1. MATEMÁTICA II – 2022-2
GRUPO N° 04 Nombre del grupo: ALFA.
Producto Semana N°1
Integrantes del grupo
Docente Dr. Walter Julio Columna Rafael
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA Industrial
PFA
N° Nombres y Apellidos Evaluación de grupo a integrantes
participación y solución ejercicios y
elaboración del informe (%)
Firma del
alumno
1 Lizbeth Kelyn Lissette, Marreros Vergaray 86%
2 Edinson Franz, Miranda Burgos 100%
3 Sarid, Moreno Torres 100%
4 Catherine Melissa, Paredes Inga 100%
5 Jesus Manuel, Rosales Alvite 89%
6 Ricardo John Bony, Saravia Villegas 71%

2. Índice
I. Presentación del Trabajo………………………………………. 03
II. Dedicatoria ……………………………………………………. 04
III. Introducción. ..…………………………………………………. 05
IV. Marco Teórico…..……………………………………………… 06
V. Marco Práctico… …..………………………………………….. 09
VI. Desarrollo de ejercicios………….…...………………………… 10
VII. Bibliografía. ……………………………………………………. 52

3. I. Presentación del trabajo
Este presente trabajo está dirigido al profesor Walter Julio Columna Rafael y en general, ya que es un tema que nos
compete a todos que es el curso de matemática II.
El esfuerzo se debe precisamente a la labor de todos nuestros integrantes del grupo N° 4; siempre con el propósito de
nuestra superación; así como también con miras en bien de nosotros y así de esa manera con las finalidades de lograr el
objetivo trazado, lo cual hemos optado por esta carrera profesional.
Espero que este trabajo sea debidamente a su agrado, muchas gracias..
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4. II. Dedicatoria
El esfuerzo y la dedicación en una carrera es un ejemplo y consecuencia de las personas que están detrás. El
esfuerzo realizado dentro de este trabajo va principalmente dedicado principalmente a Dios, que nos da la vida y
salud, para seguir con esta meta, así mismo a nuestros padres y a nuestra familia que nos rodea, por el apoyo del
día día en nuestra educación y por ser los que siempre están con nosotros, en los buenos y malos momentos
impulsando, motivando seguir adelante a no rendirnos.
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5. III. Introducción
El concepto de derivada, al igual que el de límite, continuidad o integral, no es un concepto aislado, sino que aparece en matemáticas
ligado a otros conceptos, aunque en la actualidad la derivada se apoya en el concepto de límite, esto no fue así hasta tiempos
recientes.(Ortega. y sierra,1998)
Isaac Newton (1642-1727), matemático y físico inglés, fue el primero en establecer muchos de los principios básicos del cálculo en
manuscritos no publicados sobre el método de fluxiones, fechado en 1665. La palabra fluxión se originó por el concepto de cantidades
que "fluyen"; es decir, cantidades que cambian a cierta razón. Newton usa la notación de punto y para representar una fluxión, como se
conoce ahora: la derivada de una función. Newton alcanzó fama imperecedera con la publicación de su ley de la gravitación universal
en su tratado monumental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en 1687, tambien fue el primero en demostrar, usando el
cálculo y su ley de gravitación, las tres leyes empíricas de Johannes Kepler del movimiento planetario, y el primero en demostrar que la
luz blanca está compuesta de todos los colores. El matemático, abogado y filósofo aleman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716)
publicó una versión corta de su cálculo en un artículo en un periodico alemán en 1684. La notación dy / dx para la derivada de una
función se debe a Leibniz. De hecho, fue Leibniz quien introdujo la palabra función en la literatura matemática. Pero, puesto que es
bien sabido que los manuscritos de Newton sobre el método de fluxiones datan de 1665, Leibniz fue acusado de apropiarse de las ideas
de Newton a partir de esta obra no publicada., durante muchos ellos hubo una controversia sobre quién de los dos "inventó" el cálculo.
Hoy los historiadores coinciden en que ambos llegaron a muchas de las premisas más importantes del cálculo de manera independiente.
Leibniz y Newton se consideran "coinventores" del tema.(Martìn, 2008)
La palabra calculus es una forma diminutiva de la palabra calx, que significa "piedra". En civilizaciones antiguas, piedras pequeñas y
guijarros se usaban a menudo como medio de reconocimiento. En consecuencia, la palabra calculus se refiere a cualquier método
sistemático de computación. No obstante, durante los últimos siglos la connotación de la palabra cálculo ha evolucionado para
significar esa rama de las matemáticas relacionada con el cálculo y la aplicación de entidades conocidas como derivadas e integrales.
Así, el tema conocido como cálculo se ha dividido en dos áreas amplias pero relacionadas: el cálculo diferencial y el cálculo integral.
El presente trabajo se basa en el desarrollo grupal de la práctica del curso de Matemática II relacionado a derivadas, definición, reglas,
aplicaciones gráficas de curvas y optimización, con el objetivo de plasmar nuestros conocimientos teóricos y prácticos de los temas
mencionados. 05

