Aplicacion de integral definida

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERECTORRADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES
CABUDARE-ESTADO-LARA
(APLICACIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA)
CÁLCULO II
CALCULO INTEGRAL
ELISET CALDERON
27397038

2. INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral definida surge íntimamente ligado al de área. Riemann
introduce la integral definida de una función continua en un intervalo a partir del
límite de una suma de áreas de rectángulos. Por ello, una de las aplicaciones
más inmediatas de la integral definida es el cálculo de áreas de recintos planos
acotados y definidos por curvas o gráficas de funciones.
El cálculo de áreas sencillas limitadas por curvas puede contribuir a ayudar al
alumno a comprender la potencia del cálculo integral y a familiarizarse con
aspectos prácticos del mismo. Ha de servir como introducción para otras
aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de la ciencia: Física,
Biología, Ingeniería o Economía. En ellas, la integral definida permitirá medir
magnitudes a través de la medida de áreas.
Para realizar las actividades de esta unidad, el alumno deberá estar
familiarizado con la definición de integral definida y la Regla de Barrow.
Definición: Sea f una función que está definida en el intervalo cerrado [ ]ba; .
Entonces:
i
b
a
i
n
iP
xxfdxxf∫ ∑
=→
= )(lim)(
10
Teorema 1: Integrabilidad
Sea f acotada en [ ]ba; y si f es continua, excepto en un número finito de
puntos, entonces f es integrable en [ ]ba; . En particular, si f es continua en
todo el intervalo [ ]ba; , es integrable en [ ]ba; .
Teorema 2: Propiedad aditiva de intervalos
Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a, b y c, entonces:
dxxfdxxfdxxf
c
b
b
a
c
a
∫∫∫ += )()()(
Teorema 3: Primer teorema fundamental del cálculo
Sea f continua en el intervalo cerrado [ ]ba; y sea x un punto (variable) en
(a;b). Entonces:
∫ =
x
a
xfdttf
dx
d
)()(
Teorema 4: Linealidad de la integral definida

3. dxxfkdxxkf
b
a
b
a
∫∫ = )()(
[ ] ∫∫∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
[ ] ∫∫∫ −=−
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5: Segundo teorema fundamental del cálculo.
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫
Teorema 6: Teorema del valor medio para integrales
Si f es continua en [ ]ba; , existe un número c entre a y b tal que:
))(()( abcfdttf
b
a
−=∫
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
Sólidos de revolución.
Ejemplo 1.
Sea la función ( ) xxf = . Esta es una recta que pasa por el origen. Si se resuelve la
integral ∫
5
0
xdx se encontrará el área bajo la función en el intervalo [ ]5,0 . Esto se
logra haciendo un número infinito de rectángulos, calculando su área y posteriormente
sumándolas. La base de cada rectángulo se representa como x∆ y su altura está dada
por la función evaluada en el punto determinado. En la figura se muestra como se
calcula el área utilizando tan solo 5 rectángulos de base 1. En una integral el número de
rectángulos se hace infinito y, por lo tanto, la base es de dx.

4. Supóngase que se quiere calcular el volumen de un cono (para éste caso particular, se
aplica para cualquier función continua). Un cono se puede formar poniendo a girar la
recta ( ) xxf = alrededor del eje x. Al hacer esto se obtendrá una figura tridimensional:
un cono. Para calcular su volumen se siguen los mismos pasos que para calcular el área.
En lugar de hacer un número infinito de rectángulos, se hace un número infinito de
cilindros, se calcula el volumen de cada uno de ellos y se suman. En la siguiente figura
se muestra como se calcula el volumen utilizando 5 cilindros.
El volumen de un cilindro se obtiene hrV 2
π= donde la r es el radio y h la altura. En
la figura anterior se puede ver que los cilindros son horizontales, implicando esto que la

5. altura xh ∆= . El radio de cada cilindro está dado por la función evaluada en diferentes
puntos. De manera análoga a la integral, el volumen del cono es
( )∑=
∞→ +=
n
1k
2
n xxkafLimV ∆∆π
donde a proviene de [ ]b,a indicando el intervalo en donde se está trabajando, n es el
número de rectángulos, k se refiere al cilindro con el que se trabaja y x∆ es la altura
del cilindro, por lo tanto,
( ) ( )∫∑ =+=
=
∞→
b
a
2
n
1k
2
n dxxfxxkafLimV π∆∆π
En este caso
( ) ( ) ( ) 9.130
3
0
3
5
3
x
dxxV
335
0
35
0
2
=−=== ∫
πππ
π
El resultado es el volumen de un cilindro de radio máximo de 5 unidades y de 5
unidades de altura. Si se compara el resultado con el obtenido utilizando la fórmula del
volumen de un cono se observa que es igual: ( ) ( ) 9.13055
3
1
hr
3
1
V
22
=== ππ .
La importancia de éste método no es para figuras geométricas simples, sino para hallar
el volumen de objetos de forma irregular.
Ejemplo 2.
Graficar el sólido de revolución formado al girar la función ( ) 3xxf += alrededor del
eje x en el intervalo [ ]13,1 . Obtener el volumen de un objeto con esta forma.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
El volumen del objeto es

6. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 11913
2
1
133
2
13
x3
2
x
dx3xdx3xV
22
13
1
213
1
13
1
2
=







+−







+=
=





+=+=+= ∫∫
Promedio.
Ejemplo 3.
Durante una tormenta de 12 horas de duración, la velocidad del agua en los primeros 20
m de la columna de agua se pudo describir mediante la siguiente función:
( ) ( ) 10t2520t726t80t3001.0tv 234
++−+−=
donde v es la velocidad de en m/s y t es el tiempo en horas. hallar la velocidad promedio
en el transcurso de la tormenta.
Para calcular la velocidad promedio se utiliza el teorema del valor medio.
( )[ ]
[ ]
s/m296.11
12
552.135
12
t10
2
t52.2
3
t726.0
4
t08.0
5
t003.0
12
dt10t52.2t726.0t08.0t003.0
012
dt10t2520t726t80t3001.0
v
12
0
2345
12
0
234
12
0
234
promedio
==






++−+−
=
=
++−+−
=
=
−
++−+−
=
∫
∫
Como sabemos la Ingeniería de Telecomunicaciones es una rama de la
ingeniería, que resuelve problemas de transmisión y recepción de señales e
interconexión de redes.
El término telecomunicación se refiere a la comunicación a distancia a través
de la propagación de ondas electromagnéticas. Esto incluye muchas
tecnologías, como radio, televisión, teléfono, comunicaciones de datos y redes
informáticas.
Por lo tanto la Ingeniería de Telecomunicaciones al resolver problemas de
trasmisión y recepción de señales e interconexión de redes, estamos
hablando de ondas; el análisis de las formas de onda a través de las series de
Fourier se utiliza en toda la ingeniería eléctrica, electrónica, de
telecomunicaciones, de procesamiento de señales de redes.

7. Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función periódica y continua a trozos.
Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del
análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales
mucho más simples. Algunas de las Aplicaciones de las Series de Fourier que
se aplican a nuestra carrera son:
* Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
* Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de
la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de
amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
En cuanto a las derivadas, e integrales de línea suelen usarse para análisis
de curvas, máximos y mínimos o formas de onda y sobre todo para análisis de
potenciales eléctricos y magnéticos en diseños de alto voltaje y antenas.
El uso de las integrales en la ingeniería en telecomunicaciones.
Sabemos que la utilidad que éstas pueden, la integral definida es un método
rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.,lejos de los procesos
lentos y laboriosos que empleaban los griegos. Ahora vamos a ilustrar las
distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral, el Álgebra y la Trigonometría
sirven para estudiar los objetos que se mueven con velocidad constante, pero
si la velocidad es variable y la trayectoria es irregular se necesita el Cálculo.
Una descripción rigurosa del movimiento requiere definiciones precisas de
velocidad y aceleración, usando uno de los conceptos fundamentales de
cálculo: la derivada.
El poder y la flexibilidad del Cálculo hacen éste útil en muchos campos de
estudio. Entre algunas de las casi infinitas aplicaciones de la derivada en el
campo de la Ingeniería de Telecomunicaciones, se pueden mencionar: los
cambios instantáneos de una corriente eléctrica, variaciones del flujo
magnético, de la carga eléctrica, etc.
En concepto es útil para resolver problemas de máximos y mínimos,en caso
la derivadas por ende integrales, como ayuda para el análisis gráfico de
funciones complicadas, en la formulación de conceptos básicos de Control,
Conversión de energía, Circuitos Eléctricos, etc para este tipo de problemas
que se te presenten te va hacer de utilidad, si no las sabes utilizar no lo podrías
resolver, es básico para un Ingenierio. Puede afirmarse que el cálculo se aplica
en casi todas las ramas del conocimiento ciencias Físico-Matemáticas y, con
particular énfasis, en las Ingenierías y profesiones afines.

8. El ingeniero debe estudiar matemáticas. No hay otra manera de formar
adecuadamente el pensamiento analítico, el rigor demostrativo, el sentido de la
exactitud y el de la aproximación aceptable también , la objetividad numérica,
la propensión a la medición, y tantas otras cualidades de los buenos
ingenieros. Busca llevar los problemas al plano numérico con la dimensión y la
medida, y con ello lograr la optimización, la eficiencia, la eliminación del
desperdicio, y el funcionamiento ideal.