Complemento trigonometría matemática

1. ¿Qué es el análisis?
2. Funciones
3. Límites
4. Sucesiones (Próximamente)
4. Series (Próximamente)
5. Derivadas
6. Integrales (Próximamente)
ANÁLISIS MATEMÁTICO
¿Qué es el análisis?
El análisis matemático es una área de las matemáticas que estudia el
comportamiento de los números reales (que son la base sobre la que parte
el análisis en matemáticas) y los números complejos. Abarca también las
construcciones que se obtienen de estos números, tales como las funciones, series,
sucesiones, continuidad, límites y convergencia, así como las ramas de la
integración y derivabilidad.
A partir de las construcciones obtenidas de dichos números y de nociones
como función, límite, series y sucesiones, convergencia y continuidad, da lugar a
ramas diversas como derivadas y cálculo integral o teoría de funciones.
Funciones
Las funciones son reglas que relacionan los elementos de un conjunto con los
elementos de un segundo conjunto.
Cuando una magnitud depende de otra, se dice que está en función de ésta.
Una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto
(conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). A cada
elemento de X le corresponde, un y solo un elemento de Y.

El elemento x del primer conjunto es la variable independiente. Es un valor
que se fija previamente.
La letra y es la variable dependiente y corresponde a los elementos del
conjunto final. Ésta variable depende del valor de la variable independiente x.
A f(x) se le denomina imagen de x, mientras que a x se le llama anti
imagen de f(x).
Límites
La noción de límites se refiere en términos coloquiales a lo que nos lleva
nuestra intuición: es aquello a lo que nos podemos acercar hasta que queramos.
El límite es una noción muy importante en el cálculo matemático. Fundamental
para áreas, continuidad, asíntotas, convergencia, derivadas o integrales.
En el límite de una función las claves son la variable x y los diferentes valores
que adquiere la función f(x). En el límite de una sucesión, la equivalencia del papel
de x es el índice n, mientras que los términos an de la sucesión equivaldrían al papel
de los valores de f(x).
Límite define formalmente ese valor cuando nos acercamos a un determinado
punto, tanto para el límite de una función como para el límite de una sucesión.
En matemáticas, el límite de una función en un punto o el de una sucesión es
el valor único al que se acerca la función cuando la variable independiente x se

aproxima, tan cerca como queramos, a un valor establecido o es el término de
una sucesión cuando el índice n tiende al infinito.
En una función, si al valor del límite lo llamamos L y al punto al que tiende
la variable independiente lo llamamos a, la expresión del límite sería:
Se puede ver en esta figura:
El límite, si existe, no requiere que exista en la función el valor f(a), aunque el
límite tienda a él. También puede ocurrir que el valor de la función en el punto x =
a sea un valor diferente al del límite buscado.
Como en este caso, en que el límite L existe aunque no exista el valor f(a) en
esta función:
Aparte de tender la x a un número finito a, pueden haber límites en que x tienda
a +∞ (en los que nos acercaremos a +∞ por la izquierda de la recta real), a -∞ (en
los que nos acercaremos a +∞ por la derecha) o, genéricamente a ∞. Son
los límites en el infinito.

Cuando la función tiende a hacerse indefinidamente grande hacia valores
positivos o negativos, estamos en un caso de límites infinitos.
Una sucesión puede tener un límite finito (sucesión convergente), infinito
(sucesión con límite infinito) o, simplemente, no tener límite.
Hay muchos límites de una sucesión de gran importancia en el cálculo
matemático, como por ejemplo el número e.
DERIVADAS INMEDIATAS
Las derivadas inmediatas son las derivadas de las
llamadas funciones elementales. Son las derivadas de diversos tipos de funciones,

como la derivada de la función identidad, la derivada de la función potencia, la derivada
de la función exponencial, la derivada de la función logaritmica, o la derivada de las
funciones trigonométricas, etc.
Estas derivadas se pueden consultar en la tabla de derivadas. En ella, al lado de
las derivadas de cada función elemental figura su correspondiente derivada de
la función compuesta.
Para obtener la derivada de una función compuesta, es decir de una composición
de funciones del tipo z(x) = g[f(x)], basta con sustituir en la derivada de su función
elemental correspondiente (que en este caso la representaría g(x)) la x por f(x),
multiplicándola por la derivada f’(x).

¿Qué es la geometría?
La geometría es una área de las matemáticas que estudia las medidas,
propiedades y relaciones que se encuentran en el espacio, tales como de los
puntos, líneas, ángulos, superficies y sólidos.
El término geometría viene de los términos griegos geos (tierra) y metría
(medir). Es decir, era la ciencia que intentaba medir todas las cosas de la Tierra.
La geometría tiene múltiples aplicaciones en la vida cuotidiana:
▪ Un constructor va a diseñar un edificio y necesita calcular su volumen para
obtener la licencia municipal. Para ello puede recurrir a la fórmula del volumen
del prisma rectangular, ya que la finca tiene esa forma.
• La geometría también es útil para calcular distancias entre lugares. Se puede
calcular la distancia entre el pueblo A y el B.

• Acabamos de comprar una vivienda. Nos han dicho los metros cuadrados que
tiene pero queremos calcularlos también nosotros. Como sabemos que el
solar es rectangular, utilizamos la fórmula del área del rectángulo para saber
los metros cuadrados de nuestra casa, multiplicando el ancho (a) por el largo
(b).
RECTA
Una recta es el lugar geométrico de los infinitos puntos del plano que, si se toman
de dos en dos, mantienen una pendiente única y están alineados.
También se puede definir la recta como el conjunto infinito de puntos del plano
cuyas coordenadas satisfacen una determinada ecuación lineal.
La recta tiene una dirección y una dimensión, que es la longitud. La longitud de una
recta no tiene fin, no se puede medir.
Una recta suele denominarse por una letra minúscula. Por ejemplo r. También
puede representarse por esta notación, si conocemos dos de sus puntos:
Una recta queda determinada en un sistema de referencia (que aquí lo referiremos
al plano cartesiano) por:
▪ Un punto de la recta y un vector libre. Se llama vector director de la recta y tiene
su misma dirección.
▪ Un punto y la pendiente de la recta.
▪ Dos puntos.
Semirrecta
Una recta se puede dividir en dos semirrectas y en segmentos.
Una semirrecta es el conjunto de puntos de la misma, resultado de cortarla a partir
de uno de sus puntos, que se llama origen de la semirrecta. Su longitud es también

infinita. Toda semirrecta tiene una semirrecta opuesta con la que comparte el punto
de origen, aunque sus direcciones son contrarias. Su representación es:
Y, gráficamente:
Un segmento es un tramo de una línea recta con principio y fin. Tiene longitud. Su
representación es:
Ecuacionesdelarecta
Las ecuaciones de la recta marcan la relación que deben cumplir las coordenadas
de un punto para que éste pertenezca a la recta.
Estas son unas formas de la ecuación de la recta en el plano:
▪ Ecuación vectorial
▪ Ecuaciones paramétricas
▪ Ecuación continua
▪ Ecuación general de la recta
▪ Ecuación ordinaria (o explícita)
▪ Ecuación punto-pendiente
▪ Ecuación punto-punto
▪ Ecuación en forma simétrica
Ecuaciónvectorial
Sea una recta r del plano cartesiano determinada por uno de sus puntos P y
un vector director de dicha recta. Si t es un número real llamado parámetro, cualquier
punto de la recta X, con un vector de posición x quedará determinado por esta ecuación,
llamada ecuación vectorial de la recta:

El número t representa las veces que el vector PX contiene al vector unitario.
Dando valores a t obtendremos diferentes puntos X de la recta r representados por el
correspondiente vector de posición de cada punto X.
La ecuación factorial arriba mostrada se forma por la suma vectorial del vector
posición del punto P y el vector de cualquier punto de la recta PX. Como se ve en la
siguiente figura:
La determinación vectorial de una recta tiene esta notación:
(x, y) son las coordenadas en el plano del punto X, las de P(xp, yp) y las del vector
unitario v(vx, vy). Entonces la ecuación vectorial de la recta la podremos escribir
también así:
Dando valores a t, el punto X puede recorrer los puntos de la recta:

Ecuaciones paramétricas
Las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano se pueden deducir de la
anterior expresión de la ecuación vectorial:
Ecuación continua
Las ecuaciones continuas de la recta en el plano se desprenden de las ecuaciones
paramétricas, al despejar el parámetro t e igualar los resultados.
Que indican la proporcionalidad entre las componentes cartesianas del vector PX y
las componentes cartesianas correspondientes del vector unitario v.
Puede existir un cero en uno de los denominadores. Sería el caso de una recta
horizontal o vertical.
Ecuacióngeneral delarecta
La ecuación general de la recta (o ecuación implícita) se obtiene eliminando los
denominadores en la ecuación continua:

En la que A y B no pueden ser nulos a la vez. La ecuación general se debe presentar
de forma que A sea positiva.
Ecuaciónordinaria
La ecuación ordinaria de la recta (o ecuación explícita) se obtiene al despejar de
la ecuación general la variable y, siempre que B sea distinta de cero. Se denomina
también forma principal u ordinaria de la ecuación de la recta.
Cuando x = 0, entonces y = b. Por eso a b se le llama ordenada en el origen.
Como dos puntos determinan una recta, con ellos podemos obtener su pendiente.
El valor de la pendiente también se puede obtener a partir de la ecuación general:
La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con la rama positiva del
eje X, y m = tan α.
Cuando m > 0 la recta es ascendente, cuando m < 0 la recta es descendente. Si m = 0
la recta es horizontal. Cuando la recta es vertical, decimos que tiene una pendiente
indeterminada (o infinita), pues así es la tangente de 90°.

Ecuaciónpunto-pendiente
La ecuación punto-pendiente de la recta se plantea si se conoce la pendiente de
la recta y uno de sus puntos:
Ecuaciónpunto-punto
Sean dos puntos conocidos de la recta A(x1, y1 y B(x2, y2. La ecuación punto-punto
de la recta deriva de la ecuación punto-pendiente y de la expresión conocida de m:
Ecuaciónenformasimétrica
Cuando se conocen los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas:
corte en las abscisas (a, 0) y corte con el eje Y (0, b), sabiendo que (b) es la ordenada
en el origen), podemos escribir:

Estos puntos de corte se obtienen de la ecuación general así:
Posicionesrelativasentredosrectas
Las posiciones relativas entre dos rectas en el plano son tres:
1. Rectas secantes
2. Rectas perpendiculares
3. Rectas paralelas
4. Rectas coincidentes
1. Rectas que se cortan (rectas secantes). Para que se corten se debe de cumplir:
O, lo que es lo mismo:

Deben tener pendientes distintas.
2. Un caso particular de dos rectas secantes son las rectas perpendiculares. Sus
pendientes son inversas y de signo contrario. La condición se expresa alternativamente
así:
Dependiendo de si las ecuaciones están en forma general, explícita o simétrica.
3. Rectas paralelas. Tienen la misma pendiente. La condición se expresa así:
O, igualmente:
4. Rectas coincidentes. Comparten pendiente y, además, la ordenada en el
origen. La condición se expresa así:
O, igualmente:
Estas posiciones se pueden observar en la siguiente imagen:

Distanciasenlasrectas
A continuación vamos a ver como se calculan las distancias entre diferentes
elementos de las rectas.
Distanciaentre dos puntos deunarecta
Sabiendo las coordenadas de dos puntos de la recta P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2), la
distancia se obtiene por el teorema de Pitágoras:

Distanciaentreunpunto yunarecta
Sabiendo las coordenadas del punto P (xp,yp) y la ecuación general de la recta, la
distancia se obtiene por la fórmula:
Hay que poner la ecuación de la recta en su forma general y sustituir en la ecuación
los valores de las coordenadas del punto. El resultado se expresa en valor absoluto.
Distanciaentre dos rectas paralelas
La distancia entre dos rectas paralelas se puede hallar de dos maneras:

1. Averiguando las coordenadas de un punto cualquiera de una de las rectas, por
ejemplo, haciendo en su ecuación x = 0, hallar la abscisa del punto de corte en Y.
Entonces, aplicar la fórmula de la distancia entre ese punto y la otra recta, según la
fórmula anterior:
2. Al ser paralelas las dos rectas, los coeficientes de sus ecuaciones generales deben
cumplir esta condición:
Por lo que se pueden transformar las ecuaciones para que los
coeficientes A y B sean iguales, multiplicando o dividiendo una de ellas por una
constante. Con esa transformación aparecerá una nueva pareja de coeficientes
libres C y C’:

Este fórmula solamente se puede aplicar, como se ha dicho, cuando previamente se
hayan igualado en las dos ecuaciones generales de las dos rectas paralelas los
coeficientes A y B.
Ángulo dedos rectas quesecortan
El ángulo de dos rectas que se cortan en el plano cartesiano se puede calcular por
dos procedimientos: a partir de sus vectores directores o a partir de sus pendientes.
El ángulo se puede obtener a través del producto escalar de sus vectores
directores:
El otro procedimiento, más sencillo, es a partir de sus pendientes, que son los
coeficientes m1 y m2 de la x de las ecuaciones de las rectas secantes puestas en forma
explícita u ordinaria:
Se toma el ángulo menor.

Bisectrices dedos rectas quese cortan
Las ecuaciones de las dos bisectrices de dos rectas que se cortan, sabiendo sus
ecuaciones:
Se obtiene de la fórmula, que tiene dos soluciones, una por bisectriz, según los dos
signos de la fórmula:
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a otra recta r, 2x + 3y – 6 = 0 que la
intersecta en el punto de corte de la recta r con el eje de las abscisas. Poner la ecuación
de s en su forma general:
Solución:
El punto de corte es (3, 0).
La pendiente de r es -2/3. Por lo que la pendiente de la recta perpendicular será su
inversa negativa, es decir ms = 3/2. Podemos plantear la ecuación punto-pendiente de
la perpendicular s en el punto de corte (3, 0).
La imagen de estas rectas será:

Ejercicio 2
Estudiar la posición relativa de estos tres pares de rectas:
Solución:
Ejercicio 3:

Averiguar el ángulo que forman estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita.
Son secantes porque los coeficientes de x,-2/3 y 1/2 (o sus pendientes) son diferentes:
Solución:
Se aplica la fórmula del ángulo de dos rectas secantes en función de las pendientes:
Véase la imagen:
Ejercicio 4:
a. Encontrar el punto de corte de estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita.
Son secantes porque los coeficientes de x,-2/3 y 1/2 (o pendientes) son diferentes:

b. Resolver el problema pero expresando las ecuaciones de las rectas en su forma
general o implícita:
Solución:
a. Las coordenadas del punto de corte se averiguaran resolviendo este sistema de
dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Se resolverá por el método de
igualación, puesto que en ambas está despejada la y:
b. Las ecuaciones de las dos rectas expresadas en la forma general son:
El punto de corte hallado es el (3,4).
Planteadas de forma general, se resolverán por el método de reducción.
Se multiplicaran todos los términos de la segunda ecuación por -2 para, al sumarlas
término a término, quede eliminada la x:

Obteniendo el mismo resultado: (3,4).
Ejercicio 5:
a. Comprobar que las rectas r, y s son paralelas. (r está expresada en ecuación
explícita u ordinaria, mientras que s lo está en la forma general):
b. Hallar la distancia entre ambas rectas, en el caso de que sean paralelas.

Solución:
a. Para comprobar el posible paralelismo hay que comparar la igualdad de
las pendientes y que las ordenadas en el origen sean distintas. Para hacerlo, se pasa la
segunda ecuación a la forma explícita:
Son paralelas, porque tienen igual pendiente y distinta ordenada en origen.
También se puede comprobar el paralelismo con las fórmulas que se derivan de la
comparación a partir de las dos ecuaciones puestas en la forma general:
Y se hace la comprobación, viendo que existe el paralelismo:
b. La distancia entre las paralelas la obtenemos de la fórmula que emplea los
coeficientes de las ecuaciones puestas en forma general y reducidos los coeficientes de
las variables. En este caso no es necesario operar porque los coeficientes A = 1 y B = 4
ya son iguales en las dos:
La distancia es 3,88.
Se ve en la imagen:

Ejercicio 6:
Esta recta está expresada con su ecuación general:
a. Hacer las transformaciones para llegar a la ecuación explícita.
b. Obtener la ecuación en forma simétrica.
c. Averiguar la pendiente de la recta.
Solución:
a. Despejando la variable y se obtiene la forma explícita:
b. Para obtener los parámetros a y b de la ecuación puesta en forma simétrica,
hallaremos los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas, igualando
sucesivamente a cero la y y la x, por ejemplo a partir de la ecuación en forma general:

Los puntos de corte con los ejes son (0, 2) y (-3, 0). Así podemos escribir la ecuación
en forma simétrica:
c. Se pide la pendiente, que la podemos obtener a partir de dos puntos de la recta.
Tenemos las intersecciones con los ejes X e Y que antes hemos averiguado:
La pendiente es m = 2/3, que, como sabemos, coincide con el coeficiente de la x en
la ecuación puesta en forma explícita. El valor de m es positivo, por lo que la pendiente
es ascendente o creciente.
El resultado del ejercicio se ve en la imagen:

Ejercicio 7
Hallar las ecuaciones de las bisectrices de las rectas secantes, en que sus ecuaciones
son:
Solucion:
Se aplica la ecuación de las bisectrices:
En la que se colocan los datos y se resuelve:

La primera bisectriz se ha obtenido con el signo “+”:
La segunda con el signo “-”:

POLÍGONO
Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de
líneas rectas conectadas que forman una figura cerrada. Los puntos donde dos líneas
rectas del polígono se unen son los vértices.
Tiposdepolígonos
Los polígonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes
Polígonos segúnsus lados
Los polígonos se pueden clasificar según su número de lados:

▪ Triángulo: polígono con tres lados
▪ Cuadrilátero: polígono con cuatro lados
▪ Pentágono: polígono con cinco lados
▪ Hexágono: polígono con seis lados
▪ Heptágono: polígono con siete lados
▪ Octógono: polígono con ocho lados
▪ Eneágono: polígono con nueve lados
▪ Decágono: polígono con diez lados
▪ Undecágono: polígono con once lados
▪ Dodecágono: polígono con doce lados
▪ Y así sucesivamente…
Polígonos segúnsuregularidad
También podemos clasificar los polígonos según sus lados y ángulos:
▪ Equilátero: si tienen todos sus lados iguales
▪ Equiángulo: si tiene todos sus ángulos iguales
▪ Polígono regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los
ángulos iguales)
▪ Polígono irregular: tiene tanto sus lados como sus ángulos desiguales.
Polígonos segúnsus ángulos

Podemos clasificar los polígonos según si sus ángulos son mayores o menores de
180º en convexos o cóncavos.
▪ Convexo: todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º. Por otro método,
será convexo si para cualquier par de puntos del polígono, el segmento que los
une está dentro del polígono.
▪ Cóncavo: algún ángulo interior tiene más de 180º. Al contrario del convexo, en
los cóncavos existe un par de puntos del polígono que el segmento que los une
queda fuera del polígono.
Polígonos segúnsucomplejidad
▪ Simple: ningún lado del polígono intersecta con otro
▪ Complejo: al menos un par de lados se corta
Diagonalesdeunpolígono
ANUNCIOS

Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no
consecutivos.
El número de diagonales (D) de un polígono convexo (sea o no regular) viene
determinado por el número de lados que tiene el polígono. Su fórmula es:
Ver ejemplos de diagonales de un polígono
Ángulosinterioresdeunpolígono
Los ángulos interiores de un polígono son los ángulos que forman dos lados
contiguos y que esos ángulos quedan dentro del polígono. Los ángulos
suplementarios que quedarían fuera del polígono en cada vértice, formados por un lado
del polígono y la prolongación del lado adyacente se llaman ángulos exteriores.
En todos los polígonos convexos, la suma (θ) de los ángulos interiores (α) viene
determinada por el número de lados (N) que tiene éste.
La fórmula que determina dicha suma (en grados sexagesimales) es:

Por lo tanto, cada ángulo interior (α) de un polígono regular será:
La suma de todos los ángulos exteriores (dos por cada vértice, en
cualquier polígono regular vale 720°.
En esta tabla se muestran diferentes polígonos con los valores de sus ángulos
interiores y exteriores:
Ver ejemplos de ángulos interiores de un polígono
Apotemadeunpolígonoregular
La apotema de un polígono regular puede obtenerse sabiendo el número de
lados (N) del polígono y lo que mide cada lado (L).

