Cuaderno de Trabajo de Física 4to Semestre

CECYTEJ
Cuaderno de Trabajo
Física
4to Semestre
Alumno:__________________________
Grado y Grupo:___ Especialidad:_____________

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco
CECyTEJ #11
Ing. Edison Villacrés
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PRIMER PARCIAL
Unidad de Aprendizaje
Relaciona el Conocimiento Científico y las Magnitudes Físicas como herramientas básicas para aprender los
Fenómenos Naturales
Competencia a Desarrollar
 Se expresa y se comunica
 Piensa, critica y reflexivamente
 Trabaja en forma colaborativa
 Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextos históricos
y sociales específicos.
 Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana, asumiendo
consideraciones éticas
Dimensión del Aprendizaje
 Actitud y Percepciones
Generalidades
La Física y su impacto en la Ciencia y la Tecnología
Física es la Ciencia dedicada al estudio de la materia, la energía y sus transformaciones, cuando no hay
cambios en la estructura de la materia.
La frase “cuando no hay cambios en la estructura de la materia” significa que los procesos en donde los
cambios si existen, ya no podrán ser explicados por la Física sino por su “hija”, La Química
A la física también se le conoce como “La ciencia de las 4 fuerzas”:
a) La Fuerza de la gravedad
b) La Fuerza Electromagnética
c) La Fuerza Nuclear Fuerte
d) La Fuerza Nuclear Débil

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Mediciones Técnicas y Vectores
Magnitudes Físicas
Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden
asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón
que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el
objeto patrón. Por ejemplo, se considera que el patrón principal de longitud es el metro en el Sistema
Internacional de Unidades.
Las primeras magnitudes definidas estaban relacionadas con la medición de longitudes, áreas, volúmenes,
masas patrón, y la duración de periodos de tiempo.
Existen magnitudes básicas y derivadas, y constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud,
el tiempo, la carga eléctrica, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, y la energía. En términos
generales, es toda propiedad de los cuerpos que puede ser medida. De lo dicho se desprende la importancia
fundamental del instrumento de medición en la definición de la magnitud.
Tipos de Magnitudes Físicas
Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas de acuerdo a varios criterios: Según su expresión matemática,
las magnitudes se clasifican en escalares, vectoriales o tensoriales. Según su actividad, se clasifican en
magnitudes extensivas e intensivas.
Magnitudes Escalares son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades
utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático
más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de dirección. Su valor
puede ser independiente del observador (v.g.: la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la
posición o estado de movimiento del observador (v.g.: la energía cinética)
Magnitudes Vectoriales.- son aquellas que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), y
una dirección. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un
segmento orientado. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo
eléctrico, intensidad luminosa, etc. Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un
observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan
invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes
observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. En mecánica clásica también el campo
electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad esta magnitud,
al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de una magnitud tensorial.

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Magnitudes Tensoriales.- son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables
mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado
a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación. De acuerdo con el tipo de magnitud,
debemos escoger leyes de transformación de las componentes físicas de las magnitudes medidas, para poder
ver si diferentes observadores hicieron la misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador,
conocidas las de otro cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean conocidos.
Magnitud Intensiva.- es aquella cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema. Las magnitudes
intensivas tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como
subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.
Magnitud Extensiva.- es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema.
Las magnitudes extensivas son aditivas. Si consideramos un sistema físico formado por dos partes o
subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las
dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico,
etc.
El Sistema Internacional de Unidades
El Sistema Internacional de Unidades se basa en dos tipos de magnitudes físicas:
1. Las siete que toma como fundamentales, de las que derivan todas las demás. Son longitud, tiempo, masa,
intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia e intensidad luminosa.
Las unidades derivadas, que son las restantes y que pueden ser expresadas con una combinación
matemática de las anteriores.
Unidades Básicas o Fundamentales del Sistema Internacional

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Las magnitudes básicas no derivadas del Sistema Internacional son las siguientes:
 Longitud: metro (m). El metro es la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos.
Este patrón fue establecido en el año 1983.
 Tiempo: segundo (s). El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente
a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del cesio-133. Este patrón fue
establecido en el año 1967.
 Masa: kilogramo (kg). El kilogramo es la masa de un cilindro de aleación de Platino-Iridio depositado en
la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Este patrón fue establecido en el año 1887.
 Cantidad de Sustancia: mol (mol). El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas
entidades elementales como átomos.
 Intensidad de Corriente Eléctrica: amperio (A). El amperio o ampere es la intensidad de una corriente
constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección
circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro, en el vacío, produciría una
fuerza igual a 2×10-7
newton por metro de longitud.
 Temperatura: kelvin (K). El kelvin es la fracción 1/273,16 de la temperatura del punto triple del agua.
 Intensidad Luminosa: candela (cd). La candela es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente
que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×1012
Hz y cuya intensidad energética en dicha
dirección es 1/683 vatios por estereorradián.
Unidades Fundamentales en el Sistema Cegesimal C.G.S.
 Longitud: centímetro (cm): 1/100 del metro (m) S.I.
 Tiempo: segundo (s): La misma definición del S.I.
 Masa: gramo (g): 1/1000 del kilogramo (kg) del S.I.
Unidades Fundamentales en el Sistema Gravitacional Métrico Técnico
 Longitud: metro (m). La misma definición del Sistema Internacional.
 Tiempo: segundo (s).La misma definición del Sistema Internacional.
 Fuerza: kilogramo-fuerza (kgf). El peso de una masa de 1 kg (S.I.), en condiciones normales de gravedad
(g = 9,80665 m/s2
).
Unidad Sistema Internacional Base
Cantidad Física Nombre Símbolo
Longitud Metro m
Masa Kilogramo Kg
Tiempo Segundo seg
Corriente Eléctrica Ampere A
Temperatura
Termodinámica
Kelvin K
Cantidad de Substancia Mol mol
Intensidad Luminosa Candela cd
Unidad Sistema Internacional Sumplementarias
Ángulo Plano radián rad
Ángulo Sólido estereorradián srad
Magnitudes Físicas Derivadas

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Una vez definidas las magnitudes que se consideran básicas, las demás resultan derivadas y se pueden
expresar como combinación de las primeras.
Las unidades derivadas se usan para las siguientes magnitudes: superficie, volumen, velocidad, aceleración,
densidad, frecuencia, periodo, fuerza, presión, trabajo, calor, energía, potencia, carga eléctrica, diferencia
de potencial, potencial eléctrico, resistencia eléctrica, etcétera.
Algunas de las unidades usadas para esas magnitudes derivadas son:
 Fuerza: newton (N) que es igual a kg·m/s2
 Energía: julio (J) que es igual a kg·m2
/s2
Frecuencia Hertz Hz
Energía Joule J
Fuerza Newton N
Potencia Watt W
Presión Pascal Pa
Carga Eléctrica Coulomb C
Diferencia de Potencial Eléctrico Volt V
Resistencia Eléctrica Ohm Ω
Conductancia Eléctrica Siemens S
Capacidad Eléctrica Farad F
Flujo Magnético Weber Wb
Inductancia Henry H
Densidad de Flujo Magnético 1.8 Tesla T
Flujo Luminoso Lumen lm
Iluminación Lux Lx
Medición de Longitud y Tiempo
Es determinar la dimensión de la magnitud de una variable en relación con una unidad de medida
preestablecida y convencional. Se conocen algunos sistemas convencionales para establecer las unidades de
medida: El Sistema Internacional y el Sistema Inglés.
Medición es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la misma
magnitud, que elegimos como unidad. Teniendo como punto de referencia dos cosas: un objeto (lo que se
quiere medir) y una unidad de medida ya establecida ya sea en Sistema Inglés, Sistema Internacional, o una
unidad arbitraria. Al resultado de medir lo llamamos Medida.
Cuando medimos algo se debe hacer con gran cuidado, para evitar alterar el sistema que observamos. Por
otro lado, no hemos de perder de vista que las medidas se realizan con algún tipo de error, debido a
imperfecciones del instrumental o a limitaciones del medidor, errores experimentales, por eso, se ha de
realizar la medida de forma que la alteración producida sea mucho menor que el error experimental que se
pueda cometer.
Los Múltiplos, Prefijos y Factores de Conversión de Unidades
Por ser un sistema decimal, es decir, base 10, el sistema internacional de unidades es muy ventajoso para
expresar unidades más grandes o pequeñas multiplicando o dividiendo una unidad fundamental por potencias
de 10, tal como aparece en la tabla siguiente:
Prefijos Usados con Unidades SI
Nombre de Nombre de

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Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo
𝟏𝟎 deca da 10−1
deci d
𝟏𝟎 𝟐
hecto h 10−2
centi c
𝟏𝟎 𝟑
kilo k 10−3
mili m
𝟏𝟎 𝟔
mega M 10−6
micro 𝜇
𝟏𝟎 𝟗
giga G 10−9
nano n
𝟏𝟎 𝟏𝟐
tera T 10−12
pico p
𝟏𝟎 𝟏𝟓
peta P 10−15
fento f
𝟏𝟎 𝟏𝟖
exa E 10−18
atto a
Generalmente los prefijos T(tera), G(giga) y M(mega) se utilizan en unidades de frecuencia (inverso de la
unidad de tiempo) y potencia eléctrica.
Ejemplos:
1 femtosegundo = 1 fm = 10-15 s 1 gigahertz = 1 GHZ = 109 Hz
1 nanómetro = 1 nm = 10-9 m 1 megawatt = 1 MW = 106 W
Los siguientes son los factores de conversión más importantes entre el sistema inglés de unidades y el SI.
Longitud Volumen Masa
1 pulgada = 1 in. = 2,54 cm 1 litro = 1000 cm 3 1 slug = 14,59 kg
1 pie = 1 ft = 30,48 cm 1 galón = 3,788 litros 1 u = 1unidad atómica de masa = 1,661 x 10-27
kg
1 yarda = 1 yd = 91,44 cm 1 quarter = 0,947 litros
1 milla = 1 mi = 1,609 km
Notación Científica
La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando
potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy
pequeños.
Los números se escriben como un producto: 𝑎 ∗ 10 𝑛
siendo:
 un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.
 un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.
La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa
y en algunos hispanohablantes.
Escritura
100
= 1
101
= 10
102
= 100
103
= 1 000
104
= 10 000
105
= 100 000
106
= 1 000 000
107
= 10 000 000
108
= 100 000 000
109
= 1 000 000 000
1010
= 10 000 000 000
1020
= 100 000 000 000 000 000 000
1030
= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n
o, equivalentemente 0, (n–1 ceros)