6. IV. Marco teórico
Reglas de derivación de operaciones:
1. Suma de funciones: (𝑓 + 𝑔) ′ = 𝑓 ′ + 𝑔′
2. Producto por un n°: 𝑎𝑓 ′ = 𝑎(𝑓 ′)
3. Producto de funciones: (𝑓. 𝑔) ′ = 𝑓 ′𝑔 + 𝑓𝑔′
4. Cociente de funciones: 𝑓/𝑔 = 𝑓 ′𝑔 − 𝑓𝑔′/𝑔²
5. Regla de la cadena: (𝑔(𝑓))’
= 𝑔 ′ (𝑓) . 𝑓′
La ingeniería y la matemática están estrechamente
vinculadas debido a que los conocimientos matemáticos son
algunas de las herramientas fundamentales con que los
ingenieros analizan, evalúan y resuelven muchos de sus
problemas o proyectos. Para los estudiantes de ingeniería
industrial la derivada constituye uno de los conceptos
fundamentales aprender y aplicar, por sus aplicaciones para
la evaluación del comportamiento de modelos matemáticos
representativos de situaciones reales
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7. Crecimiento de una función: La derivada de
una función en un punto nos indica el ritmo
de cambio de la función en dicho punto. Una
consecuencia inmediata es que la derivada
nos va a permitir saber si la función crece o
decrece en un punto determinado con solo
atender al signo de la derivada.
Decrecimiento de una función: La función f
es decreciente en a si f '(a) < 0. Es decir, es
decreciente en a si la derivada es negativa. La
función f es constante en a si f '(a) = 0 y
además es la derivada es nula en los puntos
muy próximos a A.
Máximos y mínimos: Un máximo es el
valor más grande que tiene la función
local o globalmente. Un mínimo es el
valor más pequeño que tiene la función
local o globalmente. Un mínimo local es
el valor más pequeño que tiene la
función en un intervalo. Un máximo
local es el valor más grande que tiene la
función en un intervalo.
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8. Concavidad de una curva: se relaciona con la
razón de cambio de la derivada de una
función. Una función f es cóncava hacia
arriba en los intervalos donde su derivada, f′,
es creciente. Esto es equivalente a que la
derivada de f′, sea positiva. Para determinar la
concavidad de la gráfica de una función,
debemos determinar los intervalos en los que
f''(x)0 (concavidad hacia arriba).
Puntos de inflexión: Los puntos de inflexión son aquellos
donde la función cambia de concavidad, es decir, de ser
"cóncava hacia arriba j" a ser "cóncava hacia abajo", o
viceversa. Se pueden encontrar al determinar dónde
cambia de signo la segunda derivada. El punto de
inflexión, en otras palabras, es ese momento en el que la
función cambia de tendencia. Cabe destacar que una
función puede tener más de un punto de inflexión, o no
tenerlos del todo. Por ejemplo, una recta no tiene ningún
punto de inflexión.
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9. V. Marco Práctico
APELLIDOS Y NOMBRES
DEL ALUMNO RESPONSABLE
SEMANA 1 PARA
EXPONER
LISTA DE EJERCICIOS
MARREROS VERGARAY, LIZBETH
KELYN LISSETTE
5 11 26 32 38 44 59 44
MIRANDA BURGOS , EDINSON FRANZ 6 12 27 33 39 45 60 27
MORENO TORRES, SARID 7 13 28 34 40 46 59 59
PAREDES INGA, CATHERINE MELISSA 8 14 29 35 41 47 58 14
ROSALES ALVITES, JESUS MANUEL 48 15 42 9 36 57 30 30
SARAVIA VILLEGAS, RICARDO JOHN
BONY
49 16 43 10 37 56 31 16
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10. VI. DESARROLLO DE EJERCICIOS
I.Calcular las siguientes derivada usando la definiciòn- lìmites:
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11. 11

12. 12

13. 13

14. 14

15. 15

16. 16
Ejercicio 10

17. III. Usando reglas hallar la derivada dy/dx o df/dx según sea el caso
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18. 18

19. 19

20. 20

21. 21

22. Ejercicio 16
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23. IV. Derivaciòn implícita.
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24. 24

25. 25

26. V. Derivar las siguientes funciones diversas
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27. 27

28. 28

29. 29

30. 30

31. 31

32. 32

33. 33

34. 34

35. 35

36. 36

37. 37

38. VIII.Usando derivadas calcular los siguientes límites:
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39. 39

40. 40

41. 41

42. IX. Construir gràficas de las funciones indicando, los puntos de discontinuidad…..
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43. 43

44. 44

45. 45

46. 46

47. X. Problemas de optimizaciòn.
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48. 48

49. Ejercicio 58. Cuando un avión que viene al aeropuerto de Lima desplazándose a velocidad constante de 900
km/h y está a 250 km de la ciudad de Lima, otro avión sale de la ciudad de Lima rumbo al Callao con
velocidad constante de 500 km/h. Si las trayectorias son perpendiculares, calcular el tiempo que transcurrirá
hasta que la distancia que los separe sea mínima.
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50. 59) Se vierte agua en un depósito que tiene la forma de un cono invertido a razón de 18 m3/hora. El cono
tiene 30 m. de profundidad y 25 m. de diámetro en su parte superior. Si tiene una fuga de agua en la base y
el nivel del agua está subiendo a razón de 1/8 m/hora cuando el agua tiene 12 m. de profundidad, con qué
rapidez sale el agua del demito?
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51. 51

52. Bibliografía
1.Ortega,T. y sierra,M. (1998, agosto) .El concepto de derivada: algunas indicaciones para su enseñanza. Rvta.
Interuniversitaria de formación del profesorado. 32(1), 87-115.
https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/117981.pdf
2. Martín, M. (2008). Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral Historia del Análisis Matemático. Universidad de
Granada.
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.ugr.es/~mmartins/material/historia_matematica_
origenes_calculo.pdf&ved=2ahUKEwiSmYz3_eX7AhXgILkGHbmhCysQFnoECB4QAQ&usg=AOvVaw0N5xLGhK1U
1wL27W2WfkUu
3. Espinoza Ramos, E. (2012). Análisis Matemático II (Sexta ed.). Lima: Edukperú.
4. Leithold, L. (1998). El Cálculo (Séptima ed.). México, D.F.: Grupo Mapasa.
5.https://es.essays.club/Ciencias-humanas/Educaci%C3%B3n/Las-derivadas-en-laingenier%C3%ADa-industrial-211908.h
tm
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