Sea el ángulo central α el ángulo que forman las dos líneas que unen el centro del
polígono (O) y dos vértices consecutivos. Éste se calcula como:
Mediante la tangente de la mitad del ángulo central y un lado (L), se calcula
la apotema (ap) del polígono regular.
TRIÁNGULO
Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos
en tres puntos, llamados vértices (A, B y C).
Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º (π radianes).

Elementosdeuntriángulo
En un triángulo se pueden diferenciar los siguientes elementos:
▪ Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C).
▪ Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que
delimitan su perímetro. Tiene 3 lados (a, b y c).
▪ Ángulos interiores: ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el
que confluyen. Hay 3 ángulos interiores (α, β y γ). Los ángulos interiores del
triángulo suman 180º (¿por qué suman 180º?):
▪ Ángulos exteriores: ángulo de un lado con la prolongación exterior del lado
consecutivo. Hay 3 ángulos exteriores (θ). Los ángulos exteriores siempre suman
360º.
▪ Altura de un triángulo: La altura de un triángulo (h) es el segmento
perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su
prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice
opuesto. Un triángulo tiene tres alturas, según el vértice de referencia que se
escoja. Las tres alturas confluyen en un punto llamado ortocentro.
Tiposdetriángulos
Los triángulos se pueden clasificar según sus lados o según sus ángulos.
Tipos detriángulos segúnsus lados

▪ Triángulo equilátero: tiene todos sus lados iguales. Por tanto, sus ángulos
también son los tres iguales. Es decir:
Como todos los ángulos son iguales y suman 180º, todos son de 60º
(α=β=γ=60º).
▪ Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales. Por lo tanto, dos de sus ángulos
también son iguales.
El ángulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c).

▪ Triángulo escaleno: los tres lados son desiguales, por lo que los tres ángulos
también son diferentes. Es decir:
Tipos detriángulos segúnsus ángulos
▪ Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es de 90º. Los otros dos son agudos
(menores de 90º).
▪ Triángulo oblicuángulo: no tiene ningún ángulo recto (90°). Són triángulos
oblicuángulos los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos.
▪ Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores de 90º).
▪ Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor a 90º. Los otros dos
son agudos (menores de 90º).
A continuación os mostramos una tabla de los triángulos según sus ángulos y lados.

Desigualdadtriangular
La desigualdad triangular (o desigualdad del triángulo) es un teorema que
afirma que:
En todos los triángulos se cumple que la longitud de uno de los lados es menor que
la suma de los otros dos:

Áreadeltriángulo
El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de
triángulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.
La fórmula general para calcular el área de un triángulo es:
Veamos cual es la fórmula según el tipo de triángulo:

Áreadeun triángulo equilátero
El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo
triángulo, será un medio de la base (a) por su altura. En el triángulo equilátero viene
definida por la siguiente fórmula:
Áreadeun triángulo isósceles
El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la
base (b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:
Áreadeun triángulo escaleno

El área del triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si
se conocen todos sus lados (a, b y c).
También se podría calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho
lado.
Perímetrodeltriángulo
En cualquier triángulo, su perímetro es la suma de sus tres lados.
La fórmula del perímetro de un triángulo es diferente según el tipo de triángulos.
La fórmula general para calcular el perímetro de un triángulo es:

Veamos como se calcula el perímetro del triángulo equilátero, triángulo
isósceles, triángulo escaleno y triángulo rectángulo.
Perímetro deuntriángulo equilátero
El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales, por lo que su perímetro será
tres veces la longitud de uno de sus lados (a).
Perímetro deuntriángulo isósceles
El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del
triángulo. Al tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido (a) más
el lado desigual (b).

Perímetro deuntriángulo escaleno
El triángulo escaleno tiene sus tres lados desiguales. Su perímetro es la suma de
éstos tres.
Ángulosinterioresdeltriángulo
En todo triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores es
siempre 180º (en grados sexagesimales) o, en radianes, π. Es decir:
En efecto, si trazamos una recta OP paralela al lado AC, sobre el vértice B, se
formará un ángulo llano de 180º, suma de los tres ángulos interiores del triángulo.
En el caso particular del triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos
es de 90º o, en radianes, π/2.
Centrosdeuntriángulo

Los centros de un triángulo son:
▪ Baricentro o centroide
▪ Ortocentro
▪ Circuncentro
▪ Incentro
Baricentro (o centroide) deuntriángulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las
tres medianas del triángulo.
Las medianas (ma, mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus vértices con el
centro del lado opuesto.
Se cumple la siguiente propiedad: la distancia entre el baricentro (centroide) y su
vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el baricentro y el lado opuesto.
Es decir, la distancia del centroide a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana.
En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.
El centroide está siempre en el interior del triángulo.
Ortocentro deuntriángulo
El ortocentro H es el punto intersección de las tres alturas de un triángulo.

Las alturas (ha, hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va
desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse
como la distancia de un lado al vértice opuesto.
El ortocentro podría estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea
un triángulo obtusángulo. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto.
En los acutángulos, será un punto interior.
En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo
obtusángulo.
Circuncentro de un triángulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las
tres mediatrices del triángulo.
Las mediatrices de un triángulo (Ma, Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada
uno de sus lados, es decir, las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto
medio (o centro) de éste.

El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo,
ya que equidista de sus tres vértices.
El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres
lados y el semiperímetro del triángulo:
El circuncentro puede estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea
un triángulo obtusángulo. En los rectángulos el circuncentro se encontrará en el punto

central de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º). En los acutángulos, será un
punto interior.
Incentro deuntriángulo
El incentro (I) es la intersección de las tres bisectrices del triángulo.
Las bisectrices de un triángulo (Ba, Bb y Bc) son los tres segmentos que, dividiendo
cada uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado
opuesto.
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:
El incentro se encuentra siempre en el interior del triángulo.
Rectade Euler
En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro
(H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos
tres puntos se llama recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la
del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble
que el GO.
En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro
y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de
los tres vértices.
Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a desde un
lado y, por tanto, al vértice, siendo h cualquiera de sus tres alturas.
TeoremadePitágoras
El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo y
su hipotenusa.
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos
menores (<90º).
Los dos lados que forman el ángulo recto son catetos. El lado mayor opuesto al
ángulo recto es la hipotenusa.
El Teorema de Pitágoras enuncia que:
Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a
la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Se pueden construir los dos cuadrados sobre sus catetos (a y b) y el cuadrado sobre
la hipotenusa (c).
Geométricamente se puede comprobar que en cualquier triángulo
rectángulo se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados formados sobre
sus catetos es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa, es decir:

Teoremastrigonometricos
Teoremadelseno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de
un triángulo. Éste enuncia que:
Cada lado de un triángulo (a, b y c) es
directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble
del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.
Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo
opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.
Teoremadel coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el
ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:
El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de
los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por
el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para
cualquier triángulo.
De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero,
quedando: a2 = b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno
sería negativo.
Teoremadelatangente
El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de
un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:
La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la
razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y
la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

CUADRILÁTERO
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados (a, b, c y d). Los lados confluyen
dos a dos en cuatro puntos, llamados vértices (A, B, C y D).
Elementosdelcuadrilátero
En un cuadrilátero se pueden diferenciar los siguientes elementos:
▪ Vértices (V): puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 4 vértices.

▪ Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del cuadrilátero y que
delimitan su perímetro. Tiene 4 lados.
▪ Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un cuadrilátero
convexo hay 2 diagonales (¿por qué hay dos diagonales?).
▪ Ángulos interiores (α): ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice
en el que confluyen. Hay 4 ángulos interiores. Los ángulos interiores del
cuadrilátero suman 360º (¿por qué suman 360º?).
▪ Ángulos exteriores (β): ángulo formado por un lado con la prolongación exterior
del lado consecutivo. Hay 4 ángulos exteriores.
Tiposdecuadrilátero
ANUNCIOS
Los cuadriláteros se clasifican en dos clases según sus ángulos interiores:
▪ Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de π radianes (180º). La
suma de sus ángulos interiores es de 360º (2π radianes) y sus dos diagonales son
interiores.
▪ Cóncavos: uno de sus ángulos interiores mide más de π radianes (180º). Al
menos una de sus dos diagonales es exterior.
Los cuadriláteros convexos se pueden dividir en varias categorías según
sus lados y ángulos:
▪ Paralelogramos: es un cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos
paralelos y los ángulos opuestos iguales.
▪ Cuadrado: cuadrilátero cuyos lados y ángulos son iguales.
▪ Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales (de 90º) y los lados iguales dos
a dos, siendo diferentes los lados adyacentes.

