Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial
Andrés Eloy Blanco
Plano Numérico
Participante: Edwin Mollejas
Sección: N0103
Barquisimeto, Edo-Lara
2. También llamado plano cartesiano o sistema cartesiano, es
un diagrama de coordenadas ortogonales usadas para
operaciones geométricas en el espacio euclídeo (o sea, el
espacio geométrico que cumple con los requisitos
formulados en la antigüedad por Euclides).
Se utiliza para representar gráficamente funciones
matemáticas y ecuaciones de geometría analítica. También
permite representar relaciones de movimiento y posición
física.
Sobre el material
El plano cartesiano debe su
nombre al filósofo francés
René Descartes (1596-1650),
creador del campo de la
geometría analítica.
3. A partir de conocer la ubicación de dos puntos en el plano cartesiano, es posible
determinar la distancia que hay entre éstos. Cuando algún punto se encuentra en el eje
de las x o de las abscisas o en una recta paralela a éste eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de las diferencia de sus abscisas. (x 2 – x 1 ).
Distancia
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0).
Donde (-4) = x 1 ; 5 = x 2. Aplicando la
fórmula es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Lo mismo sucede con el eje de las ordenadas,
cuando los puntos se encuentran ubicados sobre
el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde
al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
(y 2 – y 1 ).
Si los puntos se encuentran en cualquier
lugar del plano cartesiano, se calcula
mediante la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar
los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en
el sistema de coordenadas, luego formar un
triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y
emplear el Teorema de Pitágoras.
4. El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos
puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto medio
es el que lo divide en dos partes iguales.
Punto Medio
Sean A(x1,y1,z1) y B(x2,y2,z2) los extremos de un segmento, el punto
medio del segmento viene dado por:
5. Ecuaciones
Dentro del ámbito del álgebra clásica, es una
Igualdad que contiene una o más incógnitas.
Estas señalan elementos de un conjunto
numérico. Se conoce como miembros a las
expresiones algebraicas que presentan los
datos (los valores conocidos) y las incógnitas
(los valores desconocidos) relacionados a través
de la suma, el producto, la potenciación y sus
inversas respectivas: resta, cociente,
exponenciación y logaritmo, con las
restricciones particulares.
6. Ecuaciones algebraicas
Ecuaciones
irracionales
TIPOS DE
ECUACIONES
Las funciones algebraicas son las ecuaciones que
introducen polinomios dentro de sus expresiones.
Podemos encontrar diferentes tipos de funciones
polinómicas según el grado de la ecuación. El grado de
la ecuación se determina por el mayor exponente.
Ecuaciones de primer
grado o ecuaciones
lineales
Las ecuaciones de primer
grado o ecuaciones lineales,
se definen como las
expresiones con una o más
incógnitas elevadas a la
primera potencia.
Ecuaciones
cuadráticas o de
segundo grado
La ecuaciones de
segundo grado,
también llamadas
ecuaciones cuadráticas,
son aquellas cuyo
mayor grado es 2.
Ecuaciones de tercer
grado
Se denominan ecuaciones de tercer
grado todas las ecuaciones cuyo mayor
grado es 3. Sucesivamente, según el
grado que posean las ecuaciones se
consideran 'ecuaciones de grado n'
donde n es el mayor exponente de la
ecuación. De forma que si en una
ecuación n=7, se denomina ecuación de
grado 7.
Ecuaciones
bicuadradas
La ecuaciones bicuadradas
son un tipo de ecuación de
cuarto grado que no posee
términos impares. La
fórmula de las ecuaciones
bicuadradas es:
ax4+bx2+c=0
Las ecuaciones irracionales también
poseen el nombre de ecuaciones radicales.
Estas ecuaciones se caracterizan por tener
la incógnita dentro de un radical.
7. La incógnita de las ecuaciones
potenciales se sitúa en el
exponente de cada una de las
potencias. Es posible que
encontremos la incógnita en
uno de los componentes de la
ecuación, o en cada uno de los
elementos que aparecen. Es
muy importante conocer las
propiedades de las potencias
para poder resolverlas.
Este tipo de ecuaciones vienen determinadas
por otros tipos de operaciones que no se
corresponden con el álgebra lineal.
Ecuaciones no
algebraicas
TIPOS DE
ECUACIONES
Ecuaciones
diferenciales
Las ecuaciones diferenciales,
son aquellas que vienen
determinadas por las
derivadas de una o más
funciones. Según el número
de variables independientes,
pueden ser ecuaciones
diferenciales ordinarias, o
ecuaciones derivadas
parciales.
Ecuaciones
trigonométricas
Las ecuaciones
trigonométricas son las
ecuaciones cuya
incógnita se encuentran
afectada por una función
trigonométrica. Podemos
encontrar resultados
infinitos, debido a que
estas funciones son
periódicas.
Ecuaciones integrales
En las ecuaciones integrales,
vemos que la función incógnita se
encuentra dentro de una operación
integral. Este tipo de ecuaciones se
leen como 'integral de f(x)' o
'diferencial de x'. Las ecuaciones
integrales y diferenciales están
estrechamente relacionadas, y se
pueden utilizar las dos para
plantear algunos problemas
matemáticos.
Ecuaciones
exponenciales
Ecuaciones logarítmicas
Llamamos ecuaciones logarítmicas a aquellas ecuaciones, donde la incógnita se ve
afectada por algún logaritmo. Para resolverlas debemos aplicar las diferentes
propiedades que de los logaritmos.
8. trazado de
circunferencias
Se unen los tres puntos, dos a dos, por
ejemplo A-B y B-C.
Se trazan las mediatrices de los
segmentos AB y BC.
El punto O, donde se cortan las dos
mediatrices, es el centro del arco
solicitado. Desde este punto se traza el
arco o la circunferencia que deberá pasar
por los tres puntos.
Se trata de hacer pasar un arco de
circunferencia, o bien una circunferencia
completa, por tres puntos (no alineados) que
se tienen como datos.
OPERACIONES:
1.
2.
3.
Parabolas
La parábola es una curva plana, abierta
y de una rama. Se define como el lugar
geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo F, llamado
foco, y de una recta fija d, llamada
directriz. Tiene un vértice v y un eje de
simetría que pasa por v y por el foco y
es perpendicular a la directriz. La
tangente en el vértice de la curva es
paralela a la directriz.
9. Eclipse
Se trata de una circunferencia achatada que
se caracteriza porque la suma de las
distancias desde cualquiera de sus puntos P
hasta otros dos puntos denominados focos
(F y F') es siempre la misma.
Ten en cuenta que para cualquier punto de
la elipse siempre se cumple que:
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un
punto genérico P al foco F y al foco F'
respectivamente.
Hipérbole
Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos,
se denomina hipérbola al conjunto de
puntos del plano tales que el valor absoluto
de la diferencia de sus distancias a los focos
es constante.
Si la distancia entre los focos es d(F1,F)=2c
, la condición para que sea una hipérbola es:
10. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes
intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las
cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y
circunferencia. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del
plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso
particular de elipse) (rojo)
Y β= 180º : Triangular
Cuando β > α la intersección es un único
punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta
generatriz del cono (el plano será tangente
al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada
por dos rectas que se cortan en el vértice.
Cuando β = 90º El ángulo formado por las
rectas irá aumentando a medida β
disminuye,cuando el plano contenga al eje
del cono (β = 0).
Si el plano
pasa por el
vértice del
cono, se
puede
comprobar
que:
