Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon

Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Лекц№1 Матриц, түүн дээрх үйлдлүүд
Тодорхойлолт 1.1
Тоонуудаас тогтсон аливаа тэгш өнцөгт таблицыг матриц гэнэ.
a11
a21
....
am1
a12
a22
....
am2
.......
.......
....
......
a1n
a2n
.....
amn
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Матрицад бичигдсэн тоонуудыг матрицын элементүүд гэнэ. Матриц m мөр n
баганатай байвал m х n хэмжээт матриц гэнэ. n х n хэмжээт матрицыг квадрат матриц
буюу n эрэмбийн матриц гэнэ. 1 х 1 хэмжээт матриц нь ердийн тоо байна. Матрицыг
A,B,C……,C гэх мэтчилэн латин цагаан толгойн том үсгээр, m х n хэмжээт матрицын i-р
мөр j-р багана байх элементийг aij гэж тэмдэглэе. m х n хэмжээг А матрицыг товчоор
A=[aij ] m х n гэж тэмдэглэнэ.
Квадрат матрицад a11 , a12 ........., ann элементүүдийг матрицын гол диагоналийн элемениүүд
гэнэ.
Жишээ нь:
a)
A
2
1
0
4
3
5
4
6
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
:=
нь 2х4 хэмжээт матриц.
B
8
1
3
0
7
1
4
5
4
0
1
1
0
2−
20
2
2
3
0
4
6−
2
5
3
2.5
π
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
нь 5х5 хэмжээт матриц.
Үүнд: 8;5/4;20;-6;2 элементүүд гол диогоналийн элементүүд болно.
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 1

n х 1 хэмжээт
a1
a2
..
..
an
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠ матрицыг баганан матриц
1 х n хэмжээт a1 a2 .... .... an( ) матрицыг мөрөн матриц гэнэ
m х n хэмжээт A ба B хоёр матрицын i , j бүрийн хувьд aij bij:=
байвал тэнцүү
матрицууд гэнэ.
Жишээ нь:
a)
2
2
2
2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ ба
2
2
2
2
2
2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ матрицууд тэнцүү биш байна. Учир нь эдгээрийн хэмжээнүүд
адил биш байна.
b)
3
5
4
6
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
4
1
4
4
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
≠
байна.
Эдгээрийн харгалзах бүх элементүүд тэнцүү биш байна.
Лекц№2 Матриц дээр хийх үйлдлүүд
1) Матрицыг нэмэх:
A ба B матрицууд ижил хэмжээтэй байг. Эдгээр матрицыг харгалзах элементүүдийг
нэмэх замаар нийлбэр матрицыг олж болно.
Хэрэв A ба B нь m х n матрицууд бол тэдгээрийн нийлбэр нь
A+B=[ aij bij+
]

Жишээ нь:
a)
A
3
5−
10−
2−
0
6−
4
7
5
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
ба:= B
3−
5
12−
2
0
6−
4
7
15
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
бол:= A B+
3 3−( )+
5− 5+
10− 12−( )+
2− 2+
0 0+
6− 6−( )+
4 4+
7 7+
5 15+
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
:=
эндээс хариу нь:
A B+
0
0
22−
0
0
12−
8
14
20
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:=
b)
A
0
1
1
0
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
ба:= B
2
5
1
4
3
6
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
бол:=
матрицуудын нийлбэр тодорхойгүй.
2) Матрицыг тоогоор үржүүлэх:
Хэрэв λ бодит тоо бол А матрицыг тогтмол тоогоор үржүүлсэн үржвэр
λA
λa11
λa21
....
λam1
λa12
λa22
....
λam2
....
....
....
....
λa1n
λa2n
.....
λamn
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
Тодорхойлолт1.7
Матрицыг хөрвүүлэх. A=[aij ] m х n матрицын хөрвүүлсэн матриц n х m хэмжээт
A
T
матриц
A
T
a11
a12
....
a1n
a21
a22
....
a2n
....
....
....
....
am1
am2
....
amn
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
Энэ тодорхойлолтоос үзвэл А матрицын мөрүүд хөрвүүлсэн матрицын баганууд байна.

Жишээ нь
a) b)
A
2
5
3
1
0
4
2−
7
3
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
бол:= A
T
2
1
2−
5
0
7
3
4
3
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:=
A 3 7 0 5( )бол:=
A
T
3
7
0
5
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
Хөрвүүлсэн матриц дараах чанаруудтай байна.
Теорем 1.2
A , B матрицууд k тогтмол тоо бол:
(i) (A
T
)=A
(ii) (A+B)= A
T
B
T
+
(iii) (AB)= A
T
B
T
⋅
(iiii) (kA)=kA
T
(i) ба (ii) чанарыг төгсгөлөг тооны матрицуудын хувьд хэрэглэж болно.
Жишээ нь:
(A+B+C) =A
T
B
T
+ C
T
+ ;
(ABC) =C
T
B
T
⋅ A
T
⋅ ;
Лекц№3 Урвуу матриц, уялдсан матриц
Одоо матрицын зарим тусгай хэлбэрүүдийг авч үзье.
• Зөвхөн тэг элементүүдийг агуулсан матрицыг тэг матриц гээд 0-р тэмдэглэнэ.
0
0
0
0
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:= 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
:=
Хэрэв A ба 0 матрицууд ижил хэмжээтэй бол:
A+0=0; A-A=A+(-A)=0
• Хэрэв квадрат матрицын гол диагоналийн дээд талд байх, эсвэл доод талд байх бүх
элементүүд тэгтэй тэнцүү байвал харгалзан дээд доод гурвалжин матриц гэнэ.

1
0
0
0
2
4
0
0
3
2
7
0
4
5
6
8
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
5−
2
1
0
0
3
7
2
0
0
25
4
0
0
0
9
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Доод гурвалжин матриц Дээд гурвалжин матриц
• m х n хэмжээт А матрицын i j≠ байхад aij 0:=
байх матрицыг диагогаль матриц
гэнэ.
Жишээ нь:
6
0
0
0
1−
0
0
0
4
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
• Диагональ матрицын бүх aij элементүүд нь хоорондоо тэнцүү бол энэ матрицыг
скаляр матриц гэнэ. n х n хэмжээт А скаляр матрицын бүх элементүүд нь нэгтэй
тэнцүү бол нэгж матриц гээд I гэж тэмдэглэе.
I
1
0
..
0
0
1
..
0
..
..
..
..
0
0
..
1
⎛⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
• Хэрэв квадрат матрицын хувьд A
T
A:= бол түүнийг тэгш хэмтэй мартиц гэнэ.
өөрөөр хэлбэл бүх i,j –ийн хувьд aij aji:=
байна.
Жишээ нь:
2
3
5
3
4
7
5
7
1
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Лекц№4 Цэгээс хавтгай хүртэлх зай .
Цэгээс хатвгай дээрхи шулуун хүртэлх зай.
М0(x0,y0,z0) цэгээс Ax+By+Cz+D=0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зайг ольё.
(Зураг 2.9)
M0 цэгээс хавтгайд M0N перпендикуляр татья .| M0N|=d гэж тэмдэглэе.Энэ нь бидний
олох зай юм.

Хавтгайн нормаль нь 0 вектортой коллинеар байна.n
r
NM
uuuur
n 0 =
r
⋅ NM
uuuur
± | n
r
| | NM
uuuur
|=± |n
r
|d
0 0| |
| | | |
n NMn NM
d
n n
⋅⋅
= ± =
r uuuuuurr uuuur
r r
(1)нь M0 цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зай олох томъёоны вектор
хэлбэр.Координатаар нь илэрхийлье.N( x1,y1,z1) гэвэл.
0 1 0 1 0 1( ) ( ) ( ) |n NM A x x B y y C z z n d⋅ = − + − + − = ±
r uuuur r
| ;
0 0 0 | |Ax By Cz D n d+ + + = ±
r
;Үүнд 1 1( )D Ax B 1y Cz= − + + ;
0 0 0 0 0 0
2 2 2
| | | |Ax By Cz D Ax By Cz D
d
n A B C
+ + + + + +
= =
+ +
r ;
(2)-нь M0 цэгээс хавтгай хүртэлх зайг координатаар нь олох томъёо Аx +By +C=0
шулуун,түүний гадна орших M(x0,y0) цэг өгөгдсөн гэж үзье .
(Зураг2.10)
M0 цэгээс шулуунд M0N перпендикуляр татья.|M0И|=d гэвэл энэ нь цэгээс шулуун
хүртэлх зай болно. Шулууны нормаль n
r
нь NM
uuuur
векторын колинеар байна.
0 | || | | |n NM n NM n d⋅ = ± ⋅ = ±
r uuuur r uuuur r
Эндээс 0
| |
| |
n NM
d
n
⋅
=
r uuuuur
r
Координатаар нь илэрхийлбэл
0 0
2 2
| |Ax By C
d
A B
+ +
=
+
(3)- нь цэгээс шулуун хүртэлх зайг олох томъёо болно .
Жишээ 1. М(2;0;8) цэгээс 2x-2y+z-6=0 хавтгай хүртэлх зайг ол
Бодолт (2) томёог хэрэглэвэл
2
| 2*2 2*0 8*1 6 | 6
2
34 4 1
d
− + −
= =
+ +
=

Жишээ 2. 3x-y-6=0;-6x+2x-4=0 параллель хоёр шулууны хоорондох зайг ол.
Бодолт {3;1}n =
r
{ 6;2}n = −
r
Энэ хоёр шулууны аль нэг дээр цэг сонгон авъя.Тухайлбал М1(2;0) цэгийг 3х-у-6=0
шулуун дээр авъя.M1(2;0) цэгээс -6x+2y-4=0 шулуун хүртэлх зайг (3)томъёогоор олъё.
| 6 2 2 0 4 | 16 8 4 10
536 4 40 10
d
− ⋅ + ⋅ −
= = =
+
= ;
Лекц№5 Шулуун хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг
Тодорхойлолт 1.5 Шулууны хавтгай дээрх проекцтойгоо үүсгэх өнцгийг шулуун хавтгай
хоёрын хоорондох өнцөг гэнэ.
I: 0 0 0x x y y z z
m n p
− − −
= = ;
P: Ax+By+C=0;
IШулуун хавтгай хоёрыг авч үзье(2.8)
{ ; ; }s m n p= ; { , , }n A B C= ;
∧
s
r
n
r 0
90 φ= −
∧
0| |
cos ( ) cos(90 ) sin
| || |
s n
sn
s n
φ φ
⋅
= = − =
ur r
rr
uuruur тул.
| |
sin
| || |
s n
s n
φ
⋅
=
ur r
uuruur ;
Координатаар илэрхийлж бичвэл :
2 2 2 2 2
| |
sin
Am Bn Cp
m n p A B C
φ
+ +
=
+ + + + 2
Шулуун хавтгай хоёр параллель бол:
Am Bn Cp+ + =0;

Шулуун хавтгай хоёр перпендикуляр бол
A B C
= =
m n p
;
Жишээ 1.
2х-у+2z=0 хавтгай ба
1 2 3
0 1
x y x
1
− − +
= =
−
;
шулууны хоорондох өнцгийг ол .
Бодолт.
.
1 2{2;3;4}; {1;2; 1}
| 2 0 1 ( 1) 2 1| 3 1
sin
3 2 24 4 1 0 1 1
n n
φ
= = −
⋅ + ⋅ − + ⋅
= =
+ + + +
=
;
4
π
φ = ;
Жишээ 2. M0(3;1;5) цэгийг дайрсан 4x-3y+2z-5=0 хавтгайд перпендикуляр шулууны
тэгшитгэл бич .
Бодолт .Шулуун хавтгайд тул хавтгайд нормаль шулууны чиглүүлэгч болно.90o
3 1
4 3
5
2
x y z− − −
= =
−
Лекц№ 7 Шугаман тэгшитгэлийн систем
1. Шугаман тэгшитгэлийн систем
bxaxaxa nn =+++ ...2211
Хэлбэрийн тэгшитгэлийг n хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.
Үүнд: нь тогтмол тоонууд хувьсагчидbaaa n ,,...,, 21 nxxx ,...,, 21
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
( )1
Хэлбэрийн системийг n хувьсагчтай m шугаман тэшитгэлийн систем гэнэ.