▪ Rombo: todos los lados son iguales pero los ángulos son diferentes dos a dos,
de manera que los ángulos adyacentes son diferentes y cada ángulo es igual
al ángulo no adyacente.
▪ Romboide: tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. El romboide también
es denominado paralelogramo no regular.
▪ Trapecios: cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos que no son
iguales.
▪ Trapecio rectángulo: se caracteriza por tener dos lados paralelos y dos
ángulos consecutivos rectos (de 90º).
▪ Trapecio isósceles: los ángulos son iguales dos a dos. Tiene dos lados
paralelos y dos oblicuos y de igual longitud.
▪ Trapecio escaleno: los cuatro ángulos interiores son desiguales.
▪ Trapezoides: es un cuadrilátero en el que no hay ningún lado paralelo a otro.
PENTÁGONO

Un pentágono es un polígono de cinco lados (L1, L2, L3, L4 y L5). Los lados
confluyen dos a dos en cinco puntos, llamados vértices.
Elementosdelpentágono
En un pentágono se pueden diferenciar los siguientes elementos:
▪ Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del pentágono y que
▪ Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un pentágono
convexo hay 5 diagonales (¿por qué hay cinco diagonales?).
pentágono suman 540º (¿por qué suman 540º?).
Tiposdepentágono

Según las características de los lados y ángulos del pentágono, se clasifica en dos
tipos:
▪ Pentágono regular: figura geométrica con cinco lados y ángulos iguales (todos
sus ángulos interiores son de 108º, resultado de dividir 540º entre 5 ángulos).
▪ Pentágono irregular: figura geométrica cuyos cinco lados y ángulos no son
iguales entre sí.
Áreadelpentágono
El cálculo del área de un pentágono es diferente dependiendo de si
el pentágono es regular o irregular.
Áreadelpentágono regular
El área del pentágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap),
utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Como la apotema del pentágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de
la apotema de un polígono regular):
Donde α es el ángulo interior del pentágono regular. Así, la fórmula del área del
pentágono regular también se puede expresar:
Áreadelpentágono irregular
El cálculo del área de un pentágono irregular requiere de métodos alternativos
de cálculo de áreas. El más común es dividir el pentágono en cinco triángulos y
calcular el área sumando las cinco áreas de los triángulos.
Podemos calcular el área del pentágono irregular mediante dos procedimientos
alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.
Triangulación del pentágono irregular

Sea P un pentágono irregular. Se desea calcular su área (A).
El método de triangulación consiste en dividir el pentágono en figuras más fáciles
de calcular el área. En este caso se divide en cinco triángulos y el área del pentágono
será la suma del área de esos cinco triángulos.
1. Se divide el pentágono en cinco triángulos (T1, T2, T3, T4 y T5) .
Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del pentágono y que
todos confluyen en un mismo punto interior del pentágono.
2. Se miden las alturas (h1, h2,…, h5) de los triángulos. La altura de
cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del pentágono que
va desde ese mismo lado hasta el punto interior.

3. Se calculan las áreas de los cinco triángulos. El área del primer triángulo es:
Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros
cuatro triángulos.
4. Sumamos las cinco áreas y obtenemos el área del pentágono irregular:
Determinante de Gauss
Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a
través del determinante de Gauss.
Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de
cada uno de los vértices del polígono.
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se
ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en

cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de
recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par
inicial.
Sean los vértices del pentágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x5,y5). La fórmula es la siguiente:
Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente
el área del pentágono irregular.
Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto
en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.
Perímetrodelpentágono
La fórmula del perímetro del pentágono es diferente dependiendo si
el pentágono es regular o irregular.
Perímetro del pentágono regular
El pentágono regular tiene sus cinco lados iguales, por lo que su perímetro es
cinco veces uno de sus lados:
Perímetro del pentágono irregular
El pentágono irregular no tiene una fórmula que generalice su perímetro, ya
que todos sus lados pueden ser diferentes.

Su perímetro es la suma de la longitud de sus cinco lados.
Ejerciciosresueltos
Ejercicio deláreade un pentágono regular
Sea un pentágono regular con los cinco lados (N=5) de la misma
longitud L=3,6 cm.
La apotema (distancia del centro del pentágono al punto medio de un lado) se
puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular
trigonométricamente).
Sea el ángulo central:
Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:

Y la apotema es ap=2,48 cm.
Se aplica la fórmula de su área:
Y se obtiene que el área es 22,30 cm2.
Ejercicio delperímetro deunpentágono regular
Sea un pentágono regular cuyos lados miden L=2 cm. Su perímetro se calculará
multiplicando su número de lados (cinco) por su longitud.
Y se obtiene que el perímetro es de 10 cm.
Ejercicio delperímetro deunpentágono irregular
Sea un pentágono irregular con cinco lados no todos iguales, siendo sus
longitudes: L1=4,0 cm, L2=4,1 cm, L3=3,7 cm, L4=4,6 cm y L5=2,7 cm.
Su perímetro será la suma de sus cinco lados:

Y como resultado se obtiene que el perímetro de este pentágono irregular es
de 19,1 cm.
HEXÁGONO
Un hexágono es un polígono de seis lados (L1, L2, L3, L4, L5 y L6). Los lados
confluyen dos a dos en seis puntos, llamados vértices.
Elementosdelhexágono
En un hexágono se pueden diferenciar los siguientes elementos:
▪ Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del hexágono y que
▪ Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un hexágono
convexo hay 9 diagonales (¿por qué hay nueve diagonales?).
en el que confluyen. Hay 6 ángulos interiores. Los ángulos interiores del hexágono
suman 720º (¿por qué suman 720º?).

Tiposdehexágono
Según las características de los lados y ángulos del hexágono, se clasifica en dos
tipos:
▪ Hexágono regular: figura geométrica con seis lados y ángulos iguales (todos
▪ Hexágono irregular: figura geométrica cuyos seis lados y ángulos no son
iguales entre sí.
Áreadelhexágono
El cálculo del área de un hexágono es diferente dependiendo de si
el hexágono es regular o irregular.
Áreadelhexágono regular
El área del hexágono regular se calcula como la mitad del producto
del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro seis veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Como la apotema del hexágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de
la apotema de un polígono regular):
Donde α es el ángulo interior del hexágono. Así, la fórmula del área del hexágono
regular se puede expresar así:
En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda
así:
Áreadelhexágono irregular
El área del hexágono irregular requiere ser calculada por métodos alternativos
de cálculo de áreas. El más común es dividir el hexágono en seis triángulos y calcular
el área sumando las seis áreas de los triángulos.

El área del hexágono irregular se puede calcular mediante dos procedimientos
Triangulación del hexágono irregular
Sea P un hexágono irregular. Se desea calcular su área (A).
El método de triangulación consiste en dividir el hexágono en figuras más fáciles
de calcular el área. En este caso se divide en seis triángulos y el área del hexágono será
la suma del área de esos seis triángulos.
1. Se divide el hexágono en seis triángulos (T1, T2, T3, T4, T5 y T6) .
Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del hexágono y que
todos confluyen en un mismo punto interior del hexágono.

cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del hexágono que
3. Se calculan las áreas de los seis triángulos. El área del primer triángulo es:
cinco triángulos.
4. Sumamos las seis áreas y obtenemos el área del hexágono irregular:

inicial.
Sean los vértices del hexágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x6,y6). La fórmula es la siguiente:
el área del hexágono irregular.
Perímetrodelhexágono
La fórmula del perímetro del hexágono es diferente dependiendo si
el hexágono es regular o irregular.
Perímetro delhexágono regular
El hexágono regular tiene los seis lados de la misma longitud, por lo que
su perímetro es seis veces uno de ellos:

Perímetro delhexágono irregular
El hexágono irregular es un polígono cuyos seis lados no son iguales entre sí.
Por tanto, su perímetro será la suma de la longitud de sus seis lados.
Ejerciciosresueltos
Ejercicio deláreadelhexágono regular

Sea un hexágono regular con los seis lados (N=6) de la misma longitud L=3,1 cm.
La apotema (distancia del centro del hexágono al punto medio de un lado) se
Se aplica la fórmula del área del hexágono regular:
Ejercicio delperímetro del hexágono regular
Sea un hexágono regular con todos los lados iguales de longitud L=1,8 cm.
Su perímetro será el producto del número de lados (seis) y su longitud.
Y se obtiene que el perímetro de este hexágono regular es de 10,8 cm.
Ejercicio delperímetro del hexágono irregular

Sea un hexágono irregular con seis lados no todos iguales, siendo sus
longitudes: L1=2,1 cm, L2=2,7 cm, L3=3,4 cm, L4=2,9 cm, L5=2,4 cm y L6=3,0 cm.
Su perímetro será la suma de todos sus lados:
Y como resultado se obtiene que el perímetro de este hexágono irregular es
de 16,5 cm.
HEPTÁGONO
Un heptágono es un polígono de siete lados (L1, L2, L3, L4, L5, L6 y L7). Los lados
confluyen dos a dos en siete puntos, llamados vértices.
Elementosdelheptágono
En un heptágono se pueden diferenciar los siguientes elementos:

▪ Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del heptágono y que
▪ Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un heptágono
convexo hay 14 diagonales (¿por qué hay catorce diagonales?).
heptágono suman 900º (¿por qué suman 900º?).
Tiposdeheptágono
Según las características de los lados y ángulos del heptágono, éstos se clasifican
en dos tipos:
▪ Heptágono regular: figura geométrica con siete lados y ángulos iguales (todos
sus ángulos interiores son de 128,6º, resultado de dividir 900º entre 7 ángulos).
▪ Heptágono irregular: figura geométrica cuyos siete lados y ángulos no son
iguales entre sí.

Áreadelheptágono
El cálculo del área de un heptágono es diferente dependiendo de si
el heptágono es regular o irregular.
Áreadelheptágono regular
El área del heptágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap),
utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro siete veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:
Como la apotema del heptágono regular se calcula con esta fórmula:
Donde α es el ángulo interior del heptágono. Así, la fórmula del área del heptágono
se puede expresar así:

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a tres decimales, se queda
así:
Áreadelheptágono irregular
El cálculo del área de un heptágono irregular requiere de métodos alternativos
de cálculo de áreas. El más común es dividir el heptágono en siete triángulos y calcular
el área sumando las siete áreas de los triángulos.
Podemos calcular el área del heptágono irregular mediante dos procedimientos
Triangulación del heptágono irregular

Sea H un heptágono irregular. Se desea calcular su área (A).
El método de triangulación consiste en dividir el heptágono en figuras más fáciles
de calcular el área. En este caso se divide en siete triángulos y el área del heptágono
será la suma del área de esos siete triángulos.
1. Se divide el heptágono en siete triángulos (T1, T2, T3, T4, T5, T6 y T7) .
Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del heptágono y que
todos confluyen en un mismo punto interior del heptágono.
cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del heptágono que
3. Se calculan las áreas de los siete triángulos. El área del primer triángulo es:
Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros seis triángulos.
4. Sumamos las siete áreas y obtenemos el área del heptágono irregular:

inicial.
Sean los vértices del heptágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x7,y7). La fórmula es la siguiente:
el área del heptágono irregular.

