Resistencia de materiales tema 7

Tema 7 - Columnas

Resistencia de Materiales
Tema 7
Columnas

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESIME AZCAPOTZALCO
Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama

Tema 7 - Columnas
Sección 1 - Consideraciones iniciales

Consideraciones iniciales
Una columna es un elemento sometido a compresión, el cual es lo
suficientemente delgado respecto a su longitud para que bajo la acción de
una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo
ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por
aplastamiento. En esto se diferencia de un elemento corto sometido a
compresión, el cual, aunque este cargado excéntricamente, experimenta
una flexión lateral despreciable.

Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento
corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una
columna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensión menor de
la sección transversal.

Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias.
En algunos casos, los elementos cortos sometidos a compresión se
consideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas.
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Estabilidad de estructuras
Consideremos el montaje que se muestra en la figura. El mismo
esta integrado por dos barras de longitud ‘L/2’, apoyadas por articulaciones
que le permiten rotar en sus extremos, siendo solidarias entre sí mediante
un pasador.
Luego, si se mueve dicho pasador
un poco hacia un lado, provocando una
pequeña inclinación “q” en las barras y
luego se aplica una carga axial “P” que
mantenga dicha deformación, tenemos que
la fuerza perturbadora en la dirección
horizontal puede plantearse de la forma::

Fperturbadora  2 tan q
P

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La fuerza restauradora, que sería en este caso la reacción del
resorte, sería:
L
Frestauradora  K r  sin q

2
Como el ángulo “q” es muy pequeño, es válida la aproximación
‘tgq≈sinq≈q’. Entonces, si la fuerza restauradora fuese mayor que la
perturbadora, tendríamos:
L
P  Kr 
4
En esta situación, las barras volverían a su posición inicial; a esto
se denomina equilibro estable. Si sucediese lo contrario:
L
P  Kr 
4
De modo que el mecanismo se deformaría hasta una posición de
equilibrio entre las fuerzas. A esto se llama equilibrio inestable.

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Si ambas fuerzas fuesen iguales, entonces:

L
Pcri  K r 
4
La carga axial crítica (“Pcri”) representa el estado del mecanismo
con el cual éste se mantiene en equilibrio, pues de variar ligeramente dicha
carga las barras del mecanismo no sufrirían nigún desplazamiento, es decir:
el mecanismo no se movería.

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Sección 2 - Carga crítica en columnas articuladas

Carga crítica en columnas articuladas
Consideremos una viga articulada en sus extremos mediante
rótulas que permiten la flexión en todas las direcciones, tal como se muestra
en la figura. Si aplicamos una fuerza horizontal “H” en un punto medio de la
viga se producirá una deflexión, a la que denominaremos “d”.

Supondremos que la
deflexión “d” es lo suficientemente
pequeña como para que la
proyección de la longitud de la
columna sobre un eje vertical sea
prácticamente la misma, estando
flexada la viga.

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Supongamos ahora que añadimos una carga axial céntrica a
compresión “P” y la hacemos aumentar desde cero, al mismo tiempo que
disminuimos la carga “H”, de modo que se mantenga constante la deflexión
“d” constante.

Puede observarse que en
la sección transversal que sufre la
mayor deflexión, el momento flector
es:
M  Pcri  d (7.2.1)

La fuerza “Pcri” es la carga
necesaria para mantener la viga
flexada sin empuje lateral alguno.
Un incremento de esta carga,
implica a su vez un aumento de la
deflexión “d” y viceversa.

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Si para el caso anterior designamos como “x” al eje vertical (sobre
el que se proyecta la longitud de la viga) e “y” al eje horizontal (sobre el cual
se producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de la
forma:
M ( x)   Pcri 
y (7.2.2)

El signo (-) se debe a que la deflexión
producida es negativa (según la orientación el eje “y”),
y el momento flector es positivo.

Recordemos la ecuación de la elástica para
vigas de sección transversal constante:

d 2 y M ( x)
 (7.2.3)
dx 2
EI

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Luego, sustituyendo “M(x)” de la ecuación 7.2.2 en la ecuación
6.2.3, se obtiene:
d 2 y  Pcri y
 (7.2.4)
dx 2
E I
La solución general de esta ecuación es:


Pcri  
Pcri
sin 
y  C1  (7.2.5)
 x
 cos
 C2 
  x

E
 I  E
 I 

Podemos obtener los valores de las constantes “C1” y “C2”
aplicando las condiciones de frontera. Cuando ‘x=0’ → ‘y=0’, de modo que
‘C2=0’. Al plantear la segunda condición (‘x=L’ → ‘y=0’) queda:

Pcri 
sin 
0  C1   L
(7.2.6)

E
 I 
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La solución de la ecuación anterior sirve para hallar el valor de
“Pcri”, pues debe cumplirse:

Pcri
 
L  n (7.2.7)
E I

Donde ‘n=1,2,3…’ .

En la figura pueden
verse distintas formas en que
puede pandearse la columna
utilizando distintos valores de
“n”.

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Para efectos de diseño, siempre trabajaremos con ‘n=1’. De modo
que la carga crítica queda expresada de la forma:

 2
EI
Pcri  (7.2.8)
L2
A esta expresión se le conoce como la carga crítica de Euler para
columnas articuladas.

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Relación de esbeltez, esfuerzo crítico
El momento de inercia (“I”) puede expresarse de la forma:

I  A
r2 (7.2.9)

Donde “A” es el área de la sección transversal y “r” es una
propiedad de área denominada radio de giro. Si sustituimos esta ecuación
en la expresión 6.2.8, obtenemos:

 2
 E A
Pcri  2
(7.2.10)
(L / r)
Donde la proporción “L/r” se conoce como relación de esbeltez de
la columna. Mas adelante observaremos cómo este parámetro sirve para
clasificar un elemento cargado axialmente a compresión como una columna
corta, larga ó intermedia.

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Si en la expresión 6.2.10 enviamos el término “A” a dividir hacia el
lado izquierdo, obtenemos:
Pcri  2 
E
 2
 s cri (7.2.11)
A (L / r)
Mediante esta ecuación se puede determinar el esfuerzo crítico
(“scri”) en una columna, el cual indica el esfuerzo normal con el cual la misma
comienza a pandearse. Obsérvese que los términos variables en esta
expresión son la relación de esbeltez (“L/r”) y el esfuerzo crítico en cuestión.
De modo que podemos construir una gráfica que nos indique cómo varía
dicho esfuerzo en función de la relación de esbeltez en columnas. Como el
módulo de elasticidad (“E”) varía para cada material, tendremos distintas
curvas para diferentes materiales.

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Por ejemplo, en se presentan en la figura las curvas del acero
estructural y del aluminio. Es importante observar que para cada material
existe una esbeltez que se corresponde con su esfuerzo de fluencia, como
se señala en las curvas. A la derecha de estos puntos, puede observarse
que el esfuerzo crítico disminuye a medida que aumenta la relación de
esbeltez (en otras palabras, se requiere menor carga para que se produzca
el pandeo en la columna). A la izquierda de estos puntos, la gráfica no tiene
sentido práctico.

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Sección 3 - Columnas con varios tipos de soporte

Columnas con varios tipos de soporte
En la deducción de la ecuación de Euler, se utilizó como base para
el desarrollo de las ecuaciones una columna soportada mediante
articulaciones en sus extremos, de manera que la deflexión fuese nula en
los mismos. Dependiendo de los apoyos a los que se sujete una columna,
dichas condiciones de extremo pueden variar, alterando a su vez el
desarrollo de las ecuaciones. Con el objeto de compensar esto, se utiliza en
la ecuación de Euler una longitud denominada Longitud efectiva (“Le”), la
cual representa la distancia entre dos puntos de la columna en los cuales el
momento flector es nulo, y se puede determinar mediante la relación:

Le  K 
L (7.3.1)

Donde “K” es el factor de corrección de longitud efectiva y está
tabulado para distintas condiciones de apoyo de columnas.

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Sección 3 – Columnas con varios tipos de soporte
De manera que la ecuación del esfuerzo crítico en una columna
quedaría planteada de la forma:
 2
E  2E
s   (7.3.2)
(K 
cri 2 2
( Le / r ) L / r)
Los valores de “K” para las condiciones de apoyo más comunes se
ilustran en la figura.

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Sección 4 - Columnas sometidas a carga excéntrica

Columnas sometidas a carga excéntrica
La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que la
carga (“P”) siempre se aplica en el centroide de la sección transversal de la
columna, y que ésta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga).

Esta situación es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas
no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de
aplicación de la carga.

Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que
comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente después
de la aplicación de la carga.