Үүнд: -үүд бүгд бодит тоонууд бөгөөд -г системийн коэффициентүүд, -г сул
гишүүд гэнэ.(1) хэлбэрийн системийг
iji ba , jia ib
nm× шугаман систем гэж нэрлэе.
Жишээ
a) б)
⎩
⎨
⎧
−=+
=−
36
1152
21
21
xx
xx
⎩
⎨
⎧
=−+
=+−
726
4352
221
321
xxx
xxx
a) нь систем б) нь22× 32× систем байна.
nxxx ,...,, 21 гэсэн тодорхой эрэмбэлэгдсэн n тоонуудыг (1)-д оруулахад тэгшитгэл
бүрийг адилтгал болгож байвал эдгээрийг системийн шийд гэнэ.
Хэрэв систем ядаж нэг шийдтэй байвал нйицтэй, шийдгүй бол нийцгүй систем
гэнэ.Нийцтэй систем цорын ганц шийдтэй байвал тодорхой , нэгээс илүү шийдтэй байвал
тодорхойгүй гэнэ.(1) системсул гишүүд нь бүгд тэг байвал нэгэн төрлийн систем , ядаж
нэг тэгээс ялгаатай бол нэгэн төрлийн биш систем гэнэ.ib
Жишээ
a) б)
⎩
⎨
⎧
=+
=−
06
052
21
21
xx
xx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
−=−+
=+−
02
46
052
321
221
321
xxx
xxx
xxx
Энд a) нэгэн төрлийн систем б) нэгэн төрлийн биш систем байна.
Хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн систем нь хавтгай дээрхи шулуунуудыг
дүрсэлнэ.Иймд
a) Систем нэг шийдтэй бол шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно.
b) Нийцгүй бол 2 шулуун параллель байна.
c) Төгсгөлгүй олон шийдтэй бол 2 шулуун давхцана.
Тодорхойлолт 1
Ижил хувьсагчтай тэгшитгэлүүдийн 2 системийн шийдүүд нь давхцаж байвал эквивалент
системүүд гэнэ.
Өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлүүдийн системийг дараахи элементар
хувиргалтуудаар түүнтэй эквивалент системд шилжүүлж болно.
i. Аль нэг тэгшитгэлийг тэгээс ялгаатай тогтмол тоогоор үржүүлэх
ii. Системд байгаа тэгшитгэлүүдийн байрыг солих
iii. Нэг тэгшитгэлийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж нөгөө тэгшитгэл дээр нэмэх

Өгөгдсөн системийг эдгээр элементар хувиргалтуудыг ашиглан бодоход хялбар
түүнтэй эквивалент системд шилжүүлж боддог
Хэрэв к-р тэгшитгэлийн эхний (k-1) хувьсагчийн өмнөх бүх коэффициентүүд тэг бөгөөд
-ийн өмнөх коэффициент тэгээс ялгаатай байвалkx ( )nk .,..,1= системийг гурвалжин
хэлбэрт бичигдсэн гэнэ.
Жишээ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−
=+−
2
4
052
3
22
321
x
xx
xxx
Энэ систем гурвалжин хэлбэрт бичигдсэн байна.Ийм гурвалжин хэлбэрт байгаа
Лекц№ 8 Шугаман тэгшитгэлийн систем
Орох анги: 122,123,124
Орох цаг:2цаг
Зорилго:n хувьсагчтай m шугаман тэнгшитгэлийн системийн нийцтэй эсэхийг
тодорхойлж шийдийг олно.
Зорилт: Өгөгдсөн тэгшитгэлийн системийг урвуу матрицын,Крамерийн аргууд ашиглан
бодох
1. Шугаман тэгшитгэлийн систем
bxaxaxa nn =+++ ...2211
Хэлбэрийн тэгшитгэлийг n хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.
Үүнд: нь тогтмол тоонууд хувьсагчидbaaa n ,,...,, 21 nxxx ,...,, 21
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
( )1
Хэлбэрийн системийг n хувьсагчтай m шугаман тэшитгэлийн систем гэнэ.
Үүнд: -үүд бүгд бодит тоонууд бөгөөд -г системийн коэффициентүүд, -г сул
гишүүд гэнэ.(1) хэлбэрийн системийг
iji ba , jia ib
nm× шугаман систем гэж нэрлэе.
Жишээ

a) б)
⎩
⎨
⎧
−=+
=−
36
1152
21
21
xx
xx
⎩
⎨
⎧
=−+
=+−
726
4352
221
321
xxx
xxx
a) нь систем б) нь22× 32× систем байна.
nxxx ,...,, 21 гэсэн тодорхой эрэмбэлэгдсэн n тоонуудыг (1)-д оруулахад тэгшитгэл
бүрийг адилтгал болгож байвал эдгээрийг системийн шийд гэнэ.
Хэрэв систем ядаж нэг шийдтэй байвал нйицтэй, шийдгүй бол нийцгүй систем
гэнэ.Нийцтэй систем цорын ганц шийдтэй байвал тодорхой , нэгээс илүү шийдтэй байвал
тодорхойгүй гэнэ.(1) системсул гишүүд нь бүгд тэг байвал нэгэн төрлийн систем , ядаж
нэг тэгээс ялгаатай бол нэгэн төрлийн биш систем гэнэ.ib
Жишээ
a) б)
⎩
⎨
⎧
=+
=−
06
052
21
21
xx
xx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
−=−+
=+−
02
46
052
321
221
321
xxx
xxx
xxx
Энд a) нэгэн төрлийн систем б) нэгэн төрлийн биш систем байна.
Хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн систем нь хавтгай дээрхи шулуунуудыг
дүрсэлнэ.Иймд
d) Систем нэг шийдтэй бол шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно.
e) Нийцгүй бол 2 шулуун параллель байна.
f) Төгсгөлгүй олон шийдтэй бол 2 шулуун давхцана.
Ижил хувьсагчтай тэгшитгэлүүдийн 2 системийн шийдүүд нь давхцаж байвал эквивалент
системүүд гэнэ.
Өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлүүдийн системийг дараахи элементар
хувиргалтуудаар түүнтэй эквивалент системд шилжүүлж болно.
iv. Аль нэг тэгшитгэлийг тэгээс ялгаатай тогтмол тоогоор үржүүлэх
v. Системд байгаа тэгшитгэлүүдийн байрыг солих
vi. Нэг тэгшитгэлийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж нөгөө тэгшитгэл дээр нэмэх
Өгөгдсөн системийг эдгээр элементар хувиргалтуудыг ашиглан бодоход хялбар
түүнтэй эквивалент системд шилжүүлж боддог

Хэрэв к-р тэгшитгэлийн эхний (k-1) хувьсагчийн өмнөх бүх коэффициентүүд тэг бөгөөд
-ийн өмнөх коэффициент тэгээс ялгаатай байвалkx ( )nk .,..,1= системийг гурвалжин
Жишээ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−
=+−
2
4
052
3
22
321
x
xx
xxx
Энэ систем гурвалжин хэлбэрт бичигдсэн байна.Ийм гурвалжин хэлбэрт байгаа
Лекц№ 9 Цэгээс хатвгай дээрхи шулуун хүртэлх зай.
М0(x0,y0,z0) цэгээс Ax+By+Cz+D=0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зайг ольё.
(Зураг 2.9)
M0 цэгээс хавтгайд M0N перпендикуляр татья .| M0N|=d гэж тэмдэглэе.Энэ нь бидний
олох зай юм.
Хавтгайн нормаль нь 0 вектортой коллинеар байна.n
r
NM
uuuur
n 0 =
r
⋅ NM
uuuur
± | n
r
| | NM
uuuur
|=± |n
r
|d
0 0| |
| | | |
n NMn NM
d
n n
⋅⋅
= ± =
r uuuuuurr uuuur
r r
(1)нь M0 цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зай олох томъёоны вектор
хэлбэр.Координатаар нь илэрхийлье.N( x1,y1,z1) гэвэл.
0 1 0 1 0 1( ) ( ) ( ) | |n NM A x x B y y C z z n d⋅ = − + − + − = ±
r uuuur r
;
0 0 0 | |Ax By Cz D n d+ + + = ±
r
;Үүнд 1 1( )D Ax B 1y Cz= − + + ;
0 0 0 0 0 0
2 2 2
| | | |Ax By Cz D Ax By Cz D
d
n A B C
+ + + + + +
= =
+ +
r ;
(2)-нь M0 цэгээс хавтгай хүртэлх зайг координатаар нь олох томъёо Аx +By +C=0
шулуун,түүний гадна орших M(x0,y0) цэг өгөгдсөн гэж үзье .

(Зураг2.10)
M0 цэгээс шулуунд M0N перпендикуляр татья.|M0И|=d гэвэл энэ нь цэгээс шулуун
хүртэлх зай болно. Шулууны нормаль n
r
нь NM
uuuur
векторын колинеар байна.
0 | || | | |n NM n NM n d⋅ = ± ⋅ = ±
r uuuur r uuuur r
Эндээс 0
| |
| |
n NM
d
n
⋅
=
r uuuuur
r
Координатаар нь илэрхийлбэл
0 0
2 2
| |Ax By C
d
A B
+ +
=
+
(3)- нь цэгээс шулуун хүртэлх зайг олох томъёо болно .
Жишээ 1. М(2;0;8) цэгээс 2x-2y+z-6=0 хавтгай хүртэлх зайг ол
Бодолт (2) томёог хэрэглэвэл
2
| 2*2 2*0 8*1 6 | 6
2
34 4 1
d
− + −
= =
+ +
=
Жишээ 2. 3x-y-6=0;-6x+2x-4=0 параллель хоёр шулууны хоорондох зайг ол.
Бодолт {3;1}n =
r
{ 6;2}n = −
r
Энэ хоёр шулууны аль нэг дээр цэг сонгон авъя.Тухайлбал М1(2;0) цэгийг 3х-у-6=0
шулуун дээр авъя.M1(2;0) цэгээс -6x+2y-4=0 шулуун хүртэлх зайг (3)томъёогоор олъё.
| 6 2 2 0 4 | 16 8 4 10
536 4 40 10
d
− ⋅ + ⋅ −
= = =
+
= ;
1.7 Шулуун хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг
Тодорхойлолт 1.5 Шулууны хавтгай дээрх проекцтойгоо үүсгэх өнцгийг шулуун хавтгай
хоёрын хоорондох өнцөг гэнэ.

I: 0 0 0x x y y z z
m n p
− − −
= = ;
P: Ax+By+C=0;
IШулуун хавтгай хоёрыг авч үзье(2.8)
{ ; ; }s m n p= ; { , , }n A B C= ;
∧
s
r
n
r 0
90 φ= −
∧
0| |
cos ( ) cos(90 ) sin
| || |
s n
sn
s n
φ φ
⋅
= = − =
ur r
rr
uuruur тул.
| |
sin
| || |
s n
s n
φ
⋅
=
ur r
uuruur ;
Координатаар илэрхийлж бичвэл :
2 2 2 2 2
| |
sin
Am Bn Cp
m n p A B C
φ
+ +
=
+ + + + 2
Шулуун хавтгай хоёр параллель бол:
Am Bn Cp+ + =0;
Шулуун хавтгай хоёр перпендикуляр бол
A B C
m n p
= = ;
Жишээ 1.
2х-у+2z=0 хавтгай ба
1 2 3
0 1
x y x
1
− − +
= =
−
;
шулууны хоорондох өнцгийг ол .

Бодолт.
.
1 2{2;3;4}; {1;2; 1}
| 2 0 1 ( 1) 2 1| 3 1
3 2 24 4 1 0 1 1
φ
⋅ + ⋅ − + ⋅
= = =
+ + + +
sin
;
n n= = −
4
π
φ = ;
Жишээ 2. M0(3;1;5) цэгийг дайрсан 4x-3y+2z-5=0 хавтгайд перпендикуляр шулууны
тэгшитгэл бич .
Бодолт .Шулуун хавтгайд тул хавтгайд нормаль шулууны чиглүүлэгч болно.90o
3 1
4 3
5
2
x y z− − −
= =
−
;
Лекц №10 Туйлын координат
Хугацаа,температур,энерги гэх мэт хэмжигдэхүүнүүд нь зөвхөн тоон утгаараа
тодорхойлогддог.Ийм хамжигдэхүүнийг скаляр хэмжигдэхүүн гэнэ.Харин
хүч,хурд,хурдатгал зэрэг хэмжигдэхүүнүүд тоон утга болон чиглэлээрээ
тодорхойлогддог.Ийм хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэнэ.Вектор
хэмжигдэхүүн нь вектороор бүрэн тодорхойлогдоно.
Чиглэлт хэрчмийг вектор гэнэ.Иймд вектор тодорхой урттай нэгийг нь эхлэл,нөгөөг нь
төгсгөл болгож авсан хэрчим байна.Хэрэв А эхлэл,В төгсгөл бол ьекторыг ВА
r
тэмдэглэнэ.
Векторын уртыг модуль гэнэ.Векторын модулийг ВА
r
, а
r
гэж тэмдэглэнэ.Урт нь тэгтэй
тэнцүү векторыг тэг вектор гээд 0
r
-оор тэмдэглэнэ.Тэг вектор тодорхой чиглэлгүй.
Хоёр векторын уртууд нь тэнцүү,чиглэл нь ижил байвал тэнцүү векторууд гэнэ.Өөртэй
нь параллель шилжүүлж болох векторуудыг чөлөөт вектор гэнэ.Тэгээс ялгаатай дурын
вектор бүрийн хувьд модуль нь векторын модультай тэнцүү,чиглэл нь эсрэг байх векторыг
тэр векторын эсрэг вектор гэнэ. ВА
r
векторын эсрэг векторыг - ВА
r

Нэг шулуун дээр буюу параллель шулуун дээр байх векторуудыг коллинеар векторууд
гэнэ.
Векторуудыг нэмэх,хасах,тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг вектор дээрх шугаман үйлдэл
гэж нэрлэдэг.
Векторуудыг нэмэх,хасах
Дурын ба векторыг авч үзье.0 цэг авч энэ цэг дээр эхтэйа
r
b
r
а
r
= ,В цэгт эхтэйBO
r
b
r
= CB
r
.векторуудыг байгуулж 0-г С-тэй холбоход үүсэх CO
r
векторыг энэ хоёр векторын
нийлбэр вектор гэнэ.
Энэ нийлбэр векторыг өөр аргар гаргаж авч болно.Тухайлбал,0 цэгээс =аCO
r r
вектор,
= векторыг байгуулж эдгээр векторуудаар тала хийсэн параллелограмм байгуулахад
эдгээр текторуудын нийлбэр тектор болно.
BO
r
DO
r
b
r
а
r
+b
r
=b
r
+ /Байр солих хууль/ .Векторыг нэмэх сүүлчийн дүрмийг векторыг нэмэх
параграммын дүрэм гэнэ.
а
r
а
r
,b
r
, дурын гурван вектор өгөгдсөн үед эдгээрийгс
r
а
r
+b
r
олж,дараа нь а
r
+b
r
ба с
r
нийлбэрийг олно.Төгсгөлөг тооны векторуудыг нэмэх цэгээс эхний векторыг байгуулж
түүний төгсгөлөөс дараагийн векторыг залгуулах замар бүх векторыг байгуулж анхны
векторын энэ төгсгөлийн векторын төгсгөлтэй холбоход үүсэх тектор нь тэдгээрийн
нийлбэр болно.
а
r
ба b
r
вектор өгөгдсөн байг.Хасагч вектор дээр нэмэхэд хасах вектор гарах векторыг
эдгээрийн ялгавар вектор гэнэ.
Векторуудыг тоогоор үржүүлэх
а
r
дурын вектор , R∈∀λ бодит тоо байг.
1. ac
rr
λ=
2.хэрэв λ >0 бол гийн эсрэг чиглэлтэй байха
r
с
r
векторыг а
r
векторыг λ тоогоор
үржүүлсэн үржвэр гэнэ.

Жишээ нь Энэ тодорхойлолтоос -а
r
=(-1) а
r
гэж үзэж болно.Векторыг тоогоор үржүүлэх
үйлдлийн тодорхойлолтоос үзэхэд хоёр векторын коллинеар байх нөхцөл b
r
=λ а
r
Вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй.
а
r
+b
r
=b
r
+ /байр солих/а
r
(а+
r
b
r
)+ = +(с
r
а
r
b
r
+ ) /хэсэглэн нэгтгэх/с
r
а
r
+ =o
r
а
r
а
r
+(- )=а
r
o
r
λ ( +а
r
b
r
)=λ b
r
+λ а
r
λ R∈
(λ 1+λ 2) а=
r
λ 1 а+
r
λ 2 а
r
λ 1 λ 2 R∈
λ 1(λ 2 а)=(
r
λ 1 λ 2) а
r
λ 1 λ 2 R∈
1а=
r
а
r
Урт нь нэгтэй тэнцүү векторыг нэгж вектор гэнэ. а
r
векторын хувьд урт нь нэгтэй тэнцүү
тай ижил чиглэлтэй векторыга
r
а
r
-ийн нэгж вектор буюу орт гээд а-0
гэж тэмдэглэе.
Векторыг тоогоор үржүүлэх тодорхойлолтоос а
r
=а0
а
r
болно.
Лекц№11 Векторуудын шугаман хамаарал.Сууръ вектор
Векторуудын харилцан байршилыг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн хоорондын шугаман
хамаарал гэдэг ойлголтыг оруулж ирдэг.
λ1ē1+λ2ē2+...+λnēn=0 (1)
тэнцэтгэл λ1=λ2=….=λn=0 байхад биелэгдэж байвал ē1, ē2ь…ēn векторуудыг шугаман
хамааралгүй векторууд гэнэ. Хэрэв λ1 λ2….λn тоонууд ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай байхад
(1) биелэгдэж байвал ē1, ē2ь…ēn векторуудыг шугаман хамааралтай векторууд гэнэ. (1)
тэнцэтгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг ē1, ē2…ēn векторуудын шугаман эвлүүлэг
Хэрэв өгөгдсөн векторууд шугаман хамааралтай байвал ядаж нэг векторыг нь нөгөө
векторуудынх нь шугаман эвлүүлэгт бичиж болно.

Учир нь (1) тэнцэтгэлээс λn ≠ 0 гэвэл
ne
r
=-
nλ
λ1
1e
r
- 1
1
2
2
... −
−
−− n
n
n
n
ee
rr
λ
λ
λ
λ
- i
n
i
μ
λ
λ
= (i=1…n-1) гэж тэмдэглэвэл
112211 ... −−+++= nnn eeee μμμ
rrr
Хавтгай болон огторгуй дахь векторуудын шугаман хамарлыг авч үзье.
Теорем 2.1
Хавтгай дээрх дурын гурван вектор шугаман хамааралтай байна.
Баталгаа. Хавтгай дээр ē1, ē2 ē3 гэсэн дурын гурван векторыг авч үзье.
Аль нэг хоёр нь тухайлбал ē1, ē2 нь коллинер байг.Тэгвэл ē1= λ2ē2 тул
ē1= λ2ē2+0 ē3 болж ē1, ē2 ē3 шугаман хамааралтай болно.
Эдгээр векторуудын аль ч хоёр нь коллинер биш байг.Энэ гурван векторыг ерөнхий нэг
эхтэй болгоё.
ē1 векторыг ē2 ē3 векторуудтай коллинеар векторуудын нийлбэрт бичиж болно гэдгийг
харуулья. ē1 векторын төгсгөлийг дайруулан ē2 ē3 векторуудыг дайрсан шулуунуудтай ог
тлолцтол ē2 ба ē3 –тай параллель шулуунууд татья.
Тэгвэл = 1+ 2 болно.Үүнд ОМ1= λ1 ē2 ,МО
r
МО
r
МО
r
МО
r
= λ2 ē3 тул ē1= λ1ē2+ λ2 ē3 болно.
Нэг хавтгай дээр орших эсвэл нэг хавтгайтай параллель векторуудыг компланар
векторууд гэнэ.
Теорем 2.2
Огторгуй дахь дурын дөрвөн вектор шуга ман хамаралтай байна.

Баталгаа: Дарах тохиолдлуудыг авч үзье.
ē1, ē2 ē3 ē4 векторуудын аль нэг гурав нь тухайлбал ē1, ē2 ē3 век торууд компланар
байг.Өмнө баьалсан 2.1 теорем ёсоор аль нэг вектор тухайлбал ē1= λ1ē2+ λ2 ē3 болно.Тэгвэл
ē1= λ1ē2+ λ2 ē3+0 ē4 байна.
Эдгээр векторуудыэ дотор компланар векторууд байхгүй байг.Эдгээр векторуудыг нэг
ерөнхий эхтэй болгоё. ē1 векторын төгсгөлийн цэгийг дайруулан (ē2 ē3) (ē3 ē4) (ē2 ē3)
векторуудаар тодорхойлогдож байгаа хавтгайнуудтай параллель хавтгайнууд татья.Эдгээр
хавтгайнуудын ē2 ē3 ē4 векьоруудыг дайрсан шулуунуудтай огтлолцсон цэгүүдийг М2 М3
М4 гэе. ОМ1 = ē1 нь параллелопипедийн диогналь болно.
МО
r
1 = 2+МО
r
М
r
2Q+Q М
r
1
Үүнд МО
r
2= λ1ē2 М
r
2Q = λ2 ē3 Q М
r
1 = λ3 ē4 тул
ē1= λ1ē2+ λ2 ē3+ λ3 ē4
2.1 ба 2.2 теоремуудаас хавтгай дээрх шугаман хамааралгүй векторын хамгийн их тоо
хоёр огторгуй дахь шугаман хамааралгүй векторын хамгийн их тоо гурав болохыг
хялбархан харж болно.
Хавтгай дээрх шугаман хамааралгүй дурын хоёр векторыг хавтгайн суурь вектор гэнэ.
Хэрэв ē1, ē2 векторууд хавтгайн суурь векторууд бөгөөд ā дурын вектор бол 2.1 теорем
ёсоор эдгээр гурван вектор шугаман хамааралтай тул ā вектор суурь векторуудаар
шугаман илэрхийлэгдэнэ.
ā = λ1ē1+λ2ē2 (2)
Хэрэв хавтгайн дурын ā вектор (2) хэлбэрт бичигдэж байвал ē1, ē2 суурь векторуудаар
задалж бичсэн задаргаа гэнэ. λ1,λ2 тоог ā векторын аффин координат гэнэ. ā ={ λ1,λ2 } гэж

