1. P - 1
Examen Final - Quinto Grado de Secundaria
1. En una urna se tiene 12 esferas numeradas del 19
al 30. Si se extrae una esfera al azar, ¿cuál es el valor
esperado de la cantidad de divisores del número de
la esfera extraída?
A) 4,6 B)
40
12
C)
55
12
D)
53
12
2. La cantidad de estudiantes de cuatro colegios que
pasaron a la etapa final de CONAMAT son 23; 15; 21
y ab. Si la desviación estándar de dichas cantidades
es 10 , calcule a+b.
A) 7 B) 8
C) 9 D) 10
3. Si el siguiente sistema de ecuaciones
3 2 6 0
1 0
x y
ax by
y k
− + =
+ + =
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
es compatible determinado, halle el mayor valor
entero de
a
b
para que k sea máximo.
A) –3 B) 2
C) 1 D) –2
4. Con respecto a la función
f(x)=logex+100–|x|
indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
p: f(x)=0; posee dos soluciones reales.
q:La función es inyectiva.
r: La función posee inversa.
s: La función es creciente en todo su dominio.
A) VFFF B) VVVV
C) FVVV D) VFVF
5. Sea Li: aix+biy=ci la ecuación de las rectas que
son frontera de la región admisible mostrada.
Además, f(x; y)=akx+bky+ck es la función que se
quiere optimizar para algún k=1; 2; …; n. Determine
el máximo valor de f(x; y).
A) 5Ck–1 B) 3Ck+1
C) 4C2k D) 2Ck
6. Resuelva la ecuación en Z
logy–1 (2+(x–3)2
)=2
e indique el número de soluciones.
A) 0 B) 1
C) 2 D) infinitas
7. Dado el gráfico
determine la razón entre A2 y A1. Considere que
a, b, c y d están en progresión geométrica de razón a.
A) a2
B) a–2
C) 4a2
D)
7
3
2
a
PP
TEMATEMA
Quinto Grado de Secundaria

2. P - 2
Concurso Nacional de Matemática CÉSAR VALLEJO 2008
8. Indique el valor de verdad respecto a la ecuación
x x
x x
− ⋅ + =2 2 2.
p: Presenta 2 soluciones reales.
q: Presenta 3 soluciones reales.
r: No tiene soluciones reales.
s: Una solución se encuentra en el intervalo 2 2;⎡⎣ ⎤⎦.
A) VFFF B) FFVF
C) FVFV D) FVFF
9. Resuelva la ecuación
e k e k n n ex
k
n
x
k
n
x
+( ) − −( ) = +( ) ⋅
= =
∑ ∑
4
1
4
1
2 2
3
si e
x xx
= + + +
1
0 1 2
2
! ! !
…
A) ln
( )n n +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
2
B) ln
( )n n +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
2
C) ln
( )n n +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
4
D) ln
( )n n −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
2
10.Si x e
a a a a a a a
0
7 7 7 7 7 7 70 1 2 3 4 5 6
=
+ + + + + +
con {a0, a1, a2, …, a6}⊂Z+
es una solución de la
ecuación logarítmica
ln ln ln ln ln
ln ln
7 6 76 5 215 4 354 3 353
2 21 7
1
x x x x x
x x
− − − − −
− = +
además, e
nn
=
=
∞
∑
1
0 !
, entonces, calcule el valor de
ai
i=
∑
0
6
.
A) 129 B) 128
C) 256 D) 127
11.Sean los números reales x, y, z, ninguno menor de
uno, de modo que se cumple que A ≥ k2
B
donde
A=ln2
x+ln2
y+ln2
z+ 2ln ln ln
x y z
+1
B=lnxlny
+lnylnz
+lnzlnx
Calcule el mayor valor entero de k.
A) 1 B) 3
C) 2 D) 4
12.Del gráfico, calcule AB
MN
.
A) 1/4 B) 1/2
C) 1 D) 2
13.Según el gráfico, A, B, …, H y I son puntos de
tangencia y HI= 4 2 . Calcule x.
A) 4,65 B) 4,87
C) 5,82 D) 5,65
14.De acuerdo al esquema, R=4 3. Calcule el área de
la región sombreada.
A) 11π– 3 3 B) 9π– 3 3
C) 7π– 3 3 D) 5π– 3 3
15.Calculelasumadecoordenadasdelpuntosimétricode
(10; 21) respecto a la recta de la siguiente ecuación.
2x+5y–38=0
A) –10 B) –11
C) –12 D) –13

