serie de taylor

MÉTODOS NUMÉRICOS
1.5 Serie de Taylor

Gustavo Rocha
2005-2

1.5 Serie de Taylor

La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento
matemático más importante para comprender, manejar y
formular métodos numéricos que se basan en la
aproximación de funciones por medio de polinomios.

Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los
métodos numéricos se basan en la aproximación de
funciones por medio de polinomios.

1.5 Serie de Taylor
La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias
que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la
vecindad de un punto dado.

Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos
cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.

El error del método numérico depende de la precisión con la que el
polinomio aproxima a a la función verdadera.
Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del
desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la
solución exacta.

1.5.1 Expansión en serie de Taylor
Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden
n en el punto Xi, para el cual se conoce el valor de la función a0 y el
de sus derivadas: a1, a2, a3, a4, … an, …
f(x)

f(Xi+1)

a0
x

xi Xi+1


Se trata de encontrar un polinomio de la forma:

P(X) = a0 + a1X + a2 X 2 + a3 X 3 + ... + an X n + ..._____ (1.13)

que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en
términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xi.

El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las
primeras n derivadas del polinomio se hacen coincidir con las n
primeras derivadas de la función en el punto Xi.
P(Xi ) = f(Xi )
P'(Xi) = f'(Xi ) _____ (1.14)
P''(Xi ) = f''(Xi )
...
P(n) (Xi ) = f (n) (Xi )


El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a
través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13):

f(X) = P(X) = b0 + b1(X - Xi ) + b2 (X - Xi )2 + b3 (X - Xi )3 + ... + bn (X - Xi )n + ... ____ (1.15)

Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión
(1.13), se obtiene:
a0 = b0 - b1Xi + b2 Xi2 - b3 Xi3 + b 4 Xi4 - ...
a1 = b1 - 2b2 Xi + 3b3 Xi2 - 4b 4 Xi3 + ...
a2 = b2 - 3b3 Xi + 6b 4 Xi2 - ... _____(1.16)
...
an = bn - ...


Las n primeras derivadas del polinomio son:
P'(X) = b1 + 2b2 (X - Xi ) + 3b3 (X - Xi )2 + ... + nbn (X - Xi )n-1 + ...
P''(X) = 2b2 + 3 2b3 (X - Xi ) + ... + n(n-1)bn (X - Xi )n-2 + ...
_____ (1.17)
P'''(X) = 3 2b3 + ... + n(n-1)(n-2)bn (X-Xi )n-3 + ...
...
P(n) (X) = n(n-1)(n-2) ... 3 2 1bn + ... = n!bn + ...
Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto Xi:
P(Xi ) = b0 0!b0
P'(Xi ) = b1 1 1
!b
P''(Xi ) = 2b2 = 2!b2 _____ (1.18)
...
P(n) (Xi ) = n!bn

Considerando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18):
b0 = f(Xi )
b1 = f'(Xi )/1!
b2 = f''(Xi )/2! _______ (1.19)

...
bn = f(n)(Xi )/n!
Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresión (1.15):

f(X) = f(Xi ) + f'(Xi )(X - Xi ) + f''(Xi )(X - Xi )2 /2! _____ (1.20)
+ f'''(Xi )(X - Xi )3 /3! + ... + f (n) (Xi )(X - Xi )n /n! + ...

que en forma sintética se expresa:

_____ (1.20')
f(X) = f(j)(Xi )(X - Xi ) j /j!
j=0


Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la
expansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función en
cualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el
punto Xi. Se pueden presentar dos casos:

A) Cuando el valor de X se encuentra a la derecha de Xi, se usa la
nomenclatura Xi+1, con lo que se indica que es mayor que Xi.

X = Xi+1 > Xi ; Xi+1 - Xi = h > 0

(j) (j)
j
f(Xi+1 ) = f (Xi )(Xi+1 - Xi ) /j! = f (Xi )h j /j! _____ (1.21)
j=0 j=0

donde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de un
paso hacia adelante.


B) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de Xi, se usa
la nomenclatura Xi-1, con lo que se indica que es menor que Xi.
X = Xi-1 < Xi ; Xi - Xi-1 = h > 0

f(Xi-1 ) =
(j)
f (Xi )(Xi - Xi-1 ) j /j! -
(j)
f (Xi )(Xi - Xi-1) j /j!
_____ (1.22)
j par j impar

(j) (j)
ó f(Xi-1 ) = f (Xi )h j /j! - f (Xi )h j /j! _____ (1.22')
j par j impar

donde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso
hacia atrás.
Para cada combinación de puntos Xi, Xi+1 en una función f(x), la
serie de Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias en
h = Xi+1 – Xi , para representar a f(X)


Ejemplo. En el punto Xi = 1, la función f(X) y sus derivadas toman
los siguientes valores:
f(1) = 1; f'(1) = 6; f''(1) = 2; f'''(1) = 6.

A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylor
dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de
la función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la
función para Xi+1 = 3.
f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)2/2! + 6(X - 1)3/3!
= 1 + 6X - 6 + X2 - 2X + 1 + X3 - 3X2 + 3X - 1
= - 5 + 7X - 2X2 + X3
h = Xi+1 - Xi = 3 - 1 = 2
f(Xi+1) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)2/2! + 6(2)3/3!
= 1 + 12 + 4 + 8 = 25


Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansión
en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la función
para Xi-1 = 0.
f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)2/2! - 6(1 - X)3/3!
= 1 - 6 + 6X + X2 - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X2 + X3
= - 5 + 7X - 2X2 + X3
h = Xi - Xi-1 = 1 - 0 = 1
f(Xi-1) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)2/2! - 6(1)3/3!
=1-6+1-1=-5


En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta
perfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomial de
tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al
tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de la
expansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin
error alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valor
de X.
Pero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendentes
o mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionar
una aproximación a la función de interés, porque, en ese caso, cada
uno de los términos de la serie infinita tiene un valor absoluto
diferente de cero, con el que participa, así sea de manera
mínima, en el valor de la función. En virtud de que no es posible
considerar un número infinito de términos, no hay más remedio que
truncar la serie y considerar únicamente los n primeros.


Una función f(x) es analítica en xi, si se puede representar por
medio de una serie de potencias en términos de h = xi+i – xi, dentro
de un radio de convergencia 0 < xi+i - xi , y si todas sus derivadas
son continuas en la vecindad de xi. Los polinomios son funciones
analíticas en todas partes.
Si la función f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de
un punto x0, excepto en el mismo, el punto se denomina singular y
entonces la función no es analítica en x0. Algunas funciones
trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es
analítica excepto en (n + ½) .

Ejemplo. Aproximar la función f(X) = cos X en 30 , conociendo los
valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los
primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. No
olvidemos trabajar en radianes:

Xi = 0 = 0 ; Xi+1 = 30 = /6 ; h = Xi+1 - Xi = /6 - 0 = /6

f(X) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! + fiv(Xi)h4/4! + fv(Xi)h5/5! + fvi(Xi)h6/6!

f(X) = cos X f(0) = cos 0 = 1
f'(X) = - sen X f'(0) = - sen 0 = 0
f''(X) = - cos X f''(0) = - cos 0 = - 1
f'''(X) = sen X f'''(0) = sen 0 = 0
fiv(X) = cos X fiv(0) = cos 0 = 1
fv(X) = - sen X fv(0) = - sen 0 = 0
fvi(X) = - cos X fvi(0) = - cos 0 = - 1

Ejemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de e-x y de sen x, en la
vecindad de x = 1, son respectivamente:

-x -1 -1 h2 -1 h3 -1 h4 -1
e = e - he + e - e + e - ...
2! 3! 4!
h2 h3 h4
sen(x) = sen(1) + h cos(1) sen(1) cos(1) sen(1) ...
2! 3! 4!

El desarrollo en serie de Taylor de una función alrededor de x = 0 recibe el
nombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: ex, cos x, y ln(x+1)

x x2 x3 x 4
e =1+x+ + + + ...
2! 3! 4!
x2 x 4 x6 x8
cos(x) = 1 ...
2! 4! 6! 8!
x2 x3 x 4
ln(x 1) x + + + + ...
2 3 4


f( /6) = 1 - 1( /6)2/2! + 1( /6)4/4! - 1( /6)6/6!
= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252

Considerando como "verdadero" el valor que ofrece una calculadora
científica de 8 dígitos, que es: cos 30 = 0.8660254, se aprecia que
el truncamiento a siete términos de la serie, conduce a un pequeño
error de 0.0000002

1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error por
truncamiento, pero no quedó lo suficientemente claro, porque para
comprender este concepto, faltaba conocer a detalle el
comportamiento de la expansión en serie de Taylor.
Ahora podemos entender con claridad qué es un truncamiento y
cómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de una
función para un determinado valor de la variable, considerando
solamente los primeros n términos de la serie infinita.
Los términos de la serie que se desprecian constituyen un residuo
cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la
función, o negativo, en profusión del valor de la función; en términos
absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante
(como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos
factores:


1) El valor de n, es decir, el número de términos de la serie,
considerados al aproximar el valor de la función; mientras mayor
sea el valor de n, menor será el residuo y mejor será la
aproximación al valor de la función.
2) El valor de h, es decir, el tamaño del paso o distancia entre el
valor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de la
variable para el que se conoce el valor de la función y el de sus
derivadas; mientras menor sea el valor de h, mayor será la cercanía
entre Xi y Xi+1 y, por ende, mejor será la aproximación al valor de la
función.


En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente la
expansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para
aproximar f(Xi+1) a partir de f(Xi) y sus derivadas, conforme a la expresión
(1.21), la que en forma explícita se escribe:
f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! + ... + f(n)(Xi)hn/n! + ...__ (1.21')
y en forma alternativa:
f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! + ... + f(n)(Xi)hn/n! + Rn (1.23)
Esta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor con
residuo, y es idéntica a la expresión (1.21'), excepto porque los puntos
suspensivos se han sustituido por el término Rn, que sintetiza los términos
de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo
de la aproximación al n-ésimo orden.
La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndice n
indica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1)
términos de la serie.


Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0):
f(Xi+1) f(Xi)
lo que implica suponer que la función que se va a aproximar es una
constante: P(X) = a0 ; si tal suposición es cierta, la aproximación resulta
perfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo R0 tal
que se cumple:
f(Xi+1) = f(Xi) + R0
R0 = f'(Xi)h + f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! +...+ f(n)(Xi)hn/n! +... _____ (1.24)
R0 es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a la
de la expresión (1.21'), excepto por la exclusión del primer término.
Para simplificar, podríamos truncar el residuo a solo un término: R0 f'(Xi)h,
despreciando todos los demás, pero esto obviamente no es exacto.
Conviene entonces encontrar una manera más adecuada de valorar R0.

Auxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver fácilmente que la
recta que une los puntos [Xi, f(Xi)], [Xi+1,f(Xi+1)], tiene pendiente R0/h.
f(x)
f’( )

f(Xi+1)

R0 = f(Xi+1) - f(xi)

P(X) = ao
f(xi)

xi Xi+1 x
h

Invocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe un
punto , entre Xi y Xi+1, para el cual el valor de la primera derivada f'( ), es
decir, la pendiente de la tangente de la función en ese punto, es paralela a
la recta mencionada previamente: R0/h = f'( ); y entonces:
R0 = f'( )h _____ (1.25)
De manera similar, si truncamos la serie a dos términos (n=2):
f(Xi+1) f(Xi) + f'(Xi)h
estaremos suponiendo que la función que se va a aproximar es una recta:
P(X) = a0 + a1X; si la suposición es correcta, la aproximación es perfecta y
sin error, pero si no es así, existe un residuo R1 tal que:
f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + R1
R1 = f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! + ... + f(n)(Xi)hn/n! + ...
R1 es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R0, pero
ahora considerando el teorema extendido del valor medio, también se
puede evaluar de manera exacta mediante:
R1 = f''( )h2/2!
Y así, sucesivamente:


f(x)
P(X) = ao + a1x + a2x2
f(x)
f(Xi+1)