Тодорхойлолт 2.4 Огторгуй дахь шугаман хамааралгүй дурын гурван векторыг огторгуйн
суурь вектор гэнэ.
Хэрэв ē1, ē2 ē3 огторгуйн суурь векторууд бөгөөд ā дурын вектор бол 2.2 теорем ёсоор
ā = λ1ē1+λ2ē2+λ3ē3 (3) болно.
λ1,λ2 λ3 тоог ā векторын аффин координат гэнэ.
ā ={ λ1,λ2 λ3 } гэж тэмдэглэнэ.Дээр дурьдсан (2) ба (3) задаргаа нэг утгатай байна.
Лекц№12 Векторын тэнхлэг дээрх проекц,түүний чанар
ā ба хоёр вектор байг.Эдгээрийг нэг эхтэй болгоё. Эдгээрийг нэг эхтэй болгоё.Нэг
векторыг нь нөгөө тектортой давхцтал нь эргүүлэхэд үүсэх хамгийн бага эргэлтийн
өнцгийг энэ хоёр векторын хоорондох өнцөг гэнэ.Уг өнцгийг φ гэвэл 0≤ φ≤
b
r
π .
Огторгуйд дурын байрлалтай байх l
r
тэнхлэг ВА
r
векторыг авч үзье.А ба В цэгийн
тэнхлэг дээрх проекцыг А1В1 гэе.е
r
Тодорхойлолт 2.5 А1В1 хэрчмийн уртыг нэмэх хасах тэмдэгтэйгээр авсныг е
r
тэнхлэг
дээрх ВА
r
-ийн проекц гэнэ.
Үүнийг npе
r
ВА
r
гэж тэмдэглэе.Хэрэв А1В1 –ийн чиглэл е
r
-ийн чиглэлтэй давхцаж байвал
проекц эерэг, А1В1 –ийн чиглэл е
r
-ийн эсрэг бол проекц сөрөг байна.Энэ тодорхойлолтоос
үзвэл npе
r
ВА
r
= ВА
r
cos φ
Энд φ нь тэнхлэге
r
ВА
r
векторын хоорондох өнцөг.Проекцын хувьд дараах чанарууд
хүчинтэй.
npе ( )= np + np
r
ba
rr
+ е
r
a
r
е
r
b
r
npе λ =λ npе
r
a
r r
a
r
R∈∀λ
Эдгээр чанарыг проекцын тодорхойлолтоос хялбархан баталж болно.Жишээ болгож I
чанарыг баталья.
Баталгаа: =b + c байг.a
r r r
ВА
r
= a
r
CB
r
=b
r
CA
r
= c
v npе
r
c
v =A1C1
npе = А1В1 npе =B1C1 A1C1= А1В1 + B1C1 тул
r
a
r r
b
r

npе =np +np хүчинтэй.
r
c
v
е
r
a
r
е
r
b
r
Декартын тэгш өнцөгт суурь.Векторыг координатын тэнхлэгүүд дагуух байгуулагчаар
задлах
Оxyz тэгш өнцөгт декартын координатын системд абсцисс ординат аппликат тэнхлэгүүд
дээр эерэг чиглэлийн дагуу чиглэлтэй 1=== kji ортуудыг авч үзье.Эдгээр гурван
вектор нь харилцан перпендикуляр ортууд байна.Энэ гурван вектор нь декөртын
ортогональ суурь болно..Огторгуйд дурын a
r
вектор авч үзье.
Энэ векторыг өөртэй нь параллелтараар зөөн эхлэлийг нь координатын эхтэй давхцуулж
= векторыг байгуулья.a
r
МО
r
МО
r
векторын төгсгөлийг дайруулан координатын
хавтгайнуудтай параллель хавтгайнууд татвал тэгш өнцөгт параллелопипед үүснэ. МО
r
нь түүний диогналь бална.
МО
r
= 1+МО
r
М
r
1Q+Q М
r
үүнд
МО
r
= 1= np ia
r
МО
r
е
r
a
r
МО
r
2= npе
r
a
r
j МО
r
3= npе
r
a
r
k
МО
r
2= М
r
1Q Q М
r
= 3 мөнМО
r
npе =x np =y npе
r
a
r
е
r
a
r r
a
r
=z гэж тэмдэглэвэл
a
r
=x (1)kzjyi
rrr
++
томъёог вщкторыг декартын ортогональ сууриар задалсан задаргаа гэнэ.Эсвэл векторыг
координатын тэнхлэгүүдийн дагуух байгуулагчаар задалсан томьео гэж нэрлэдэг. (1)
томьеонд байгаа x,y,z нь векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд
юм.Үүнийг ={x,y,z} гэж тэмдэглэе.x,y,z-г
a
r
a
r
a
r
a
r
-ийн декартын тэгш өнцөгт
координатууд гэнэ.Хавтгай дээрх векторуудын олонлогийг R3
гэж
тэмдэглэе.Координатаараа өгөгдсөн векторууд дээрх шугаман үйлдлүүд нь тэдгээрийн
координатууд дээрх үйлдлүүдэд шилжинэ.
Тодорхойлолт 2.6 a
r
={x1 y1} b
r
={x2y2} a
r
,b
r
∈ R2
1. +b={ x1+ x2, y1+ y2}a
r r
2.λ a
r
={λ x1, λ x2}

3.Зөвхөн x1= x2, y1= y2 байхад =a
r
b
r
Тодорхойлолт 2.7 ={ x1 y1 z1} ba
r r
={ x2 y2 z2} a
r
,b
r
∈ R3
1. +b={ x1+ x2, y1+ y2, z1+z2}a
r r
2. .λ a
r
={λ x1, λ y2 λ z1}
3. Зөвхөн x1= x2, y1= y2 z1= z2 байхад a
r
= b
r
Тэг векторыг хавтгай дээр болон огторгуйд О
r
={0:0} О
r
={0:0:0} гэж тодорхойлно.Хавтгай
дээр болон огторгуйд өгөгдсөн векторын урт харгалзан
222 zyxа ++=
r
22 yxа +=
r
томъёогоор тодорхойлогдоно.
x= np =е
r
a
r
αcos
y= np =е
r
a
r
βcos (2)
z= npе =
r
a
r
γcos
γβα ,, нь векторын координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцгүүд.a
r
cos
222
zyx
x
a
x
++
== rα
cos
222
zyx
y
a
y
++
== rβ
cos
222
zyx
z
a
z
++
== rγ (3)
cos γβα cos,cos, -аар -ийн чиглүүлэгч косинусууд гэнэ.a
r
(3)-аас cos2 12cos2cos =++ γβα болно.Иймд а0
r
гэсэн a
r
-ийн нэгж векторын координаэтын
тэнхлэгүүд дээрх проекц нь түүний чиглүүлэгч косинусуудтай давхцана.Өөрөөр хэлбэл
а0 ={ cos
r
γβα cos,cos, }

Хоёр вектор коллинеар байх нөхцлийг координатуудараа өгөгдсөн векторуудын хувьд авч
үзье.
a
r
={ x1 y1 z1} b
r
={ x2 y2 z2}
байг. =a
r
λ b
r
гэсэн коллинеар байх нөхцлөөс
x1=λ x2 y1=λ y2 z1=λ z2 эндээс
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
== болно.
2. Туйлын координат
Хавтгаөй дээр туйлын координатын системийг дараах байдлаар тодорхойлъё.Хавтгай дээр
туйл гэж нэрлэгдэх ямар нэг 0 цэг авч энэ цэгээс туйлын тэнхлэг гэж нэрлэгдэх цацраг
татъя.
Хавтгай дээрх Р цэг бүхэн (r,ө) гэсэн туйлын координатаар тодорхойлогдоно.
Энд. R-туйлаас Р цэг хүртэлх зай
ө-ОР хэрчим ьуйлын тэнхлэг хоёрын хоорондох өнцөг
Хэрэв өнуөг туйлын тэнхлэгийг цагийн зүүний хөдөлгөөний эсрэг ОР хэрчимтэй
довхацтал эргүүлэхэд үүсч байвал эерэг өнцөг,эсрэг тохиолдолд сөрөг өнцөг гэж үзнэ.
Туйлын координатын системд цэгийг туйл дээр төвтэй тойрог,туйлаас гарсан цацрагийн
огтлолцлолд үүсэх цэг гэж болно.
Жишээ 1. )
6
11
,2(),
6
,3(),
4
,4(
πππ
− цэгүүдийг туйлын каардинатын системд байрлуулъя.
Энд (3,π/6), цэгийг байгуулахад өнцөг цагийн зүүний хөдөлгөөний дагуу
тоологдоно.(2,11π/6) цэгийг байгуулахад 11π/6 өнцөг -π/6 өнцөгтэй давхцана.
Эндээс үзвэл туйлын координатын системд (r,ө) ба (r,ө+2πn) къоординатууд нь нэг ижил
цэгийг тодорхойлно.Зөвхөн 0<r<∞ ,0≤ ө<2π буюу -π<ө π≤ байхад туйлаас ялгаатай
хавтгайн цэг , (r,ө) туйлын координатуудын хооронд харилцан нэг утгатай харгалзаа
тогтоогдоно.
Одоо туйлын координат,тэгш өнцөнгт координатын холбоог овч үзье.

Үүний тулд координатын системүүдийг дараах байдлаар авья.
Дараах харьцаа биелэдэг.
x=r cos ө y=r sin ө r2=x2
+y2
tgө=
x
y
Каардиодыни тэгшитгэл r=a(1+cos ө)
Туйлын координатуудын хувьд r ≤≥ 0,0 ө<2π буюу (-π<ө≤ π) байх нь нилээд хатуу
шаардлага тул заримдаа туйлын өргөтгөсөн координат гэж нэрлэдэг.
Туйлын өргөтгөсөн координатын системд Р(r,ө) цэгийг байгуулахдаа туйлын тэнхлэгтэй ө
өнцөг үүсгэх цацрагийг байгуулж , хэрэв r>0 бол энэ цацраг дээр r-ээр хэмжиж авна.Хэрэв
r<0 бол энэ цацарагийн үргэлжлэл дээр r-ээр хэмжиж авна.
Жишээ 5. Р(-4, π/3) цэгийг багуул.
Туйлын өргөтгөсөн координат нь туйлын координат дахь тэгшитгэлээрээ өгөгдсөн
шугамын грофикийг байгуулахад өргөн ашигладаг.
Лекц№13 Конус огтлолын тэгшитгэлийг хялбар
Координатын тэнхлэгүүдийн параллель зөөлт А
тэгшитгэлийн график
022
=++++ FEyDxCyx
Өгөдсөн координатын системд Р цэг (x,y) координаттай байг.(h,k) цэг дээр координатын
эх нь байх тэнхлэгийн чиглэлүүд нь өгөглсөн системийн тэнхлэгүүдтэй ижил чиглэлтэй
байх координатын системийг авч үзье.
hxx −=′ ба kyy −=′ (1)
Эсвэл
hxx +′= ба kyy +′= (2)
(1) томьёо нь шинэ координатын систем дахь Р цэгийн координатыг хуучин координатаар
илэрхийлсэн томьёо болно.
Жишээ 1.
(2,8) цэгт фокустай y=2 директристэй параболын тэгшитгэл бич.