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Consideremos entonces una columna sometida a una carga
ejercida con una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de la
sección transversal, como se muestra.
Podemos plantear una expresión para determinar el momento
flector en cualquier sección transversal:

M   Pcri 
(e  y) (7.4.1)

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Al plantear la ecuación de la elástica de la viga, queda:

d 2 y M ( x)  Pcri 
(e  y )
  (7.4.2)
dx 2
EI E I
La solución general de esta ecuación es:


P  P
y  C1  e
sin    (7.4.3)
 C2 
x 
cos x

E I  E I 
 
Al plantear los límites de frontera, se obtiene que cuando ‘x=0’ →
‘y=e’, de modo que ‘C2=e’ . Luego, cuando ‘x=L’ → ‘y=e’, de modo que:

P L
tan 
C1  e    (7.4.4)
E
 I 2

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Finalmente, la ecuación 6.4.3 queda de la forma:

 P  
P L  
P 
y  e 
tan 
cos
 E
 
sin 
1

 I x
 x



 (7.4.5)
 
 E 
 I 2  E
 I  
La deflexión máxima en la viga ocurre cuando ‘x=0,5L. Si
introducimos este valor en la ecuación, obtenemos:
P L
ymax sec
 e   

(7.4.6)
E
 I 2
En esta ecuación puede observarse que ‘y=0’ cuando ‘e=0’. Sin
embargo, si la excentricidad “e” es muy pequeña, y el término dentro de la
función trigonométrica la hiciese tender a infinito, “y” tendría un valor no
nulo.

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Entonces, como ‘sec(x)→∞’ cuando ‘x→/2’, podemos plantear:

Pcri L 
 (7.4.7)
E I 2 2
Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crítica:

 2
EI
Pcri  2 (7.4.8)
L
Nótese que éste es el mismo resultado arrojado para el caso de
carga excéntrica (ec. 6.2.8). Es preciso recordar que en caso de trabajar
con condiciones de apoyo distintas, se debe trabajar con la longitud efectiva
(“Le”) en vez de la longitud nominal (“L”) de la columna.

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Podemos entonces plantear la ecuación del esfuerzo máximo en la
sección de mayor deflexión de la viga:

P (P 
ymax ) 
c P P Lc
s     Psec
e   

 (7.4.9)
E
max
A I A  I 2
I

Recordando que ‘I=Ar2’, podemos reescribir esta ecuación de la
forma:
P e c P 
L 
s  1 sec

(7.4.10)   


E A 2
max 2
A
 r  
r


A esta ecuación se le conoce como la fórmula de la secante, y sirve
para determinar el valor del esfuerzo máximo producido tanto por flexión
como por compresión que se produce en la viga. Debe cumplirse: ‘P≤Pcri’.
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Sección 5 - Columnas largas, cortas e intermedias

Columnas largas, cortas e intermedias
Mediante ensayos mecánicos realizados en columnas se ha
demostrado que la carga crítica señalada por las ecuaciones de Euler y de
la secante puede ser superior a la carga crítica real necesaria para pandear
la columna, como muestra el gráfico.

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De la gráfica anterior pueden verse con claridad tres zonas que, en
función de la relación de esbeltez, permiten clasificar las columnas en tres
grupos:

Columnas Cortas. A este grupo pertenecen elementos cargados
axialmente a compresión con relaciones de esbeltez muy pequeñas, en los
que no se produce pandeo y la falla ocurre cuando ‘smax ≈ sy’.

Columnas Intermedias. Cuando en los elementos cargados
comienza a presentarse el fenómeno de pandeo al éstos experimentar
esfuerzos menores a “sy”. La ecuación de Euler no se aproxima
satisfactoriamente al comportamiento de la columna, requiriendo esta zona
de ecuaciones experimentales complejas para predecir con cierta precisión
el valor del esfuerzo crítico (con el cual comienza el pandeo en la columna).

Columnas Largas. Referida a aquellos elementos con grandes
relaciones de esbeltez. La ecuación de Euler describe con precisión
aceptable el comportamiento de estas columnas.
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En la figura que se muestran algunas tendencias que pueden
usarse para determinar el esfuerzo crítico en columnas intermedias. Nótese
que la dificultad en el uso de estos criterios radica en determinar con
exactitud los límites de la relación de esbeltez en los cuales son válidos.

Fórmula de Gordon-Rankine:
s
s  1
1  k1 
cri
( Le / r )
Aproximación lineal:

s cri  s 2  k2 
( Le / r )
Aproximación parabólica:

s cri  s 3  k3 
( Le / r ) 2
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Sección 6 - Diseño de columnas sometidas a carga axial céntrica

Diseño de columnas bajo carga
axial céntrica
Como se mencionó anteriormente, el uso de la fórmula de Euler
para el diseño es completamente válido si la columna a tratar es
perfectamente recta, hechas de un material completamente homogéneo, en
las que los puntos de aplicación de la carga son perfectamente conocidos.

En realidad, esto no ocurre así. Para compensar todas
imperfecciones que tienen las columnas reales, se utilizan códigos de
diseño, los cuales son productos de ensayos mecánicos que se llevan a
cabo simulando condiciones reales de construcción y trabajo de elementos
sometidos a cargas axiales de compresión.

A continuación mostraremos algunos ejemplos de códigos de
diseño para columnas hechas de distintos materiales.
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Sección 6 - Diseño de columnas bajo carga axial céntrica

Columnas de acero
Las columnas de acero estructural se diseñan con base en
fórmulas propuestas por el Structural Stability Research Council (SSRC). A
dichas formulas se le ha aplicado factores de seguridad convenientes, y el
American Institute of Steel Construction (AISC) las ha adoptado como
especificaciones para la industria de construcción. Para columnas largas, se
utiliza la ecuación de Euler con un factor de seguridad de 12/23:

12  2 E K
 L K L
s perm  para     200 (7.6.1)
23 ( KL / r ) r 
c r

Donde el valor mínimo de relación de esbeltez efectiva válido para
la relación viene dado por:
K
 L 2E
  
 (7.6.2)

r 
c s y
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En columnas con relaciones de esbeltez menores se usa un ajuste
parabólico, con un factor de seguridad dictado por una compleja relación:

 ( KL / r ) 2 
1
K  2
 ( KL / r ) c   L 
 
K L

s perm  para
r  r 

5 3 ( KL / r ) 1 ( KL / r ) 3  c
    
3 8 ( KL / r ) c 8 ( KL / r ) c 3 
 (7.6.3)

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Columnas de aluminio
La Aluminium Association especifica el diseño de columnas de
aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un
juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación
común de aluminio (2014-T6) se usa:

K L
s perm  28ksi
para 0  12 (7.6.4)
r

K
  30,7   L
s perm 0,23  (7.6.5)
( KL / r ) ksi para 12   55
r

54000ksi K L
s perm  para 55  (7.6.6)
( KL / r ) 2 r
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Columnas de madera
Las Aluminium Association especifica el diseño de columnas de
aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un
juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación
común de aluminio (2014-T6) se usa:

K L
s perm  1,20ksi
para 0  11 (7.6.7)
d

 1 L
2
KL / d   K
s perm  1,20
1    26 (7.6.8)
 ksi para 11 

 d
 3
26,0  


5400ksi K L
s perm  para 26   50 (7.6.9)
( KL / d ) 2 d
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Sección 7 - Diseño de columnas sometidas a carga axial excéntrica

Diseño de columnas bajo carga
axial excéntrica
Existen varias formas de tratar casos donde la carga en la columna
es excéntrica. Trataremos en esta ocasión los métodos más comunes: el
método del esfuerzo admisible y el método de interacción.

Método del esfuerzo admisible. En este caso, se comparan del
esfuerzo máximo producido en la viga y el esfuerzo admisible dictado por la
ecuación de Euler. El esfuerzo máximo vendría dado por:

P M c
s max   (7.7.1)
A I
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El esfuerzo admisible según la ecuación de Euler:

 2
E
s adm  2
(7.7.2)
(L / r)
Y debe cumplirse:

s max s adm
(7.7.3)

Método de Interacción. Se llama así pues en él se observan
cómo interactúan las tensiones producidas por la carga de compresión y por
el momento flector ejercidos en la viga.

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En este caso, la condición que debe cumplirse es:


P M
 c

A
 
I 

 1 (7.7.4)
s 
adm axial s 
adm flexión

Donde “[sadm]axial” y “[sadm]flexión” se calculan a partir de códigos de
diseño estipulados para carga axial y carga excéntrica respectivamente.
Note que a diferencia del caso anterior, los esfuerzos producidos por carga
axial y flexión se comparan por separado con el esfuerzo crítico para cada
caso. Según el método anterior se comparan ambos esfuerzos respecto al
esfuerzo admisible proporcionado por la ecuación de Euler.

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