P(X) = ao + a1x

ao P(X) = ao

xi Xi+1 x
h


Un truncamiento a tres términos (n = 2), supone que la función a aproximar
es una parábola P(X) = a0 + a1X + a2X2 y un posible error dado por el
residuo de segundo orden R2.
Un truncamiento a cuatro términos (n = 3), supone que la función a
aproximar es una parábola cúbica P(X) = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 y un
posible error dado por el residuo de segundo orden R3.
En general, un truncamiento a (n+1) términos de la serie, supone un
polinomio P(X) = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 + ... + anXn y un posible error dado
por el residuo de n-ésimo orden, que se expresa:
Rn = f(n+1)( )hn+1/(n+1)! _____ (1.26)
Rn es el error por truncamiento al aproximar el valor de una función f(Xi+1),
considerando solamente los (n+1) primeros términos de la expansión en
serie de Taylor correspondiente a la función.


Ejemplo. Obtener una aproximación al valor del número e, con mantisa de
ocho dígitos y considerando los primeros ocho términos de la expansión en
serie de Taylor para la función f(X) = ex.
Sabemos que:e0 = 1,
entonces: Xi = 0 ; Xi+1 = 1 ; h=1-0=1
f(0) = e0 = 1 f(1) = e
f(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...
f'(X) = ex f'(0) = 1
f''(X) = ex f''(0) = 1
f'''(X) = ex f'''(0) = 1
...
f'(n)(X) = ex f'(n)(0) = 1
f(1) 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7!
e 1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 +
+ 0.00138889 + 0.00019841 = 2.71825397
El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos es: e = 2.71828183


El error por truncamiento es:
R7 = fviii( )(1)8/8! = fviii( )/40320 = 0.00002786
fviii( ) = e = 1.1233152 ; = 0.11628431
Observamos que efectivamente se localiza entre Xi y Xi+1: 0 < < 1,
aunque bastante más cerca de Xi que de Xi+1
Si hubiésemos truncado a solo tres términos: e 2.5,
R2 = f'''( )(1)3/3! = f'''( )/6 = 0.21828183
f'''( ) = e = 1.30969098 ; = 0.26979122
Vemos también que el valor de es distinto para residuos de diferente
orden, pero siempre cumple con localizarse entre Xi y Xi+1.


Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo,
pueden verificarse fácilmente:
n e Rn f(n+1)( )
0 1 1.71828183 1.71828183 0.54132486
1 2 0.71828183 1.43656366 0.36225391
2 2.5 0.21828183 1.30969098 0.26979172
3 2.66666667 0.05161516 1.23876384 0.21411398
4 2.70833334 0.00994849 1.19381880 0.17715724
5 2.71666667 0.00161516 1.16291520 0.15092996
6 2.71805556 0.00022627 1.14040080 0.13137978
7 2.71825397 0.00002786 1.12331520 0.11628431

En este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de e, echando mano
de una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el número e
es conocido por toda la comunidad científica, por eso su valor es accesible a
cualquiera.
Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una función
complicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de su
comportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la función, para cada
determinado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular con
exactitud los residuos y solo habrá que conformarse con una estimación burda de
ellos.
Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analíticamente la función de
interés, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre Xi y Xi+1,
es decir:
* = (Xi + Xi+1)/2 _____ (1.27)
con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, los
errores asociados a ellos, siempre serán superiores a los verdaderos.
Rn = f(n+1)( *)hn+1/(n+1)! _____ (1.26')

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