Бодолт.
yx′ ′′ системийг авч үзье.(2,5) цэгт координатын эх нь байх О
Энэ координатын системд параболын тэгшитгэл хялбар хэлбэртээ бичигдэнэ.
Өөрөөр хэлбэл ( ) тул6,2
2
=′=′ pypx ( ) yx ′=′ 12
2
болно.(1) томьёог ашиглавал
( ) ( )5122
2
−=− yx (3)
(3) тэгшитгэл нь Оху координатын систем дэх параболын тэгшитгэл (3)-г дараах
хэлбэртэй бичиж болно.
12
6442
+−
=
xx
y
Жишээ 2.
0584 22
=−−+− yyxx тэгшитгэлийн график байгуул.
Бодолт.
Өгөдсөн тэгшитгэлээс х,у-ийн хувьд бүтэн квадрат ялгая.
( ) ( ) 0516442584
2222
=−−−−+−=−−+− yxyyxx
( ) ( ) 2542
22
=−+− yx (4)
yyxx ′=−′=− 4;2 гэвэл
2522
=′+′ yx (5)
(5) тэгшитгэл нь (2;4) цэгт координатын эхтэй yx ′′ систем дахь тойргийн тэгшитгэл
2-р жишээнд өгсөн тэгшитгэлийг хувиргасан арга нь
тэгшитгэлийг хувиргахад түүний график нь конус огтлол (хаасан,эсвэл давхацсан,эстэл
огтлолцсон хоёр шулуун байж болно)эсвэл параллель хоёр шулуун байна.
022
=++++ FEyDxCyAx
Жишээ 3.
012424 22
=−++− yyxx тэгшитгэлийг конус огтлол болохыг харуулж графикийг
байгуул.
Бодолт.

( ) ( )
( ) ( )
yyxx
yx
yx
′=+′=−
=
+
+
−
=++−
1;2
1
2
1
4
2
122
22
22
4
(6)
Гэвэл (6) тэгшитгэл (2;-1) цэгт координатын эхтэй О yx ′′′ координатын систем авхад
( ) ( ) 1
24
22
=
′
+
′ yx
Элипсийн хялбар тэгшитгэл гарна.
( ) ( )
( ) ( )1;22;1;22
;0;2;0;2
2;224
21
21
222
−+−−
′−′
==−=−=
FF
OxyFF
cbac
системд
Лекц№14 Тэнхлэгийг эргүүлэх . 022
=+++++ FEyDxCyBxyAx
тэгшитгэлийн график
Энэ хэсэгт тэгшитгэлээр тодорхойлогдох конус
огтлолын графикийг авч үзье.(шулуун,параллель шулуун,хоосон олонлог байх
тохиолдлууд байж болно.) тэгшитгэлийг координатын
системийг хувиргаж Вху гишүүнийг зайлуулж өмнө үзсэн
хэлбэрийн тэгшитгэлд шилжүүлж болно.
022
=+++++ FEyDxCyBxyAx
22
+++ DxCyBxyAx 0=++ FEy
022
=++++ FEyDxCyAx
Өгөгдсөн координатын системд Р цэгийн координат (x,y) байг.Өгөгдсөн координатын
системтэй ерөнхий координатын эхтэй түүний тэнхлэгүүдийг θ
өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх координатын системийг авч үзье.yxO ′′
Тэгвэл координатын системд Р цэгийн (yxO ′′ yx ′′ ) координатууд ямар байх вэ? Гэдгийг
авч үзье.Үүний тулд дарах зургийг авч үзье.
θθθθ sincossincos yxAPOACPOBBQOBx +=+=+=+=′
θθθθ sincossincos xyOAAPABACy −=−=−=′
Иймд

⎩
⎨
⎧
+−=′
+=′
θθ
θθ
sinsin
sincos
yxy
yxx
(1)
yx ′′, тэнхлэгүүдийг х,у тэнхлэгийг координатын эхийг дайруулж θ− өнцгөөр эргүүлэхэд
үүссэн х,у-г тэнхлэгүүдийг координатын эхийг тойруулжyx ′′, θ өнцгөөр эргүүлэхэд
үүссэн гэж үзэж болно. (1) төмьёоноос
( ) ( )
( ) ( )⎩
⎨
⎧
−′+−′−=
−′+−′=
θθ
θθ
cossin
sincos
yxy
yxx
Эсвэл
⎩
⎨
⎧
′+′=
′−′=
θ
θ
cossin
sincos
yxy
yxx
θ
θ
(2)
(1),(2) томьёонууд нь тэгшитгэлийг хялбарчилах гол
томьёо болно.
022
=+++++ FEyDxCyBxyAx
Жишээ 1.
хy=1-ийн тэгшитгэлийг Оху координатын системийг -аар эргүүлэхэд үүсэх
координатын системд бич.
o
45
Бодолт.
Оху-д ху=1-ийн график
(2)-г ашиглаж х,у-г олъё.
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
′+′=
′−′=
oo
oo
45cos45sin
45sin45cos
yxy
yxx
буюу
( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′+′=
′−′=
yxy
yxx
2
2
2
2
(3)
(3)-ийг өгөгдсөн тэгшитгэл орлуулбал
( ) ( ) 1
2
2
2
2
=′+′′−′ yxух эсвэл
( ) ( ) 2
22
=′−′ yx (4)
(4) тэгшитгэл фокус нь тэнхлэг дээр байх гиперболын тэгшитгэл.х′

(4) –г дараах хэлбэрт бичье.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ⎟
⎠
⎜
⎝
−− 2;2;2;2 21 FF ⎞⎛
−
−′′′=+===
=
′
−
′
;0;2;0;2
;2;2
1
22
21
22
2
2
2
2
OxyFF
дyxObacba
yx
фокусууд нь (5)
болно.
(1) жишээнд координатын системийг эргүүлэхэд үүсэх координатын системдo
45 yx ′′,
үржвэрийг агуулаагүй тэгшитгэл гарлаа.Үүнээс үндэслэн
тэгшитгэлээс Вху гишүүнийг координатын тэнхлэгийг
эргүүлэх замаар зайлуулж болно.
022
=+++++ FEyDxCyBxyAx
022
=+++++ FEyDxCyBxyAx (6)
Тэгшитгэлд (2) орлуулгыг хийж,зохих хутиргалт хийсний дүнд
( ) ( ) 0
22
=′+′′+′′+′′+′′′+′′ FyExDyCyxBxA (7)
Хэлбэрт шилжүүлж болно.Энэ алгебрын хувиргалтыг уншигчид өөрсдөө хийж үзэж
болно.
FEDCBA ′′′′′′ ,, коэффициентуудаас бидний сонирхож байга нь В′ бөгөөд В′ -г тэг болгох
θ өнцгийг олъё.
( ) ( )θθθθ 22
sincoscossin2 −+−=′ BACB
(8)
Болохыг харж болно.
Эсвэл ( ) 0;2cos2sin =′+−=′ BBACB θθ гэвэл
CA
B
−
=
θ
θ
2cos
2sin
буюу
CA
B
tg
−
=θ2 (9)

θ -г (9) томьёогоор сонгон авбал (7) нь дарах хэлбэрт шилжинэ.
( ) ( ) 0
22
=′+′′+′′+′′+′′ FyExDyCxA (10)
(10) тэгшитгэлийг хувиргахын өмнөх зүйлд үзсэн.
(6) тэгшитгэлийг хувиргахад дараах хувиргалтуудыг хийнэ.
1. θ2tg олно.
2. θ2cos олно.
3.
2
2cos1
2sin
θ
θ
−
ба
2
2cos1
cos
θ
θ
+
= олно.
4. (2) хувиргалтыг хэрэглэнэ.
Координатын системийг эргүүлэх хувиргалт хийхэд (6) тэгшитгэлийн зарим
коэффициентүүд өөрчлөгдөхгүй үлддэг.
Үүнийг эргүүлэх хувиргалтын инвариантууд гэнэ.
Теорем 2.1
Координатын тэнхлэгийг эргүүлэхэд
022
=+++++ FEyDxCyBxyAx тэгшитгэл ( ) ( ) 0
22
=′+′′+′′+′′+′′ FyExDyCxA
тэгшитгэлд шилжинэ.
Эргүүлэлт дараах инвариантуудтай бана.
( ) CAABACB
CACA
FF
′′−′=−
′+′=+
′=
22
.3
.2
.1
Энэ теаретын (3)-д байгаа тул болно.Энэ хэмжигдэхүүнийг
тэгшитгэлийн дискриминант гэнэ.
0=′В
++ Ey
CAACB ′′−=− 442
022
=+++ FDxCyBxyAx
Теорем 2.2

( ) ( ) 0
22
=′+′′+′′+′′+′′ FyExDyCxA тэгшитгэлийн график дараах хэлбэрүүдийн аль нэг нь
байна.
1. бол тойрогСА ′=′
2. бол параболь( )000 =′=′=′′ СэсвэлАСА
3. бол эллипслэг0fСА ′′
4. бол гиперболлог0pСА ′′
Лекц№13 Шулуун дээрх векторын систем
Бодит тоог дүрслэхийн тулд тоон шулуун гэж нэрлэх координатын системийг авч
үзье.Шулуун дээр тодорхой чиглэл,ямар нэг цэгийг сонгож авч үзье.Энэ чиглэлээ эерэг
чиглэл гээд сумаар зааж цэгээ тоолын эх гээд 0-р тэмдэглэнэ.Бас хэмжих нэгж өгөгдсөн
гэж үзье.Э
энэ шулууныг тоон тэнхлэг буюу шулуун дээрх координатын систем гэнэ.Хэрэв бодит
тоош х эерэг бол эерэг чиглэлд координатын эхээс х зайд байх цэгээр дүрслэгдэнэ.Харин х
нь сөрөг бол сөрөг чиглэлд –х зайд байх цэгээр дүрслэгдэнэ.Тэг координатын эх 0 цэгээр
тодорхойлогдоно.х бодит тоог энэ тоог дүрсэлж байгаа М цэгийн координат гээд М(х)
гэж тэмдэглэнэ.Тоон шулууны тусламжтайгаар бодит тоо болгонд шулууны нэг цэгийг
мөн шулууны цэг бүрт нэг бодит тоог харгалзуулна.Ийнхүү бүх бодит тоо болон тоон
шулууны хооронд харилцан нэг утгатай харгалзаа тогтоож болна.
Шулуун дээр байх ялгаатай М1(x1),M2(x2) хоёр цэгийн хоорондох зай дараах томъёогоор
тодорхойлогдоно.
d= 2
1212 )( xxxx −=−
Жишээ 1 М1(-4) M2(3) цэгүүдийн хоорондох зайг ол
d= 2
1212 )( xxxx −=− = 7)4(3 =−−
Жишээ 2 M1(-15) M2(-5)
d= 10)15(5 =−−−