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10–1
= 1/10 = 0,1
10–2
= 1/100 = 0,01
10–3
= 1/1 000 = 0,001
10–9
= 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como, 1,56234 ∗ 10−31
y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939kg (masa de un electrón) puede
ser escrito como 9,10939 ∗ 10−31
kg.
Operaciones Matemáticas con Notación Científica
Suma y resta
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de
una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe
convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como sea necesario para
obtener el mismo exponente.
Ejemplo:
(2 × 105) + (3 × 105) = 5 × 105
(2 ∗ 104) − (3 ∗ 105) − (6 ∗ 103) = (tomamos el exponente 5 como referencia)
(0.2 ∗ 105) − (3 ∗ 105) − (0.06 ∗ 105)
= 3.14 ∗ 105
Multiplicación
Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los
exponentes.
Ejemplo:
(4 × 1012
)(2 × 105
) = 8 × 1017
División
Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes
(el del numerador menos el del denominador).
Ejemplo:
(4 ∗ 1012)
(2 ∗ 105)
= 2 ∗ 107
(4 ∗ 1012)
(2 ∗ 10−7)
= 2 ∗ 1019
Potenciación
Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.
Ejemplo:
(3 ∗ 106)2
= 9 ∗ 1012
Radicación
Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.
Ejemplos:
√9 ∗ 1026 = √9 ∗ 10
26
2 = 3 ∗ 1013
√27 ∗ 10123
= √27
3
∗ 10
12
3 = 3 ∗ 104
√256 ∗ 10644
= √256
4
∗ 10
64
4 = 4 ∗ 1016

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Secuencia 1 Actividad 1
1. Sitúa en la escala de Potencias de Decimales:
a) 7,2 ∗ 105
b) 3,67 ∗ 104
c) 8,92 ∗ 10−3
d) 3,34 ∗ 10−1
e) 3 ∗ 10−13
f) 6.255 ∗ 103
g) 3 ∗ 10−13
h) 5.56 ∗ 10−3
i) 3209 ∗ 10−6
j) 3000000000 ∗ 103
2. Expresa en Notación Científica las siguientes cantidades.
a) 300,000,000
b) 0.000 0001
c) 0.000 00062
d) −18,400,000,000
e) −7,894.34
f) 456.987
g) 0.00000000093
h) −5.5
i) 300,000,000
j) 18,400,000,000

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3. Realiza la Operación (
0.00000000000663∗30 000
0.00 000 009 116
) pasa primero a Notación Científica
4. Efectúa los Productos y Cocientes siguientes usando las propiedades de las Potencias:
a)
(9∗10−3)(5∗10−4)
(1.5∗108)
b)
(1.6∗10−2)(5∗105)
(1.5∗10−6)
c)
(7.2∗10−6)
(1.2∗10−6)(3∗10−1)
d)
(8.5∗10−8)
(1.4∗10−9)(1.3∗10−7)
e)
(9∗10−3)(5∗10−4)
(1.4∗10−9)(1.3∗10−7)
f)
(1.6∗10−7)(5∗10−6)
(1.4∗103)(1.3∗107)
g)
(3.2∗107)∗0.7
(2∗1014)(6∗10−5)
h) (3 ∗ 105)(8 ∗ 10−4)
i) (3.74 ∗ 10−10
)(1.8 ∗ 1018
)
j) (5.4 ∗ 108
)(6.8 ∗ 1012
)
5. Efectúa las Sumas, Restas, Productos y Cocientes de las siguientes expresiones usando la
transformación decimal y el resultado expresa en Notación Científica:
a) (3 ∗ 10−1
) − (5 ∗ 10−2
) + (3 ∗ 10−3
)
b)
(5∗10−5)−(3∗10−7)
(2∗103)+3
c) (1.2 ∗ 102) + (1.8 ∗ 103)
d) (2.5 ∗ 10−3
) − (7.3 ∗ 10−5
)
e) (5.6 ∗ 10−2
)((4.2 ∗ 102) + (3.3 ∗ 103))
f) (9.8 ∗ 10−3) + (3.2 ∗ 102)
g) (8.6 ∗ 10−3
)((64.2 ∗ 104) + (33 ∗ 105))

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6. Efectúa las siguientes Operaciones:
a) √9 ∗ 1032
b) √27 ∗ 10243
c) √512 ∗ 101283
d) √3125 ∗ 101255
e) √4096 ∗ 10324
f) (3 ∗ 108)4
g) (7 ∗ 1012)2
h) (5 ∗ 109)3
i) (6 ∗ 106)5
j) (2 ∗ 1016)6
7. La masa del Sol es aproximadamente 2 ∗ 103
𝑘𝑔, la masa del electrón es aproximadamente 1.6 ∗ 10−27
𝑘𝑔.
Utilizando Notación Científica y Fracciones Generatrices, estima cuantas veces es más pesado el sol que
el electrón.
8. Expresa en Notación Científica:
a) Distancia de la Tierra a la luna 384,000 km
b) Distancia de la Tierra al Sol 150,000,000 km
c) Distancia de la Tierra a Neptuno 4,308,000,000 km
d) Virus de la gripe 0. 000 000 002 2 m
e) Radio del Protón 0. 000 000 000 05m
9. Resuelve los siguiente problemas utilizando Notación Científica:
a. El presupuesto de un país es de quince trillones de dólares. ¿Cuánto tiene que aportar un individuo
en promedio si el país tiene doscientos cincuenta millones de habitantes?
b. Un año luz es la distancia que viaja la luz en un año, es decir, aproximadamente 5,869’713,600 millas,
se estima que la vía láctea tiene un diámetro de 200,000 años luz. ¿Cuántas millas tiene la vía láctea
de diámetro?

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c. La edad del sol es aproximadamente 5 ∗ 109
𝐴ñ𝑜𝑠. Sin embargo hay cuerpos que pueden tener 4
veces la edad del sol. ¿Cuál es la Edad de estos Cuerpos?
d. Se calcula que en la vía láctea hay aproximadamente 1.2 ∗ 1011
𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠. ¿Cuánto le tomara a una
persona contar las estrellas si cuenta una por segundo?
e. Suponga que tiene que escribir los números hasta un millón. ¿Cuántos ceros abra escrito?

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Cifras Significativas
Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan
alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen
significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras
significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.
Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432,4764 m con un error de 0,8
m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que
ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar
el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras
significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc.,
pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.
Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que
puede suponer una fuente de confusión.
Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas. Se llama redondeo al
proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.

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Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:
 Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.
 Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida.
 Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra
retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.
Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue
siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.
Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el
número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000. En este caso suele preferirse la notación
exponencial, puesto que si escribimos “4000” puede no estar claro si los ceros son cifras significativas o no.
En efecto, al escribir 4103 queda claro que sólo la cifra “4” es significativa, puesto que si los ceros también
lo fueran escribiríamos 4.000103
Reglas de operaciones con cifras significativas:
a. Regla 1: Los resultados experimentales se expresan con sólo una cifra dudosa, e indicando con ± la
incertidumbre en la medida.
b. Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente
de cero y hasta el dígito dudoso.
c. Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual
al de la cantidad con el menor número de ellas.
Atención: Un caso de especial interés es el de la resta.
Citemos el siguiente ejemplo: 30,3475 – 30,3472 = 0,0003.
Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee tan solo
una.
Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja
con calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se resten.
Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor número de cifras
significativas posible.

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d. Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al
del factor con menos cifras.
Instrumentos de Medición
Es un aparato que se usa para comparar magnitudes físicas mediante un proceso de medición. Como unidades
de medida se utilizan objetos y sucesos previamente establecidos como estándares o patrones y de la
medición resulta un número que es la relación entre el objeto de estudio y la unidad de referencia. Los
instrumentos de medición son el medio por el que se hace esta conversión.
Para Medir Longitud:
a. REGLA: Instrumento de forma rectangular y de poco espesor, el cual puede estar hecho de distintos
materiales rígidos, que sirve principalmente para medir la distancia entre dos puntos o para trazar líneas
rectas. Al medir con la regla debemos tener la precaución de iniciar la medida desde el cero de la escala,
que no siempre coincide con el extremo de la misma, si no que en muchas reglas el cero se encuentra a
una pequeña distancia de dicho extremo, lo que puede conducir a un error de medición si no se presta
atención a este detalle.
b. METRO plegable: se utiliza para medir distancias con una apreciación de 1 mm. Este instrumento suele
tener el cero de la escala coincidiendo con su extremo, por lo que en este caso se debe medir partiendo
del mismo. Suelen tener una longitud de 1m o de 2m.
c. CINTA MÉTRICA: se utiliza para medir distancias con una apreciación de 1 mm y en pulgadas, también
suelen tener el cero de la escala coincidiendo con su extremo, por lo que en este caso se debe medir
partiendo del mismo, donde tiene una pata de apoyo para colocar en el borde de la pieza, facilitando la
medición. Tienen de 1m a 5m de longitud.
d. CALIBRE: instrumento para medir pequeñas longitudes con apreciación de 0,1 mm en los modelos más
comunes con nonio de 10 divisiones, apreciación de 0,02 mm si tiene nonio de 50 divisiones, además de
1/128”en el nonio de pulgadas, por lo tanto su apreciación dependerá de la cantidad de divisiones del
nonio:
a) 10 divisiones = 1/10 mm o 0,1 mm
b) 20 divisiones = 1/20 mm o 0,05 mm
c) 50 divisiones = 1/50 mm o 0,02 mm
Este instrumento tiene además accesorios para facilitar distintos tipos de medidas de longitud sobre
piezas, por ejemplo: medidas exteriores con las patas fija y móvil, medidas en interiores con las puntas
fija y móvil, medidas de profundidad en cavidades con la varilla de profundidad. En cualquiera de los
casos anteriores la lectura siempre se realiza sobre la zona a consultar, donde se encuentren el nonio y
la regla, observando la cantidad de milímetros enteros a la izquierda del cero del nonio y los decimales

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contando en el nonio hasta llegar a los trazos coincidentes. Lectura: 62,8 mm (62 mm a la izquierda del
cero y 8 divisiones del nonio).
e. MICRÓMETRO: instrumento de precisión para medir longitudes con una apreciación de centésimas de
milímetro (0,01mm) capaz de realizar estas mediciones gracias a un tornillo de precisión con una escala
convenientemente graduada.
Conversiones de Unidades
En muchas situaciones en Física, tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienen expresadas en
unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar
las unidades de forma que se cumpla el principio de homogeneidad. Por ejemplo, si queremos calcular el
espacio recorrido por un móvil que se mueve a velocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30
segundos, debemos aplicar la sencilla ecuación 𝑠 = 𝑣 ∗ 𝑡, pero tenemos el problema de que la velocidad viene
expresada en kilómetros/hora, mientras que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una
de las dos unidades, de forma que ambas sean la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el
cálculo sea acertado.
Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión. Llamamos factor de conversión a la
relación de equivalencia entre dos unidades de la misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los
valores numéricos de equivalencia entre ambas unidades. Por ejemplo, en nuestro caso, el factor de
conversión entre horas y segundos viene dado por la expresión
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
3600 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
o la equivalente
3600 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
, ya que 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 = 3600 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
Para realizar la conversión, simplemente colocamos la unidad de partida y usamos la relación o factor
adecuado, de manera que se nos simplifiquen las unidades de partida y obtengamos el valor en las unidades
que nos interesa. En nuestro caso, deseamos transformar la velocidad de Km/hora a Km/segundo, por lo cual
usaremos la primera de las expresiones, ya que así simplificamos la unidad hora
72
𝑘𝑚
ℎ
∗
1ℎ
3600 𝑠𝑒𝑔
= 0.02 𝑘𝑚
𝑠𝑒𝑔⁄
Si tenemos que transformar más de una unidad, utilizamos todos los factores de conversión sucesivamente
y realizamos las operaciones. Por ejemplo, transformemos los 72 Km/h a m/s.
72
𝑘𝑚
ℎ
∗
1ℎ
3600 𝑠𝑒𝑔
∗
1000 𝑚
1 𝑘
= 20 𝑚
𝑠𝑒𝑔⁄
Con el fin de utilizar siempre el mismo sistema de unidades y tener un criterio de homogeneización, utilizamos
el Sistema Internacional de Unidades.
Medidas de Peso
Convertir de a... Multiplicar por
toneladas cortas
Kilogramos 907.18 1 tonelada = 1000 kgs.
Libras 2000 1 quintal = 100 kgs.
toneladas largas 0.89 1 quintal z = 100 libras
toneladas métricas 0.91
1 kilo
= 1000 grs.
toneladas largas
Kilogramos 1016.05 = 2.2046 libras
Libras 2240
1 libra
= 453.597 grs.
toneladas cortas 1.12 = 16 onzas
toneladas métricas 1.02 1 gramo = 1000 mgs.

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toneladas métricas
Kilogramos 1000 1 onza = 28.35 grs
Libras 2204.62
1 quilate
= 205 mgs.
toneladas cortas 1.10 = 11.502 kgs.
toneladas largas 0.98 1 arroba = 25 libras
Kilogramos
Libras 2.20
Gramos 1000
Libras
Onzas 16
Kilogramos 0.45
Onzas Gramos 28.35
Quintales Kilogramos 46
Arroba Libras 25
Medidas de longitud
Centímetros
Pulgadas 0.39 1 m = 1 000 mm
Metros 0.010 1 m = 100 cm
Milímetros 10 1 cm = 10 mm
Metros
Decímetros 10 1 m = 39.37 in
Centímetros 100 1 m = 3.28 ft
Pulgadas 39.37 1 m = 1.094 yd
Pies 3.28 1 km = 1000 m
Yardas 1.09 1 in = 2.54 cm
Decámetros Metros 10 1 ft = 0.305 m
Hectómetros Metros 100 1 ft = 30.48 cm
Kilómetros
Metros 1000 1 ft = 12 in
Yardas 1093.61 1 mi = 1.61 m
Pies 3280.83 1 mi = 5280 ft
Millas 0.62 1 yd (yardas) = 3.0 ft
Miriámetros Metros 1000 1 yd (yardas) = 91.44 cm
Yardas
Metros 0.914 1 in (pulgadas) = 0.0254 m
Pies 3
in (pulgadas)
ft (pies)
mi (millas)
yd (yardas)
Millas
Kilómetros 1.61
Pies 5280.25
Yardas 1759.62
Metros 1609.34
Pies
Centímetros 30.48
Pulgadas 12
Yardas 0.33
Pulgadas
Centímetros 2.54
Pies 0.083
Medidas de Volumen
metros cúbicos
pulgadas cubicas 61023.19
1 m3
= 1000 dm3
pies cúbicos 35.31 = 1000 litros
yardas cubicas 1.31
1 dm3
= 1 litro
galones americanos 264.2 = 1000 cm3
decímetros cúbicos
1 galón
= 8 pintas
pies cúbicos 0.035 = 4.55 litros
yardas cubicas 0.0013
centímetros cúbicos
pies cúbicos 0.000035

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yardas cubicas
centímetros cúbicos 764555.56
decímetros cúbicos 764.56
metros cúbicos 0.765
pulgadas cubicas 46656
pies cúbicos 27
galones americanos 202.01
pies cúbicos
pulgadas cubicas 1,73
pulgadas cubicas
pies cúbicos 0.00058
Conversión de Temperaturas
Convertir de a… Multiplicar por
celsius (c) fahrenheit (f) c x 9 /5+32 c f
fahrenheit (f) celsius (c) f-32) x 5/9 -17.77 = 0
0 = 32
5 = 41
10 = 50
15 = 59
18 = 64.4
20 = 68
21 = 69.8
22 = 71.6
23 = 73.4
24 = 75.2
25 = 77
30 = 86
32 = 89.6
35 = 95
37 = 98.6
40 = 104
50 = 122
60 = 140
70 = 158
Medidas de Superficie
centímetros cuadrados pulgadas cuadradas 0.155 1 km2
= 100 hectáreas
decímetros cuadrados pies cuadrados 0.108 1 hectárea = 10000 m2
metros cuadrados
decímetros cuadrados 100 = 2.47 acres
centímetros cuadrados 10000 1 acre = 4046.9 m2
pulgadas cuadradas 1549.99 1 m2
= 10000 c m2
pies cuadrados 10.76 1 c m2
= 100 m m2
yardas cuadradas 1.196
hectáreas metros cuadrados 10000

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Áreas 100
pulgadas cuadradas
centímetros cuadrados 6.452
pies cuadrados 0.0069
pies cuadrados
pulgadas cuadradas 144
decímetros cuadrados 9.29
metros cuadrados 0.093
yardas cuadradas
metros cuadrados 0.84
pies cuadrados 9
áreas metros cuadrados 100
acres
Áreas 40.47
Hectáreas 0.405
kilómetros cuadrados
metros cuadrados 1000000
yardas cuadradas 1’195985.02
kilómetros cuadrados 0.39
millas cuadradas
kilómetros cuadrados 2.59
Hectáreas 258.99
Medidas de Líquidos
galones americanos
galones ingleses 0.83
pies cúbicos 0.14
centímetros cúbicos 3,785.31
Litros 3.79
cuartos americanos 4
pintas americanas 8
galones ingleses
pies cúbicos 0.161
Litros 4.55
cuartos ingleses 4
pintas inglesas 8
litros
pies cúbicos 0.035
metros cúbicos
galones ingleses 220
pies cúbicos
Litros 28.32
barril de aceite galones americanos 42

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Secuencia 1 Actividad II
1. Teniendo en cuenta la equivalencia entre las unidades fundamentales, determinar los factores de
conversión de:
 400 km en millas,
 100 km/h en m/s,
 12 pulgadas en milímetros.
 6080 pies en metros,
 420 litros en centímetros cúbicos.
2. Determine en metros cuadrados (m2
) el área de un cuadrado que tiene un pie de lado.
3. Si un avión está volando a 30 mil pies de altura, ¿cuantos metros lo separan de la superficie?
4. ¿Cuántos galones pueden almacenarse en un recipiente esférico que tiene una capacidad de 100000
litros?
5. Si la masa de la tierra es de 6 x 1024 kg y pudiera suponerse que es una esfera de 6400 km de radio,
¿cuál sería su radio en centímetros?
6. Una sala de estar tiene 18 ft de ancho y 33 ft de largo ¿Cuál es el área de la sala en m2
?
7. Una acera requiere de 40 yd3
de concreto ¿Cuántos m3
se necesitan?
8. Convertir 18.4567° a Grados, Minutos y Segundos
9. Convertir 18° 27' 24'' a Grados
10. Convertir 38 ° 15' 16 '' a Radianes
11. Realiza la conversión de las siguientes unidades:
 1,3 kg/l a kg/ m
3
 6 g / cm
3
a kg / m
3
 980 g / l a kg / m
3
 20 km / h a m / s

CECyTEJ #11
21
 20 m / s a km / h
 20 cm / s a km / h
 2593 Pies a Yardas.27,356 Metros a Millas
 386 Kilogramos a Libras
 2,352 Segundos a Año
 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.
 46 m en cm
 540 m2
en cm2
12. Efectúa las siguientes conversiones
 875 km a mi
 1250 in a m
 0.6 m2
a cm2
 9 ft2
a m2

CECyTEJ #11
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Cantidades Vectoriales y Escalares
Algunas cantidades quedan totalmente descritas si se expresan con un número y una unidad. Por ejemplo, una
masa de 30 kg. La masa queda totalmente descrita por su magnitud representada por el número (para el caso,
30 es la magnitud) y las unidades correspondientes para la masa: kilogramos. Estas cantidades son escalares.
*Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una
unidad.
Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente coherentes; es decir, las cantidades
deben tener las mismas unidades para poder operarse.
30 kg + 40 kg = 70 kg
20 s + 43 s = 63 s
Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo, volúmenes, áreas entre otras.
Para el caso de algunas cantidades, no basta con definirlas solo con un número y una cantidad, sino además
se debe especificar una dirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades son
vectoriales.
*Definición: Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en
un número, una unidad y una dirección.
Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores.
Por ejemplo, "una velocidad de 30 km/h" queda totalmente descrita si se define su dirección y sentido: "una
velocidad de 30 km/h hacia el norte" a partir de un marco de referencia determinado (los puntos cardinales).
Entre algunas cantidades vectoriales comunes en física son: la velocidad, aceleración, desplazamiento,
fuerza, cantidad de movimiento entre otras.
Existen diferentes formas de expresar una cantidad vectorial. Una de ellas es la forma polar, que se escribe
como un par de coordenadas, en las cuales denotan su magnitud y su dirección. Por ejemplo, La velocidad (30
m/s, 60º), quiere decir "velocidad de 30 m/s a 60º desde el origen del marco de referencia dado".
Características de los Vectores.
Los vectores se representan por medio de flechas. El sentido del vector está dado por medio del indicador
de la flecha o punta de flecha; la magnitud del vector está dado por el tamaño del vector y la dirección por

CECyTEJ #11
23
la inclinación que tenga la flecha. Generalmente el marco de referencia utilizado es el plano cartesiano, con
el eje x positivo dirigido hacia la derecha y el eje y positivo dirigido hacia arriba.
Ejemplo. Considere los vectores D1 (verde) y D2 (azul) representados en la figura. El vector D2 tiene mayor
magnitud que el vector D1 (observe el tamaño). Según el marco de referencia propuesto, ambos tienen
sentidos opuestos y la dirección para D1 es 60º y para D2 es de 80º desde el eje negativo y (es decir, 190º).
Generalmente los vectores se representan con una letra (comunmente la letra inicial de la propiedad que
denota la cantidad) y encima de esa letra una flecha hacia la derecha. Por ejemplo:
Vector velocidad:
La magnitud de un vector se representa por medio de barras verticales:
Magnitud del vector velocidad.
La dirección del vector está dada por un ángulo θ con respecto al marco de referencia. Generalmente, éste
ángulo se mide a partir del eje x positivo.
El sentido del vector está dado por el signo que lo antepone. Por ejemplo, si el vector está dirigido hacia
el norte, entonces el vector - está dirigido hacia el sur.
Las operaciones con vectores suelen ser más complejas debido a la introducción de las nuevas propiedades
(dirección y sentido). En las siguientes lecciones, se muestran algunos métodos para poder realizar sumas y
restas de vectores.
Operaciones con Vectores por el Método del Paralelogramo.
Para utilizar métodos gráficos en la suma o resta de vectores, es necesario representar las cantidades en
una escala de medición manipulable. Es decir, podemos representar un vector velocidad de 10 m/s hacia el
norte con una flecha indicando hacia el eje y positivo que mida 10 cm, en la cual, cada cm representa una
unidad de magnitud real para la cantidad (1 m/s).
El vector que resulta de operar dos o más vectores, es conocido como el vector resultante, o simplemente la
resultante.
El método del paralelogramo permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los dos
vectores, con su magnitud a escala, dirección y sentido originales, en el origen, de manera que los dos vectores
inicien en el mismo punto. Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados
se construyen trazando lineas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud. El vector suma resultante
se representa a escala mediante un segmento de recta dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del
origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas.
Ejemplo. Una bicicleta parte desde un taller de reparación y se desplaza (4 m, 30º) y luego (3 m, 0º).
Encuentre el desplazamiento total de la bicicleta, indicando la dirección tomada desde el taller.

CECyTEJ #11
24
El desplazamiento total se da en dos tramos. Cada tramo desplazado se representa por los vectores d1 y d2.
El desplazamiento total es D = d1 y d2.
Los dos vectores son dibujados a la misma escala, y se colocan en el mismo origen. Luego se trazan las lineas
paralelas.
Si medimos con una regla, a la escala dada, el tamaño del vector resultante debe dar aproximadamente 6.75
unidades de la escala; es decir, la magnitud del vector desplazamiento total es de 6.75 m.
La medida de la dirección se toma con la ayuda de un transportador, y debe dar aproximadamente 17º desde
el origen propuesto. El sentido del vector resultante es positivo, según el marco de referencia común (plano
cartesiano, hacia x positivo y hacia y positivo). Entonces como resultado, la bicicleta se desplaza (6.75 m,
17º).
Operaciones con Vectores por el Método del Polígono.
Éste es el método gráfico más utilizado para realizar operaciones con vectores, debido a que se pueden
sumar o restar dos o más vectores a la vez. El método consiste en colocar en secuencia los vectores
manteniendo su magnitud, a escala, dirección y sentido; es decir, se coloca un vector a partir de la punta
flecha del anterior. El vector resultante está dado por el segmento de recta que une el origen o la cola del
primer vector y la punta flecha del último vector.
Ejemplo. Sean los vectores:
Encontrar .
Resolviendo por el método del polígono, la figura resultante es:

CECyTEJ #11
25
Si se utilizan los instrumentos de medición prácticos, se obtiene que : y que θ es aproximadamente
80ª.
Cuando dos vectores se restan, el procedimiento anterior es el mismo, lo único que cambia es el sentido del
vector que le sigue al signo menos. Por ejemplo, al restar el vector D2 del vector D1 se tiene:
D1- D2 = D1+ (-D2).
La expresión del miembro derecho de la ecuación anterior designa un cambio en el sentido del vector D2;
entonces, la expresión queda como una suma, y por lo tanto, se sigue el procedimiento del método gráfico
mostrado anteriormente.
Los métodos gráficos ofrecen una manera sencilla de sumar o restar dos o más vectores; pero cuando las
magnitudes de los vectores son demasiado grandes o poseen una gran cantidad de decimales, éstos métodos
se vuelven imprecisos y difíciles de manipular a escalas de medición menores. Es por eso, la necesidad de un
método matemático nemotécnico, que permita dar una mayor precisión en el cálculo de vectores resultantes,
no sólo en la magnitud, sino además en la dirección de ellas
Componentes Rectangulares de un Vector.
La eficacia de una cantidad vectorial depende de la dirección en la que actúa. Por ejemplo, suponga una fuerza
(cantidad vectorial) que mueve una caja grande arrastrándola por el suelo. La caja se moverá más fácil si se
hala por medio de una cuerda inclinada (como se muestra en la figura) que si se empuja, debido a que la cuerda
levanta la caja y la mueve hacia adelante al mismo tiempo. En forma similar, al empujar la caja, se produce el
efecto de añadir peso. Esto da la idea de que una fuerza, y en general, un vector, tiene componentes
verticales y horizontales que podrían reemplazar al vector.
En general, las componentes de un vector son otros vectores, en direcciones particulares. El eje de
referencia principal más utilizado es el plano cartesiano. Según éste marco de referencia, las componentes
horizontales son vectores en dirección al eje x y las componentes verticales son vectores en dirección al eje
y.

CECyTEJ #11
26
Las magnitudes de las componentes se encuentran relacionadas con la magnitud del vector principal por medio
del teorema de Pitágoras, tomando como catetos las componentes, y como hipotenusa el vector principal. La
dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes de las componentes por medio de las
relaciones trigonométricas conocidas para un triángulo rectángulo simple. Las relaciones más utilizadas son
el seno, coseno y tangente.
Ejemplo. Encuentre la magnitud de las componentes en x e y del vector (3.5 u,60º).
La componente en x se puede encontrar fácilmente utilizando la relación del cosena:
Resolviendo: Componente en x = (3.5 u)*cos(60º) = 1.75 u.
De manera similar, se puede encontrar la magnitud de la componente en y por medio de la relación del seno;
pero además se conoce la magnitud del vector principal, lo cual permite utilizar el teorema de pitágoras:
Resolviendo:
Componente en y = 3.03 u
En general, las componentes de un vector pueden verse como efectos o proyecciones a lo largo de los ejes x
e y. Considere el vector V. Podemos escribir las componentes en x e y del vector V en términos de su magnitud
V y su dirección θ:
- Componente en x, o Vx = V cos θ
- Componente en y, o Vy = V sen θ
donde θ es el ángulo, medido en dirección antihoraria, entre el vector V y el lado positivo del eje x.
Operaciones con Vectores por el Método de las Componentes.
Éste método mejora la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante por medio del conocimiento
de las componentes del vector; además tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez,
mediante un proceso algebraico.
El método consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de
ésta operación es la componente en x del vector resultante. De igual manera, se operan las componentes en
y de los vectores principales y el resultado es la componente en y del vector resultante. Obtenidas las
componentes de la resultante, se pueden encontrar la magnitud, dirección y sentido de éste vector.
Cuando una componente, en x o en y, tiene un valor negativo, el sentido de ésa componente es contrario a los
lados positivos del marco de referencia. Por ejemplo, si una componente en y tiene un valor negativo, la
proyección en el eje y de ése vector apunta hacia abajo.
Ejemplo. Calcule la resultante de las fuerzas que se presentan en la figura.

CECyTEJ #11
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Note que θ para los vectores B y C no son los que se presentan en la figura, sino que se deben calcular a
partir del eje x positivo (ángulos suplementarios).
Para el vector B, θ = 180º - 45º = 135º
Para el vector C, θ = 180º + 55º = 235º
Calculando las componentes en x de los vectores A, B y C:
Ax = (200 N) cos (30º) = 173.20 N
Bx = (300 N) cos (135º) = - 212.13 N
Cx = (155 N) cos (235º) = - 88.90 N
Calculando las componentes en y de los vectores A, B y C:
Ay = (200 N) sen (30º) = 100 N
By = (300 N) sen (135º) = 212.13 N
Cy = (155 N) sen (235º) = - 126.97 N
Luego se calcula la fuerza resultante, encontrando las componentes de ésta fuerza, a partir de una simple
suma de componentes de fuerzas individuales.
Operaciones con Vectores por el Método de las Componentes.
La Fuerza Resultante F es la suma de las fuerzas individuales; es decir, de los vectores anteriores:
Fx = Ax + Bx + Cx = 173.20 N + (- 212.13 N) + (- 88.90 N) = - 127.83 N.
Fy = Ay + By + Cy = 100 N + 212.13 N + (- 126.97 N) = 185.16 N.
Si dibujamos esas componentes resultantes, obtenemos un vector como se muestra en la siguiente figura:
La magnitud del vetor resultante se encuentra por el teorema de pitágoras:
Para el cálculo del ángulo θ, se introduce el valor de un nuevo ángulo φ, que es aquel formado por la componente
en x del vector resultante y el vector resultante. Esto se hace debido a que al utilizar una función

CECyTEJ #11
28
trigonométrica que relacione las componentes, ésta es válida si y sólo si la relación es de un triángulo
rectángulo. Para el caso, al encontrar φ, se puede calcular el valor de θ, así:
θ = 180º - φ
La función trigonométrica que relaciona las dos componentes es la de tangente:
Note que para utilizar la función trigonométrica se deben operar los valores absolutos de las magnitudes de
las componentes, para que el resultado sea el valor absoluto del ángulo.
La relación θ = 180º - φ es válida para los vectores que estén en el 2º cuadrante del plano cartesiano; si el
vector está en el 3º o 4º cuadrante, se procede así:
Tercer cuadrante: θ = 180º + φ
Cuarto cuadrante: θ = 360 º - φ

CECyTEJ #11
29
Secuencia 1 Actividad III
1. Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste. Calcular:
a. ¿Cuál es la diferencia total que recorren?
b. ¿Cuál es su desplazamiento?
2. Un vector situado en el plano XY tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37º con la
abscisa. Determine sus componentes rectangulares.
3. La componente x de un vector que está en el plano XY es de 12 unidades, y la componente y es de 16
unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector?

CECyTEJ #11
30
4. Encuentre las componentes rectangulares, las magnitudes y los ángulos directores de los vectores A, B
y C que van desde el punto a hasta el punto b, desde el punto c hasta el punto d y desde el punto e hasta
el punto f, respectivamente, en el espacio coordenado cartesiano.
A(2,-1,7); B(9,4,2); C(9,4,2); D(2,-1,7); E(0,0,0); F(2,2.1)
5. Dado el vector 𝐴̅ = 2𝑖̂ + 4𝑗̂ − 4𝑘̂ determine sus ángulos directores.
6. Dados los vectores: 𝐴̅ = 10𝑖̂ + 5𝑗̂ + 3𝑘̂ , 𝐵̅ = 3𝑖̂ − 4𝑗̂ + 2𝑘̂, 𝐶̅ = 2𝑖̂ + 6𝑗̂ − 4𝑘̂ Encontrar:
a. 𝐴̅ + 𝐵̅
b. 𝐴̅ − 𝐵̅,
c. 2𝐴̅ − 3𝐵̅ −
𝐶̅
2

CECyTEJ #11
31
7. Un barco avanza hacia el norte 60 [km]; luego cambia de curso y navega en alguna dirección hacia el
sureste (no necesariamente S 45º E) hasta llegar a una posición a 50 [km] de distancia del punto de
partida, en una dirección E 20,6º N respecto de dicho punto. Determine la longitud y el rumbo de la
segunda parte de la travesía.
8. Encontrar el área y los ángulos interiores de un triángulo cuyos vértices son las coordenadas: (3, -1,2),
(1,-1,-3) y (4,-3,1).
9. Hallar el valor de r tal que los vectores 𝐴̅ = 2𝑖̂ + r𝑗̂ + 𝑘̂ y 𝐸̅ = 4𝑖̂ − 2𝑗̂ − 2𝑘̂ sean perpendiculares.
10. Sumar dos vectores de magnitudes 8 y 5 que forman un ángulo de 60º entre sí.

CECyTEJ #11
32
Secuencia 1 Actividad IV
11. Dados los vectores 𝐴̅ = 3𝑖̂ − 2𝑗̂ y 𝐵̅ = 𝑖̂ − 2𝑗̂, encontrar su producto vectorial y comprobar que ese vector
es perpendicular 𝑎 𝐴̅ 𝑦 𝑎 𝐵̅
12. Dados los vectores 𝐴̅ = −3𝑖̂ + 2𝑗̂ − 𝑘̂ ; B en el plano XY de módulo 10 y dirección 120º respecto de +X; y
𝐶̅ = −4𝑗̂ Determinar:
a. La magnitud de 𝐴̅ + 𝐵̅ − 𝐶̅
b. El ángulo que forma 𝐴̅ ∗ 𝐵̅ con el eje Z
c. Proyección de 𝐵̅ − 𝐶̅ en dirección de 𝐴̅
13. Hallar el área del triángulo formado por los vectores 𝐴̅ = 3𝑖̂ + 2𝑗̂ + 𝑘̂; 𝐵̅ = −𝑖̂ + 5𝑗̂ − 4𝑘̂ y su diferencia.
14. Tres vectores situados en un plano tienen 6, 5 y 4 unidades de magnitud. El primero y el segundo forman
un ángulo de 50º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de 75º. Encontrar la magnitud
del vector resultante y su dirección respecto del mayor.

CECyTEJ #11
33
15. Un vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo
B(12, −3).
16. Dado el vector 𝑈⃗⃗ = (2, −1), determinar dos vectores equipolentes a 𝑈⃗⃗ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑌 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , sabiendo que
A(1, −3) y D(2, 0).
17. Calcular la distancia entre los puntos: 𝐴(2,1) 𝐵(−3,2)
18. Si 𝑣 es un vector de componentes (3, 4), Hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido

CECyTEJ #11
34
19. Una persona en su trote diario, desde su casa, corre 7km al Norte, 2km al Oeste, 7km al Norte y 11km
al Este. Encuentre la distancia a su casa a que se encuentra la persona.
20. Una caja tiene 16 cm de largo, 18 cm de ancho y 10 cm de alto. Encuentre la longitud de la diagonal de la
caja y el ángulo que ésta forma con cada uno de los ejes.

CECyTEJ #11
35
Secuencia 1 Actividad V
21. A partir de los vectores que se muestran en la figura, en que los módulos de 𝐴̅, 𝐵̅ y 𝐶̅ son 10, 20 y 30
respectivamente, determine:
a. Proyección de 𝐴̅ en dirección de 𝐶̅ − 𝐵̅
b. Un vector 𝐷̅ tal que 2𝐴̅ + 𝐵̅ − 2𝐴̅ = 0
22. Dados los vectores 𝐴̅ = 4𝑖̂ + 6𝑗̂ y 𝐵̅ = −6𝑖̂ − 𝑗̂ Encontrar:
a. El ángulo formado por los vectores.
b. Un vector unitario en la dirección del vector 𝐴̅ − 2𝐵̅
23. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son: 𝐸̅ = 3𝑖̂ + 𝑗̂ − 2𝑘̂ y 𝑇̅ = 𝑖̂ − 3𝑗̂ + 4𝑘̂
24. Los vectores 𝐴̅ 𝑦 𝐵̅ forman entre sí un ángulo de 45º y el módulo de 𝐴̅ vale 3. Encontrar el valor de la
magnitud de 𝐵̅ para que la diferencia 𝐴̅ − 𝐵̅ sea perpendicular a 𝐴̅

CECyTEJ #11
36
25. Un vector 𝐴̅ tiene una magnitud de 9 [cm] y está dirigido hacia +𝑋 Otro vector 𝐵̅ tiene una magnitud de
6 [cm] y forma un ángulo de 45º respecto de la abscisa positiva. El vector 𝐶̅ tiene una magnitud de 15
[cm] y forma un ángulo de 75º respecto del eje +𝑋. Determine el vector resultante.
26. Hallar la resultante de los siguientes desplazamientos: 3 [m] hacia el este; 12 [m] hacia el este 40º hacia
el norte y 7 [m] hacia el oeste 60º hacia el sur.
27. Un barco se desplaza sobre una superficie de agua tranquila a razón de 10 𝐾𝑚
ℎ⁄ y entra en dirección O
60º S en una corriente cuya dirección es E y que se mueve con una velocidad de 12 𝐾𝑚
ℎ⁄ ¿Cuál será su
velocidad resultante?
28. Desde una determinada posición en un camino, una persona observa la parte más alta de una torre de
alta tensión con un ángulo de elevación de 25o. Si avanza 45m en línea recta hacia la base de la torre,
divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de 55o. Considerando que la vista del observador está
a 1,7m. Determine la altura h de la torre.

CECyTEJ #11
37
29. Desde un avión de reconocimiento que vuela a una altura de 2500m, el piloto observa dos embarcaciones
que se encuentran en un mismo plano vertical con ángulos de depresión de 62o240 y 37o180
respectivamente. Encuentre la distancia x entre las embarcaciones.
30. Una persona se encuentra en la mitad de la distancia que separa dos edificios y observa la parte más
alta de éstos con ángulos de elevación de 30o y 60o respectivamente. Demuestre la que las alturas de
los edificios están en la relación 1:3.
31. Un mástil por efecto del viento se ha quebrado en dos partes, la parte que quedó vertical en el piso mide
3m y la parte derribada quedó atada al extremo superior de la parte vertical, formando un ángulo de
30º con el piso. Encontrar la altura del mástil.

CECyTEJ #11
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Segundo Parcial
Unidad de Aprendizaje
Identifica las diferencias entre los distintos tipos de movimientos.
Competencia a Desarrollar
a) Se expresa y se comunica
b) Piensa, critica y reflexivamente
c) Trabaja en forma colaborativa
d) Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en tontextos
históricos y sociales específicos.
Dimensión del Aprendizaje
 Actitud y Percepciones
Cinemática
La descripción matemática del movimiento constituye el objeto de una parte de la física denominada
cinemática. Tal descripción se apoya en la definición de una serie de magnitudes que son características de
cada movimiento o de cada tipo de movimientos. Los movimientos más sencillos son los rectilíneos y dentro
de éstos los uniformes. Los movimientos circulares son los más simples de los de trayectoria curva. Unos y
otros han sido estudiados desde la antigüedad ayudando al hombre a forjarse una imagen o representación
del mundo físico.
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Cuando una partícula se mueve en una línea recta, su posición está descrita por una sola coordenada, los
desplazamientos son entonces todos sobre una misma línea y no es necesario considerar el carácter vectorial
de ellos, lo cual simplifica el estudio del movimiento. Si usamos coordenadas cartesianas la posición de un
punto móvil estará determinada por su coordenada x la cual si el punto se mueve, será alguna función del
tiempo: 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Donde x representa la coordenada y 𝑥(𝑡) alguna función del tiempo generalmente
indicada con el mismo nombre que la coordenada.
 Concepto de movimiento.- Movimiento es el cambio de posición de un objeto con respecto a un punto o
lugar de referencia, mientras transcurre el tiempo.
 Concepto de tiempo.- En la formulación Newtoniana de la Mecánica Clásica, el concepto de tiempo es
un concepto absoluto, es decir para todos los observadores, independientemente de su movimientoel
tiempo transcurre de la misma forma. Esto significa entre otras cosas que el concepto de simultaneidad
es absoluto; Si dos sucesos ocurren simultáneamente para algún observador, entonces ellos ocurren
simultáneamente para todos.
 Desplazamientos.- El desplazqamiento es la longitud con dirección del tramo que se forma desde el
punto de partida de un móvil, hasta su punto de terminación.
 Distancia.- Es la longitud del tramo que recorre un cuerpo en movimiento a través de su trayectoria.
 Espacio Recorrido.- El espacio recorrido por el móvil será denotado por una d y que se expresa en
metros (m), es la magnitud del desplazamiento si acaso el móvil no cambia el sentido del movimiento. Si
el móvil cambia el sentido del movimiento, el espacio recorrido es la suma de las magnitudes de los
desplazamientos que ocurren entre sucesivos cambios de sentido del movimiento.
𝒅 = 𝒗𝒕
 Velocidad media.- La velocidad media cuando ocurre un desplazamiento ΔX en un intervalo de tiempo
Δt = t2 − t1 se define mediante:
vm =
Δx
Δt
𝑚
𝑠𝑒𝑔⁄

CECyTEJ #11
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 Velocidad instantánea.- La velocidad instantánea o simplemente la llamada velocidad 𝑣(𝑡)) se define
como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, es decir:
𝑣(𝑡) = lim
𝑡1−0
𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡1)
𝑡 − 𝑡1
Una definición equivalente es:
𝑣(𝑡) = lim
Δt→0
𝑥(𝑡 + Δt) − 𝑥(𝑡)
Δt
Este límite que permite levantar la indeterminación tipo
0
0
que se produce, se conoce como la derivada
de 𝑥(𝑡) respecto al tiempo:
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑥(𝑡) = 𝑥′(𝑡)
En matemáticas usualmente la variable independiente se denomina x, y las funciones 𝑦(𝑥) 𝑜 𝑓(𝑥). En tal
caso la derivada se indicará:
𝑑𝑦(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = lim
Δx→0
𝑓(𝑥 + Δx) − 𝑓(𝑥)
Δx
 Rapidez.- La rapidez de una partícula en el instante de tiempo 𝑡 se define como la magnitud de la
velocidad, es la cantidad que resulta de dividir la distancia recorrida por un móvil, entre el tiempo que
le toma hacerlo, en el caso unidimensional esto simplemente es:
𝑟 =
Δd
Δt
=
𝑑𝑓 − 𝑑0
𝑡𝑓 − 𝑡0
𝑟 =
d
t
 Velocidad- es la cantidad que resulta de dividir el desplazamiento realizado por un móvil, entre el tiempo
que le toma en hacerlo.
𝑣 =
Δd
Δt
=
𝑑𝑓 − 𝑑0
𝑡𝑓 − 𝑡0
𝑣 =
d
t
 Aceleración media.- La aceleración de la partícula en el intervalo de tiempo de 𝑡1 𝑎 𝑡2 se define
mediante
𝑎 𝑚 =
𝑣(𝑡2) − 𝑣(𝑡1)
𝑡2 − 𝑡1
𝑚𝑠−1
O bien: 𝑎 𝑚 =
Δv
Δt
Donde Δt = t2 − t1 y Δv = v(t2) − v(t1)
 Aceleración instantánea.- La aceleración instantánea de la partícula en el instante t se define como el
límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
𝑎(𝑡) = lim
𝑡1−𝑡
𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡1)
𝑡 − 𝑡1
=
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
Esto es la derivada de la velocidad respecto al tiempo
𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
Fórmulas para el Movimiento Rectilinio Uniforme
Velocidad 𝑣 =
𝑑
𝑡
Distancia 𝑑 = 𝑣𝑡 Tiempo 𝑡 =
𝑣
𝑑

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Secuencia 2 Actividad I
1. ¿Cuál es la velocidad en m/s de un coche que recorre 180km en 2 horas?:Resp: 90km/h
2. Una persona camina a velocidad constante de 5 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer una distancia
de 6000m?
3. Un avión se desplaza a una velocidad de 1080 km/h, ¿cuál es el tiempo que transcurre en recorrer una
distancia de 100000km? Resp:0.093h
4. Una persona A recorre 9 km en 130 minutos, otra persona B recorre 1500 m en 900 s y una tercera
persona C lleva una velocidad de 5 km/h. ¿Cuál es la más rápida? Resp:B
5. Si voy desde el punto A hasta el B, que se encuentra a 10 km de distancia, y luego regreso al punto de
partida el desplazamiento total será. Resp:20km
6. Un delfín nada a una velocidad de 54km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el delfín en recorrer 450km?.
Resp:8.333h
7. ¿Cuál es la velocidad de un animal, expresada en m/s, sabiendo que recorre en 3 minutos la misma
distancia que una persona caminando a 5,4 km/h durante 2 minutos? Resp:10m/seg
8. Un automóvil de carreras recorre un giro a una pista de 5km de longitud aun tiempo de 2min. ¿Cuál es
su velocidad media? Resp:150.015km/h
9. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad de 1200cm/s durante 9s, y luego con velocidad de
480cm/s durante 7s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:
a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16s? Resp:14160cm
b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo? Resp:885cm/seg

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41
10. Una partícula se mueve en la dirección del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es
2 m/s, y su posición es x0 = 4 m, ¿calcular el tiempo recorrido? Resp:2seg
11. Dos jóvenes, Rubén y Cecilia, caminan a razón de 1.2m/s y 0.9m/seg respectivamente. Determine la
distancia que los separa luego de 20s, sí partiendo desde el mismo punto:
a) se mueven en el mismo sentido, Resp:0.6m
b) si se mueven en sentidos contrarios. Resp:4.2m
12. Un móvil recorre 98km en 2h, calcular:
a. Su velocidad. Resp:49km/h
b. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad? Resp:150km
13. Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo si la
velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s? Resp:6.18seg
14. La velocidad del sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce un relámpago a 50
km de un observador.
a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido? Resp: La luz
b) ¿Con qué diferencia de tiempo los registra? Resp:151.50seg
15. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 km/s y el sol se
encuentra a 150.000.000 km de distancia. Resp:0.5seg
16. ¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 km/h, después de un día y medio de viaje?
Resp:3240km
17. ¿Cuál de los siguientes móviles se mueve con mayor velocidad: el (a) que se desplaza a 120 km/h o el (b)
que lo hace a 45 m/s? Resp: automóvil B

CECyTEJ #11
42
18. ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de
25.000 m? Resp:0.27h
19. ¿Qué tiempo empleará un móvil que viaja a 80 km/h para recorrer una distancia de 640 km? Resp:8h
20. Dos puntos A y B están separados por una distancia de 100 m. En un mismo momento pasan dos móviles,
uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2s en
llegar al punto B y el otro 1,5 s en llegar al punto A .. Hallar:
a) El punto de encuentro.
b) El instante del encuentro.
21. Se tira una bolita A con una velocidad de 10m/s y en el mismo momento, pero 5m más adelante, se tira
una bolita B con una velocidad de 8 m/s.
a) ¿Cuánto tiempo después la bolita A pasa a la B?
b) ¿A qué distancia de la posición inicial de la bolita B?
22. Dos ciclistas pasan al mismo tiempo por un punto con velocidades constantes: 30km/h y 15km/h. ¿Qué
distancia los separará luego de 2 minutos?
23. Sale un avión de A hacia B con una velocidad constante de 500 km/h, al mismo tiempo otro avión con la
misma dirección pero en sentido contrario despega con velocidad constante de 300 km/h. Si los puntos
A y B están separados 1000 km, calcular:
a) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse?
b) ¿A qué distancia de A lo lograrán?
24. Un barco zarpa de A con destino a B con una velocidad de 80 km/h, luego de 3 horas otro sale de B con
el mismo sentido que el primero pero, con una velocidad de 50 km/h, si la distancia entre A y B es de
500 km, calcular:
a. ¿Cuánto tiempo después que zarpó el segundo se encontrarán?
b. ¿A qué distancia de B?

CECyTEJ #11
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25. Un motociclista pasa por un semáforo con velocidad constante de 50 km/h, en el mismo momento un
camión pasa por el mismo lugar y con igual sentido a una velocidad constante de 80 km/h, ¿cuánto tiempo
después estarán separados por 300 m?
26. Supongamos que alguien va en una camioneta a razón de 120 km/h, respecto a un observador en reposo
fuera de la camioneta. Y el conductor de la camioneta enciende las luces. Para el conductor la luz de los
focos se mueve por delante de la camioneta a la velocidad de la luz (c=300000 km/s). ¿Qué velocidad
diría que tiene la luz de los focos, el mismo observador en reposo fuera de la camioneta?

CECyTEJ #11
44
Movimiento Uniformemente Acelerado
Se dice que un movimiento es uniformemente acelerado si la aceleración del móvil es constante. En general,
si la aceleración a es constante se tiene que:
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑎
Expresión que podemos integrar dos veces obteniendo
𝑣(𝑡) − 𝑣(0) = ∫ 𝑎𝑑𝑡
𝑡
0
O sea
v(t) = v(0) + at
E integrando de nuevo
𝑣(𝑡) − 𝑣(0) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ (𝑣(0) + 𝑎𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
𝑡
0
Luego, realizando la integral resulta
𝑣(𝑡) = 𝑥(0) − 𝑣(0)𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
Aquí 𝑋(0) representa la posición inicial y V(0) la velocidad inicial. Si despejamos el tiempo de la primera y
reemplazamos en la segunda se obtiene
x(t) − x(0) =
𝑣2(𝑡) − 𝑣2(0)
2𝑎
Que tiene importancia en ciertas situaciones. Por ejemplo si la aceleración es negativa (movimiento
desacelerado), el espacio recorrido hasta detenerse será:
x(t) − x(0) =
−𝑣2(0)
2𝑎
Nota Se habla de movimiento desacelerado cuando la aceleración tiene signo contrario a la velocidad. En
movimientos más generales se dice que el movimiento es desacelerado cuando la aceleración tiene sentido
contrario a la velocidad.
Solución gráfica
En algunos casos simples la integral no es necesaria. Por ejemplo si la aceleración es constante, entonces el
gráfico velocidad tiempo es una línea recta. La figura siguiente lo ilustra la aceleración, es decir la pendiente
de la curva, es
𝒂 =
𝒗(𝒕 𝟐) − 𝒗(𝒕 𝟏)
𝒕 𝟐 − 𝒕 𝟏
De donde
𝑣(𝑡2) − 𝑣(𝑡1) = 𝑎(𝑡2 − 𝑡1)
el desplazamiento que es el área será (área de un rectángulo más área de un triángulo) resulta
𝐴 = 𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1) = 𝑣(𝑡1)(𝑡2 − 𝑡1) +
1
2
(𝑣(𝑡2) − 𝑣(𝑡1))(𝑡2 − 𝑡1)

CECyTEJ #11
45
Y
𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1) = 𝑣(𝑡1)(𝑡2 − 𝑡1) +
1
2
𝑎(𝑡2 − 𝑡1)2
𝑥(𝑡2) = 𝑥(𝑡1) + 𝑣(𝑡1)(𝑡2 − 𝑡1) +
1
2
𝑎(𝑡2 − 𝑡1)2
Que generaliza el resultado anterior. Además podemos obtener otro resultado aplicable al cálculo de la
velocidad media. La velocidad media en el intervalo de tiempo [t1, t2] está definida mediante
𝑢 𝑚 =
𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1)
𝑡2 − 𝑡1
Utilizando los resultados anteriores la podemos escribir:
𝑢 𝑚 =
𝑣(𝑡1)(𝑡2 − 𝑡1) +
1
2
𝑎(𝑡2 − 𝑡1)2
𝑡2 − 𝑡1
= 𝑣(𝑡1) +
1
2
𝑎(𝑡2 − 𝑡1)
𝑢 𝑚 = 𝑣(𝑡1) +
1
2
(𝑣(𝑡2) − 𝑣(𝑡1))
𝑢 𝑚 =
1
2
(𝑣(𝑡1) + 𝑣(𝑡2))
Resultado válido cuando la aceleración es constante. Para aceleración constante la velocidad media es el
promedio de las velocidades en los extremos del intervalo.
Fórmulas para el Movimiento Uniformemente Acelerado
Velocidad 𝑉 =
𝑥
𝑡
Aceleración 𝑎 =
𝑣 𝑓−𝑣 𝑜
𝑡
Velocidad Media 𝑣̅ =
𝑣 𝑜+𝑣 𝑓
2
Velocidad Final 𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡 𝑣𝑓
2
= 𝑣𝑜
2
+ 2𝑎𝑑
𝑣𝑓 = 𝑎𝑡 𝑣𝑓
2
= 2𝑎𝑑
Distancia 𝑑 = 𝑣𝑜 𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
𝑑 =
𝑣 𝑓
2−𝑣 𝑜
2
2𝑎
𝑑 = (
𝑣0+𝑣 𝑓
2
) 𝑡
Tiempo 𝑡 = √
2𝑑
𝑎
𝑡 = √
𝑣 𝑓
𝑎

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Secuencia 2 Actividad II
1. Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30s una velocidad de 588m/s.
Calcular:
a. La Aceleración.
b. ¿Qué espacio recorrió en esos 30s?
2. Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25s y recorre 400m hasta
detenerse. Calcular:
a. ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?.
b. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
3. ¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo acelerando
constantemente con una aceleración de 20 km/h²?
4. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 20 m/s ² constante. Calcular:
a. ¿Qué velocidad tendrá después de 15 s?
b. ¿Qué espacio recorrió en esos 15 s?
5. Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constante,
calcular:
a. ¿Cuánto vale la aceleración?
b. ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s?
c. ¿Qué velocidad tendrá a los 11 s?
6. Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para alcanzar
40 km/h y a que aceleración?

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7. Un móvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una aceleración de 5m/s², calcular:
a. ¿Qué velocidad tendrá a los 10 s?
b. ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida?
8. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 30m/s², transcurridos 2 minutos deja
de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar:
a. ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros minutos?
b. ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas de la partida?
9. Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10s en detenerse. Calcular:
a. ¿Qué espacio necesitó para detenerse?
b. ¿Con qué velocidad chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los frenos?
10. Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos. Calcular:
a. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
b. ¿Qué espacio necesito para frenar?
11. Un avión, cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración
de 20 m/s², necesita 100 metros para detenerse. Calcular:
a. ¿Con qué velocidad toca pista?
b. ¿Qué tiempo demoró en detener el avión?

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12. Un camión viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme, de 100 km/h a 50 km/h. Si para esto
tuvo que frenar durante 1.500 m. Calcular:
a. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
b. ¿Cuánto tiempo empleó para el frenado?
13. La bala de un rifle, cuyo cañón mide 1,4 m, sale con una velocidad de 1.400 m/s. Calcular:
a. ¿Qué aceleración experimenta la bala?
b. ¿Cuánto tarda en salir del rifle?
14. Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25s, y recorre una distancia
de 400m hasta detenerse. Determinar:
a. ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?
b. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
15. Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el
pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué
distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante.
16. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s², determinar:
a. ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento?
b. ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso?
17. Un ciclista baja por una pendiente con una aceleración constante, si en un momento de su recorrido lleva
una velocidad de 5m/s y al transcurrir 12s su velocidad incrementa a 16m/s, ¿cuál es su aceleración?

CECyTEJ #11
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18. Calcula la velocidad final que adquiere un objeto que es disparado de la luna a la tierra con una velocidad
inicial de 30m/s. supón una aceleración fija con valor de 9.8m/s2
, y una distancia entre la Tierra y la
Luna de 300000km.
19. Un ciclista baja por una pendiente con una aceleración constante, si en un momento de su recorrido lleva
una velocidad de 5m/s y al transcurrir 12seg su velocidad incrementa a 16m/seg. ¿Cuál es su aceleración?
20. Calcula la Velocidad final que adquiere un objeto que es disparado de la luna a la tierra con una velocidad
inicial de 30m/Seg supón una aceleración fija con valor de 9.8m/seg2
y una distancia entre la Tierra y
la Luna de 300000km.

CECyTEJ #11
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Gravedad y Caída Libre de Cuerpos
En tiempos antiguos, los griegos buscaron la respuesta a los problemas físicos mediante especulaciones,
razonamientos en base a propiedades que se conocían del fenómeno.
Y muchos de nuestros conocimientos se deben al Italiano Galileo Galilei (1564 - 1642), él fue el primero en
demostrar, que, en ausencia de fricción, todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, ligeros o pesados,
caen en la Tierra con la misma aceleración.
Existe una paradoja en donde se dice que los cuerpos más pesados son proporcionalmente más difíciles de
acelerar. Esta resistencia al movimiento que mencionamos es una propiedad de los cuerpos llamada Inercia.
Así, por ejemplo, en el vacio, una pluma y una bola de acero caerán al mismo tiempo porque el efecto inercial
mayor de la bola compensa exactamente su mayor peso.
Todos los cuerpos, si no hay resistencia del aire caen con la misma aceleración constante en un mismo lugar
de la tierra.
𝑎̅ = 𝑔
La Gravedad siempre es la misma en todos los cuerpos en caída libre.
GRAVEDAD CAIDA DE CUERPOS LIBRES
SISTEMA EQUIVALENCIA
MKS 9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
CGS 980
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔2
INGLÉS 32
𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑠𝑒𝑔2
La Aceleración con que cae libremente un cuerpo se llama:
Aceleración de Gravedad
La Caída es un movimiento uniformemente acelerado por lo que podría decirse que las fórmulas del
Movimiento Uniformente Acelerado pueden aplicarse a éste fenómeno.
Para empezar a desarrollar Ejercicios de Caida Libre, es necesario aclarar que d (Distancia) va a ser igual
que h (Altura), así como mencionamos anteriormente, que Aceleración es igual a Gravedad.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN (C.L.C)
1. ¿Qué Velocidad adquiere un cuerpo al momento de llegar al suelo cuando se ha dejado caer libremente
desde una altura de 35m. y cuánto tiempo tarda en su caída?
ℎ = 35𝑚 𝑔 = 9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑣0 = 0 𝑣𝑓 =? 𝑡 =?
𝑣𝑓
2
= 2𝑔𝑑 + 𝑣0
2
𝑣𝑓
2
= 2 (9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
) 35 𝑚 + 02
𝑣𝑓
2
= (19.6
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
) 35 𝑚
𝑣𝑓
2
= 686
𝑚2
𝑠𝑒𝑔2
𝑣𝑓 = √686
𝑚2
𝑠𝑒𝑔2
𝑣𝑓 = 26.19
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑔 =
𝑣𝑓 − 𝑣0
𝑡
9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
=
26.19
𝑚
𝑠𝑒𝑔
− 0
𝑡
𝑡 =
26.19
𝑚
𝑠𝑒𝑔
9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
𝑡 = 2.672
𝑚
𝑠𝑒𝑔
2. Cuánto tiempo se tardará en caer libremente una piedra desde una altura de 400 m
ℎ = 400𝑚 𝑔 = 9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑣0 = 0 𝑣𝑓 =? 𝑡 =?

CECyTEJ #11
51
𝑣𝑓
2
= 2𝑔𝑑 + 𝑣0
2
𝑣𝑓
2
= 2 (9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
) 400 𝑚 + 02
𝑣𝑓
2
= (19.6
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
) 400 𝑚
𝑣𝑓
2
= 7840
𝑚2
𝑠𝑒𝑔2
𝑣𝑓 = √7840
𝑚2
𝑠𝑒𝑔2
𝑣𝑓 = 88.543
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑔 =
𝑣𝑓 − 𝑣0
𝑡
9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
=
26.19
𝑚
𝑠𝑒𝑔
− 0
𝑡
𝑡 =
26.19
𝑚
𝑠𝑒𝑔
9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
𝑡 = 2.672
𝑚
𝑠𝑒𝑔
3. Se tira verticalmente hacia arriba una pelota con una Velocidad de 24.38 𝑚/𝑠𝑒𝑔 ¿Cuál es la Altura máxima
que alcanza y cuánto tiempo tarda en llegar a esta altura?
ℎ =? 𝑔 = 9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑣0 =? 𝑣𝑓 = 0 𝑡 =?
ℎ =
𝑣𝑓
2
− 𝑣0
2
2𝑔
ℎ =
02
− (24.38
𝑚
𝑠𝑒𝑔
)
2
2 (9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2)
ℎ =
−594.3844
𝑚2
𝑠𝑒𝑔2
19.6
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
ℎ = −30.33𝑚
𝑣𝑓 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
0 = 24.38
𝑚
𝑠𝑒𝑔
− 9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
𝑡
−24.38
𝑚
𝑠𝑒𝑔
= −9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
𝑡
𝑡 =
−24.38
𝑚
𝑠𝑒𝑔
−9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2 𝑡
𝑡 = 2.48 𝑠𝑒𝑔
4. Desde un puente se deja caer una piedra que tarda en llegar al agua 5 segundos. Calcular la altura del
puente y la velocidad de la piedra en el momento de llegar al agua.
ℎ =? 𝑔 = 9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑣0 = 0 𝑣𝑓 =? 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔
ℎ =
𝑣𝑓
2
− 𝑣0
2
2𝑔
ℎ =
(49
𝑚
𝑠𝑒𝑔
)
2
− 02
2 (9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2)
ℎ =
2401
𝑚2
𝑠𝑒𝑔2
19.6
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
ℎ = 122.5 𝑚
𝑣𝑓 = + (9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
) 5𝑠𝑒𝑔
𝑣𝑓 = 49
𝑚
𝑠𝑒𝑔
5. Un cañón antiaéreo lanza granada con velocidad inicial de 500
m
seg
calcular:
a) La máxima altura que alcanzará la granada
b) Tiempo empleado en alcanzar dicha altura
c) La velocidad instantánea al final de los 40 y 60 segundos.
ℎ =? 𝑔 = −9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑣0 = 500
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑣𝑓 =? 𝑡 = 40𝑠𝑒𝑔 𝑦 60 𝑠𝑒𝑔

CECyTEJ #11
52
ℎ =
𝑣𝑓
2
− 𝑣0
2
2𝑔
ℎ =
02
− (500
𝑚
𝑠𝑒𝑔
)
2
2 (−9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2)
ℎ =
−250000
𝑚2
𝑠𝑒𝑔2
−19.6
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
ℎ = 12755.102 𝑚
𝑣𝑓 = 500
𝑚
𝑠𝑒𝑔
+ (−9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
) (60 𝑠𝑒𝑔)
𝑣𝑓 = 500
𝑚
𝑠𝑒𝑔
− 588
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑣𝑓 = −88
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑔𝑡
0 = 500
𝑚
𝑠𝑒𝑔
+ (−9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
) 𝑡
𝑡 =
500
𝑚
𝑠𝑒𝑔
9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
𝑡 = 51.02 𝑠𝑒𝑔
𝑣𝑓 = 500
𝑚
𝑠𝑒𝑔
+ (−9.8
𝑚
𝑠𝑒𝑔2
) (40 𝑠𝑒𝑔)
𝑣𝑓 = 500
𝑚
𝑠𝑒𝑔
− 392
𝑚
𝑠𝑒𝑔
𝑣𝑓 = 108
𝑚
𝑠𝑒𝑔
Fórmulas para la Gravedad y Caída Libre de Cuerpos
Velocidad 𝑉 =
𝑥
𝑡
Aceleración 𝑔 =
𝑣 𝑓−𝑣 𝑜
𝑡
Velocidad Media 𝑣̅ =
𝑣 𝑜+𝑣 𝑓
2
Velocidad Final 𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑔𝑡 𝑣𝑓
2
= 𝑣𝑜
2
+ 2𝑔𝑑
𝑣𝑓 = 𝑔𝑡 𝑣𝑓
2
= 2𝑎𝑔
Distancia h= 𝑣𝑜 𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2
h=
𝑣 𝑓
2−𝑣 𝑜
2
2𝑔
h= (
𝑣0+𝑣 𝑓
2
) 𝑡
Tiempo 𝑡 = √
2ℎ
𝑔
𝑡 = √
𝑣 𝑓
𝑔

CECyTEJ #11
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Secuencia 2 Actividad III
1. Se deja caer una pelota desde la parte alta de un edificio, si tarda 3s en llegar al piso ¿Cuál es la altura
del edificio? ¿Con qué velocidad se impacta contra el piso?
2. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 30 m/calcula:
d) Tiempo que tarda en alcanzar su altura máx.
e) Altura máx.
f) Posición y velocidad de la pelota a los 2s de haberse lanzado
g) V y posición de la pelota a los 5s de haber sido lanzado
h) Tiempo que la pelota estuvo en el aire.
3. Desde un avión fue arrojado un cuerpo con una velocidad de 3.5 m/s, calcular el tiempo y la velocidad
que alcanzó al caer 0.8 km.
4. Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5s.
a) ¿Desde qué piso se dejó caer, si cada piso mide 2,88 m?
b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?
Respuesta: a) 43, b) 50 m/s

CECyTEJ #11
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5. Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo.
Calcular:
a) A qué altura estaría esa terraza.
b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso.
Respuesta: a) 180 m b) 60 m/s
6. ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo? Respuesta: 80 m
7. Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96 km de altura, ¿cuánto demora en llegar al
suelo? Respuesta: 19,8 s
8. A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25
m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar:
a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B?
b) ¿Cuál es la distancia entre A y B?
c) ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B?
Respuesta: a) 1,5 s b) 48,75 m c) 100 m/s

CECyTEJ #11
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9. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 40m/seg. Hallar qué velocidad lleva
a los tres segundos.
10. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 60m/seg. Hallar que
velocidad lleva a los 10seg.
11. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 50m/seg. Hallar el
espacio recorrido a los 2 segundos.
12. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg; hallar la
distancia recorrida a los 10seg.

CECyTEJ #11
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13. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 70m/seg; hallar a qué
altura se encuentra del suelo a los 12seg.
14. Desde un talud de 100m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una
velocidad de 40m/seg. Hallar cuánto tarda en llegar al suelo desde el momento del lanzamiento.
15. Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una veloc idad de 50m/seg. Hallar el
tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta caer sobre un edificio de 30m de altura.
16. Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto y a los 2seg va subiendo con una velocidad
de 80m/seg. Hallar la altura máxima alcanzada y la velocidad que lleva a los 15seg.

CECyTEJ #11
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17. Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto de forma que a los 2 segundos lleva una
velocidad de 60m/seg. Hallar:
a) La velocidad con lo cual se disparó el objeto.
b) A qué altura se encuentra a los 2 segundos.
c) Cuánto tiempo ha de transcurrir para que llegue a la parte superior de la trayectoria.
18. Desde el suelo se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg. Se desea
saber qué velocidad lleva cuándo ha recorrido 300m.
19. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil que tarda 10 segundos en llegar al punto de partida.
Hallar:
a) La altura máxima alcanzada
b) Qué velocidad lleva a los 3 seg.
20. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg. Hallara) ¿Cuánto tiempo
ha de transcurrir para que su velocidad sea de 50m/seg? b) ¿Cuál será su velocidad cuando haya
descendido 50m?

CECyTEJ #11
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Secuencia 2 Actividad IV
21. Se dispara desde el suelo un móvil con velocidad de 60m/seg.
a) ¿Diga usted a qué altura se encuentra a los diez segundos?,
b) ¿Qué velocidad lleva a los diez segundos?,
c) ¿qué distancia ha recorrido en ése tiempo?
22. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil cuyo tiempo total de vuelo es igual a 20 seg. Hallar:
a) ¿Qué velocidad lleva a los 3/5 del tiempo total de vuelo?
b) ¿A qué altura se encuentra del suelo a los 4/5 del tiempo total de vuelo?
23. Desde 200 metros de altura se deja caer un cuerpo, a los cinco segundos
a) ¿qué velocidad lleva?,
b) ¿a qué altura se encuentra a los cinco segundos?,
c) ¿Cuánto tiempo le falta por caer antes de llegar al suelo?
24. Se lanza desde el nivel del suelo un objeto con velocidad de 60m/seg.
a) ¿Cuándo ha recorrido 200 metros
b) ¿qué velocidad lleva?,
c) ¿a qué altura se encuentra?,
d) ¿Cuánto es su tiempo de vuelo?
25. Desde un globo que sube con una velocidad constante de 10m/seg se deja caer libremente un objeto que
tarda 10 segundos en llegar al suelo. Hallar

CECyTEJ #11
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a) La altura del globo en el momento de soltar el objeto.
b) La velocidad con que llega al suelo
26. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/seg.
a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 seg?
b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 seg?
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14m?
d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?
e) ¿Con qué velocidad lo hará?
27. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/seg, luego de 4 sede
efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/seg.
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?
c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?
d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?
28. Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y acabo
de 10 seg lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido.
a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil?
b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?

CECyTEJ #11
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29. Desde un 5° piso de un edificio se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de90
km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura máxima?
30. Un auto choca a 60 km/h contra una pared sólida, ¿desde qué altura habría que dejarlo caer para
producir el mismo efecto?
31. Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 seg, calcular:
a) ¿Con qué velocidad fue lanzada?
b) ¿Qué altura alcanzó?
32. Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/seg.
a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 seg?
b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?
33. Se lanza una pelota desde lo alto de un faro de 80 m de altura, con una velocidad inicial de 4 m/segaría
abajo.
a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
b) ¿Con qué velocidad llega?
c) ¿A qué altura está luego de 2 seg de haberla arrojado?

CECyTEJ #11
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34. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 250 m/seg, determinar:
a) ¿Cuál es la velocidad a los 4 seg?
b) ¿Qué altura alcanzó en esos 4 seg?
c) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la altura máxima?
35. Determinar la velocidad inicial de un cuerpo lanzado hacia arriba y que alcanza una altura máxima de 48
m.
36. Desde un puente se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 8 m/seg, si la piedra
tarda 2,5 seg en llegar al agua, determinar:
a) ¿Con qué velocidad llega al agua?
b) ¿Cuál es la altura del puente?
37. Desde el balcón de un edificio se deja caer una naranja y llega a la planta baja en 5 seg.
a) ¿Desde qué piso se dejó caer, si cada piso mide 2,88 m?
b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?
c) ¿Desde qué edificio se lanzó la naranja?

CECyTEJ #11
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38. Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 seg en llegar al
suelo. Calcular:
a) A qué altura estaría esa terraza.
b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso.
c) En qué ciudad de Venezuela se efectuó el experimento
39. ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 seg en llegar al suelo?
40. Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96km de altura, ¿cuánto demora en llegar al
suelo?

CECyTEJ #11
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Movimientos de Proyectiles
Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial de dirección arbitraria, se mueve
describiendo una trayectoria curva en un plano. Un proyectil es un objeto al cual se ha comunicado una
velocidad inicial y se ha dejado en libertad para que realice un movimiento bajo la acción de la gravedad. Los
proyectiles que están cerca de la Tierra siguen una trayectoria curva muy simple que se conoce como
parábola. Para describir el movimiento es útil separarlo en sus componentes horizontal y vertical.
Por eso es importante explicar el movimiento de un proyectil como resultado de la superposición de un
movimiento rectilíneo uniforme y uno uniformemente variado, estableciendo las ecuaciones de la curva
representativa, tiempo de vuelo, tiempo máximo, altura máxima, alcance máximo, velocidad y coordenadas de
posición en el plano.
¿Qué es un proyectil?
El movimiento de un proyectil es un ejemplo clásico del movimiento en dos dimensiones con aceleración
constante. Un proyectil es cualquier cuerpo que se lanza o proyecta por medio de alguna fuerza y continúa
en movimiento por inercia propia. Un proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa es la
aceleración de la gravedad. La gravedad actúa para influenciar el movimiento vertical del proyectil. El
movimiento horizontal del proyectil es el resultado de la tendencia de cualquier objeto a permanecer en
movimiento a velocidad constante
El término proyectil se aplica por ejemplo a una bala disparada por un arma de fuego, a un cohete después
de consumir su combustible, a un objeto lanzado desde un avión o en muchas actividades deportivas (golf,
tenis, fútbol, béisbol, atletismo etc.). L os fuegos artificiales y las fuentes del agua son ejemplos del
movimiento de proyectiles. El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria. El estudio del
movimiento de proyectiles es complejo debido a la influencia de la resistencia del aire, la rotación de la
Tierra, variación en la aceleración de la gravedad

CECyTEJ #11
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La ciencia encargada de hacer el estudio del movimiento de los proyectiles se llama balística.
Experiencia de Galileo Galilei
El hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las denominaba así y experimentaba con tiros
parabólicos (Por ejemplo, recuerde las destrezas de David frente a Goliat). Galileo fue el primero que dio
una descripción moderna y cualitativa del movimiento de proyectiles dando las bases para su conocimiento y
demostró que la trayectoria de cualquier proyectil es una parábola
Galileo realizó un experimento con dos objetos: impulsó uno horizontalmente desde una mesa y dejó caer
otro cuerpo desde el borde verticalmente. Al dejar caer un cuerpo A verticalmente = 0 y lanzando
horizontalmente en el mismo instante un objeto B con una velocidad horizontal ( ), Galileo Galilei comprobó
que ambos caen al mismo tiempo; es decir tardan lo mismo en llegar al suelo.
El objeto A, en Caída libre tiene solamente la velocidad vertical en un instante t y posee una aceleración que
es la de gravedad, luego está dotado de un movimiento uniformemente acelerado. El objeto B está animado
en ese instante t de dos movimientos y como consecuencia de dos velocidades perpendiculares: la velocidad
vertical de caída y la velocidad horizontal debido al impulso de lanzamiento.
Como los objetos A y B tardan lo mismo en caer, Galileo concluyó que la velocidad horizontal debido al
movimiento uniforme, ya que el cuerpo no posee aceleración, no influye en el movimiento de caída del cuerpo
B , o sea, que las velocidades y actúan simultáneamente sobre B , pero en forma independiente la una
de otra. Quiere decir que el cuerpo B se mueve como consecuencia de la acción de dos movimientos: uno
uniformemente acelerado (vertical), con una aceleración igual a la de gravedad ( ) y otro uniforme
(horizontal), con aceleración igual a cero.

CECyTEJ #11
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El principio de superposición de movimientos:” Si el movimiento de un cuerpo es el resultado de otros dos
movimientos simultáneos, la posición que ocupa al cabo de un tiempo t es la misma que ocuparía si ambos
movimientos se hubiesen cumplido sucesiva e independientemente uno de otro y cada uno de ellos durante el
mismo tiempo t”
Análisis del movimiento de proyectiles
Se examina sólo trayectorias suficientemente cortas para que la fuerza gravitacional se pueda considerar
constante en magnitud y dirección. También hay que analizar no tener en cuenta los efectos de la resistencia
del aire; Estas hipótesis simplificadas constituyen la base de un modelo idealizado del problema físico. Como,
en este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso considerado constante en
magnitud y dirección, es mejor referir el movimiento a un sistema de ejes coordenadas rectangulares. Se
toma el eje x horizontal y el eje y verticalmente hacia arriba
La componente x de la fuerza que actúa sobre el proyectil es nula y la componente y es el peso del proyectil
– mg. Esto es, la componente horizontal de la aceleración es nula, y la componente vertical hacia abajo, es
igual a la de un cuerpo que cae libremente. Puesto que la aceleración nula significa velocidad constante, el
movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y
movimiento vertical con aceleración constante.

CECyTEJ #11
66
Estos dos movimientos hacen que el movimiento resultante sea de trayectoria parabólica. Dichos movimientos
son completamente independientes uno del otro.
Considérese un Proyectil Sencillo
La componente horizontal del movimiento de un proyectil es igual al movimiento horizontal de una pelota que
rueda libremente sobre la superficie plana de la mesa. Si podemos despreciar el efecto de la fricción, la bola
se mueve a velocidad constante, recorriendo distancias iguales en intervalos de tiempos iguales.
La componente vertical del movimiento de un proyectil que describe una trayectoria curva es exactamente
igual que el movimiento de un objeto en caída libre. El movimiento del proyectil de una pelota que se deja
caer, tiene una componente vertical en la dirección de la gravedad terrestre, el proyectil se acelera hacia
abajo. El aumento de la rapidez en la dirección vertical hace que el objeto recorra distancias cada vez
mayores a intervalos de tiempos iguales. Es interesante notar que la componente horizontal del movimiento
de un proyectil es totalmente independiente de la componente vertical. Cada uno de ellas actúa de manera
independiente. Sus efectos combinados producen toda la gama de trayectorias curvas que describen los
proyectiles.
Una Fotografía real con luz estroboscópica de dos pelotas de golf que caen simultáneamente, una libremente
y la otra que se lanza en forma horizontal revela que el movimiento curvilíneo de la pelota es una combinación
de los movimientos horizontal y vertical.

CECyTEJ #11
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Más consideraciones del Movimiento de Proyectiles
Considérese una bala de cañón que se dispara con determinado ángulo de elevación. Suponga por un momento
que no hay gravedad; entonces a causa de la inercia, la bala de cañón seguirá la trayectoria rectilínea
representada por la línea discontinua. Pero la gravedad existe, por lo que esto no sucede. Lo que realidad
ocurre es que la bala cae continuamente por debajo de la línea imaginaria, hasta que por último llega al suelo.
Es importante notar que la distancia vertical que un objeto cae por debajo de cualquier punto de la línea
discontinua es la misma distancia vertical que caería si se soltara desde el reposo en el mismo tiempo.
Si se desprecian los efectos de la resistencia del aire, cualquier objeto que se lanza en este medio describirá
una trayectoria parabólica. No obstante en situaciones prácticas la resistencia del aire puede considerarse
despreciable sólo en el caso de objetos que se mueven lentamente y que posean altas densidades. Como una
roca o una esfera sólida. Los proyectiles de alta-velocidad, como balas de rifles o cañón, son frenados en
forma continua por la resistencia del aire y su trayectoria difiere de una parábola.

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