3. P - 3
Examen Final - Quinto Grado de Secundaria
16.Dada la función f cuya regla de correspondencia está
dada por
f x x
x x
x x
( ) csc
sen cos
sen sen
= −8
2 6 2
4 8
además, Domf=〈A; B〉∪〈C; D〉 – {E; F} en 〈π; 2π〉,
halle
A B C D
E F
+ + +
+
.
A)
13
6
B) 13
7
C)
12
7
D) 2
17.A partir de la siguiente condición
− ≤
+
≤1 1
2
2
cos cos
sen
θ θ
θ
determine el intervalo de variación de la secθ.
A) 〈–∞; –2] ∪ [2; +∞〉
B) 〈–∞; –1] ∪ [1; +∞〉
C) 〈–∞; –2] ∪ 〈2; +∞〉
D) 〈–∞; –1〉 ∪ [2; +∞〉
18.En un ABC se traza la ceviana interior BM. Si AB=3
y BM=2, además, el circunradio del ABC es R1 y
del BMC es R2, calcule el seno del ángulo C.
A)
3
2 1 2R R
B)
5
4 1 2( )R R+
C)
5
2 1 2( )R R+
D)
5
4 1 2( )R R
19.Calcule el valor de
2 2+ − +
+
tan tan tan
tan tan
b c d
c d
a partir de las siguientes condiciones:
sen2c= 2 senb (I)
b+c–d=45º (II)
c+d=90º (III)
A) 1 B) 2
C) 2 D) –1
20.En un ABC se cumple lo siguiente:
3senA+4cosB=6
4senB+3cosA=1
Calcule la medida del ángulo C.
A) 15º B) 45º
C) 30º D) 60º
21.Se tiene un ABC equilátero inscrito en una
circunferencia. Si M es el punto medio del arco AC y
N el punto medio del lado BC, determine la tangente
del ángulo BMN.
A)
3
3
B) 1
C)
3
4
D)
3
5
22.Elimine θ a partir de las siguientes condiciones.
tan4/3
θ–tan–4/3
θ=a (I)
tan2/3
θ+tan–2/3
θ=b (II)
A) b2
–a2
=4b B) (b2
–2)2
–a2
=4
C) (b2
–2)2
–a2
=2 D) b4
–a2
=2b2
23.En el gráfico, HG=4u y EF=6u. Calcule el área
máxima de la región rectangular ABCD.
A
B C
D
H
G
F
E
30º
A) 18 u2
B) 6 3 2
u
C) 12 u2
D) 8 3 2
u
24.Dada la siguiente identidad
1
1
1
1
1
+ +
+
− +
= +
sen cos sen cos
(cos )
x x x x
x n
halle n.
A) 0 B) –1
C) –2 D) 2
25.Determinar la diagonal BD de la cometa de forma
rombal ABCD si AB=50 cm y m ABC=72º.
Considere que cos72º≈0,3.
A) 10 15 cm B) 10 65 cm
C) 10 35 cm D) 10 5 1+( ) cm

4. P - 4
Concurso Nacional de Matemática CÉSAR VALLEJO 2008
26.En el gráfico se muestra la sección de un canal
circular. Determine el área de la región sombreada
de dicha sección en términos de R y θ.
A)
θ
θ
R R2 2
2 2
− sen B) θR2
–R2
senθ
C)
θ
θ
R R2 2
2 2
+ sen D) θR2
+R2
senθ
27.¿Para qué valores de α (α ∈ I C) la gráfica de la función
F interseca al eje x, si f(x)=x2
–(2cotα)x+1?
A) 0
2
;
π
B) 0
4
;
π
C) 0
3
;
π⎤
⎦⎥ D) 0
4
;
π⎤
⎦⎥
28.En un ABC(B=90º) se traza las cevianas interiores
BM y BN, de modo que AM=1, MN=2 y NC=3; luego,
se traza CH ⊥ BM. Si m HCM=θ y m HCB=x, halle
5tanx–cotx.
A) –cotθ B) –6tanθ
C) –tanθ D) –6cotθ
29.Del gráfico se sabe que ABCD es un cuadrado.
Determine el valor de 4senα– 7
2
.
A)
7 2
10
B)
3 2
2
C) 2 2 7− D)
2
2
30.Determine el área de la región expresada por R si
R={(x; y) ∈ R2
/esen(x+y)+cos(x+y)
≥ 1 ∧ ecos(x–y)
≤ 1
∧ 0 < x <
3
2
π
∧ –
3
2
π
< y <
3
4
π
}
A)
π2
4
u2
B)
π2
2
u2
C)
π2
8
u2
D)
π2
16
u2
Domingo, 26 de octubre de 2008