Хавтгай дээрх декартын тэгш өнцөгт координатын систем
Хавтгай дээр харилцан перпендокуляр хоёр тэнхлэг авч тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг 0
гэж тэмдэглэе.Энэ хоёр тэнхлэг нэг ерөнхий хэмжих нэгжтэй гэж үзье.Эдгээр тэнхлэгээ 0х
0y-ээр ,тэнхлэгүүд оршин байгаа хавтгайг 0ху-ээр тэмдэглэе.Координатын тэнхлэгүүд энэ
хавтгайг дөрвөн хэсэгт хуваана.Хэсэг тус бүрийг мөчүүд гэж нэрлэнэ.Хавтгай дээр дурын
цэг авч түүнийг М гэе.Координатын тэнхлэгүүд дээрх энэ цэгийг проекцийг N1,N2 гэж
тэмдэглэе.N1 цэгийн 0х тэнхлэг дээрх координат х. N2 цэгийн 0у тэнхлэг дээрх координат
у бол х-г М цэгийн абсцисс , у-г М цэгийн тэгш өнцөгт координат гэнэ.
Хавтгайн М цэг бүхэнд түүний тэгш өнцөгт координат гэж нэрлэгдэх тодорхой
эрэмблэгдсэн хос тоо харгалзана.Урвуугаар координатын тэнхлэгүүд дээр N1(x) , N2(y)
цэгүүд авч эдгээрээс перпендикулярууд татвал тэдгээрийн огтлолцол М(x,y) цэгийг
тодорхойлно.Цуушид цэг гэдгийн дор тодорхой эрэмблэгдсэн хос тоог , өөрөөр хэлбэл ,
түүний координатыг ойлгоно.0 цэгийг координатын эх,0х тэнхлэгийг абсцисс,0у-г
ординат тэнхлэг гэнэ.
x>0,y>0 байх мөчийг I мөч
x<0,y>0 байх мөчийг II мөч
x<0,y<0 байх мөчийг Ш мөч
x>0,y<0 байх мөчийг IV мөч гэнэ.Одоо хавтгай дээр өгөглсөн (x1,y1) (x2,y2) цэгүүдийн
хоорондох зайг ольё.
Өмнө үзсэнээр энэ гурвалжны катетуудын урт нь 1212 : уухх −− болно.Гипотенузын урт
нь Пифагорын теоремоор
d= 2
12
2
12 )()( yyxx −+−
Жишээ1 (-3,2) (-4,-1) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.
10)201()304( 22
=−++=d
Лекц№14 Огторгуй дахь декортын тэгш өнцөгт координат
Огторгуйд харолцан перпендикуляр гурван тэнхлэг авч тэдгээрийн огтлолцлын ерөнхий
цэгийг 0 гэе.Нэг ерөнхий хэмжих нэгжтэй гэж үзье.Эдгээр тэнхлэгүүдийг координатын
тэнхлэгүүд .0-г координатын эх гэнэ.

0х-г абсцисс,0у-г ординат ,0z-г оппликат тэнхлэг гэнэ.
Тэдгээрийг сонгож авахдаа голдуу баруун гарын дүрмээр авна.
Өаруун гарын хуруунуудыг эрхий хуруунаас бусдыг атгахад 0х тэнхлэгийн эерэг
чиглэлээс 0у тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хийгдэж эрхий хуруу нь 0z тэнхлэгийн эерэг
чиглэлийг зааж байвал баруун гарын дүрэм гэнэ.
Огторгуйд М цэгийг авч дайруулан 0х,0у,0z –д перпендикуляр 3 хавтгай тутъя.Эдгээр
хавтгайнуудын тэнхлэгүүдтэй игтлолцох цэгүүдийг N1,N2 ,N3 гэе.0х тэнхлэг дээрх проекц
N1(x) ,0у тэнхлэг дээрх проекц N2(y) ,0z тэнхлэг дээрх проекц
N3(z) координатуудтай гэвэл (x,y,z) гэсэн тодорхой рэмбээр авсан гурван тоог огторгуй
дахь тэгш өнцөгт буюу декартын координатууд гэнэ.
Иймд огторгуйн дурын цэг түүний координат гэж нэрлэгдэх гурван тоогоор бүрэн
тодорхойлогдож байна.Координатын аль ч 2 тэнхлэгийг дайруулан татсан хавтгай татвал
харилцан перпендикуляр 3 хавтгай 0ху,0хуz,0zх үүснэ.Эдгээрийг координатын
хавтгайнууд гэнэ.Энэ хавтгайнууд огторгуйг 8 хэсэгт хуьаана.Хуваасан хэсэг бүрийг
октант гэж нэрлэдэг.
х у z
I + + +
II - + +
III - - +
IV + - +
V + + -
VI - + -
VII - - -
VIII + + -
Туйлын координат
Хавтгаөй дээр туйлын координатын системийг дараах байдлаар тодорхойлъё.Хавтгай дээр
туйл гэж нэрлэгдэх ямар нэг 0 цэг авч энэ цэгээс туйлын тэнхлэг гэж нэрлэгдэх цацраг
татъя.
Хавтгай дээрх Р цэг бүхэн (r,ө) гэсэн туйлын координатаар тодорхойлогдоно.

Энд. R-туйлаас Р цэг хүртэлх зай
ө-ОР хэрчим ьуйлын тэнхлэг хоёрын хоорондох өнцөг
Хэрэв өнуөг туйлын тэнхлэгийг цагийн зүүний хөдөлгөөний эсрэг ОР хэрчимтэй
довхацтал эргүүлэхэд үүсч байвал эерэг өнцөг,эсрэг тохиолдолд сөрөг өнцөг гэж үзнэ.
Туйлын координатын системд цэгийг туйл дээр төвтэй тойрог,туйлаас гарсан цацрагийн
огтлолцлолд үүсэх цэг гэж болно.
Жишээ 1. )
6
11
,2(),
6
,3(),
4
,4(
πππ
− цэгүүдийг туйлын каардинатын системд байрлуулъя.
Энд (3,π/6), цэгийг байгуулахад өнцөг цагийн зүүний хөдөлгөөний дагуу
тоологдоно.(2,11π/6) цэгийг байгуулахад 11π/6 өнцөг -π/6 өнцөгтэй давхцана.
Эндээс үзвэл туйлын координатын системд (r,ө) ба (r,ө+2πn) къоординатууд нь нэг ижил
цэгийг тодорхойлно.Зөвхөн 0<r<∞ ,0≤ ө<2π буюу -π<ө π≤ байхад туйлаас ялгаатай
хавтгайн цэг , (r,ө) туйлын координатуудын хооронд харилцан нэг утгатай харгалзаа
тогтоогдоно.
Одоо туйлын координат,тэгш өнцөнгт координатын холбоог овч үзье.
Үүний тулд координатын системүүдийг дараах байдлаар авья.
Дараах харьцаа биелэдэг.
x=r cos ө y=r sin ө r2=x2
+y2
tgө=
x
y
Каардиодыни тэгшитгэл r=a(1+cos ө)
Туйлын координатуудын хувьд r ≤≥ 0,0 ө<2π буюу (-π<ө≤ π) байх нь нилээд хатуу
шаардлага тул заримдаа туйлын өргөтгөсөн координат гэж нэрлэдэг.
Туйлын өргөтгөсөн координатын системд Р(r,ө) цэгийг байгуулахдаа туйлын тэнхлэгтэй ө
өнцөг үүсгэх цацрагийг байгуулж , хэрэв r>0 бол энэ цацраг дээр r-ээр хэмжиж авна.Хэрэв
r<0 бол энэ цацарагийн үргэлжлэл дээр r-ээр хэмжиж авна.
Жишээ 5. Р(-4, π/3) цэгийг багуул.
Туйлын өргөтгөсөн координат нь туйлын координат дахь тэгшитгэлээрээ өгөгдсөн
шугамын грофикийг байгуулахад өргөн ашигладаг.
Лекц№15 Огторгуй дахь хавтгайн болон хавтгай дээрх
шулууны ерөнхий тэгшитгэл

Охуz координатын системд Р хавтгайг авч үзье.Энэ хавтгайн байрлал түүнд
перпендикуляр вектор, мөн хавтгайн ямарваа цэг өгөгдвөл бүрэн тодорхойлогдоно.
Хавтгайд перпендикуляр векторыг энэ хавтгайн нормаль вектор гэнэ.
nР хавтгай дээр Мо цэг өгөгдсөн гэж үзье.Энэ хавтгай дээр дурын М цэгийг авч үзье.
r
хавтгайн нормаль вектор байг.М,Мо цэгүүд r,r0 радиус векторуудаараа тодорхойлогдоно.
nrrММ
rrrr
;00 −= вектор -д перпендикуляр байна.ИймдММ0
r
( ) 00 =− rrn
rrr
(1)
(1) тэгшитгэл нь өгөгдсөн Р хавтгайн вектор тэгшитгэл болно.
Хэрэв ={A,B,C} , ,M(x,y,z) бол (1) тэгшитгэл дараах хэлбэрт бичигдэнэ.n
r
( 0000 ,, zyxM )
( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− zzCyyBxxA (2)
(2) нь цэгийг дайрсан( 0000 ,, zyxM ) n
r
={A,B,C} нормольтай хавтгайн координат хэлбэрт
бичигдсэн тэгшитгэл болно.
Жишээ 1.
Мо(1:-3:5) цэгийг дайрсан ={4:3:2} векторт перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэл бич.n
r
Бодолт.
4(x-1)+3(y+3)+2(z-5)=0
Эсвэл 4x+3y+2z-5=0
(2) тэгшитгэлийг хялбарчилж бичье.
Ах+Ву+Сz-(Axo+Byo+Czo)=0
-(Axo+Byo+Czo)=D гэвэл
Ax+By+Cz+D=0 (3)
(3)-г хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл гэнэ.
Декартын тэгш өнцөгт координатын системд ямарч хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл нь х,у,z-
ийн хувьд 1-р зэргийн тэгшитгэл байна.
Урвуугаар Ax+By+Cz+D=0 хэлбэрийн тэгшитгэл бүхэн хавтгайн тэгшитгэл байна.Учир
нь А,В,С коэффициентуудын аль нэг нь тухайлбал 0≠А байг.Тэгвэл
( ) ( ) 000 =−+−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ zCyB
A
D
xA (4)
болно.(4)-ийг (2)-той жишиж үзвэл

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 0;0;
A
D
M цэгийг дайрсан n
r
={A,B,C} нормальтай хавтгайн тэгшитгэл болно.
Хавтгай дээр байгаа L шулуун дээр Мо цэг,түүнд перпендикуляр вектор өгөгдсөн бол
шулууны вектор тэгшитгэл (1) хэлбэртэй бичигдэнэ.
Хэрэв ( ),, 000 yxM ( ),, yxM n
r
={A,B} бол (1) тэгшитгэлийг дараах хэлбэртэй бичнэ.
( ) ( ) 000 =−+− yyBxxA (5)
(5) тэгшитгэлийг хялбарчилж бичвэл
Ax+By+C=0 (6)
Энд (6)-г хавтгай дээрх шулууны ерөнхий тэгшитгэл гэнэ.( ) СВуАх =+− 00
(6) хэлбэрийн тэгшитгэл бүхэн шулууныг тодорхойлно.
Жишээ 2.
M(2;-2;1) цэгийг дайрсан 3х+2у-z+4=0 x+y-z=0 хавтгайнуудад перпендикуляр хавтгайн
тэгшитгэл бич.
Бодолт.
Өгөгдсөн хоёр хавтгай пороллель биш { } { 1;1;1;1;2;3 21 }=−= nn
rr
нормалиудтай
байна.Бодлогын нөхцлөөр тэгшитгэлийг бичих хавтгайн өгөгдсөн хавтгайнуудад
перпендикуляр тул нормаль нь 21 nnn
rrr
×=
( ) ( ) ( ) 012423
43
111
12321
=−++−−
+−=−=×=
zyx
kji
kji
nnn
rrr
rrr
rrr
болно.
3x-4y+z-15=0
Жишээ 3.
Координатын тэнхлэгүүдийг ( ) ( ) ( )3;0;0,0;2;0,0;0;1 321 MMМ цэгүүдээр огтолж гарсан
хавтгайн тэгшитгэл бич.
Бодолт.
Ax+By+Cz+D=0 хавтгайн тэгшитгэл авч үзье.
Ax+By+Cz=-D Эндээс
c
C
D
b
B
D
a
A
D
CD
z
BD
y
AD
x
=−=−=−
=
−
+
−
+
−
;;
1
///
гэж тэмдэглэвэл

