazamos
hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte más alta sería " ". Ahora, note la
representación gráfica:
60º
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M
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26. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificio
con ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m,
determinar la altura de edificio.
a) 3 m b) 12 c) 15
d) 18 e) 24
02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de un
poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la altura
del poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla la
persona?
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) 32
03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisa
su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 24 b) 36 c) 32
d) 42 e) 48
04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del
poste es de 30 m. ¿A qué distancia del poste se
encuentra el punto de observación?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte
alta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulos
de elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte
alta y baja un poste con ángulos de elevación y
depresión 60º y 30º respectivamente. Determine la
altura del poste.
a) 15 m b) 24 c) 30
d) 36 e) 48
07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con
un ángulo de elevación " " (Tg =1/4). ¿A qué
distancia de la torre se halla el punto de observación, si
la altura de la torre es 7 m?
a) 14 b) 28 c) 56
d) 21 e) N.A.
08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos
una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de
elevación es " ". Calcular: "Tg ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve su
parte más alta con un ángulo de elevación de 53º.
Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo de
elevación para su parte más alta es " ". Calcular:
"Ctg ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
10. Una hormiga observa la copa de un árbol con un
ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m y
observa el mismo punto con un ángulo de elevación
de 53º. Calcular la altura del árbol.
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo alto
de un poste con ángulos de elevación 53º y
5
2Tg . Si el poste se encuentra entre los dos
puntos. Determine su altura.
a) 12 m b) 16 c) 18
d) 9 e) 11
12. Se observa un poste con ángulo de elevación " " nos
acercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si la
altura de poste es "2 L". Determinar: Tg .
a) 1/3 b) 2/3 c) 1
d) 1/2 e) 3/2
13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa un
automóvil con ángulo con ángulo de depresión " "
3
1Tg . Luego se observa una señal más cerca del
edificio con ángulo de depresión 45º. Determine la
distancia entre la señal y el automóvil.
a) 12 m b) 18 c) 24
d) 36 e) 10
14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ángulo de elevación de 45º, y desde otro punto
ubicado en la mitad de la distancia que hay entre el
primer punto y el poste, el ángulo de elevación es " ".
Calcular: "Tg ".
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 16
15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisa
su parte más alta con un ángulo de elevación " "
(Tg =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la
altura de la torre, el ángulo de elevación es " ".
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27. Calcular: "Ctg ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
16. Desde las partes superiores del primero, segundo y
tercer piso de un edificio se observa lo alto de otro
edificio con ángulos de elevación , , , respectiva-
mente. Si: Tg -Tg = 0,1 y Tg =2,7. ¿Cuántos pisos
tiene el segundo edificio?
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un punto
en tierra con un ángulo de depresión de 45º. Cuánto
mide cada piso del edificio, si el punto observado se
halla a 24 m del mismo?
a) 2 b) 2,5 c) 3
d) 3,5 e) 4
18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 m
de altura, se divisa su parte más alta con un ángulo de
elevación de 53º. Señale la distancia de un punto a la
base del edificio.
a) 20 b) 21 c) 35
d) 32 e) 49
19. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 m
de altura se observa que el ángulo de depresión de un
bote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta el
barco.
a) 48 b) 48 3 c) 12
d) 24 e) 6 3
20. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta
de una torre con un ángulo de elevación de 45º, el
mismo punto es observado desde la parte más alta del
poste con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la
longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre
es de 120 m.
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con
un ángulo de elevación " " )
6
1Tan( ; y si nos
acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º.
¿Cuál es la altura del poste?
a) 5 m b) 6 m c) 4 m
d) 8 m e) 12 m
22. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidad
de 4 m/min; y en un primer momento, observa su parte
más alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torre
mide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo de
elevación tiene como tangente 8?
a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 min
d) 1h 18 min e) 58 min
23. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulo
de elevación , y su padre observa sus pies con un
ángulo de depresión )º90( .
Obtener la relación entre sus alturas.
a) 2
Tan1 b) 2
Tan1
c) 2
Cot1 d) 2
Cot1
e) 1Tan2
24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyas
partes alta y baja son vistas desde un punto de la
superficie horizontal con ángulos de elevación " " y
" ", respectivamente )Tan4Tan3( . La altura del
acantilado es de 212,31 m.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 m
c) 159,2325 m d) 70,77 m
e) 35,385 m
25. Subiendo por un camino inclinado, de ángulo " "
respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torre
con un ángulo de elevación " 2 "; verificándose que la
torre mide 3 m y la visual 7 m.
¿Cuál es el valor de " Tan "?
a)
7
3
b
7
6
c)
14
3
d)
7
4
e)
7
2
26. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de una
torre de 24 m de altura, se ve su parte más alta con
ángulo de elevación de 45º y 37º respectivamente.
¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación?
a) 32 m b) 36 m c) 56 m
d) 48 m e) 40 m
27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste,
se divisa su parte más alta con ángulos de elevación
" " y " º90 ", respectivamente. Si la distancia entre
los puntos de observación es el doble de la altura del
poste, calcular: CotTanP
a) 3 b) 32 c) 6
d) 62 e) 23
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28. 28. El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de
60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observador
a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es
aproximadamente.
a) 72 m b) m373 c) 71 m
d) 73 m e) m372
29. Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de la
parte más alta de un campanario es 45º. Desde la parte
superior del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo de
elevación es de 30º.
¿Cuál es la altura del campanario?
a)
2
39
b)
21
27
c)
13
35
d)
13
39
e)
13
39
30. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, la
misma que se mantiene tensa y haciendo un ángulo
con la horizontal. A 120 m detrás del niño hay un
hombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m de
altura, el hombre la observa con un ángulo respecto
a la horizontal.
¿A cuántos metros de altura se encontrará la cometa
para que sea observada por el hombre con un ángulo
2 ?
Considere :
3
1Tg
a)
23
637
b)
17
1285
c)
13
1080
d)
19
1561
e)
13
637
31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un
determinado instante, el faro es observado por el
tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de
12
. Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar,,
encontrando esta vez un ángulo de
6
.
Encuentre la altura del faro (desprecie la altura del
tripulante que hizo la observación)
a) 10 m b) 15 m c) 12 m
d) 14 m e) 18 m
32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvil
con un ángulo de depresión de 37º. Dicho automóvil
se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza
28 m acercándose al edificio es observado con un
ángulo de depresión de 53º. Si desde esta posición
tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular la
velocidad del automovil.
a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s
d) 12 m/s e) 4 m/s
33. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180
km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierra
con un ángulo de depresión de 30º. Dos minutos
después, estando sobre la señal, el piloto observa a
una distancia de 1000 metros un aerostato con un
ángulo de elevación de 60º.
¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante?
a) km32 b) km35,2 c) km33
d) km35,3 e) km34
34. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en
el mismo sentido. En la primera observación desde el
barco se ve al avión adelante con un ángulo de
elevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar.
En la segunda observación se le ve con un ángulo de
37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco.
Calcular la cotangente del ángulo con la que el avión
en la segunda posición observa la boya.
a)
12
17
b)
11
15
c)
17
11
d)
4
3
e)
7
5
35. Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo.
Desde uno de ellos se observa el extremo superior de
un poste con un ángulo de elevación y desde otro
punto se observa el punto medio del poste con un
ángulo de elevación . Si la suma de las distancias del
poste a cada uno de los puntos es d, calcular la altura
del poste.
a) dTan2dTan b) CtgCtg2
d2
c) dCtgdCtg2 d) TanTan2
d2
e) )Tan2Tan(d
36. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"
en direcciones que forman un ángulo " " uno a
5 km/h y el otro a 12 km/h.
Calcular el Cos sabiendo que al cabo de una hora la
distancia desde el punto "P" al punto medio del
segmento que separa ambos autos es de 7 km.
a)
8
5
b)
16
7
c)
80
3
d)
40
9
e)
25
13
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29. 37. Un niño de estatura "h" está parado sobre la banca y
observa los ojos de su padre; de estatura "H", con un
ángulo de elevación " " y sus pies con un ángulo de
depresión " ". Si el padre divisa los pies de su hijo
con un ángulo de depresión " ".
Hallar:
h
H
a)
TanTan
TanTan
b)
TanTan
TanTan
c)
TanTan
TanTan
d) TanTan
TanTan
e)
TanTan
TanTan
38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de
9, se ve un momento de menor altura, con un ángulo
de elevación "x", su parte más alta y un ángulo de
depresión "y" su base. Si desde lo alto del edificio, la
tangente del ángulo de depresión con la que se ve la
base del monumento, es sextuplo de la tangente del
ángulo con que se ve la parte más alta.
Calcular: E= 4Coty· Tanx
a) 2 b) 4 c) 5
d) 8 e) 6
39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra,
a un mismo lado, con ángulos de depresión , 45º y
º90 )º45( . Si el punto intermedio dista del
más alejado, el doble del más cercano, calcular:
2
CotTan6N
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
40. Un poste, una persona y una torre están ubicados del
modo que se mencionan y sus alturas están en la
proporción 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa lo
alto de la persona con un ángulo de depresión " ";
mientras que la persona divisa lo alto de la torre con un
ángulo de elevación , desde lo alto de la torre se ve
la base del poste con un ángulo de depresión " ". Si
se verifica que:
nCotmCotCot
Calcular: K = m + 2n
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos en
la superficie horizontal A, B y C, perfectamente
alineados; desde los cuales se ve "Q" con ángulos de
elevación , y respectivamente. Si BP es bisectriz
del ángulo CPˆA que mide 60º, calcular:
Tan
TanTanJ
a) 2 b) 32 c) 3
d) 3 e)
3
3
42. Desde la parte más alta de un árbol de 5 metros de
altura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros de
altura con ángulos de depresión y )º90( , si estos
están al Este y al Sur del árbol más alto, respectivamente.
Calcular: " Tan ", si además desde la parte más alta del
árbol más pequeño, se observa la parte más alta del
árbol de 4 metros con un ángulo de elevación de
)º90(
a) 4 2
1
b)
2
1
c) 4 2
d) 2 e) 22
43. Un barco se encuentra al Sur de un helicóptero, el barco
permanece inmóvil; pero el helicóptero avanza cierta
distancia hacia el Este. Desde el barco se observa al
helicóptero en la segunda posición con un ángulo de
elevación " ". Si el ángulo de elevación en la primera
posición es de 45º y el helicóptero avanzó 2km, calcular
" ", si además el helicóptero se encuentra a una altura
de km2 .
a)
2
1ArcTan b)
3
1ArcTan
c)
4
3ArcTan d) 30º
e) 45º
44. Se tienen tres puntos en tierra A, B y C (AB = BC); y un
poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del triángulo ABC),
desde los cuales se ve lo alto del poste con ángulos de
elevación , y respectivamente.
Si : yCQˆBxBQˆA
Señale el equivalente de:
22 CotCot
CosyCotCosxCot
J
a) Tan b) Tan2 c) Cot2
d) Cot
2
1
e) Tan
2
1
45. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a
m218 de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio
en la dirección E37ºS.
Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio,
si Lucio se encuentra al Este de Luciano.
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30. a) 41 m b) 40 m c) 24 m
d) 18 m e) 42 m
46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C"
en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente.
Además desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a una
distancia de 173 km.
¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?
a) 100 km b) 200 km c) 150 km
d) 273 km e) 300 km
47. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor ángulo
formado por las direcciones N20ºE y S80ºO?
a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºO
d) N40ºO e) N50ºO
48. Calcular el menor ángulo que forman la bisectriz de SO
y S
4
1SO con la bisectriz de SE y S
4
1SE
a) 50º b) 78º45' c) 77º
d) 67º30' e) 90º
49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyas
partes alta y baja son vistas desde un punto de la
superficie horizontal con ángulos de elevación " " y
" " respectivamente )Tan4Tan3( . La altura del
acantilado es de 212,31 m.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 m
c) 159,2325 m d) 70,77 m
e) 35,385 m
50. Una persona camina 25 (aprox.) al norte de su casa,
luego 13 m en la dirección ES , si ahora se encuentra
en la dirección NE de su casa.
Hallar: Csc
a)
5
13
b)
17
213
c)
13
17
d)
13
210
e)
17
13
51. Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte de
una torre, se observa la parte más alta de ésta con
ángulos de elevación y , respectivamente; y desde
el punto medio de AB, el ángulo de elevación es " ".
Calcular: CotTan
a)
2
3
b) 1 c) 3
d) 2 e) 32
52. Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevación
que tiene en la mano derecha es de 21º y la cuerda
mide "a" metros. El ángulo de elevación del globo que
sostiene en la mano izquierda es de 24º y la cuerda
mide 2a metros.
¿Cuál es la distancia que hay entre los globos?
a) )21( a metros b) )22( a metros
c) 5a2 a metros d) 5a a metros
e) a)52( metros
53. "Moshé" divisa los ojos de su padre con un ángulo de
elevación " " y sus pies con un ángulo de depresión
" "; mientras que su padre divisa los pies de "Moshé"
con un ángulo de depresión " ". Sabiendo que las
estaturas de "Moshé" y su padre son "h" y "H"
respectivamente, señale el equivalente de:
H
h
h
HJ
a) 2Cot
CotCot
b)
CotCot
Cot2
c)
Cot
CotCot
d) CotCot
Cot
e)
Tan
TanTan
54. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de un poste,
con un ángulo de elevación de 10º. Nos acercamos
una distancia " 1
d " y el ángulo de elevación es de 40º;
y si nos desplazamos una distancia " 2
d " hasta
ubicarnos al otro lado del poste, el ángulo de elevación
es de 20º.
Calcular:
2
1
d
d
(Sug. Cos10º = 0,9848)
a) 1,137 b) 1,232 c) 1,321
d) 0,957 e) 0,352
55. Un observador divisa un poste vertical bajo un ángulo
" " notando que sus visuales son iguales. Se acerca
una distancia igual a las dos terceras partes de la
distancia que inicialmente lo separaba del poste y divisa
a éste. ahora bajo un ángulo " ".
Calcular "n" en la igualdad.
2
Sen
2
nSen
Sen
Sen
2
2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
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31. 56. Una persona camina, por un camino inclinado que
forma un ángulo "x" con la horizontal y observa la parte
superior de una torre con un ángulo de inclinación
"2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces la
altura de la torre, observa nuevamente su parte superior
con un ángulo de elevación de "3x".
Calcular: E = Cscx - 15
a) 10 b) 20 c) 12
d) 15 e) 25
57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados en
lados opuestos de ella. Desde "A" se divisa un punto
de la torre con un ángulo de elevación " "; notándose
que la distancia de dicho punto observado a lo alto de
la torre es igual a la visual trazada para dicha
observación; mientras que, desde "B", se divisa un punto
ubicado 1 m, más abajo que al anterior con un ángulo
de elevación " " . Notándose que la visual trazada es
igual a la distancia del nuevo punto observado a lo alto
de la torre, hallar la altura de la torre.
a)
TanTan
)1Tan)(1Tan(
b)
SenSen
)1Sen)(1Sen(
c)
SenSen
)Sen1)(Sen1(
d)
CosCos
)1Cos)(1Cos(
e)
TanTan
)1Tan)(1Tan(
58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, C
y D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso)
con ángulos de elevación , , y respectiva-
mente.
Si: º10DQˆCCQˆBBQˆA y
173648,0º10Sen .
Calcular:
Tan
Tan
Tan
Tan
TanTan
TanTan
J
a) 1,1983 b) 2,2343 c) 1,7124
d) 2,5783 e) 2,8794
59. Desde un punto del suelo, ubicado al O30ºS de una
torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de
elevación 53º. De esta ubicación nos desplazamos al
S30ºE hasta ubicarnos al Sur de la torre. Observaríamos
su parte más alta con un ángulo de elevación " ".
Calcular: Tan
a)
3
1
b)
3
2
c)
4
3
d)
2
3
e)
4
1
60.Un reflector situado al ras del suelo ilumina un
monumento bajo un ángulo de 30º. Si trasladamos el
reflector 2 m más cerca del monumento, éste se ve bajo
un ángulo de 45º.
¿Cuál es la altura (y) del monumento y cuál es su
distancia (x) al segundo lugar de iluminación?
a)
33
32
x;
33
32
y
b)
33
32
x;
33
32
y
c)
33
32
x;
33
32
y
d)
33
32
x;
33
32
y
e) 33x;33y
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32. ClavesClaves
d
a
c
d
e
b
b
c
a
b
b
b
c
a
d
b
c
e
b
d
b
e
b
b
a
e
c
b
d
c
e
b
b
a
b
c
b
e
d
c
c
c
d
e
e
b
d
b
d
b
c
d
c
a
c
d
b
e
b
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
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33. Capítulo
SISTEMA COORDENADORECTANGULAR
4
SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR
Denominado también cartesiano, en honor al matemático René Descartes (1596-1650).
Se determina trazando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en un punto "O" y divide al plano en
cuatro semiplanos denominados cuadrantes.
* La recta horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas.
* La recta vertical se llama eje "y" o eje de ordenadas.
* El punto "O" se denomina origen de coordenadas.
Cuadrante II Cuadrante I
Cuadrante III Cuadrante IV
y
xO (0;0)
y
1
x
1
y
2
x
2
Q( ;y )x
2 2
P( ;y )x
1 1
Distancia entre dos puntos del plano cartesiano
Sean )y;x(P 111
y )y;x(P 222
dos puntos del
plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre
los puntos 1
P y 2
P está dada por:
2
12
2
12 )yy()xx(d
d
P ( ;y )x
1 11
P ( ;y )x
2 22
y
2
y
1
x
1
x
2 x
y
* Radio Vector
Es la distancia del origen de coordenadas a un punto
cualquiera del plano cartesiano.
Si: )y;x(P 00
es un punto del plano cartesiano el radio
vector se calcula así:
2
0
2
0
yxr
y0
x
y
x
0
r
P( ;y )x
0 0
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34. División de un segmento en una razón dada:
Sea )y;x(P 000
un punto cualquiera sobre un segmento de
extremos )y;x(P 111
y )y;x(P 222
tal que:
)razón(
b
a
PP
PP
20
01
Las coordenadas de 0
P son:
ba
byay
y
ba
bxax
x 12
0
12
0
Punto Medio de un Segmento
Las coordenadas del punto medio M del segmento de
extremos )y;x(P 111 y )y;x(P 222
se calcula así:
y
2
xx
x
0
21
0
2
yy 21
Coordenadas del baricentro de un triángulo:
En el triángulo cuyos vértices son )y;x(A
11
; )y;x(B
22
y
)y;x(C
33
, las coordenadas del baricentro están dadas por:
3
yyy
;
3
xxx
G 321321
G: baricentro
x
y
a
b
P ( ;y )x
0 00
P ( ;y )x
1 11
P ( ;y )x
2 22
x
y
M( ;y )x
0 0
P ( ;y )
1 1 1
x
P ( ;y )
2 2 2
x
x
y
G
A( ;y )x1 1
B( ;y )x
2 2
C( ;y )x
3 3
Área de una región triangular:
Para calcular el área "S" de una región triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos el sentido
antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se
indica.
x
y
A( ;y )x
1 1
B( ;y )x
2 2
C( ;y )x
3 3
S
A
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
B
yx
yx
yx
13
32
21
11
33
22
11
31
23
12
Luego :
2
BA
S
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35. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Determine el radio vector de (2,-3).
a) 5 b) 11 c) 13
d) 17 e) 19
02. Determinar el radio vector de )7,2(
a) 3 b) 10 c) 3
d) 4 e) 5
03. Determinar el radio vector del punto medio del
segmento formado al unir los puntos (3,1) y (7,9).
a) 5 b) 2 5 c) 5 2
d) 10 e) 15
04. Si: (-1,2) es el punto medio del segmento formado al
unir los puntos, (-3,-1) y (a,b). Determinar: "a+b".
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
05. Del gráfico, calcular: "d".
d
(3,5)
(5,2)
(-11,1)
a) 37 b) 41 c) 53
d) 61 e) 82
06. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (-7,3) y
(-1,-5), determine su perímetro.
a) 60 b) 40 c) 20
d) 12 3 e) 15 2
07. Se tiene una circunferencia de centro (-3,7) que pasa
por (2,-5), determinar su diámetro.
a) 13 b) 15 c) 26
d) 30 e) 35
08. Si: (4,2) es el punto medio del segmento formado al
unir los puntos (a,-3) y (5,b). Determinar: abE
a) 2 b) 3 c) 2
d) 3 e) 5
09. Determine el producto de las coordenadas del punto
del segmento formado al unir los puntos (-7,3) y (1,5).
a) 6 b) -6 c) 12
d) -12 e) 15
10. Al unir los puntos A(-5,1), B(-1,7) y C(5,-1). Se forma
un triángulo ABC. Determine la longitud de la mediana
AM , (M en BC ).
a) 47 b) 51 c) 53
d) 57 e) 61
11. Determine las coordenadas del baricentro de un
triángulo que se forma al unir los puntos. A(-1,5); B(3,9)
y C(7,1).
a) (3,2) b) (-7,3) c) (3,5)
d) (5,3) e) (-3,5)
12. En el gráfico, hallar "x+y":
A(-2;3)
B(10;6)
K
2K
P
a) (2,3) b) (2,4) c) (1,3)
d) (-1,2) e) (-2,4)
13. Según el gráfico, halle "p":
2S 3S
A(1;9)
B(-2;5) C(8;10)
a) (1,8) b) (2,7) c) (3,5)
d) (3,7) e) (4,6)
14. Los vértices de un triángulo son A(3,1); B(9,1) y C(3,7).
Determine su área.
a) 36 2
b) 18 2
c) 24 2
d) 16 2
e) 9 2
15. Los vértices de un triángulo son A(1;2), B(3;6) y
C(-1,0). Calcular la longitud de la mediana relativa al
lado AB .
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
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36. 16. Determine en el eje "x" un punto que tenga una
distancia de 5 unidades del punto (2,4).
a) (-1,0) b) (1,0) c) (5,0)
d) (6,0) e) a y c
17. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3,2), B(1,5),
C(-2,3). Halle el punto D.
a) (0,0) b) (1,7) c) (-1,3)
d) (-2,2) e) (-5,1)
18. Los puntos A(4,-2); B(1,2) y C(5,5) son los vértices de
un triángulo:
a) Isósceles. b) Equilátero.
c) Rectángulo. d) Rectángulo Isósceles.
e) Oblicuángulo.
19. Hallar en el eje de ordenadas un punto A cuya distancia
hasta el punto B(-8,13) sea igual a 17.
a) (0,-1) b) (0,-2) c) (1,2)
d) (2,8) e) (0,-28)
20. Si P(a;a+1) es un punto que equidista de A(2,1) y
B(-6,5). Hallar el valor de "a".
a) 6 b) -6 c) 0
d) 1 e) -1
21. Se tienen dos vértices opuestos de un cuadrado (-5,8)
y (1,2); determinar su centro de gravedad.
a) (-1,3) b) (-2,3) c) (-2,5)
d) (-1,5) e) (1,3)
22. El centro de una circunferencia es (-4, 5 ), determinar
su área si pasa por el origen de coordenadas (usar:
)
7
22( .
a) 2 2
b) 3 2
c) 44 2
d) 66 2
e) 81 2
23. Si P es punto medio de MN ; M y N son puntos medios
de AC y BC respectivamente, determine el radio vector
del punto P; siendo A(-4,5); B(2,5) y C(6,-3).
a) 7 b) 10 c) 2 3
d) 3 2 e) 15
24. Si (-5,3) es punto medio entre (x,0) y (0,y); calcular:
xyE .
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
25. Hallar las coordenadas de un punto "A" cuya distancia
al origen es igual a 13u; sabiendo además que su
ordenadas tiene 7u más que su abcisa.
(Dar la suma de coordenadas).
a) 17 b) 16 c) -17
d) a y b e) a y c
26. Si (2,3) es el punto medio del segmento AB siendo
A(-3,5) y B(a,b). Calcular: a+b.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
27. El segmento que une A=(-2,1) con B=(2,2) se
prolonga hasta C sabiendo que BC=3AB. Hallar las
coordenadas de C.
a) (14,11) b) (11,14) c) (1,7)
d) (14,-11) e) (-14,11)
28. Si un vértice de un triángulo ABC, es A=(1,3) y el
baricentro del triángulo es G=(3,1). ¿Cuál es la suma
de coordenadas del punto medio "M" opuesto al vértice
"A"?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
29. Dados dos vértices consecutivos de un cuadrado
A(3 ; 7) y B( 1 ; 4), calcule su área.
a)
2127 b)
2137 c)
2147
d) 281 e) 2100
30. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el eje
de abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3)
a) 0;
3
7
b 0;
3
8
c) 0;
3
4
d) 0;
2
11
e) 0;
4
11
31. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; 1), B(1 ; 5)
y C( 1 ; 3).
Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC.
a) 5 b) 7 c) 32
d) 13 e) 15
32. Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo son
A( 1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7).
Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D"
opuesto a B.
a) 5 b) 6 c) 9
d) 10 e) 12
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37. 33. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hasta
qué punto "C" será necesario prolongarlo para que
5
BC
6
AC ?
(Señale la suma de coordenadas de "C")
a) 35 b) 38 c) 42
d) 23 e) 27
34. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentro
es G(1 ; 3). Hallar la suma de coordenadas del punto
medio de BC.
a) 3 b) 5 c) 7
d) 5 e) 7
35. Del esquema mostrado, determine las coordenadas del
punto M.
Si: ABCD es un paralelogramo.
y
x
M
N
B
C(4 ; 9)
D(6 ; 1)A( 8 ; 5)
a) 8;
2
11
b) ( 6 ; 5)
c) 5;
2
9
d) ( 6 ; 4)
e) ( 5 ; 7)
36. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1;9),
B(6 ; 8) y C( 2 ; 4), calcule la superficie del triángulo.
a) 2
35 b) 228 c) 214
d) 224 e) 240
37. Si A(-1;3) , B(3;1) y C(2;4), calcule el Seno del ángulo
CAB.
a)
10
3
b)
10
10
c)
5
5
d)
5
2
e)
2
2
38. Del gráfico, halle :
12
SS .
(10 ; 1)
(5 ; 8)
(6 ; 2)
( 3 ; 1)
S2
S1
a)
2
10 b)
2
5,10 c) 2
6
d)
2
5,11 e)
2
12
39. Los puntos P(-4;0); )33;5(Q , R(x;0) son los vértices
de un triángulo rectángulo recto en Q, la suma de los
valores que indican el perímetro y el área del triángulo
es:
a) 24318 b) 31818
c) 32418 d) 31212
e) 6612
40. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos
(-2;8) y (-2;-4). Uno de los términos de la base menor
tiene por coordenadas (3;-2).
La distancia o longitud de la base menor es:
a) 8 b) 6 c) 9
d) 12 e) 10
41. Un cuadrilátero tiene sus vértices en los puntos
coordenados :
A(0;0) , B(2;2) , C(7;2) y D(5;0)
PROPOSICIÓN 1:
Si sólo los valores de las abscisas se multiplican por 2
entonces este cuadrilátero es semejante al original.
PROPOSICIÓN 2:
Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplican
por un mismo número, entonces este cuadrilátero es
semejante al original.
PROPOSICIÓN 3:
Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y las
ordenadas por 3 entonces el área de este nuevo
cuadrilátero es 5 veces mayor que el original.
a) FVV b) FFV c) VFF
d) FFF e) VVF
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38. 42. Los vértices de un cuadrado son A(0 ; -3); )b;b(B 21
,
C(3;4), )d;d(D 21
.
Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los
puntos B, P, D, Q donde )b;d(P 21 y )d;b(Q 21
.
a) 58 b) 29 c) 25
d) 21 e) 19,5
43. En la figura mostrada las coordenadas del punto R son
8);36( .
Hallar la distancia del baricentro de la región triangular
MON al punto R.
y
x
M
30º
O N
R
a) 212 b) 21 c) 214
d) 21 e) 422
44. Si A(-3;4), B(4;5), C(1;-4) son los vértices de un
triángulo. Calcular las coordenadas del circuncentro del
triángulo.
a) (1 ; 1) b) (1 ; -1) c) (2 ; -1)
d) (-3 ; -1) e) (-1 ; -1)
45. Sean los puntos del plano cartesiano:
A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0).
Hallar los valores de a y b de tal forma que la suma de
las longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lo
menor posible y dar como respuesta el valor de 12ab.
a) 961 b) 828 c) 780
d) 1020 e) 605
46. Sean los puntos del plano cartesiano A(1;2) B(10;0) y
C(8;4). Desde el punto C se baja la perpendicular CP
al segmento AB, entonces las coordenadas de P son :
a)
7
6
2-2;
7
6
91
b) 85
59
22;
85
59
91
c)
85
592-2;
85
5991
d)
13
6
22;
13
6
91
e)
13
6
22;
13
6
91
47. Las coordenadas de los vértices A y B de un rectángulo
ABCD son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivamente. Si el área
de la región rectangular es 2
u80 , determinar la suma
de las abscisas de los vértices C y D.
a) 25 b)
5
126
c) 26
d)
5
127
e)
5
128
48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vértices opuestos
de un cuadrado, entonces el área del cuadrado es:
a) No se puede determinar.
b) 50 c) 4
d) 16 e) 8
49. Los puntos A(-2 ; 2), B(0 ; 4), )C;C(C 21
son los vértices
de un triángulo equilátero.
Si C está en el segundo cuadrante, entonces
)CC(3 21
vale:
a) - 9 b) - 8 c) - 6
d) - 5 e) 32
50. Dados los puntos A(-2;-3) , B(2;1), C(4;-9) y M punto
medio de BC , la distancia de M al segmento AC es:
a) 2 b) 22 c) 4
d) 24 e) 6
51. En la gráfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas de
C es:
x
y
A(1;2) B(4;2)
C(x;y)
O
a) 4 b) 10 c) 8
d) 6 e) 9
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39. 52. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos
A(0 ; 0) y B(3 ; 0).
Determinar la ordenada del vértice opuesto y;
2
1C
de tal manera que la medida del ángulo CAB es igual al
doble de la medida del ángulo CBA.
a) 15 b)
2
15
c)
4
15
d)
6
15
e)
8
15
53. A(a ; b), B(a ; -b), C(-a ; -b), D(-a ; b) son los vértices de
un rectángulo. Si: P(x;y) cumple que 6DP ,
7CP y 5BP , entonces el valor de AP es:
a) 5 b) 32 c) 3
d) 4 e) 23
54. En el gráfico: BD = 3AD y EC = 2BE.
Calcule:
1
32
h
hh
W
x
y
A(1;1)
C(8;2)
B(5;5)
h3
h1
h2E
D
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e)
3
2
55. Del gráfico, calcule "x" si " " es máximo..
x
y
(1;1)
(3;3)
P(x;0)
a) 2 b) 22 c) 3
d) 32 e) 6
56. A partir del gráfico, calcule:
2
22
Sen
SenSen
W
B(3;9)
C(5;7)
A(1;3)
a) 1 b) 2 c) 3
d)
3
2
e)
2
3
57. Del gráfico, halle la suma de coordenadas del punto
"P". Si :
5
DC
3
BD
S7S
A(2;0)
C(7;5)
B(3;9)
D
P
a) 8 b) 10 c) 12
d) 16 e) 7
58. De todos los puntos del plano cuya suma de distancia
a los puntos A(1;5) y B(7;5) es igual a 10. Señale la
suma de coordenadas de aquel punto de ordenada
máxima.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
59. Señale las coordenadas del vértice C, del triángulo ABC,
si las coordenadas de los vértices del triángulo formado
al unir los puntos medios de sus lados son:
)0;1(AM , )3;2(BM y )7;6(CM
C
A
B
x
y
BM
AM
CM
a) (-9 ; -4) b) (-7 ; - 2) c) (-10 ; -5)
d) (-8 ; -5) e) (-6 ; -7)
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40. 60. Si ABCD es un paralelogramo, halle: 21
SS
x
y
S1
S2
A(-5;-5)
B(2;-1)
C(x;y)
D(-3;2)
a) 2
4
41 b) 2
2
41 c) 2
2
21
d) 2
4
21 e) 2
41
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41. ClavesClaves
c
c
c
d
e
b
c
c
d
c
c
b
b
b
d
e
a
d
a
b
c
d
b
c
e
d
a
d
b
b
d
d
b
c
a
c
e
c
c
a
a
d
a
a
a
c
e
d
e
b
b
b
b
c
e
a
b
d
a
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
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42. Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEUN
ÁNGULOEN POSICIÓN NORMAL5
Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen
del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo.
Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice
que éste pertenece a tal cuadrante.
Lado Final
Lado Inicial
Vértice
(+)
x
y
* : es un ángulo en posición normal
* 0;IIC
Lado Final
Lado InicialVértice
(-)
x
y
* : es un ángulo en posición normal
* 0;IIIC
Definición de las Razones Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto )y;x(P 00
perteneciente a su
lado final.
x
y
P( )x ;y
o o
r
x
o
y
o
'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen
o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot
*
2
o
2
o
yxr * ' : se denomina ángulo de referencia
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43. Signo de las R.T. en los cuadrantes
Dependiendo del cuadrante al que
pertenezca un ángulo en posición
normal, sus R.T. pueden ser positivas
o negativas. Es así como se obtiene
el cuadro adjunto.
Cosecante
y
Seno
(+)
Cotangente
y
Tangente
(+)
positivas
son
Todas
(+)
Secante
y
Coseno
(+)
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
radianes (grados) Sen Cos Tan Cot Sec Csc
20 0 0 1 0 N. D. 1 N. D.
2
90º 1 0 N. D. 0 N. D. 1
180º 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D.
2
3
270º - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ; )x x
o o
x
y
Se tiene que :
* y : son coterminales
* y : son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:
Si y son coterminales se cumple que:
I. II.
- = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )
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44. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Del siguiente gráfico, calcular: Cot12Sen10E
x
y
(1;-3)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
02. Por el punto )5;2(P pasa el lado final de un ángulo
en posición normal cuya medida es " ". Calcular:
Cos .
a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4
d) -4/3 e) -3/2
03. Si:
3
2Sen y IIIC. Calcular:
)SecTan(5E
a) -1 b) -2 c) -3
d) 2 e) 3
04. Indicar el signo de cada expresión:
I. Sen200ºTan240º
II. Cos120ºTan100º
III. Sen150ºCos340º
a) +, +, + b) , , c) , +, +
d) +, , e) +, , +
05. ¿A qué cuadrante pertenece " ", si: 0Tan y
0Cos .
a) IC b) II c) IIIC
d) IV e) IC y IIC
06. De la figura, calcular: "Tan"
x
y
17
(1-x;2x)
a) 1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
07. Calcular:
270abCsc2
180Cos)ba(º360Sec)ba(
E
22
a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
08. Si: IVCx y 0
6
Sen4|Cscx|
Calcular: E = Senx + 3 Cosx
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 2/3 e) 3/2
09. Si: 3,0Cos y IIC
Calcular: SecTanE 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x.
Calcular: )
2
(f
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
11.Una raíz de la ecuación: 03x2x2
es un valor de
"Tan ", si: IIIC . Calcular: )CosSen(10E
a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x.
Calcular: )
2
(f
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
13. Si: y son medidas de ángulos coterminales y se
cumple que: Tan <0 y |Cos |=-Cos . ¿A qué
cuadrante pertenece " "?
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IC y IIC
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45. 14. Calcular: TanSen25E , a partir de la figura
mostrada:
x
y
(24;7)
(-4;-8)
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
15. Por el punto )7;2(P pasa por el final de un ángulo
en posición normal cuya medida es " ". Calcular:
Csc7 .
a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
16. Calcular: 1CosxSenxE
a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) 2 2
17. Si: IV , determine el signo de:
CosSen
)Cos1(Tan
E
a) + b) - c) + ó -
d) - y + e) Todas son correctas
18. Con ayuda del gráfico mostrado, calcular:
)
2
(Sen3
)(Sen)
6
(Cos3
E
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4
d) 4/3 e) 3/2
19. De la figura, calcule: "Tan "
x
y
37º
a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7
d) -6/7 e) -7/4
20. Del gráfico, calcule: "Tan" .
x
y
(2;-3)
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4
d) 4/3 e) 3/2
21. De acuerdo al gráfico calcular:
CosCos5K
y
x
(-24;7)
(-4;-3)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 2 e) 4
22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ángulo
canónino " ".
Calcular:
CotCscR
a) 0,4 b) 0,4 c) 0,6
d) 0,6 e) 0,3
23. Simplificar:
2
bCos
2
3aSen
Cos)ba(
2
Sen)ba(
L
2
5232
a) 2a b) 2a c) 4a
d) 4a e) 4b
24. Señale los signos de:
º260Tanº300Tan
º140Cosº140SenM y
º348Senº248Cos
º116Tanº217Cosº160TanR
a) ( ) No se puede precisar.
b) (+) ; (+)
c) (+) ; ( )
d) ( ) ; ( )
e) ( ) ; (+)
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46. 25. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
en:
I. Si: 0Cos0Sen , entonces IV .
II. Si: 0Sec0Tan , entonces IIIC .
III. Si: 0Cot0Csc , entonces IIC .
a) VVF b) VVV c) VFV
d) FFV e) FVV
26. Sabiendo que:
0Sen
0SecTan
¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canónico ?
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) No se puede precisar.
27. Señale el cuadrante al que pertenece " " si:
TanCos
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) No se puede precisar
28. Señale Verdadero (V) o Falso, según corresponda en:
I. Si: 180º;º90 , entonces IIC .
II. Si: IIC , entonces 180º;º90 .
III. Si: IIIC , es positivo y menor que una vuelta,
entonces 270º;º180 .
a) VVF b) VFV c) VFF
d) FVV e) VVV
29. Sabiendo que:
3
2Tan
IIC
Calcular: CosSenQ
a)
13
1
b)
13
13
c)
13
5
d)
13
135
e)
13
3
30. Si el lado final de un ángulo canónico " " pasa por los
puntos P(m+n; n) y Q(n;m n),
Calcular: 22
TanCotK
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 12
31. Sabiendo que " " es un ángulo positivo menor que
una vuelta perteneciente al IIIC señale el signo de:
5
3Tan
3
2Cos
2
SenQ
a) (+) b) ( ) c) (+) o ( )
d) (+) y ( ) e) No se puede precisar.
32. Del gráfico, calcular :
1Tan3E
y
x
53º
a) 0 b) 1 c) 1
d) 2 e) 2
33. Tomando 236,25 y sabiendo que:
Ctgx = - 0,5 y que IVCx .
¿Cuál es el valor de Cscx?
a) 2,236 b) 2,236 c) 0,4472
d) 1,118 e) 1,118
34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienen
el mismo signo son:
a) 1º y 2º b) 1º y 3º c) 2º y 3º
d) 2º y 4º e) 1º y 4º
35. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor
es al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendida
entre 2820º y 3100º.
¿Cuál es la medida del mayor?
a) 2540º b) 2760º c) 2820º
d) 2420º e) 3000º
36. Siendo:
130
1
70
1
28
1
4
1Sen
5
4
CosCos
Calcular:
Cos3Sen2K
a) 1 b) 1 c) 2
d) 2 e) 3
37. El valor numérico de la expresión:
Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º- 5Sec180º-6Csc270º
es:
a) 4 b) 12 c) 6
d) 16 e) 8
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47. 38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en el
orden F. G. H.
º338Ctgº215Csc
º210Senº138Tanº285Sec
F
3
32
2
323
º336Tanº195Csc
º116Cosº115Ctgº260Sen
G
3
3
º298Secº135Tg
º128Cscº340Ctgº195Sen
H
a) , + , b) , , + c) , ,
d) + , , e) + , + , +
39. Si:
2Cos)2(Sen1)3(Cos)(f 2
Calcular:
1
3
f
3
f
a) 2 b)
2
3
2 c) 5
d) 323 e)
2
3
32
40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes
(I, II, III, IV).
S = Ctgx + Senx - Cscx
I II III I V
a) + + + +
b) + + +
c) + +
d) + +
e) + +
41. Determinar el signo de:
QQCtgQSecSen 453
a) ; si Q pertenece al IC.
b) + ; si Q pertenece al IIC.
c) + ; si Q pertenece al IIIC.
d) + ; si Q pertenece al IVC.
e) ; si Q pertenece al IIC.
42. Dado:
22
22
qp
qp
Cosx ; p > q > 0
Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante.
a) 22
pq
pq2
b) 22
pq
pq2
c) 22
pq
pq2
d) 22
pq
pq2
e) 22
22
pq
pq
43. Sabiendo que:
4
1CosQ
270º < Q < 360º
Calcular el valor de la expresión:
CtgQ1
CscQSecQ
a) 0,25 b) 0,50 c) 2,50
d) 4,00 e) 4,50
44. Si es un ángulo del tercer cuadrante, tal que:
8Ctg1 2
Calcular: 3)Sec8(
a) 6383
b)
63
83
c)
63
83
d)
633
83
e)
6363
86
45. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrante
y es tal que: 2x0 . Entonces, hallar el signo de
las siguientes expresiones trigonométricas.
I.
4
xsecCo
2
xSen
4
xTan
II.
5
xCos
4
x3Sec
3
xCot
III.
4
x3Sec
3
x2Tan
3
xSen
a) (+) (+) (+) b) ( ) ( ) ( )
c) (+) (+) ( ) d) ( ) ( ) ( )
e) ( ) ( ) (+)
46. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, en
el orden dado:
3
25Cos
3
52Sen ;
3
22Cot
5
32Sen ;
10
73Cot
3
205Sen
a) (+) (+) ( ) b) ( ) (+) ( )
c) ( ) (+) (+) d) ( ) ( ) (+)
e) (+) ( ) (+)
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48. 47. Si es un ángulo en el primero cuadrante y
25,0Sen .
¿Cuál es el valor de 2
CtgCsc ?
a) 15 b)
19
21
c)
15
19
d)
21
19
e) 19
48. Si 5,1Tg , siendo un ángulo en el III cuadrante,
el valor de la expresión:
)CscSec(
13
1
M es :
a)
6
1
b)
6
1
c)
6
1
d)
6
5
e)
6
1
49. Calcular el Coseno del ángulo del segundo
cuadrante, tal que
5
3Sen .
a)
5
4
b)
5
3
c)
3
2
d)
5
4
e)
3
1
50. Si
3
1Tan y está en el segundo cuadrante.
Hallar :
Ctg2
)Sen5Cos(3
K
a) 10 b)
10
10 c)
10
10
d)
5
102 e)
5
102
51. En la figura adjunta, hallar:
TanCos15Sen5V
24
- 7 0 x
y
a)
35
141
b)
7
29
c)
35
99
d)
7
39
e)
4
1
52. Indicar la alternativa correcta para el signo de las
siguientes expresiones:
I. Sen(361º) Cos(455º)
II.
4
3Cos
4
3Sen
III. )º315(Sec
4
5
Tan
a) + ; ; + b) + ; + ; c) ; ; +
d) + ; ; e) + ; + ; +
53. Sea un ángulo del tercer cuadrante.
Indicar la alternativa correcta al simplificar:
CosSen11E 2
a) 2
Sen2 b) 2
Sen
c) 2
Cos1 d) 2
Sen
e) 2
Cos
54. Si: Senx = 0,6, ¿cuál es el valor de Cosx, sabiendo que
x es un ángulo del segundo cuadrante?
a) Cosx = 0,8 b) Cosx = 0,6
c) Cosx = 0,7 d) Cosx = 0,9
e) Cosx = 0,8
55. Si " " y " " son ángulos cuadrantales, positivos y
menores que una vuelta, tales que: CosCot
Calcule:
Cos
2
Sen
2
SenCos
K
a) 22 b) 12 c) 12
d) 22 e) 1
56. Si y son ángulos positivos, que no son agudos;
0Cos ; 0Tan ; )º360(
Sean:
a = )(Sen
b = 2Sen
c = 2Sen
Entonces, son positivas.
a) a y b. b) a y c. c) a , b y c.
d) a. e) b y c.
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49. 57. Si: 3
2
b
a
Tanx
Calcular el valor de:
ICx;
aCosx
b
bSenx
aE
a)
3
3
1
3
1
3
1
3
1
a
b
b
a
b)
a
b
b
a
c)
2
1
2
2
2
2
a
b
b
a
d)
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
a
b
b
a
e)
3
1
3
3
3
3
a
b
b
a
58. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo
del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en el
segundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercer
cuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; pero
inferior a 2
a)
24
b)
23
c)
212
5
d)
28
3
e) Faltan datos
59. Si: IIC y
Cos3 4 2
)Sen(Sen
Calcular: SenTg
a) 143
12
11
b) 143
12
13
c) 143
12
13
d) 143
12
9
e) 143
12
11
60. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplo
de 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a la
suma del ángulo menor más el triple del mayor de los
ángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos,
si se sabe que está comprendido entre 1080º y 3240º.
a) 1280º b) 2160º c) 3200º
d) 3210º e) 3230º
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50. ClavesClaves
b
b
a
c
d
d
e
a
e
a
d
b
b
e
d
a
a
e
b
b
c
c
e
d
a
b
d
b
b
c
b
c
e
a
b
d
c
a
c
c
c
b
d
e
c
b
e
a
d
b
d
e
d
e
a
e
d
d
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
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51. Capítulo
REDUCCIÓNALPRIMERCUADRANTE
6
OBJETIVO: El objetivo del presente capítulo es:
* Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea; reconociendo
previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.