Perímetrodelheptágono
La fórmula del perímetro del heptágono es diferente dependiendo si
el heptágono es regular o irregular.
Perímetro delheptágono regular
El heptágono regular tiene sus siete lados iguales. Por lo tanto, su perímetro es
siete veces uno de sus lados:
Perímetro delheptágono irregular
El heptágono irregular es un polígono cuyos siete lados no son iguales entre sí.
Por tanto, su perímetro será la suma de la longitud de sus siete lados.
Ejerciciosresueltos
Ejercicio deláreadelheptágono regular

Sea un heptágono regular con los siete lados (N=7) de la misma
longitud L=2,4 cm.
La apotema (distancia del centro del heptágono al punto medio de un lado) se
Se aplica la fórmula del área del heptágono regular:
Ejercicio delperímetro del heptágono regular

Sea un heptágono regular con sus siete los lados iguales y de longitud L=1,3 cm.
Su perímetro se calculará como el producto del número de lados (siete) y su longitud.
Y se obtiene que el perímetro de este heptágono regular es de 9,1 cm.
Ejercicio delperímetro del heptágono irregular
Sea un heptágono irregular con siete lados no todos iguales, siendo sus
longitudes: L1=2,5 cm, L2=2,2 cm, L3=2,2 cm, L4=2,7 cm, L5=3,3 cm, L6=2,6 cm
y L7=3,6 cm.
Su perímetro será la suma de todos sus lados:
Y como resultado se obtiene que el perímetro de este heptágono irregular es
de 19,1 cm
OCTÓGONO
Un octógono es un polígono de ocho lados (L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7 y L8). Los lados
confluyen dos a dos en ocho puntos, llamados vértices.
Elementosdeloctógono

En un octógono se pueden diferenciar los siguientes elementos:
▪ Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del octógono y que
▪ Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un octógono
convexo hay 20 diagonales (¿por qué hay veinte diagonales?).
en el que confluyen. Hay 8 ángulos interiores. Los ángulos interiores del octógono
suman 1080º (¿por qué suman 1080º?).
Tiposdeoctógono
Según las características de los lados y ángulos del octógono, éstos se clasifican en dos
tipos:
▪ Octógono regular: figura geométrica con ocho lados y ángulos iguales (todos
▪ Octógono irregular: figura geométrica cuyos ocho lados y ángulos no son
iguales entre sí.

Áreadeloctógono
El cálculo del área de un octógono es diferente dependiendo de si
el octógono es regular o irregular.
Áreadeloctógono regular
El área del octógono regular se calcula como la mitad del producto
del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro ocho veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:
Se calcula su apotema con esta fórmula:
Donde α es el ángulo interior del octógono. Así, la fórmula del área del octógono
regular se puede expresar así:

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda
así:
Otro procedimiento para hallar el área del octógono regular es a partir del radio de
la circunferencia circunscrita. Ese radio R es el segmento que une el centro del
octógono con uno de sus vértices.
Áreadeloctógono irregular
El área de un octógono irregular requiere para ser calculada de métodos
alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el octógono
en ocho triángulos y calcular el área mediante la suma de las ocho áreas de
los triángulos.

Se puede calcular el área del octógono irregular mediante dos procedimientos
Triangulación del octógono irregular
Sea P un octógono irregular. Se desea calcular su área (A).
El método de triangulación consiste en dividir el octógono en figuras más fáciles
de calcular el área. En este caso se divide en ocho triángulos y el área del octógono
será la suma del área de esos ocho triángulos.
1. Se divide el octógono en ocho triángulos (T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7 y T8) .
Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del octógono y que
todos confluyen en un mismo punto interior del octógono.

cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del octógono que
3. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:
siete triángulos.
4. Sumamos las ocho áreas y obtenemos el área del octógono irregular:

inicial.
Sean los vértices del octógono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x8,y8). La fórmula es la siguiente:
el área del octógono irregular.
Perímetrodeloctógono
La fórmula del perímetro del octógono es diferente dependiendo si
el octógono es regular o irregular.
Perímetro deloctógono regular
El octógono regular tiene sus ocho lados de la misma longitud.
Su perímetro es el producto del número de lados (ocho) y la longitud de uno de ellos:
Perímetro deloctógono irregular

El octógono irregular es un polígono cuyos ocho lados no son iguales entre sí.
Por tanto, su perímetro será la suma de la longitud de sus ocho lados.
Ejerciciosresueltos
Ejercicio deláreadeloctógono regular
Sea un octógono regular con los ocho lados (N=8) de la misma
longitud L=2,3 cm.
La apotema (distancia del centro del octógono al punto medio de un lado) se

Se aplica la fórmula del área del octágono regular:
Ejercicio delperímetro deloctógono regular
Sea un octágono regular con todos los lados iguales de longitud L=1,2 cm.
Su perímetro será el producto del número de lados (ocho) y la longitud de ellos.
Y se obtiene que el perímetro de este octágono regular es de 9,6 cm.
Ejercicio delperímetro deunoctógono irregular
Sea un octógono irregular con ocho lados no todos iguales, siendo sus
longitudes: L1=1,6 cm, L2=2,6 cm, L3=2,7 cm, L4=2,4 cm, L5=1,8 cm, L6=2,2 cm, L7=2,3 c
m y L8=2,3 cm.
Su perímetro será la suma de los ocho lados:

Y como resultado se obtiene que el perímetro de este octógono irregular es
de 17,9 cm.
CÓNICAS
La palabra cónica viene de cono. Se llama cónica (o sección cónica) a las curvas
resultantes de la intersección del cono y un plano. Este plano no debe pasar por el
vértice (V).
Tiposdecónicas
Existen cuatro tipos de cónicas, según el ángulo del plano que intersecta con
el cono y su base:
▪ Circunferencia: es la intersección del cono con un plano paralelo a la base.
▪ Elipse: intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que no la corta en
ningún momento.

▪ Parábola: es la intersección del cono con un plano paralelo a su generatriz y que
corta a la base.
▪ Hipérbola: es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor
al de la generatriz del cono.
Circunferencia
La circunferencia es una figura geométrica cuyos puntos están a una distancia
constante, llamada radio (r), del centro (C).
La superficie plana comprendida dentro de una circunferencia es el círculo.
Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las
distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para
todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.
Es decir, para todo punto P de la elipse, la suma de las distancia d1 y d2 es constante.
Una elipse se puede definir también como la intersección entre un cono recto y un
plano oblicuo que no pase por su base.
Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco (F) y de
una recta denominada directriz.
El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el
sentido de que será más o menos abierta según la distancia entre F y la directriz).
También puede definirse como la intersección entre un cono recto y un plano
paralelo a una generatriz del cono y que pase por la base del mismo.
Hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de
distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.

El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de
la hipérbola (2a).
Ecuacióngeneraldelascónicas
Las cónicas tienen una fórmula general para definir los puntos (x,y) que la forman.
Según las características de los parámetros A, B, C, D y E, definirán cada uno de los
cuatro tipos de cónica.
FIGURASCURVAS
Las figuras curvas son las partes del plano que esán encerradas en líneas
curvas. Las más representativas son:
Círculo
Un círculo es la superficie plana comprendida dentro de una circunferencia.
Semicírculo

Un semicírculo es la superficie que existe dentro de la mitad de
una circunferencia. Es decir, un semicírculo es medio círculo.
Corona circular
ANUNCIOS
La corona circular (o anillo circular) es la superficie plana comprendida
entre dos circunferencias concéntricas.
Elipse
distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir,
para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.
POLIEDRO
Un poliedro es un cuerpo geométrico de tres
dimensiones cuyas caras son polígonos.
Partesdeunpoliedro

Las partes fundamentales de un poliedro son:
▪ Caras: son los polígonos que lo delimitan.
▪ Aristas: lados en los que concurren dos polígonos.
▪ Vértices: puntos de unión de varias aristas.
TeoremadeEuler
El teorema de Euler establece una relación entre los números de caras, aristas y
vértices que se cumple para todo poliedro convexo. La relación es la siguiente:
Tiposdepoliedro
ANUNCIOS
Los poliedros se pueden clasificar mediante dos criterios:
Según su regularidad:
▪ Regulares: un poliedro regular es aquel que sus caras son polígonos regulares y
son todos iguales. Todos los ángulos también son iguales.
▪ Irregulares: Poliedro cuyas caras son polígonos no todos iguales.

Según si son poliedros convexos o cóncavos:
▪ Poliedro convexo: si todo par de puntos de su superficie puede ser unido por una
línea recta que no sale en ningún momento del interior de éste.
▪ Poliedro cóncavo: si existe al menos un par de puntos de la superficie de la figura
que para unirlos mediante una línea recta, necesariamente dicha recta tiene que
salir del interior de éste.
Tipos depoliedros regulares
Un poliedro regular es aquel que sus caras son polígonos regulares y son
todas iguales. Las aristas también son todas iguales. Existen sólo cinco tipos:
▪ Tetraedro regular: cuya superficie está formada por cuatro triángulos
equiláteros iguales
▪ Cubo (o hexaedro regular): figura compuesto por seis cuadrados iguales
▪ Octaedro regular: figura la superficie del cual está constituida por
ocho triángulos equiláteros iguales
▪ Dodecaedro regular: figura formado por doce pentágonos regulares iguales
▪ Icosaedro regular: figura las caras del cual son veinte triángulos

Tipos depoliedros irregulares
Los poliedros irregulares son cuerpos
geométricos cuyas caras son polígonos no todos iguales. Principalmente se clasifican
por el número de caras que tiene su superficie:
▪ Tetraedro: cuerpo geométrico con cuatro caras que son polígonos desiguales.
▪ Pentaedro: cuerpo geométrico con cinco caras que son polígonos desiguales.
▪ Hexaedro: cuerpo geométrico con seis caras que son polígonos desiguales.
▪ Heptaedro: cuerpo geométrico con siete caras que son polígonos desiguales.
▪ Octaedro: cuerpo geométrico con ocho caras que son polígonos desiguales.
▪ Eneaedro: cuerpo geométrico con nueve caras que son polígonos desiguales.
▪ Decaedro: cuerpo geométrico con diez caras que son polígonos desiguales.
Dos casos singulares de tetraedro irregular son el tetraedro trirrectángulo y
el tetraedro isofacial.
El tetraedro trirrectángulo tiene tres caras que son triángulos rectángulos, de los
que sus ángulos rectos concurren en un mismo vértice. Las cuatro alturas de este
tetraedro irregular concurren en un punto. Es ortocéntrico.

El tetraedro isofacial es otro tetraedro irregular cuya base es un triángulo
rectángulo y sus tres cares laterales son tres triángulos isósceles iguales. Es
una pirámide triangular regular.
Dos de las clases fundamentales de los poliedros irregulares son las pirámides y
los prismas.
(Ver el principio de Cavalieri).
¿Sabias qué los poliedros regulares se conocen también como sólidos perfectos o
sólidos platónicos? Se conocen desde la antigüedad clásica. Aunque le atribuyen a
Pitágoras (569 a.C. – 475 a.C). el descubrimiento de los cuatro primeros y su escuela el
restante, fué Platón (427 a.C – 347 a.C.) quien los cita en sus Diálogos. Les da un carácter
místico, asociándolos a los elementos de la filosofía clásica: al tetraedro, el fuego, al
cubo, la tierra, al octaedro, el aire, al dodecaedro, los límites del universo y al icosaedro,
el agua.
PRISMA

Un prisma es un poliedro cuya superficie está formada por dos caras
iguales y paralelas llamadas bases y por caras laterales (tantas como lados tienen las
bases) que son paralelogramos.
Todas las secciones del prisma paralelas a las bases son iguales.
Elementosdelprisma
En un prisma se pueden diferenciar los siguientes elementos:
▪ Bases (B): polígonos cualquiera. Cada prisma tiene dos bases, siendo ambas
iguales y paralelas.
▪ Caras (C): los paralelogramos de los laterales y las bases.
▪ Altura (h): distancia entre las dos bases del prisma. En el caso del prisma recto la
longitud de la altura h y la de las aristas de las caras laterales coinciden.
▪ Vértices (V): puntos donde confluyen las caras del prisma.

▪ Aristas (A): cada uno de los lados de las caras.
Por el teorema de Euler, se puede saber el número de aristas (A) sabiendo el
número de caras (C) y de vértices (V).
Tiposdeprismas
Los prismas se pueden clasificar de acuerdo a cuatro criterios:
Número delados de labase
Los prismas se pueden clasificar según el número de lados que tienen sus bases:
▪ Prisma triangular: las bases son triángulos (3 lados).
▪ Prisma cuadrangular: las bases son cuadriláteros (4 lados).
▪ Prisma pentagonal: las bases son pentágonos (5 lados).
▪ Prisma hexagonal: las bases son hexágonos (6 lados).
▪ …
Regular o irregular
▪ Prisma regular: un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares.
▪ Prisma irregular: los prismas son irregulares si tienen polígonos irregulares en
su base.

Recto u oblicuo
▪ Prisma recto: si los ejes de los polígonos de las bases son perpendiculares a las
bases. Las caras laterales son cuadrados o rectángulos.
▪ Prisma oblicuo: es aquel cuyos ejes de los polígonos de las bases se unen por una
recta oblicua a las bases mismas.
Convexo o cóncavo:
▪ Prisma convexo: el prisma es convexo si sus bases son polígonos convexos.
▪ Prisma cóncavo: el prisma cóncavo tiene como bases dos polígonos
cóncavos iguales.
Áreadelprisma
El área de un prisma es la suma del área de las dos bases (Ab) más el área de
los paralelogramos de las caras laterales (en el prisma recto es el resultado de
multiplicar el perímetro de la base Pb por la altura (h) del prisma, que coincide con una
arista lateral).

La fórmula del área del prisma recto es:
También puede consultar las fórmulas del área de los prismas según el número
de aristas de sus bases:
▪ Área del prisma triangular
▪ Área del prisma cuadrangular
▪ Área del prisma pentagonal
▪ Área del prisma hexagonal
Áreadelprismaoblicuo
El área del prisma oblicuo se calcula de manera diferente a la del prisma recto.

Las áreas de las bases se calculan de la misma forma, pero el área de los laterales
se calcula mediante una arista lateral y el perímetro de la sección recta del prisma.
La sección recta es la intersección de un plano con el prisma, de manera que forme un
ángulo de 90º con cada una de las las aristas laterales.
La fórmula del área del prisma oblicuo es:
Volumendelprisma
El volumen del prisma es el producto del área de la base (Ab) por la altura del
prisma (h). En un prisma recto la altura coincide con una altura lateral, mientras que
en un prisma oblicuo no.

También puede consultar las fórmulas del volumen de los prismas según el
número de aristas de su base:
▪ Volumen del prisma triangular
▪ Volumen del prisma cuadrangular
▪ Volumen del prisma pentagonal
▪ Volumen del prisma hexagonal
PIRÁMIDE

Una pirámide es un poliedro cuya superficie está formada por una base que es
un polígono cualquiera y caras laterales triangulares que confluyen en un vértice que
se denomina ápice (o vértice de la pirámide). Las pirámides tienen tantos triángulos en
las caras laterales como lados tiene la base.
Elementosdelapirámide
En una pirámide se pueden diferenciar los siguientes elementos:
▪ Base (B): polígono cualquiera. Es la única cara que no toca al vértice de la
pirámide.
▪ Caras (C): los triángulos de los laterales y la base.
▪ Aristas (a): segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide. Podemos
distinguir: aristas laterales, que son las que llegan al vértice (o ápice) y aristas
básicas, que están en la base.
▪ Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.
▪ Vértice de la pirámide (V): punto donde confluyen las caras laterales
triangulares. También se llama ápice.
▪ Apotema de la pirámide (ap): distancia del vértice a un lado de la base. Solo
existe en las pirámides regulares. Puesto que en este caso las caras laterales
son isósceles, la apotema de la pirámide es también la altura de las caras laterales.
▪ Apotema de la base (apb): distancia de un lado de la base al centro de ésta. Solo
existe en las pirámides regulares.
Apotemadelapirámide

La apotema de la pirámide es la distancia del ápice a un lado de la base. Solo
En las pirámides regulares, la altura (h), la apotema de la base (apb) y la apotema
de la pirámide (ap) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras,
conociendo la altura (h) y la apotema de la base (apb) podemos calcular la apotema:
Tiposdepirámide
Las pirámides se pueden clasificar mediante cuatro criterios:
Número delados de labase
Las pirámides se pueden clasificar según el número de lados que tiene su base:
▪ Pirámide triangular: la base es un triángulo (3 lados).
▪ Pirámide cuadrangular: la base es un cuadrilátero (4 lados).
▪ Pirámide pentagonal: la base es un pentágono (5 lados).
▪ Pirámide hexagonal: la base es un hexágono (6 lados).
▪ …

Regular o irregular
▪ Pirámide regular: una pirámide es regular si la base es un polígono regular y a
su vez es una pirámide recta. Las caras laterales son triángulos isósceles e iguales
entre sí.
▪ Pirámide irregular: cuando la base es un polígono irregular o bien es
una pirámide oblicua.
Rectauoblicua
▪ Pirámide recta: la pirámide es recta cuando todas sus caras laterales
son triángulos isósceles. En este caso, la recta perpendicular a la base que pasa
por el vértice de la pirámide corta a la base por el centro del polígono.
▪ Pirámide oblicua: la pirámide es oblicua cuando no todos los triángulos laterales
son isósceles.

Convexao cóncava
▪ Pirámide convexa: la pirámide es convexa si la base es un polígono convexo.
▪ Pirámide cóncava: la pirámide es cóncava si el polígono de la base es cóncavo.
Áreadelapirámide
El área de la pirámide se calcula mediante la suma del área de la base (Ab) y el
área de los triángulos de las caras laterales (Al).

El área de la base (Ab) se calcula según el polígono que sea la base.
El área de las caras laterales (Al) es la suma del área de los triángulos de las caras
laterales. La pirámide tiene tantos triángulos como aristas tiene la base.
Áreadela pirámideregular
La pirámide regular es aquella que tiene un polígono regular como base y
es recta. Sea una pirámide regular con la base de N aristas.
La fórmula del área de la pirámide regular es:
Áreadela pirámidesegún los lados dela base
También puede consultar las fórmulas del área de las pirámides según los lados
de la base:
▪ Área de la pirámide triangular
▪ Área de la pirámide cuadrangular
▪ Área de la pirámide pentagonal

▪ Área de la pirámide hexagonal
Volumendelapirámide
El volumen de la pirámide es un tercio del área de la base de la pirámide (Ab) y
su altura (h).
Volumen delapirámidesegúnlos lados de labase
También puede consultar las fórmulas del volumen de las pirámides según
los lados de la base:
▪ Volumen de la pirámide triangular
▪ Volumen de la pirámide cuadrangular
▪ Volumen de la priámide pentagonal
▪ Volumen de la pirámide hexagonal
POLIEDROS REGULARES
Los poliedros regulares son aquellos que todas sus caras son polígonos
regulares iguales. Sus aristas también son todas iguales.
Tiposdepoliedrosregulares
Existen sólo cinco tipos de poliedros regulares:

▪ Tetraedro regular: poliedro regular cuya superficie está formada por cuatro
triángulos equiláteros
▪ Cubo (o hexaedro regular): poliedro regular compuesto por seis cuadrados
iguales
▪ Octaedro regular: poliedro regular la superficie del cual está constituida por
ocho triángulos equiláteros iguales
▪ Dodecaedro regular: poliedro regular formado por doce pentágonos regulares
iguales
▪ Icosaedro regular: poliedro regular las caras del cual son veinte triángulos
¿Sabias qué los poliedros regulares se conocen también como sólidos perfectos o
sólidos platónicos? Se conocen desde la antigüedad clásica. Aunque le atribuyen a
Pitágoras (569 a.C. – 475 a.C). el descubrimiento de los cuatro primeros y su escuela el
restante, fué Platón (427 a.C – 347 a.C.) quien los cita en sus Diálogos. Les da un carácter
místico, asociándolos a los elementos de la filosofía clásica: al tetraedro, el fuego, al
cubo, la tierra, al octaedro, el aire, al dodecaedro, los límites del universo y al icosaedro,
el agua.
SUPERFICIESDEREVOLUCIÓN
Las superficies de revolución son figuras que se forman al girar 360° una línea
recta o una curva contenida en un plano, llamada generatriz, alrededor de un eje de
rotación, contenido también en el mismo plano.
Las superficies regladas de curvatura simple se generan cuando su generatriz
se desliza siempre en contacto con otra línea curva, llamada directriz cumpliendo unas
condiciones. Una de ellas es que cualquier par de generatrices contiguas pertenezcan al
mismo plano.
Cuando la directriz es una circunferencia perpendicular a las generatrices
estaremos en el caso particular de las superficies de revolución.

Ejemplos básicos de superficies de revolución son las superficies cilíndricas,
cónicas, esféricas y toroidales.
Para hallar el área de una superfície de revolución se aplica el primer teorema de
Pappus-Gulding.
Sólidosderevolución(o cuerposderevolución)
Los sólidos de revolución son figuras que se forman al girar 360° una región de
un plano alrededor de una recta, o eje de rotación, contenido también en el mismo
plano.
Ejemplos básicos de sólidos de revolución son el cilindro recto, el cono recto,
la esfera y el toro.
Para hallar el volumen de un sólido de revolución se aplica el segundo teorema de
Pappus-Gulding.
Esfera
La esfera es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de un
punto definido como el centro de la esfera. O lo que es lo mismo, es la figura geométrica
descrita por un semicírculo al girar sobre su diámetro.
Un círculo es la superficie que existe dentro de una circunferencia.
Cilindro

El cilindro circular es la figura tridimensional que se forma cuando una recta,
llamada generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje. El eje y la
generatriz están en el mismo plano y son dos rectas paralelas.
O, también, un cilindro recto de revolución es el la figura descrita al girar
un rectángulo sobre uno de sus lados.
Cono
ANUNCIOS
El cono recto es el sólido de revolución generado al girar un triángulo
rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base al círculo inferior del cono
y g a las generatrices que se unen en el vértice del mismo.
Troncodelcono

El tronco del cono recto (o cono truncado recto) es el sólido de revolución
generado al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases.
También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la
parte que tiene el vértice del cono.
Toro
El toro es una superficie de revolución generada por el giro de un círculo cuyo
centro recorre otro círculo de dimensiones mayores, estando ambos contenidos en dos
planos ortogonales (perpendiculares).

¿Sabías que hay una relación 1, 2, 3, entre el volumen del cono, el volumen de la
esfera y el volumen del cilindro, siempre que los tres sólidos tengan el mismo radio r de
la base, o mismo radio, y la misma altura h = 2r?
FIGURASGEOMÉTRICAS
Definimos las figuras geométricas como el conjunto de puntos unidos que forman
un lugar geométrico, como un punto, una línea, un círculo, un polígono, etc.
Las figuras geométricas tienen cero, una o dos dimensiones. Las figuras de tres
dimensiones son consideradas cuerpos geométricos.

Figurasgeométricasdecerodimensiones
Punto

El punto es una figura que no tiene ni profundidad ni anchura. Las demás figuras
geométricas son la unión de muchos puntos.
Figurasgeométricasdeunadimensión
Recta
La recta es una sucesión de puntos alineados.
Curva
La curva es la unión de un conjunto de puntos que no están alineados.
Figurasgeométricasdedosdimensiones
ANUNCIOS
Triángulo
Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos
en tres puntos, llamados vértices (A, B y C).
Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º (2π radianes).

Los triángulos se pueden clasificar según sus lados en
triángulo equilátero, isósceles y escaleno. El triángulo rectángulo tiene uno de sus
ángulos de noventa grados.
Triángulo equilátero
El triángulo equilátero tiene los tres lados y ángulos iguales.
Triángulo isósceles
El triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales.
Triángulo escaleno
El triángulo escaleno es el que tiene todos los lados diferentes.
Triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángulos de 90º.
Cuadrilátero
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados (a, b, c y d). Los lados confluyen
dos a dos en cuatro puntos, llamados vértices (A, B, C y D).
Los cuadriláteros se dividen en paralelogramos, trapecios y trapezoides:
Paralelogramo
Un paralelogramo es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) siendo éstos
iguales y paralelos dos a dos. Hay cuatro tipos de paralelogramo:
Los paralelogramos se clasifican
en cuadrados, rectángulos, rombos y romboides:
Cuadrado

El cuadrado es un paralelogramo con cuatro lados iguales y cuatro ángulos
iguales y rectos (de 90º cada uno).
Rectángulo
El rectángulo es un paralelogramo con los cuatro ángulos rectos (90º) y
los lados opuestos iguales dos a dos.
Rombo
El rombo es un paralelogramo que tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos,
siendo los ángulos opuestos iguales dos a dos.
Romboide

Los romboides son paralelogramos que tienen sus lados y ángulos iguales dos a
dos. Son los paralelogramos que no son ni cuadrados, ni rectángulos ni rombos.
Trapecio
El trapecio es un cuadrilátero con solo dos de sus lados paralelos.
Trapezoide
El trapezoide es un cuadrilátero en el que no hay ningún lado paralelo a otro.
Pentágono
Un pentágono es un polígono de cinco lados.
Pentágono regular
Se llama pentágono regular a una figura del plano con cinco lados y ángulos
iguales (todos sus ángulos son de 108º)
Pentágono irregular

Se llama pentágono irregular a una figura del plano con cinco lados pero con
lados y ángulos no todos iguales.
Hexágono
Un hexágono es un polígono de seis lados.
Hexágono regular
Se llama hexágono regular a una figura geométrica con seis lados y ángulos
iguales (todos sus ángulos son de 120º)
Hexágono irregular
Un hexágono irregular es un polígono con seis lados, siendo alguno o todos
diferentes
Heptágono
El heptágono es un polígono con siete lados.
Heptágono regular

Definimos heptágono regular a una figura geométrica con siete lados y ángulos
iguales (todos sus ángulos son de 128,6º)
Heptágono irregular
Llamamos heptágono irregular a una figura del plano con siete lados pero siendo
alguno o todos ellos desiguales.
Octógono
El octógono es un polígono con ocho lados.
Octógono regular
Un octógono regular es una figura del plano con ocho lados y ángulos iguales
(todos sus ángulos son de 135º)
Octógono irregular

El octógono irregular es un polígono con siete lados, siendo alguno o todos
diferentes
Círculo
Un círculo es la superficie que existe dentro de una circunferencia.
Circunferencia
Una circunferencia es una curva plana y cerrada. Sus puntos son equidistantes de
otro punto, llamado centro, situado en el mismo plano.
Semicírculo

Un semicírculo es la superficie que existe dentro de la mitad de
una circunferencia. Es decir, un semicírculo es medio círculo.
Coronacircular
La corona circular (o anillo circular) es la superficie comprendida
entre dos circunferencias concéntricas.
Elipse
distancias (d1 y d2) a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante.
Es decir, para todo punto P de la elipse, la suma de las distancia d1 y d2 es constante.
Figurasgeométricasdetresdimensiones

Las figuras geométricas de tres dimensiones son los cuerpos geométricos.
CUERPOSGEOMÉTRICOS
Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales con anchura, altura y
profundidad tales como los poliedros, prismas, icosaedros, esferas,…
Los cuerpos geométricos son las figuras geométricas de tres dimensiones.
Existen dos tipos de cuerpos geométricos, los poliedros y las superficies de
revolución (o cuerpos redondos).

Poliedro
Un poliedro es un cuerpo geométrico de tres
dimensiones cuyas caras son polígonos.
Las partes fundamentales de un poliedro son:
▪ Caras: son los polígonos que lo delimitan.
▪ Aristas: lados en los que concurren dos polígonos.
▪ Vértices: puntos de unión de varias aristas.
Poliedro regular
Un poliedro regular es aquel que sus caras son polígonos regulares y son
todas iguales. Las aristas también son todas iguales.
Éstos son los únicos cuerpos geométricos regulares. Existen sólo cinco tipos de
poliedros regulares:
Tetraedro
Un tetraedro regular es un poliedro cuya superficie está formada
por cuatro triángulos equiláteros iguales.
Cubo (hexaedro regular)

El cubo es un poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales.
Octaedro
El octaedro es un poliedro regular la superficie del cual está constituida
por ocho triángulos equiláteros iguales.
Dodecaedro

El dodecaedro es un poliedro regular formado por doce pentágonos regulares
iguales.
Icosaedro
El icosaedro es un poliedro cuyas caras son veinte triángulos equiláteros iguales.
Poliedro irregular
Los poliedros irregulares son poliedros cuyas caras son polígonos no todos iguales.
Prisma
Los prismas son aquellos poliedros cuya superficie está formada por dos caras
iguales y paralelas llamadas bases y cuyas caras laterales son paralelogramos. Los
prismas se clasifican según ciertos criterios (la mayoría referentes a la forma de su
base).
Podemos clasificar los prismas por el número de aristas que tienen.
Prisma triangular

Un prisma triangular es un prisma cuyas bases son triángulos.
Prisma cuadrangular
Un prisma cuadrangular es un prisma cuyas bases son cuadrados.
Prisma pentagonal
Un prisma pentagonal es un prisma cuyas bases son pentágonos.
Prisma hexagonal

Un prisma hexagonal es un prisma cuyas bases son hexágonos.
Pirámide
Una pirámide es un poliedro irregular cuya superficie está formada por
una base que es un polígono cualquiera y caras laterales triangulares que confluyen
en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide). Las pirámides tienen
tantos triángulos en las caras laterales como aristas tiene la base.
Pirámide triangular

Una pirámide triangular es una pirámide que tiene un triángulo de base. Por lo
tanto, estará compuesto por 4 caras, la base triangular y tres triángulos que confluyen
en el ápice de la pirámide.
Pirámide cuadrangular
Una pirámide cuadrangular es una pirámide que tiene un cuadrilátero de base.
Por lo tanto, estará compuesto por 5 caras, la base cuadrangular y cuatro triángulos que
confluyen en el ápice de la pirámide.
Pirámide pentagonal

Una pirámide pentagonal es una pirámide que tiene un pentágono de base. Está
compuesto por 6 caras, la base pentagonal y cinco triángulos que confluyen en el ápice
de la pirámide.
Pirámide hexagonal
Una pirámide hexagonal es una pirámide que tiene un hexágono de base. Está
compuesto por 7 caras, la base hexagonal y seis triángulos que confluyen en el ápice de
la pirámide.
Tronco de pirámide

El tronco de pirámide es un poliedro formado por dos caras paralelas, que son
las bases, y varias caras laterales, que son trapecios. Ambas bases tienen el mismo
número de lados y tiene tantas caras laterales como lados tienen sus bases.
Está formado por el sólido inferior resultante de seccionar una pirámide con
un plano intermedio y paralelo a su base.
Superficiesderevolución
Las superficies de revolución (o cuerpos redondos) son las figuras geométricas
generadas por el giro de una figura del plano alrededor de un eje.
Esfera
La esfera es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de un
punto definido como el centro de la esfera. O lo que es lo mismo, es la figura geométrica
descrita por un semicírculo al girar sobre su diámetro.
Cilindro
El cilindro circular es la figura tridimensional que se forma cuando una recta,
llamada generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje.
Cono

El cono recto es la superficie de revolución generada por hacer girar un triángulo
rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base al círculo inferior del cono
y g a las generatrices que se unen en el vértice del mismo.
Tronco del cono
El tronco del cono recto (o cono truncado recto) es una superficie de revolución
generada al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases.
También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la
parte que tiene el vértice del cono.
Toro

El toro es una superficie de revolución generada por el giro de un círculo cuyo
centro recorre otro círculo de dimensiones mayores, estando ambos contenidos en dos
planos ortogonales.
ÁREA
El área es la superficie de una figura geométrica. O dicho de otra forma, a la
superficie comprendida dentro de un perímetro. El área se expresa siempre en
unidades de superficie, que son unidades de longitud al cuadrado (ej: cm2, m2,…).
El área se calcula tanto de las figuras geométricas de dos dimensiones como de la
superficie exterior de los cuerpos geométricos de tres dimensiones.
Triángulo
Áreadeun triángulo equilátero

Áreadeun triángulo isósceles
Áreadeun triángulo escaleno
Áreadeun triángulo rectángulo

Áreadeun triángulo debase yaltura conocidas
Fórmulade Herón

Cuadrilátero
Áreadelparalelogramo
Áreadelcuadrado
Áreadelrectángulo
Áreadelrombo

Áreadelromboide
Áreadeltrapecio

Áreadeltrapezoide
Pentágono
Áreadelpentágono regular
Áreadelpentágono irregular

Hexágono
Áreadelhexágono regular
Áreadelhexágono irregular
Heptágono
Áreadelheptágono regular

Áreadelheptágono irregular
Octógono
Áreadeloctógono regular

Áreadeloctógono irregular
Áreadelcírculo
Áreadelsemicírculo

Áreadelacoronacircular
Áreadelaelipse

Prisma
Áreadelprisma
Áreaprismatriangular
Área prisma triangular regular

Área prisma triangular irregular
Áreaprisma cuadrangular
Área prisma cuadrangular regular
Área prisma cuadrangular irregular
Áreaprismapentagonal
Área prisma pentagonal regular

Área prisma pentagonal irregular
Áreaprismahexagonal
Área prisma hexagonal regular

Área prisma hexagonal irregular
Pirámide
Áreadela pirámide
Áreadela pirámideregular

Áreadela pirámidetriangular
Área de la pirámide triangular regular
Área de la pirámide triangular irregular

Áreadela pirámide cuadrangular
Área de la pirámide cuadrangular regular
Área de la pirámide cuadrangular irregular

Áreadela pirámidepentagonal
Área de la pirámide pentagonal regular
Área de la pirámide pentagonal irregular

Áreadela pirámidehexagonal
Área de la pirámide hexagonal regular
Área de la pirámide hexagonal irregular

Poliedrosregulares
Áreadeltetraedro
Áreadelcubo (hexaedro regular)

Áreadeloctaedro
Áreadeldodecaedro

Áreadelicosaedro
Áreadelaesfera
Áreadelcilindro

Áreadelcono
Áreadeltroncodelcono

PERÍMETRO
El perímetro es el contorno de una figura geométrica. El perímetro se expresa en
unidades de distancia (metro, centímetro,…).
El perímetro se refiere a figuras geométricas planas de dos dimensiones.
Triángulo
Perímetro deuntriángulo equilátero
Perímetro deuntriángulo isósceles
Perímetro deuntriángulo escaleno

Perímetro deuntriángulo rectángulo
Cuadrilátero
Perímetro del paralelogramo
Perímetro del cuadrado

Perímetro delrectángulo
Perímetro delrombo
Perímetro delromboide

Perímetro del trapecio
Perímetro del trapezoide
Pentágono
Perímetro del pentágono regular

Perímetro del pentágono irregular
Hexágono
Perímetro delhexágono regular

Perímetro delhexágono irregular
Heptágono
Perímetro delheptágono regular
Perímetro delheptágono irregular

Octógono
Perímetro deloctógono regular
Perímetro deloctógono irregular
Perímetrodelcírculo

Perímetrodelsemicírculo
Perímetrodelacoronacircular

Perímetrodelaelipse
El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior :
VOLUMEN
El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo
geométrico (de tres dimensiones). También se puede entender como el espacio
comprendido dentro del área de un cuerpo geométrico. La capacidad es un concepto
equivalente al volumen, pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o
cuerpo vacío.
Las medidas del volumen son unidades de distancia al cubo (ej: cm3, m3,…).
Prisma
Volumen del prisma

Volumen prismatriangular regular

Volumen prismacuadrangular regular
Volumen prismapentagonalregular
Volumen prismahexagonalregular

Pirámide
Volumen delapirámide
Volumen delapirámideregular

Volumen delapirámide triangular
Volumen de la pirámide triangular regular
Volumen de la pirámide triangular irregular

Volumen delapirámide cuadrangular
Volumen de la pirámide cuadrangular regular
Volumen de la pirámide cuadrangular irregular

Volumen delapirámide pentagonal
Volumen de la pirámide pentagonal regular

Volumen de la pirámide pentagonal irregular
Volumen delapirámide hexagonal
Volumen de la pirámide hexagonal regular
Volumen de la pirámide hexagonal irregular

PrincipiodeCavalieri
Si sólidos iguales en altura, al ser cortados por cualquier plano paralelo a sus bases
se producen en ellos secciones de igual área, entonces esos sólidos tendrán el mismo
volumen.

Poliedroregular
Volumen del tetraedro
Volumen del cubo (hexaedro regular)
Volumen deloctaedro

Volumen del dodecaedro
Volumen delicosaedro
El volumen del icosaedro es:

Volumendelaesfera
Volumendelcilindro
Volumendelcono

Volumendeltroncodelcono
Volumendeltoro
El volumen del toro se calcula mediante la fórmula:

APOTEMA
La apotema (ap) es la distancia más corta entre el centro del polígono y uno de sus
lados.
También existe la apotema de la pirámide y la apotema del tronco de pirámide.
Solo existe en las pirámides regulares y en los troncos de pirámide regulares y es la
altura de sus caras laterales.
Apotemadeunpolígonoregular
La apotema (ap) de un polígono regular es la distancia de cualquier de sus lados
al centro (C) del polígono. Puede calcularse sabiendo el número de lados (N)
del polígono y lo que mide cada lado (L).

Sea el ángulo central α el ángulo que forman las dos líneas que unen el centro
del polígono (O) y dos vértices consecutivos. Éste se calcula como:
Mediante la tangente de la mitad del ángulo central y un lado (L), se calcula
la apotema (ap) del polígono regular.
Apotemadelapirámide
La apotema de la pirámide es la distancia del ápice a un lado de la base. Solo
En las pirámides regulares, la altura (h), la apotema de la base (apb) y la apotema
de la pirámide (ap) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras,
conociendo la altura (h) y el apotema de la base (apb) podemos calcular la apotema:
Apotemadeltroncodepirámide

La apotema de un tronco de pirámide es la altura de los trapecios de las caras
laterales. Solo existe en los troncos de pirámide regulares.
En este caso, la apotema (ap) la altura (h), y el segmento diferencia entre la
apotema de la base mayor y la apotema de la base menor (apBM – apBm) forman
un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la apotema:
Como conocemos los dos catetos, hallaremos la apotema, que es la hipotenusa:

En el caso de conocer las aristas de las bases y la arista lateral, también se calcula
la apotema del tronco de pirámide regular mediante el teorema de Pitágoras.
Cualquier cara lateral de un tronco de pirámide regular es un trapecio isósceles:
Solamente quedará aplicar el teorema de Pitágoras:
Apotemadeunpentágono
La apotema de un pentágono (ap) es la distancia más corta entre el centro
del pentágono y uno de sus lados. Solo existe la apotema en los pentágonos
regulares (y, en los demás polígonos, únicamente también en los polígonos regulares).

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