1=++
c
z
b
y
a
x
(7)
(7)-г хавтгайн хэрчим дэхь тэгшитгэл гэнэ. а,в,с нь координатын тэнхлэгүүдээс хавтгайн
огтолсон хэрчмийн хэмжигдэхүүн байна.
Өгөгдсөн бодлогын хувьд a=1;b=2;c=3 болно.
1
321
=++
zyx
буюу 6x+3y+2z-6=0
Жишээ 4.
A(5;0) ,B(0;-7) цэгүүдээр координатын тэнхлэгүүдийг огтолж гарах шулууны
тэгшитгэлийг бич.
Бодолт.
3- р жишээнд үзсэнтэй адил хувиргалтаар шулууны ерөнхий тэгшитгэлийг
1=+
b
y
a
x
(8)
хэлбэрт бичье.Энд а,b шулууны координатын тэнхлэгүүдийг огтолж гарах хэрчмийн
хэмжигдэхүүнүүд.
(8)-г шулууны хэрчим дэх тэгшитгэл гэнэ.Өгөгдсөн бодлогод a=5;b=7 тул
1
75
=
−
+
yx
эсвэл 7х-5у-35щ0
Лекц№16 Ерөнхий тэгшитгэлээрээ өгөгдсөн хоёр хавтгайн болон хавтгай дээрх хоёр
шулууны хоорондох өнцөг
Огторгуй дахь хоёр хавтгай нь эсвэл параллель эсвэл огтлолусон байна.
Р1,Р2 хоёр хавтгай нь огтлолцсон хавтгайнууд байгаад тэдгээрийн огтлолцлын шулуун L
байг.L шулуунд перпендикуляр Р хавтгай татъя.
Р хавтгай Р1 хавтгайг L1,Р2 хавтгайг L2 шулуунаар огтолно.Энэ хоёр шулууны хоорондох
өнцгийг хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг гэнэ.
LnLn ⊥⊥ 21 ;
rr
болно.Иймд хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн нормалиудын
хоорондох өнцөг болно.
21
21
cos
nn
nn
rr
rr
=ϕ (1)
Хэрэв бол{ } { 22221111 ,,;,, CBAnCBAn ==
rr
}
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA
CCBBAA
++++
++
=ϕ
Хэрэв Р1Р2 хавтгайнууд перпендикуляр бол

А1А2+В1В2+С1С2=0
Хэрэв Р1Р2 параллель бол
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
А
А
== байна.
Хавтгай дээрх А1х+В1у+С1=0 , А1х+В1у+С1=0 тэгшитгэлтэй хоёр шулууны хоорондох
өнцгийг хавтгайнуудын хоорондох бнцгийг тодорхойлсонтой адил шийдэж болно.
{ } { }222111 ,;, BAnBAn ==
rr
учир
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
cos
BABA
BBAA
++
+
=ϕ (2)
Хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцөл
А1 А2 +В1В2 =0
Параллель байх нөхцөл
2
1
2
1
B
B
А
А
=
Жишээ 1.
x-2y+z=0 2x+3y-2z=0 хавтгайнуудын хоорондох хурц өнцгийг ол.
Бодолт.
{ } { 232;121 21 −=−= ддnддn
rr
}
5553
59409.0
102
6
176
6
494141
1*23*22*1
cos
o
=
≈=
−
=
++++
−−
=
ϕ
ϕ
Шугаман тэгшитгэлийн систем
а1х1+а2х2+…+anхn=b
хэлбэрийн тэгшитгэлийг n хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.
Үүнд а1, а2,…, an, b нь тогтмол тоонууд х1, х2,…, хn хувьсагчид.
А11х1+а12х2+…+a1nxn=b1
A21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
M M (1)
Am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

Хэлбэрийн системийг n хувьсагчтай m шугаман тэгшитгэлийн систем гэнэ.Үүнд aij , bi -
үүд бүгд бодит тоонууд бөгөөд aij-г системийн коэффициентүүд bi-г сул гишүүд гэнэ. (1)
хэлбэрийн системийг mxn шугаман систем гэжэнэрлэе.
Жишээ 1.
х1-2 х2=3 (b) х1+ 2х2+ х3=4
2 х1+ х2=7 3х1+ х2-2 х3=7 бол
(а) нь 2х2 систем (b) нь 2х3 систем байна.
х1, х2,…, хn гэсэн тодорхой эрэмблэгдсэн n тоонуудыг (1)-д орлуулахад тэгшитгэл бүрийг
адилтгал болгож байвал эдгээрийг системийн шийд гэж нэрлэдэг.
Жишээ нь
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5
1
;
5
17
нь (а) системийн ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0;
5
4
;
5
12
нь (b) системийн шийд болохыг харж болно.
Хэрэв систем ядаж нэг шийдтэй байвал нийцтэй,шийдгүй бол нийцгүй систем
гэнэ.Нийцтэй систем цорын ганц шийдтэй байвал тодорхой,нэгээс илүү шийдтэй байвал
тодорхойгүй гэнэ. (1) системийн сул гишүүд нь бүгд тэг байвал нэгэн төрлийн
систем,ядаж нэг bi тэгээс ялгаатай бол нэгэн төрлийн биш систем гэнэ.
Жишээ 2.
3х1 + х2 -4х3=0
х1 + 2х2 =0 2х1 + х3= -5
5х1 +3х2 – х3=0 х1 + 4х3= 0
⇑ ⇑
Нэгэн төрлийн систем Нэгэн төрлийн бус систем
Хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн систем нь өмнө үзсэнээр хавтгай дээрх шулуунуудыг
дүрсэлнэ. Иймд
a) Систем нэг шийдтэй бол шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно.
b) Нийцгүй бол 2 шулуун параллель байна.
c) Төгсгөлгүй олон нийцтэй бол 2 шулуун давхцана.
Ижил хувьсагчтай тэгшитгэлүүдийн хоёр системийн шийдүүд нь давхцаж байвал
эквивалент системүүд гэнэ.
Өгөдсөн шугаман тэгшитгэлүүдийн системийг дараах элементар хувиргалтуудаар түүнтэй
эквивалент системд шилжүүлж болно.
i. Аль нэг тэгшитгэлийг тэгээс ялгаатай тогтмол тоогоор үржүүлэх
ii. Системд байгаа тэгшитгэлүүдийг байрыг солих
iii. Нэг тэгшитгэлийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж нөгөө тэгшитгэл дээр нэмэх
Өгөгдсөн системийг эдгээр элементар хувиргалтуудыг ашиглан бодоход хялбар түүнтэй
эквивалент системд шилжүүлж боддог.

Хэрэв к-р тэгшитгэлийн эхний (k-1) хувьсагчийн өмнөх бүх коэффициентүүд тэг бөгөөд хк
–ийн өмнөх коэффициент тэгээс ялгаатай байвал (k=1,…,n) системийг гурвалжин
Жишээ 3.
4х1 + х2 – х3=2
х2 + х3=3
3х3=6
Энэ систем гурвалжин хэлбэрт бичигдсэн байна.Учир нь 2-р тэгшитгэлийн хувьд
коэффицентүүд нь0:1:3-р тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь 0:0:3 байна.Ийм гурвалжин
хэлбэрт байгаа системийг бодоход хялбар байдаг. Системийн
3-р тэгшитгэлээс х3=2
2-р тэгшитгэлээс х2=3-2=1
1-р тэгшитгэлээс 4х1+1-2=2 буюу х1=5/4
Тэгшитгэлийн шийд (5/4:1:2)
Одоо nхn системийг авч үзье.Хэрэв nxn систем ганц шийдтэй бол (i-iii) хувиргалтаар
гарвалжин хэлбэрт шилжүүлэн бодож болно.
Гурвалжин хэлбэрт шолжсэн nxn системийг 3-р жишээг бодсон аргаар бодно.Тухайлбал
эхлээд n-р тэгшитгэлээс xn-г бодож олно.
Дараа нь энэ утгаа ашиглан (n-1)-р тэгшитгэлээс xn-1-г олх гэх мэтээр х1-г олно.
Гурвалжин системийг бодох дээрх аргыг буцах орлуулгаар бодох гэж нэрлэдэг.
Жишээ 4.
2х1+ х2+ 3х3=1
4х1+ 3х2+ 5х3=1
6х1+ 5х2+ 5х3=-3 системийг бод.
Бодолт.1-р тэгшитгэлийг (-2)-оор үржүүлж 2-р тэгшитгэл дээр мөн 1-р тэгшитгэлийг (-3)-
аар үржүүлж 3-р тэгшитгэл дээр тус тус нэмбэл дараах системд шилжинэ.
2х1+ х2+ 3х3=1
-х2- х3=-1
2х2-4 х3=-6
2-р тэгшитгэлийг (2)-оор үржүүлж 3-р тэгшитгэл дээр нэмбэл
2х1+ х2+ 3х3=1
-х2- х3=-1
-2х3=-8
Буцаах орлуулгыг хэрэглэж шийдийг олбол
х3=4 ; х2=-3 ; х1=-4 шийд (-4;-3;4)
4-р жишээнд үзсэн системийн тэгшитгэлүүдийн коэффициентүүдийг дараах матрицаар
бичье.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
556
534
312

Үүнийг системийн коэффициентүүдийн матриц гэнэ.Дээрх матрицад системийн
тэгшитгэлүүдийн сул гишүүдийн баганыг нэмж бичсэн матрицыг авч үзье.
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣ −3
1
556
534
⎤⎡ 1312
Энэ матрицыг системийн өргөтгөсөн матриц гэж нэрлэдэг.
Ерөнхий тохиолдолд (1) системийн өргөтгөсөн матриц
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mmnm
n
n
b
b
b
aа
aа
aа
M
L
M
L
L
2
1
1
221
111
Мөрүүд дээрх элементар хувиргалтууд
Өргөтгөсөн матрицын мөрүүд системийн тэгшитгэлүүдийг тодорхойлно.Өмнө үзсэн
шугаман тэгшитгэлийн систем дээрх элементар хувиргалт нь матрицын мөрүүд дээрх
элементар хувиргалтуудтай эквивалент байна.
Мөрүүд дээрх элементар ху виргалтууд .
i. Мөрийг тэгээс ялгаатай тогтмолоор үржүүлж
ii.Дурын хоёр мөрийн байрыг солих
iii.Нэг мөрийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж өөр мөр дээр нэмэх
Вектор
Вектор ,түүн дээрх үйлдэл
Хугацаа,температур,энерги гэх мэт хэмжигдэхүүнүүд нь зөвхөн тоон утгаараа
тодорхойлогддог.Ийм хамжигдэхүүнийг скаляр хэмжигдэхүүн гэнэ.Харин
хүч,хурд,хурдатгал зэрэг хэмжигдэхүүнүүд тоон утга болон чиглэлээрээ
тодорхойлогддог.Ийм хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэнэ.Вектор
хэмжигдэхүүн нь вектороор бүрэн тодорхойлогдоно.
Чиглэлт хэрчмийг вектор гэнэ.Иймд вектор тодорхой урттай нэгийг нь эхлэл,нөгөөг нь
төгсгөл болгож авсан хэрчим байна.Хэрэв А эхлэл,В төгсгөл бол ьекторыг ВА
r
Векторын уртыг модуль гэнэ.Векторын модулийг ВА
r
, а
r
гэж тэмдэглэнэ.Урт нь тэгтэй
тэнцүү векторыг тэг вектор гээд 0
r
-оор тэмдэглэнэ.Тэг вектор тодорхой чиглэлгүй.
Хоёр векторын уртууд нь тэнцүү,чиглэл нь ижил байвал тэнцүү векторууд гэнэ.Өөртэй
нь параллель шилжүүлж болох векторуудыг чөлөөт вектор гэнэ.Тэгээс ялгаатай дурын
вектор бүрийн хувьд модуль нь векторын модультай тэнцүү,чиглэл нь эсрэг байх векторыг
тэр векторын эсрэг вектор гэнэ. ВА
r
векторын эсрэг векторыг - ВА
r