* Simplificar correctamente expresiones del tipo: Zn;
2
n.T.R
* Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ángulos cuya suma de medidas es 180º ó 360º
CASOS
I. Ángulos cuyas medidas están en <90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original " " se descompone como la
suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar :
).(T.RCo
220
90
R
).(T.R
360
180
R
)(RT
Donde el signo )( que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original " "
Por ejemplo; calculemos:
*
2
3
º30Cos)30º90(Senº120Sen
)(
* 2
1
º60Cos)º60º180(Cosº120Cos
)(
* 3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan
)(
* 2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc
)(
* )(Senº170Sen
* )(Cosº200Cos
* )(Tanº260Tan
* )(Senº320Sen
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera:
R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º
q
Residuo
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52. Por ejemplo, calculemos:
*
2
3
º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1
2580º 360º
2520º 7
60º
3285º 360º
3240º 9
45º
* Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2
1200º 360º
1080º 3
120º
( )
* Sen 3180º =
Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:
*
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
1
2
1Sen
2
Sen133
2
1
3
1Cos
3
127Cos*
Es decir, si fuese: 2ba;
b
a.T.R
Se divide: a 2b
q
r este residuo reemplaza al numerador "a"
*
1315 8
51 164
35
3
1345
3
1345Sen*
4
3Tan
4
1315Tan
III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera:
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
Por ejemplo, calculemos:
*
2
2
º45Sen)º45(Sen *
2
1º60Cos)º60(Cos
* 3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan
)(
* Cos (- 200º) =
IV. Ángulos relacionados:
1.
TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180ºyx:Si
2.
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53. TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx:Si
Por ejemplo, calculemos:
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
3Cos
7
2Cos
7
CosC
En esta expresión note que:
7
6Cos
7
Cos
7
6
7
7
5Cos
7
2Cos
7
5
7
2
7
4Cos
7
3Cos
7
4
7
3
Luego:
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
4Cos
7
5Cos
7
6CosC
Reduciendo, quedaría C = 0
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54. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Señale el valor de: Sen120º
a) 1/2 b) -1/2 c)
2
3
d)
2
3
e)
2
2
02. Hallar: Cos330º
a) 1/2 b) -1/2 c)
2
3
d)
2
3
e)
2
2
03. Calcule: E = Tg150º.Sen315º
a)
4
6
b)
4
6
c)
6
6
d)
6
6
e)
4
2
04. Hallar el valor de: Sen1680º
a) 1 b) -1 c) 1/2
d) -1/2 e)
2
3
05. Determinar el valor de: Cos1200º
a) 1 b) 0 c) 1/2
d) -1/2 e)
2
3
06. Hallar: )º45(Tg)º60(CosE
a) 1/2 b) -1/2 c) 0
d) 1 e) 2
07. Hallar: E = Sen(-30º)+Tg(-53º)
a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6
d) 0 e) 1
08. Señale el equivalente de: Cos(180º+x)
a) Cosx b) -Cosx c) Senx
d) -Senx e) -Secx
09. Determinar el equivalente de: Sen(360º-x)
a) -Senx b) Senx c) Cosx
d) -Cosx e) Cscx
10. Determina el equivalente de:
2
].32]Sen
a) 1 b) -1 c) 0
d) 1/2 e) -1/2
11. Hallar el valor de: Cos1741
a) 1 b) -1 c) 0
d) 1/2 e) -1/2
12. Hallar:
3
.17Tg
a) 1 b) -1 c) 3
d) 3 e)
3
3
13. Del gráfico, calcule: Tg
A
C
B
M
45º
a) 1 b) 2 c) -1
d) -2 e) 3/4
14. Del gráfico, hallar: Tg
A
C
B
37º
D
a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7
d) -3/7 e) -4/7
15. Hallar el equivalente de:
)º90x(Cos
)º180x(Sen
M
a) 1 b) -1 c) Tgx
d) Ctgx e) -Tgx
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55. 16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ;
x es agudo
Calcular: M = Sec(-x) + Csc(-x)
a)
2
5
b)
2
5
c)
6
13
d)
6
13
e)
5
5
17. Reducir:
)xº180(Cot)xº360(Sec)xº180(Cos
)xº270(Csc)xº180(Tan)xº90(Sen
A
a) 1 b) 1 c) xTan2
d) xCot2
e) xTan2
18. Simplificar:
)(Tan
2
3Sec)2(Cot)(Sen
C
a)
2
Tan b)
2
Tan c)
2
Ctg
d) 2
Ctg e) 1
19. Simplificar:
x
2
3Cos)x(Tan
x
2
3Tan)x(Sen
C
a) Cotx b) xCot2 c) xCot2
d) - Cotx e) xCot3
20. Si :
2
A0
Evaluar:
A
2
3Tan)A(CosA
2
SenF
)A(Csc)A2(CtgA
2
Sec
a) 2 SenA b) 2SenA c) 2CscA
d) 2CscA e) 2SecA
21. Calcular:
º240Tan3
1º315Tan4
1º120Sec2M
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 2
22. Calcular:
º300Cosº210Cos
º150Tanº240Senº135SenC
a)
3
6
b)
3
6
c)
3
62
d)
3
62
e)
3
2
23. Calcular:
1º4920Cos2
)1º3383Sen2)(1º3000Sec2(
U
a)
2
1
b)
2
1
c)
4
1
d)
4
1
e)
4
3
24. Marque Ud. la afirmación correcta:
a) Sen ( 750º) = 0,5
b) 35,0)º1110(Cos
c)
3
3
)º1830(Tan
d) 3)º3270(Ctg
e) + Sen2534º = Cos14º
25. Hallar el valor numérico de:
º225Ctgº330Tanº780Tan
º780Senº330Tanº225SenF
222
222
a)
12
31
b)
20
33
c)
44
1
d)
20
33
e)
12
31
26. Simplificar las expresiones:
)(Sen
)º360(Sen
)º180(Cos
)(Cos
a
Sen
)º90(Cos
)(Cos
)º90(Sen
b
a) a = 0 y b = 2
b) a = 1 y b = 2
c) a = 2 y b = 2
d) a = 0 y b = 0
e) a = 1 y b = 2
27. Si: x + y = 180º y + z = 270º
Calcule el valor de:
Ctgz
Tany
Seny
SenxJ
www
com
.
.
M
atem
atica1

56. a) 1 b) 0 c) - 3
d) 2 e) - 5
28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ; yx
Hallar: Ctgx
a) 12 b) 21 c)
2
12
d)
2
21 e) 12
29. Simplificar la expresión:
)º360(Tan)º450(Sen)º540(Cos
)º2160(Tan)º90(Cos)º180(Sen
E
Sabiendo que : 2Sec2
Entonces E es igual a :
a) 2 b) 1 c) 1
d) 2 e) 0
30. El valor de la expresión:
2
Csc)(Sec)2(Ctg
6
Tan)(Cos
2
3Sen
E
Cuando :
6
es:
a) 1 b) 1 c) 0
d) 2 e) 2
31. Calcular el valor de:
Cos10º+Cos30º+Cos50º+.... +Cos170º
a)
2
1
b) 0 c)
2
3
d) 1 e)
4
3
32. Calcular:
términos20
30
29Cos...
30
3Cos
30
2Cos
30
CosT
a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
33. El valor de la siguiente expresión:
12
7Cos
12
Sen
12
Cos
12
7Sen
Es igual a:
a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
34. Simplificar:
)9(Ctg)7(Csc)5(Cos
2
9Sec
2
7Sen
2
5Tan
K
a) 0 b) 1 c) 1
d) 2 e) 2
35. En un triángulo ABC se cumple:
Sen (B + C) = CosC
Dicho triángulo es :
a) Escaleno b) Rectángulo
c) Isósceles d) Acutángulo
e) Equilátero
36. En un triángulo ABC, se cumple que:
Cos (A + B) = CosC
Entonces el valor de A + B es :
a)
4
b)
3
c)
3
2
d)
6
e)
2
37. Calcular:
BSenACos 22
Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios.
a) 1 b)
2
1
c) 0
d)
2
1
e) 1
38. Si A y B son ángulos complementarios, al simplificar:
)B3A4(Tan)BA2(Cos
)B3A2(Tan)B2A(Sen
E
Se obtiene:
a) 3 b) 2 c) 2
d) 1 e) 1
39. En un triángulo ABC, cuales de las siguientes
proposiciones se cumplen:
I. SenA = Sen(B+C)
II. CosA = Cos(B+C)
III. SenB = -Sen(A+2B+C)
a) VVV b) VFV c) VFF
d) FVF e) FFF
40. Si :
2
cba y Sen(a + b) = - Senc
¿Cuál de los siguientes resultados es verdadero?
a) 0
4
c42Cos
www
com
.
.
M
atem
atica1

57. b) 0
4
c4Cos
c) 0
2
c4Cos
d) 0
4
c4Cos
e) 0)c4(Cos
41. Calcule el valor de:
4
175Sec
4
37TanR
a) 21 b) 22 c) 2
d) 2 e) 21
42. El valor que asume la expresión:
6
Csc)(Sec
2
3Ctg
)(Tan)2(Cos
2
Sen
Cuando :
3
es:
a)
13
133
b)
13
331
c)
3
133
d)
3
133
e)
3
331
43. Sabiendo que:
1
2
77Cos
2
55Senm
Calcular:
CtgTanE
en términos de m.
a) 2m b)
2
m c) 2m
d) m e) m
44. Si : º1035º360)k1( , Zk
El valor de : )º5,22(Sen será:
a)
2
3
2 b)
2
32
c)
2
22
d)
2
22
e)
2
22
45. Qué relación existe entre a y b sabiendo que:
0
4
b2a36Ctg
8
b3a2Tan
a)
2
1
b)
3
1
c)
4
1
d)
5
1
e)
6
1
46. Si : SenA 2CosA = 0
Entonces el valor de:
)Aº180(Cos)Aº180(Csc)Aº360(Sen
)Aº270(Ctg)Aº180(Sec)Aº90(Tan
E
es:
a) 5 b) 5 c)
4
5
d)
4
5
e) 4
47. Hallar sabiendo que está en el tercer cuadrante, es
positivo, mayor que una vuelta y menor que dos vueltas
y:
11
SenCos
a)
22
75
b)
22
73
c)
22
71
d)
22
69
e)
22
67
48. Si es la medida de un ángulo agudo tal que:
Senº1996Cos
Calcular el valor de:
15Sen15CscE
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
49. Sabiendo que:
Zk;
2
kTanM
Zn;(-1)nCscN n
Calcular:
MN
NME
22
a) SenTan b) SenTan
c) CosCtg d) CosCtg
e) 1
www
com
.
.
M
atem
atica1

58. 50. Del gráfico.
x
ab
y
Determinar:
CosbCosa
6
baCos6
SenbSena
3
baSen3
K
a)
2
1
b)
3
1
c)
4
1
d)
2
1
e)
3
1
51. Sabiendo que:
56
2n
n
Cotx2)x)1(!n(Tan
Donde: ICx
Calcule: W = Secx . Tanx
a) 32 b) 6 c) 23
d) 62 e)
6
6
52. Si : ABCD: cuadrado
Calcule: TanTanW
26º30'
P
B C
A D
N
M
a) 2 b) 1 c) - 2
d) 1 e)
2
3
53. Del gráfico calcule:
55Cot3W
Si: OA = OB
A
BO
2
3
4
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
54. Del gráfico, hallar " Cot " en función de " ".
Si: AB = BC
B
C
A x
y
a) 1Tan b) 1Tan c) 1Tan
d) 1Cot e) 1Cot
55. Del gráfico, calcule: Cos
r
R
a)
R2
r
b)
R2
r
c)
r2
R
d)
r2
R
e)
r4
R
56. En un triángulo ABC, se sabe que:
SenC)CB(Cos2)BA(Sen
Calcular:
C4SenB4SenA4Sen1
A2CosC2CosB2Cos1W
a) 1 b) 2 c) 4
d) 1 e)
2
1
www
com
.
.
M
atem
atica1

59. 57. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo " " que cumple:
Cos
7
2Sen
Si es mayor que 3 vueltas, pero menor que 4 vueltas.
a)
14
97
b)
14
101
c)
14
103
d)
14
95
e)
14
99
58. De acuerdo al gráfico, calcule:
6
Tan
4
3Cos
3
2Sen
K
y
x
a)
12
6
b)
12
3
c)
12
6
d)
12
3
e)
6
6
59. Reduzca:
2
79Cos5)82(Sen4
2
57Cot3)57(Tan2
G
a) Sec
9
5
b) Sec
9
1
c) Sec5
d) Csc e) Csc
9
2
60. Señale el signo de cada una de las expresiones:
11
12Tan1
7
36Cos
7
20Sen
R
8
21Cot
7
27Csc
8
25SenH
5
9Sec
9
44CscG
a) (+) ; ( ) ; ( ) b) (+) ; ( ) ; (+)
c) (+) ; (+) ; (+) d) ( ) ; ( ) ; (+)
e) ( ) ; (+) ; (+)
www
com
.
.
M
atem
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60. ClavesClaves
c
c
c
e
d
b
e
b
a
a
b
d
d
d
b
d
e
d
b
d
d
b
a
c
c
c
d
e
b
d
b
a
a
c
b
e
e
e
b
b
e
a
e
d
c
a
a
b
a
a
b
d
b
e
b
b
d
c
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
www
com
.
.
M
atem
atica1

61. Capítulo
CIRCUNFERENCIATRIGONOMÉTRICA
7
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
DEFINICIÓN
Es aquella circunferencia canónica; es decir, con centro en el origen del sistema cartesiano; y con radio igual a la unidad del
sistema. En el gráfico adjunto, destacaremos los siguientes elementos:
A (1; 0) : origen de arcos
B (0; 1) : origen de complementos de arcos
A' (-1; 0) : origen de suplementos de arcos
B' (0; -1) : anónimo
El punto A(1;0) se denomina origen de arcos, ya que a partir de él se van a dibujar arcos orientados, con un signo
asociado, tan igual que en el caso de los ángulos trigonométricos; por ejemplo, en el gráfico:
: es un arco positivo
(sentido antihorario)
: es un arco negativo
(sentido horario)
Ahora bien, los puntos "M" y "N" se denominan extremos de arco; y dichos
arcos se denominarán arcos en posición nomal.
Si observamos en la siguiente C.T., notaremos que entre el arco y el ángulo central correspondiente, se cumple que
numéricamente son iguales; lo cual permitirá establecer una relación entre los números reales y el ángulo central
correspondiente, en radianes.
En el sector circular AOM; por longitud de un arco:
AOM = rad, esto es:
AOM (en rad) = AM (numéricamente)
Debido a esta relación, a cada arco le corresponde un ángulo central del mismo valor,
pero expresado en radianes.
y
B
x
AA'
B'
R=1
C.T.
1
x + y =12 2
O
y
x
M
B
A' A
B'
N
1
O
y
x
C.T.
A'
O 1
A
M
N
1
rad
rad
B
B'
www
com
.
.
M
atem
atica1

62. Así mismo, podemos establecer: R.T. ( rad) = R.T. ( ) ; r
Con lo cual queda claro que las Razones Trigonométricas (R.T.) de un número real, son calculables al asociarles un ángulo
cuya medida está expresada en radianes, numéricamente igual considerado.
Es decir; por ejemplo:
Sen 2 = Sen 2 rad
Tan 3 = Tan 3 rad
Cos (-1) = Cos (-1 rad)
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Son segmentos dirigidos (de medida positiva o negativa) que van a representar el valor numérico de una Razón Trigonométrica
de un cierto número (expresado graficamente como un arco); así como también permitirán analizar las variaciones de estas
R.T., así como su comportamiento.
Para comenzar con el análisis, se recomienda tener en cuenta las siguientes observaciones para la ubicación de arcos.
a) Para arcos representados por números enteros:
x
y
O
C.T.
1,57=
2
3,14=
2 =6,28
O
4,71=
3
2
1
y
x
12
3
4 5
6
b) Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' ( zn )
2
n
2
)1n2(
2
)3n4(:'B
2
)1n4(:B
n
)1n2(:'A
n2:A
I. Línea Seno.-
: :
2
0
2 2
3
2
2
3
Sen 0 1 1 0 0 -1 -1 0
Esto es:
1Sen1 ; r
1:mínimo
1:máximo
Sen
y
x
A; 0; 2 ; 4 ; ...
B':
A'..., 3
3
2 2 2
; ; ; ....
B:
2 2 2
; ; ; ....
y
x
M
N
A' A
B
B'
-1
1
C.T.
(+)
(-)
(-)
Sen
(+)
Sen
www
com
.
.
M
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63. II. Línea Coseno-
: :
2
0
2 2
3
2
2
3
Cos 1 0 0 -1 -1 0 0 1
Esto es:
1Cos1 ; r
1:mínimo
1:máximo
Cos
Observación:
Si consideramos el extremo de un arco cualquiera, notaremos que por ser un punto del plano cartesiano, tiene sus
propias componentes:
Por ejemplo, para "M" se nota que:
abscisa = Cos
ordenada = Sen
Luego:
M = (Cos ; Sen )
De manera similar, las componentes de N son (Cos ; Sen )
III. Línea Tangente.-
:
2
0
2 2
3
2
2
3
Tan 0 0 0 0
Esto es:
< Tan <
No hay máximo, ni mínimo
(-)
Cos
(+)
Cos
x
y
M
N
B'
B
AA'
C.T.
1
-1
(-) (+)
y
x
M
N
A' A
B'
B
Cos
Cos
Sen
SenSen
Cos
C.T.
T
P
A'
C.T.
B' N
B
y
x
(+)
(-)
A
Tan
TanM
O
Consideración:
La L.T. tangente no está definida para arcos cuyo extremo esté en B ó B'; lo cual significa que la R.T. tangente no se define para
todo arco de la forma: Zn;
2
)1n2(
www
com
.
.
M
atem
atica1

64. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Poner el signo en:
I. Cos80º ( ) Cos 100º
II. Cos200º ( ) Cos 300º
III. Cosx ( ) Cos(x+20º)
x ; agudo
a) < ; < ; > b) > ; > ; <
c) > ; < ; > d) > ; < ; =
e) < ; > ; <
02. Poner el signo > ; < o = en:
I. Sen20º ( ) Sen80º
II. Cos10º ( ) Cos40º
III. Sen200º ( ) Sen300º
a) > ; > ; < b) < ; < ; <
c) > ; > ; > d) < ; > ; >
e) > ; < ; <
03. Indicar con "V" lo verdadero y con "F" lo falso:
I. Tg50º > Tg200º
II. Tg100º > Tg300º
III. Tg135º = Tg315º
a) VVV b) VFV c) FFV
d) FVF e) FFF
04. Determine el área de la región sombreada en la C.T.
A’ AO
B
B’
y
x
a) Sen b) -Cos c) Sen /2
d) -Cos e) -Cos /2
05. Determine el área de la región sombreada en la C.T.
A’ AO
B
B’
y
x
a)
2
Sen
b)
2
Cos
c)
2
Cos
d)
2
Sen
e)
2
Cos.Sen
06. Determine el área de la región sombreada en la C.T.
A’ AO
B
B’
y
x
L
a) Tg b)
2
Tg
c) -Tg
d)
2
Tg
e) -Tg2
07. Determine la variación de: 1Sen4E
a) ]3;3[ b) ]4;4[ c) ]5;3[
d) ]3;5[ e) ]5;2[
08. Determine la variación de: 3Cos2A 2
a) [3,5] b) [1,5] c) [-3,5]
d) [-1,3] e) [-3,3]
09. Sabiendo que IIC .
¿Cuál es la variación de :
?1Sen3L
a) 2;0 b) 2;1 c) 3;0
d) 1;1 e) 2;4
10. Sabiendo que IIIC ; sabiendo la variación de:
1Cos2L
a) 3;1 b) 3;1 c) 1;1
d) 3;0 e) 2;2
11. Calcular el producto del máximo y mínimo valor de:
Sen|Cos|3Sen2),,(f 2
Siendo , y independientes entre sí.
a) 0 b) 4 c) 8
d) 8 e) 12
www
com
.
.
M
atem
atica1

65. 12. Hallar el área de la región sombreada en la C.T.
y
x
C.T.
150º
a)
2
4
1
4
3
b)
2
34
1
c)
2
2
1
6
d)
2
2
1
2
e)
2
2
1
3
13. Sabiendo que:
4
;
4
x ; señale la variación de:
1xTan3L 2
a) 1;0 b) 1;0 c) 4;1
d) 4;1 e) 4;2
14. Sabiendo que: 2x
¿Cuál es la variación de :
?1
2
xCos3L
a) 2;4 b) 2;4 c) 1;4
d) 1;4 e) 1;4
15. Siendo
24
5;
8
x
Señale la variación de:
1
4
x2Sen2
4L
a) 2;1 b) 4;1 c) 4;2
d) 6;3 e) 8;4
16. Sabiendo que
8
7;
24
17x
Señale la variación de:
3
12
x2Cos4L
a) 3;1 b) 3;1 c) 5;1
d) 3;3 e) 6;3
17. Señale Verdadero (V) o falso (F), según corresponda
en:
I. Si:
2
xx0 21 21
TanxTanx
II. Si: 21
xx
2
21
TanxTanx
III. Si: 2xx
2
3
21 21
TanxTanx
a) VVV b) VVF c) FFV
d) VFV e) VFF
18. Hallar todos los valores que debe tomar "K" para que la
igualdad no se verifique:
5
3K2Sec
a) 4K1K b) 4K1
c) 4K1 d) 4K1K
e) 4K1K
19. En la C.T. calcular un valor de:
CosSenK
y
x
L : y-2x+1=01x +y =12 2
a)
5
3
b)
5
4
c)
5
7
d)
5
1
e) 1
20. Sabiendo que:
12
35x
12
11
Señale la variación de;
1
82
xCos4C
a) [ 3 ; 2] b) [ 3 ; 3] c) [ 2 ; 3]
d) [ 5 ; 6] e) [ 3 ; 5]
21. Si:
2
;
2
; 2
Calcular la suma del máximo y mínimo valor de :
Sen4Cos3Sen2E
www
com
.
.
M
atem
atica1

66. a) 1 b) 2 c) 0
d) 1 e) 2
22. De las cuatro proposiciones, indicar dos que son
imposibles:
I. 2xSen3 2
II. mn2Cosx)nm( 22 , Rnm
III. 2222
nmCscx)nm( ; 0nm
IV. 3Secx
a) I y II b) I y III c) II y IV
d) II , III e) III , IV
23. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los siguientes
enunciados:
I. La función Seno y Coseno son negativos en el ter-
cer cuadrante y crecientes en el cuarto cuadrante.
II. No existe función trigonométrica alguna de un án-
gulo del segundo cuadrante que sea positivo y au-
mente a medida que el ángulo crece.
III. Sólo existe una función que puede tomar el valor
de 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante.
a) FFF b) VFF c) VFV
d) VVV e) VVF
24. Cuando el ángulo "x" aumenta de 90º a 180º.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) El Seno aumenta.
b) El Coseno aumenta.
c) El Cosecante aumenta.
d) La Secante disminuye.
e) La Cotangente aumenta.
25. En un círculo trigonométrico se tiene:
21
xx
2
De las siguientes proposiciones:
I. 21
SenxSenx
II.
12
CosxCosx
III. 12
CosxCosx
Es o son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II
c) Sólo III d) Sólo I y II
e) Las 3 son correctas
26. En la circunferencia trigonométrica, se pide indicar el
valor de DBOC , en función del ángulo " "
O
A
B
C
D
a) TanSec b) TanSec
c)
Sen
Cos1
d)
Sen
Cos1
e) CscSec
27. En el círculo trigonométrico, calcular el área de la región
sombreada.
O
a) )1CosSen(
2
1
b) )1CosSen(
2
1
c) )CosSen1(
2
1
d) )Cos21(
2
1
e) )Sen21(
2
1
28. Calcular BQ en el círculo trigonométrico adjunto en
función de " "
O
B
Q
a) Sen1 b) Sen1
c) )Sen1(2 d) )Sen1(2
e) )Cos1(2
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com
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67. 29. Evaluar:
)k(Tan)k(Cos)k(Sen
k: número entero no negativo.
a) 1 b) 2 c) 1
d)
k
)1( e) 1
30. Si es un arco del segundo cuadrante, positivo menor
que una vuelta.
Hallar la extensión de:
)(Cos
Si :
46
a)
2
1)(Cos
2
1
b)
2
1)(Cos1
c)
2
1
)(Cos
2
2
d)
2
3
)(Cos1
e)
2
2
)(Cos
2
3
31. De las siguientes proposiciones:
I. Si : 0xx
2 21 entonces:
21
xSenxSen
II. Si : 0xx
2 21 entonces:
12
SenxSenx
III. CtgxCosx
TanxSenx
Es positivo en el primer y tercer cuadrante y negativo
en el segundo y cuarto cuadrante.
Son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo II y III
d) Sólo III e) I , II y III
32. El mínimo valor de la función:
xTgf 2
)x(
;
6
5;
3
x es :
a) 0 b)
3
1
c) 3
d) No existe mínimo f e) 1
33. Si:
3
;
6
para que valores de "x" se cumple
que:
2x3Sen)1x( 2
a)
14
9;
9
14
b)
13
9;
9
13
c)
16
9;
9
16
d)
11
9;
9
11
e)
10
9;
9
10
34. En la figura mostrada, halle el área de la región
triangular OQP.
y
xOQ
P
(0;1)
(1;0)
a)
4
CosSen
b)
8
CosSen
c)
16
CosSen
d)
2
CosSen
e) CosSen
35. En la figura siguiente, calcular el área de la región
sombreada.
y
x
x +y =12 2
3
1
3
xy
a) 2
)(Cos b)
2)(Cos
2
1
c)
2)(Cos
3
1
d)
2)(Cos
2
1
e)
2)(Cos
2
1
36. En el círculo trigonométrico mostrado, halle el área de
la región sombreada.
y
xO A
B
C
D
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68. a)
2
Sen2
b)
2
Tan
2
c)
2
SenTan
d)
2
SenTan
2
e)
2
SenTan
2
37. Según la figura, sólo una de las siguientes afirmaciones
es Verdadera para:
2
x0
y
xO A
B
C
D
x
C.T.
a) Tanx
2
xx2Sen
b) Tanxx2SenxCosx
c) CosxxSenx
d) SenxxCosx
e) TanxxSenxCosx
38. Señale la variación de:
1Sen
4
Tan4M
3
a) [ 5 ; 4] b) [ 4 ; 5] c) [ 3 ; 3]
d) [ 6 ; 4] e) [ 3 ; 5]
39. Señale la variación de:
2SenxxSen
1SenxxSenM
2
2
a)
2
3;
7
3
b)
4
3;
7
3
c)
7
4;
7
2
d) 1;
7
3
e)
4
3;
7
1
40. Señale Verdadero (V) o Falso (F), según corresponda
en:
I. 2121
xx/
2
;0x;x y
)Tanx(Sen)Tanx(Sen
21
II.
2121
xx/
2
;0x;x y
)Senx(Tan)Senx(Tan
21
III.
2121
xx/
2
;0x;x y
)Tanx(Cos)Tanx(Cos
21
a) VFV b) VVF c) FFV
d) FFF e) FVF
41. En la C.T. mostrada:
2
1
S
S
y
x
S2S1
AA'
B
B'
a)
2
)1TanSec(Tan
2
1
b)
2
)1TanSec(Cos
2
1
c)
2
)1TanSec(Tan
2
1
d)
2
)1TanSec(Tan
2
1
e)
2
)1TanSec(Cos
2
1
42. En la C.T. mostrada:
17
15
S
S
2
1
Calcular: "S"
y
x
S1
AA'
B
B'
S O Q
N
S2
T
S
a)
2
7
15
b)
2
17
12
c)
2
17
14
d)
2
17
16
e)
2
17
20
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69. 43. Señale Verdadero (V) o Falso (F) en:
I. Cos(Sen1) < Cos(Sen2)
II. Sen(Cos2) > Sen(Cos3)
III. |Tan(Sen4)| > |Tan(Sen5)|
a) VVF b) VFV c) FFV
d) FVF e) FVV
44. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
en:
I. Sec (Sen1) > Sec(Sen2)
II. Sec(Cos1) > Sec(Cos2)
III Si : TanSec
2
a) FFF b) FFV c) VFV
d) FVF e) VVF
45. Del gráfico mostrado, hallar las coordenadas de P.
y
x
x +y =12 2
P
a)
Tan1
Tan;
Tan1
Tan
b)
Tan1
Tan
;
Tan1
1
c)
Tan1
Tan;
Tan1
1
d)
Tan1
Tan;
Tan1
1
e)
Tan1
Tan
;
Tan1
1
46. Sabiendo que:
TanCot2Cot
Señale la variación de:
1|Sen|3L
a) [0 ; 2] b) [1 ; 2] c) 2;1
d) 2;1 e) 3;1
47. Sabiendo que: 2
2
3
Señale Verdadero (V) o Falso (F), según corresponda
en:
I. TanTan
II. SenTanSenTan
III. )Cos2(Tan)Cos2(Tan
a) FVF b) VVF c) FFV
d) FFF e) FVV
48. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar el
área de la región sombreada, si AB//MN
y
xAA'
B'
B
C.T
N
M
a) CovVers b) CosVers
2
1
c) CovVers
2
1
d) SenCov
2
1
e) CosVers
4
1
49. En la C.T. mostrada, calcular:
Ctg)S2(M
S: área de la región sombreada.
S
x
y
x +y =12 2
AO
B
a)
4
1
b)
2
1
c) 2
d) 1 e)
3
2
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70. 50. Siendo x un arco perteneciente al intervalo 0);(
Además:
2
3
Senx1
Hallar la variación de:
1
62
xTan3K
a) 2;1 b) 2;2 c) 2;
2
1
d) 1;
2
1
e) 2
3
;
2
2
51. Dado:
6
11;
6
Calcular la variación de:
CosCosT 2
a) 4
323
;0 b) 4
323
;
4
1
d) 4
33
;
2
1
d) 2
1
;
4
33
e)
2
1;0
52. Si: 2
Además:
4
15
Cos
4
7
Hallar la extensión de: 2
Tan
a) ;
7
9
b) ;
15
1
c) ;51
d) ;7 e) ;7
53. Calcular el valor de Tan , para el cual:
TanCsc
y2
x3 , toma su valor máximo,, siendo x e y
las coordenadas del punto P.
Además : 2AP = 3TP
y
x
x +y =12 2
A
P
T
a) 6 b)
3
6
c)
4
6
d)
2
6
e)
3
62
54. Sabiendo que:
24
5;
24
x
Señale la variación de :
1x2
4
3Csc2L
a) 4;2 b) 4;1 c) 4;1
d) 3;1 e) 3;1
55. En la C.T. mostrada, las áreas de las regiones sombreadas
son iguales.
Calcular: 3
TanTanL
y
x
A
B'
M
N
Q
S
P
A'
a) 2 b) 4 c) 3
d) 6 e) 8
56. En la C.T. mostrada, hallar: Tan
Si : MP es una vertical de longitud igual al diámetro de
la C.T. y además OQ = 0,5
y
x
A
B'
A'
C.T.
O
Q
B
M
P
a) 10
3
2
b) 10
2
3
c) 10
4
3
d) 10
5
3
e) 10
5
2
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71. 57. Si en la C.T. mostrada, el área de la región sombreada
es igual a 22 .
Calcular: 22
CosSecL
y
x
B'
M
A' AOS
B
a) 16 b) 8 c) 6
d) 18 e) 24
58. Del gráfico, hallar MN :
y
xO
C.T.
M N
a)
CosCos
SenSen
b)
CosSen
SenSen
c)
CosCos
CosCos
d)
SenSen
CosCos
e)
SenSen
)CosCos(Sen
59. De la figura, "G" es el baricentro del triángulo OPQ.
Calcular la ecuación de la recta que pasa por G y por el
origen del sistema de coordenadas, en términos de
y .
y
x
x +y =12 2
O
Q
P
a) x
2
Tany
b) x
2
Tany
c) x)(Tany
d) x
2
Coty
e) x)(Ctgy
60. Si "S" representa el área de la región sombreada,
reduzca:
232 Sen)CosS(SenE
y
xO
C.T.
y=x2
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e)
2
1
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72. ClavesClaves
361.
362.
363.
364.
365.
366.
367.
368.
369.
370.
371.
372.
373.
374.
375.
376.
377.
378.
379.
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
c
d
b
a
b
b
d
a
b
c
e
a
d
d
c
c
d
c
c
b
a
b
b
c
e
c
b
c
d
b
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
408.
409.
410.
411.
412.
413.
414.
415.
416.
417.
418.
419.
420.
a
b
d
e
c
e
e
e
b
d
a
b
d
d
e
d
e
a
d
a
b
b
d
e
a
c
d
e
b
b
www
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73. Capítulo
IDENTIDADESTRIGONOMÉTRICAS
DEUNAVARIABLE8
* DEFINICIÓN: Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable; las cuales se verifican para
todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida.
* CLASIFICACIÓN:
I. I. T. RECÍPROCAS:
Zn;
2
nRx;
Tanx
1Cotx1TanxCotx
Zn;
2
1)(2nRx;
Cosx
1Secx1CosxSecx
}Zn;{nRx;
Senx
1Cscx1SenxCscx
II. I. T. POR DIVISIÓN:
Zn;
2
)1n2(Rx;
Cosx
SenxTanx }Zn;n{Rx;
Senx
CosxCotx
III. I. T. PITÁGORAS:
1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
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74. IV. I. T. AUXILIARES:
Zn;nRx;
m
1CotxCscxmCotxCscx
:Si
Zn;
2
)1n2(Rx;
n
1TanxSecxnTanxSecx
:Si
c
bosxC
c
anxSe
:Entonces
baccbCosxnxaSe
:Si
Rx;Senx)(1 Cosx)2(1)CosxSenx1(
Rx;xxCosSen31xCosxSen
Rx;xxCosSen21xCosxSen
Zn;
2
nRx;xxCscSecxCscxSec
Zn;
2
nRx;SecxCscxCotxTanx
22
2
2266
2244
2222
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
www
com
.
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75. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Reducir:
E = (1+Cosx)(Cscx-Ctgx)
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Secx e) Cscx
02. Simplificar:
Ctgx
Tgx
Secx
Cosx
Cscx
SenxE
a) 1 b) xSec2 c) xCsc2
d) Secx e) Cscx
03. Simplificar:
Cosx.Senx
1)CosxSenx(
E
2
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 0
04. Determinar "k" en:
k
2
Senx1
Cosx
Senx1
Cosx
a) xCos2 b) SenxCosx c) Senx
d) Cosx e) x2
Sen
05. Reducir: Senx)]Tgx1(Ctgx)1Ctgx(Tgx[E
a) 1 b) Ctgx c) Cosx
d) Tgx e) Secx
06. Simplificar:
Cosx1
1
Cosx1
1E
a) 2 b) 2Secx c) 2Cscx
d) xSec2 2 e) xCsc2 2
07. Simplificar: Tgx
TgxSecx
1E
a) Secx b) Cosx c) Cscx
d) Ctgx e) 2Tgx
08. Simplificar: )ICx(
Senx
SenxSenxCosx21
E
a) Senx b) Cosx c) 1
d) Tgx e) Ctgx
09. Reducir:
Senx
CtgxCscx.Secx
E
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Secx e) Cscx
10. Simplificar:
1CosxSen
1xCosxSenE
66
44
a) 5/3 b) -1 c) 2/3
d) 3/4 e) 1/3
11. Reducir: )xCosxSen(2)xCosxSen(3E 6644
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
12. Eliminar "x" a partir de: Senx = m, Cosx = n
a) 1nm 22
b) 5nm 22
c) 3nm 22
d) 7nm 22
e) N.A.
13. Si: Senx+Cosx = m
Calcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)
a)
2
m1 2
b)
2
m1 2
c)
2
)m1( 2
d)
2
)m1( 2
e) 1+m
14. Si: Tgx+Ctgx = 3
Calcular: E = Secx+Cscx
a) 3 b) 9 c) 11
d) 15 e) 17
15. Reducir: E = (Tgx+Ctgx)Cosx
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Secx e) Cscx
16. Determinar "x" para que la igualdad:
x
1
Cot
1
Tan
1
Cos
1
222
Sea una identidad
a) 2
Sen b) 2
Cos c) 2
Tan
d) Secx e) Cscx
17. Reducir: Tgx
Senx1
CosxE
a) Senx b) Cscx c) Secx
d) Tgx e) Ctgx
www
com
.
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M
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76. 18. Si la igualdad es una identidad
Calcular: M+N
xCtg4M
CtgxCscx
CtgxCscx
CtgxCscx
CtgxCscx N
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
19. Hallar A en la siguiente identidad:
1Cscx
A
Senx1
Senx1
a) xSen2 b) xCos2 c) xTg2
d) xCtg2
e) xSec2
20. Eliminar "x" a partir de:
Tgx + Ctgx = a
Tgx - Ctgx = b
a) 3ba 22
b) 3ba 22
c) 4ba 22
d) 4ba 22
e) 8ba 22
21. Si:
6
7CosxSenx
Calcular :
C = Senx Cosx
a)
7
1
b)
6
1
c)
14
1
d)
12
1
e)
9
1
22. Si: 23CotxTanx
Calcular:
xCscxSecC 22
a) 9 b) 12 c) 16
d) 18 e) 36
23. Simplificar:
SenxCosxCotx
CosxSenxTanxC
a) 1 b) Tanx c) Cotx
d) xTan2
e) xCot2
24. Reducir:
CosxSenx
xCosxSen
C
44
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Senx + Cosx e) Senx - Cosx
25. Simplificar:
xSen)xCot1(xCos)xTan1(C 4242
a) 1 b) xxCosSen 22
c) xSen2 d) xCos2
e) 2
26. Simplificar:
C = (Secx Cscx - Cotx) (Secx Cscx - Tanx)
a) 1 b) xTan2 c) xCot2
d) SenxCosx e) Secx Cscx
27. Si:
9
7xCosxSen 44
Calcular: xCosxSenC 66
a)
3
1
b)
3
2
c)
9
1
d)
9
2
e)
9
4
28. Eliminar "x" de:
Senx + Cosx = m ; Tanx + Cotx = n
a) 2)1m(n 2
b) 2)1n(m 2
c) 1)1m(n 2
d) 4)1m(n 22
e) 2)1m(n 22
29. Demostrar las siguientes igualdades:
1.1 Senx Cotx + Cosx Tanx = Senx + Cosx
1.2 SenxCosx2xTanxCosxCotxSen 22
1.3 )1xCsc()xSen1)(1xSec( 222
1)xCos1( 2
1.4 1
1Cotx
CosxSenx
1Tanx
CosxSenx
22
1.5 Cotx
xCosCosx
xSenSenx
3
3
30. Reducir: 3
SenxCscx
CosxSecxW
a)
2
Cotx
b) Secx c) Cscx
d) Tanx e) Senx
31. Si:
2
1aCosaSen 22
Entonces : Tana + Cota es:
a)
3
10
b)
3
34
c)
102
13
www
com
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atem
atica1

77. d)
4
33
e)
13
102
32. Si:
)Cosx1)(Senx1(A)CosxSenx1( 2
Calcular: "A"
a) 1 b) 2 c) 1
d) 2 e) 4
33. Hallar el valor numérico de la expresión:
T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º + 1)
(Cos35º + Cos55º - 1)
a) 1 b) 2 c) 2
d) 2 e) 2
34. Si:
2
5CscaSena
Calcular : E = Cota + Cosa
a) 33 b) 32 c)
2
33
d)
3
32
e)
3
3
35. Si: Cos
4
Sen
Entonces el valor de:
CotTan
21Tan , es :
a) 1 b) 1 c) 3
d) 3 e)
3
3
36. Calcular:
BSenACos 22
Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios
a) 1 b)
2
1
c) 0
d)
2
1
e) 1
37. Si: xCscxSec)xCotxTan(f 4422
Calcular: f (2) + f (3)
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
38. Si: 7xCscxSec 22
Calcular:
)xCotxCsc)(xTanxSec(C 2222
a) 13 b) 14 c) 22
d) 16 e) 15
39. Si:
2
1
CosSen
Cos21 2
Entonces el valor de:
CosSenE , es:
a)
4
1
b)
8
1
c)
8
3
d)
4
3
e)
2
1
40. Reducir:
)CotxTanx)(1xCosxSen(C 66
a) SenxCosx b) 3SenxCosx
c) - 3SenxCosx d) - 3
e) 3
41. Si: Tanx + Cotx = 2 y
CotxTanx
xnCotxnTan
xnCotxnTan
nn
xCotxTanE
Siendo "n" potencia de 2; entonces el valor de 2
E es :
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
42. Si: Senx Cosy = 0,5
Hallar : CosyyCosxCosP 22
a)
4
5
b)
4
3
c)
2
1
d)
2
3
e)
4
1
43. Calcular: Tan
Si: ba;
ba
abbSenaCos 44
a)
b
a
b)
a
b
c)
b
a
d)
b
a
e) ab
44. Dado:
Secy2Tanx21
Secx2Tany21
Calcular: E = Secx + Secy
a)
2
2
b) 12 c)
2
23
d)
3
2
e) 12
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78. 45. El valor de "E" en la identidad:
SenECosSen 23
2
;
2
, es :
a) 2
Sen b) 2
Cos c) CosSen
d) Cos e) Sen
46. Hallar el valor de "B" sabiendo que:
CosSen
CosSenTanA
Cos-SenBSenA
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2 e) 5
47. Si:
m
nTana
Entonces:
n (2Cosa + Seca) - 2mSena
Es igual a:
a) mCosa b) mSeca c) mn
d) nSeca e) nCosa
48. Si : 2xSecxCosa 222
Encontrar el valor de:
C = Senx Tanx + 2Cosx
a) 2a2 b) 2a2 c) a
d) a e) a
49. Si: nTanxxSec2
Hallar:
3
33
)CosxSenx(
xCosxSenC
a)
2n
1n
b)
1n
2n
c)
2n
1n
d)
1n
2n
e)
1n
2n
50. Simplificar la expresión:
Senx1
Cosx1
Senx1
Cosx1K ;
2
3x
a) 2 b) Secx2
c) Secx2 d) Cosx2
e) Cosx2
51. Si: P, Q y R son constantes que satisfacen la relación:
1Cscx
1
Senx1
1xQTanP R
Calcular: P . Q . R
a) 6 b) 2 c) 4
d) 8 e) 12
52. Si:
24
y
9
7CosSen 44
Calcular: CosSenC
a) 3 b) 5 c)
3
3
d)
3
2
e)
3
3
53. Calcular el mínimo valor de:
xCscxSecE 44
a) 6 b) 4 c) 8
d) 10 e) 12
54. Hallar: y = Senx Cosx
Si:Tanx - Senx = 1
a) 21 b) 21 c) 21
d) 12 e) 2
55. Sabiendo que es un ángulo agudo el cual satisface
la ecuación:
5CscCtg
Determine el valor de la expresión :
Sen26Tg24
a) 10 b) 20 c) 15
d)
12
5
e)
13
5
56. Siendo: 2CotxTanx
Calcular:
xxCotCosxTanxSenC 2424
a)
3
5
b)
3
7
c) 2
d) 3 e)
3
4
57. Siendo: Senx + Cosx = n
Hallar:
1CotxCscx
1CotxCscx
1TanxSecx
1TanxSecxC
a)
1n
2
b)
1n
2
c)
1n
2
2
d)
1n
2
2 e)
1n
1
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79. 58. Siendo: Tanx + Cotx = 3
Calcular:
CosxSenx
xCosxSenS
77
a)
27
13
b)
27
19
c)
27
29
d)
27
25
e)
27
31
59. Siendo:
2CotxTanx
Calcular:
CscxSecx
xCscxSec
C
55
a) )65(3 b) )65(6
c) )63(6 d) )63(3
e) )63(5
60. Sabiendo que:
IVCx;nCosxSenx
Reducir:
Cosx1
Cosx1
Senx1
Senx1C
a)
1n
1
b)
1n
1
c)
1n
2
d)
1n
2
e)
1n
2
2
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80. ClavesClaves
b
b
c
d
e
e
a
e
d
c
ba
c
d
e
a
c
d
d
c
d
d
b
d
a
a
b
a
-
d
b
b
b
b
c
e
d
e
c
c
b
b
e
c
e
b
d
e
c
b
c
e
c
d
b
b
b
c
b
d
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
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81. Capítulo
IDENTIDADESTRIGONOMÉTRICASDE
LA SUMA YDIFERENCIA DEVARIABLES9
I. Para la Suma:
TanyTanx1
TanyTanx
)yx(Tan
SenySenxCosyCosx)yx(Cos
CosxSenyCosySenx)yx(Sen
II. Para la Diferencia:
TanyTanx1
TanyTanx
)yx(Tan
SenySenxCosyCosx)yx(Cos
CosxSenyCosySenx)yx(Sen
PROPIEDADES:
I.
ySenxCos)yx(Cos)yx(Cos
ySenxSen)yx(Sen)yx(Sen
22
22
II.
CosyCosx
)yx(Sen
TanyTanx
III.
:donde;)x(SenbaK
Rb,abCosxaSenxK:Si
22
b
a
a + b2 2
IV.
22
mín
22
máx
baL
baL
Rx,b,a;bCosxaSenxL
:Si
Donde :
a b : constantes
x : variables
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