Нэг шулуун дээр буюу параллель шулуун дээр байх векторуудыг коллинеар векторууд
гэнэ.
Векторуудыг нэмэх,хасах,тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг вектор дээрх шугаман үйлдэл
Векторуудыг нэмэх,хасах
Дурын ба векторыг авч үзье.0 цэг авч энэ цэг дээр эхтэйа
r
b
r
а
r
= ,В цэгт эхтэйBO
r
b
r
= CB
r
.векторуудыг байгуулж 0-г С-тэй холбоход үүсэх CO
r
векторыг энэ хоёр векторын
нийлбэр вектор гэнэ.
Энэ нийлбэр векторыг өөр аргар гаргаж авч болно.Тухайлбал,0 цэгээс =аCO
r r
вектор,
= векторыг байгуулж эдгээр векторуудаар тала хийсэн параллелограмм байгуулахад
эдгээр текторуудын нийлбэр тектор болно.
BO
r
DO
r
r
b
r
а+b
r
=b
r
+ /Байр солих хууль/ .Векторыг нэмэх сүүлчийн дүрмийг векторыг нэмэх
параграммын дүрэм гэнэ.
а
r
а
r
,b
r
, дурын гурван вектор өгөгдсөн үед эдгээрийгс
r
а
r
+b
r
олж,дараа нь а
r
+b
r
ба с
r
нийлбэрийг олно.Төгсгөлөг тооны векторуудыг нэмэх цэгээс эхний векторыг байгуулж
түүний төгсгөлөөс дараагийн векторыг залгуулах замар бүх векторыг байгуулж анхны
векторын энэ төгсгөлийн векторын төгсгөлтэй холбоход үүсэх тектор нь тэдгээрийн
нийлбэр болно.
а
r
ба b
r
вектор өгөгдсөн байг.Хасагч вектор дээр нэмэхэд хасах вектор гарах векторыг
эдгээрийн ялгавар вектор гэнэ.
Векторуудыг тоогоор үржүүлэх
а
r
дурын вектор , R∈∀λ бодит тоо байг.
1. ac
rr
λ=
2.хэрэв λ >0 бол гийн эсрэг чиглэлтэй байха
r
с
r
векторыг а
r
векторыг λ тоогоор
үржүүлсэн үржвэр гэнэ.
Жишээ нь Энэ тодорхойлолтоос -а
r
=(-1) а
r
гэж үзэж болно.Векторыг тоогоор үржүүлэх
үйлдлийн тодорхойлолтоос үзэхэд хоёр векторын коллинеар байх нөхцөл b
r
=λ а
r
Вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй.
а
r
+b
r
=b
r
+ /байр солих/а
r
( +а
r
b
r
)+ = +(с а
r
b
r
+ ) /хэсэглэн нэгтгэх/с
rr
а
r
r
+ =o
r
а
r
r
а+(- )=а o
r
λ ( +а
r
b
r
)=λ b
r
+λ а
r
λ R∈
(λ 1+λ 2) а=
r
λ 1 а+
r
λ 2 а
r
λ 1 λ 2 R∈
λ 1(λ 2 а)=(
r
λ 1 λ 2) а
r
λ 1 λ 2 R∈
1а=
r
а
r
Урт нь нэгтэй тэнцүү векторыг нэгж вектор гэнэ. а
r
векторын хувьд урт нь нэгтэй тэнцүү
тай ижил чиглэлтэй векторыга
r
а
r
-ийн нэгж вектор буюу орт гээд а-0
гэж тэмдэглэе.
Векторыг тоогоор үржүүлэх тодорхойлолтоос а
r
=а0
а
r
болно.

Векторуудын шугаман хамаарал.Сууръ вектор
Векторуудын харилцан байршилыг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн хоорондын шугаман
хамаарал гэдэг ойлголтыг оруулж ирдэг.
λ1ē1+λ2ē2+...+λnēn=0 (1)
тэнцэтгэл λ1=λ2=….=λn=0 байхад биелэгдэж байвал ē1, ē2ь…ēn векторуудыг шугаман
хамааралгүй векторууд гэнэ. Хэрэв λ1 λ2….λn тоонууд ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай байхад
(1) биелэгдэж байвал ē1, ē2ь…ēn векторуудыг шугаман хамааралтай векторууд гэнэ. (1)
тэнцэтгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг ē1, ē2…ēn векторуудын шугаман эвлүүлэг
Хэрэв өгөгдсөн векторууд шугаман хамааралтай байвал ядаж нэг векторыг нь нөгөө
векторуудынх нь шугаман эвлүүлэгт бичиж болно.
Учир нь (1) тэнцэтгэлээс λn ≠ 0 гэвэл
ne
r
=-
nλ
λ1
1e
r
- 1
1
2
2
... −
−
−− n
n
n
n
ee
rr
λ
λ
λ
λ
- i
n
i
μ
λ
λ
= (i=1…n-1) гэж тэмдэглэвэл
112211 ... −−+++= nnn eeee μμμ
rrr
Хавтгай болон огторгуй дахь векторуудын шугаман хамарлыг авч үзье.
Теорем 2.1
Хавтгай дээрх дурын гурван вектор шугаман хамааралтай байна.
Баталгаа. Хавтгай дээр ē1, ē2 ē3 гэсэн дурын гурван векторыг авч үзье.
Аль нэг хоёр нь тухайлбал ē1, ē2 нь коллинер байг.Тэгвэл ē1= λ2ē2 тул
ē1= λ2ē2+0 ē3 болж ē1, ē2 ē3 шугаман хамааралтай болно.
Эдгээр векторуудын аль ч хоёр нь коллинер биш байг.Энэ гурван векторыг ерөнхий нэг
эхтэй болгоё.
ē1 векторыг ē2 ē3 векторуудтай коллинеар векторуудын нийлбэрт бичиж болно гэдгийг
харуулья. ē1 векторын төгсгөлийг дайруулан ē2 ē3 векторуудыг дайрсан шулуунуудтай ог
тлолцтол ē2 ба ē3 –тай параллель шулуунууд татья.
Тэгвэл = 1+ 2 болно.Үүнд ОМ1= λ1 ē2 ,МО
r
МО
r
МО
r
МО
r
= λ2 ē3 тул ē1= λ1ē2+ λ2 ē3 болно.
Нэг хавтгай дээр орших эсвэл нэг хавтгайтай параллель векторуудыг компланар
векторууд гэнэ.
Теорем 2.2
Огторгуй дахь дурын дөрвөн вектор шуга ман хамаралтай байна.

Баталгаа: Дарах тохиолдлуудыг авч үзье.
ē1, ē2 ē3 ē4 векторуудын аль нэг гурав нь тухайлбал ē1, ē2 ē3 век торууд компланар
байг.Өмнө баьалсан 2.1 теорем ёсоор аль нэг вектор тухайлбал ē1= λ1ē2+ λ2 ē3 болно.Тэгвэл
ē1= λ1ē2+ λ2 ē3+0 ē4 байна.
Эдгээр векторуудыэ дотор компланар векторууд байхгүй байг.Эдгээр векторуудыг нэг
ерөнхий эхтэй болгоё. ē1 векторын төгсгөлийн цэгийг дайруулан (ē2 ē3) (ē3 ē4) (ē2 ē3)
векторуудаар тодорхойлогдож байгаа хавтгайнуудтай параллель хавтгайнууд татья.Эдгээр
хавтгайнуудын ē2 ē3 ē4 векьоруудыг дайрсан шулуунуудтай огтлолцсон цэгүүдийг М2 М3
М4 гэе. ОМ1 = ē1 нь параллелопипедийн диогналь болно.
МО
r
1 = 2+МО
r
М
r
2Q+Q М
r
1
Үүнд МО
r
2= λ1ē2 М
r
2Q = λ2 ē3 Q М
r
1 = λ3 ē4 тул
ē1= λ1ē2+ λ2 ē3+ λ3 ē4
2.1 ба 2.2 теоремуудаас хавтгай дээрх шугаман хамааралгүй векторын хамгийн их тоо
хоёр огторгуй дахь шугаман хамааралгүй векторын хамгийн их тоо гурав болохыг
хялбархан харж болно.
Хавтгай дээрх шугаман хамааралгүй дурын хоёр векторыг хавтгайн суурь вектор гэнэ.
Хэрэв ē1, ē2 векторууд хавтгайн суурь векторууд бөгөөд ā дурын вектор бол 2.1 теорем
ёсоор эдгээр гурван вектор шугаман хамааралтай тул ā вектор суурь векторуудаар
шугаман илэрхийлэгдэнэ.
ā = λ1ē1+λ2ē2 (2)
Хэрэв хавтгайн дурын ā вектор (2) хэлбэрт бичигдэж байвал ē1, ē2 суурь векторуудаар
задалж бичсэн задаргаа гэнэ. λ1,λ2 тоог ā векторын аффин координат гэнэ. ā ={ λ1,λ2 } гэж
Тодорхойлолт 2.4 Огторгуй дахь шугаман хамааралгүй дурын гурван векторыг огторгуйн
суурь вектор гэнэ.
Хэрэв ē1, ē2 ē3 огторгуйн суурь векторууд бөгөөд ā дурын вектор бол 2.2 теорем ёсоор
ā = λ1ē1+λ2ē2+λ3ē3 (3) болно.
λ1,λ2 λ3 тоог ā векторын аффин координат гэнэ.
ā ={ λ1,λ2 λ3 } гэж тэмдэглэнэ.Дээр дурьдсан (2) ба (3) задаргаа нэг утгатай байна.
Векторын тэнхлэг дээрх проекц,түүний чанар
ā ба хоёр вектор байг.Эдгээрийг нэг эхтэй болгоё. Эдгээрийг нэг эхтэй болгоё.Нэг
векторыг нь нөгөө тектортой давхцтал нь эргүүлэхэд үүсэх хамгийн бага эргэлтийн
өнцгийг энэ хоёр векторын хоорондох өнцөг гэнэ.Уг өнцгийг φ гэвэл 0≤ φ≤
b
r
π .
Огторгуйд дурын байрлалтай байх l
r
тэнхлэг ВА
r
векторыг авч үзье.А ба В цэгийн
тэнхлэг дээрх проекцыг А1В1 гэе.е
r

Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon

Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon

Semelhante a Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon (20)

Mais de E-Gazarchin Online University

Mais de E-Gazarchin Online University (20)

Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon