Logíca y Demostraciones

1. LÓGICA Y
DEMOSTRACIONES
Inga. Dulce Díaz

2. Álgebra de Boole
Álgebra de Boole: estructura que proporciona reglas y
operaciones para trabajar con el conjunto binario {0,1}
Si designamos el conjunto binario B={0,1}. Una variable x es
una variable booleana si únicamente toma los valores 0
y 1
Una función booleana es la que asigna como imagen
sólo los valores 0 y 1 (verdadero/falso; TRUE/FALSE)

3. Álgebra de Boole
 Las operaciones booleanas básicas:
 Complemento booleano
Equivale al operador lógico de negación
0 = 1 1 = 0
 Suma booleana
Equivale al operador lógico ∨ (Verdadero si alguno de los dos es verdadero)
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
 Producto booleano
Equivale al operador lógico ∧ (Verdadero si los dos son verdaderos)
0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

4. Álgebra de Boole
Expresión booleana de las variables x1, x2,….xn xi ∈ 𝐵, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
verifica:
1) x1, x2,….xn son expresiones booleanas
2) los elementos 0 y 1 son expresiones booleanas
3) Si E1 y E2 son expresiones booleanas, entonces 𝐸1 , 𝐸2 , E1 .
E2 y E1 + E2 son expresiones booleanas

5.  Estructura de álgebra de Boole
• B es el conjunto binario {0,1} dotado de una operación binaria, denominada
SUMA (+) tal que BxB→ 𝐵
(x,y)→ 𝑥 + 𝑦
de otra operación binaria, denominada PRODUCTO (.) tal que
BxB→ 𝐵
(x,y)→ 𝑥. 𝑦
y de una tercera operación, denominada COMPLEMENTO ( ) tal que
B→ 𝐵
x→ 𝑥
Álgebra de Boole

6. Álgebra de Boole
el conjunto B tiene estructura de álgebra de Boole si verifica:
1) Leyes de identidad x+0=x x.1=x
2) Leyes dominativas x+𝑥=1 x. 𝑥=0
3) Leyes asociativas (x+y)+z=x+(y+z) (x.y).z=x.(y.z)
4) Leyes conmutativas x+y = y+x x.y = y.x
5) Leyes distributivas x+(y.z) = (x+y).(x+z) x.(y+z) = x.y + x.z
Nota
 El conjunto de subconjuntos del universal U con las operaciones ∪, ∩, ∅,
𝑈 𝑦 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 constituyen un álgebra de Boole.
 Lo mismo ocurre en la lógica de proposiciones con las operaciones ∨,∧, T
y F

7. Lógica de Proposiciones
 Proposición
Es una expresión declarativa, una frase o un enunciado que puede ser verdadero o
falso, pero no ambas cosas a la vez
 Ejemplos
 Madrid es la capital de España
 2+2=5
 El año 2020 es bisiesto
Son proposiciones
 ¿el año 2020 es bisiesto?
 Identifica si esto es una
proposición
 X+2=5
NO Son proposiciones

8. Lógica de Proposiciones
 Valor de verdad de una proposición
 es verdadero (TRUE), V, si la proposición es verdadera
 Es falso (FALSE), F, si la proposición es falsa
Lógica proposicional (o Cálculo proposicional) se basa en ir
construyendo proposiciones compuestas o nuevas proposiciones a
partir de otras existentes utilizando operadores lógicos.
Tabla de verdad muestra las relaciones entre los valores de verdad
de las proposiciones

9. Lógica de Proposiciones
 Negación de p (¬𝒑) Se lee “no p”
 Conjunción de p y q (p ^ q) Se lee “p y q”
Es una proposición verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y
falsa en cualquier otro caso
 Disyunción de p y q (p V q) Se lee “p o q”
Es una proposición falsa cuando tanto p como q son falsas y es
verdadera en cualquier otro caso
 Operadores lógicos

10.  Conectivo exclusivo de p y q (p ⨁ q) Se lee “sólo p o sólo q”
Es una proposición verdadera cuando sólo una de las dos proposiciones es
verdadera y falsa en cualquier otro caso
Lógica de Proposiciones
 Ejemplo 1
p: un estudiante ha cursado la asignatura de cálculo
q: un estudiante ha cursado la asignatura de computación
o ¿Cómo expresarías la conjunción, la disyunción y el conectivo exclusivo de p
y q?
o ¿Cómo serían las correspondientes tablas de verdad?

11. Lógica de Proposiciones
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
p p pVq
V V V
V F V
F V V
F F F
p p p⨁q
V V F
V F V
F V V
F F F
Conjunción de p y q Disyunción de p y q Conectivo exclusivo de p y q
Tablas de Verdad

12. Lógica de Proposiciones
 Implicación(p → q) (o condicional). Se lee “si p, entonces q”
 Es falsa SÓLO en el caso de que p sea verdadera y q sea falsa
 p se denomina hipótesis (premisa o antecedente) y q se denomina tesis
(conclusión o consecuente)
 Expresiones en el razonamiento matemático:
p implica q si p, entonces q
P es suficiente para q q es condición necesaria para p
q siempre que p si no q, entonces no p
p sólo si q q se deduce de p
Idea: pensar en una obligación, un compromiso o un contrato

13.  Recíproca(q → p) (p ← q). Se lee “p es condición necesaria”
 Es falsa SÓLO en el caso de que q sea verdadera y p sea falsa
Lógica de Proposiciones
 Ejemplo 2
“Si consigues un mínimo de 5 en el examen final, apruebas la asignatura”
 Ejemplo 3
“Si salgo elegido, bajaré los impuestos”
 Contrarrecíproca(¬q → ¬ p). Tiene la misma tabla de verdad que la
implicación . Implicación y Contrarrecíproca son equivalentes
 Inversa (¬p → ¬ q). Tiene la misma tabla de verdad que la recíproca.
Inversa y recíproca son equivalentes.

14. Lógica de Proposiciones
p q p→
q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p←q
V V V
V F V
F V F
F F V
Implicación Recíproca
Tablas de Verdad

15. Lógica de Proposiciones
Nota importante:
 El concepto matemático de implicación es independiente de la relación
causa –efecto entre hipótesis y conclusión
 La construcción “si p, entonces q” se utiliza de forma diferente en lógica que
en programación
 Lenguajes de programación: if p then S (segmento de programa)
Ejemplo if 2+2=4 then x = x+1
 Ejemplo 6
¿Cómo expresarías la recíproca, la contrarrecíproca y la inversa de la implicación “el
equipo local gana siempre que llueve”?

16. Lógica de Proposiciones
 Doble implicación (equivalencia) (p ↔ q) Se lee “p si y sólo si q”
 Es verdadera cuando p y q son simultáneamente verdaderas o falsas
 p se denomina hipótesis (premisa o antecedente) y q se denomina tesis
(conclusión o consecuente)
 Ejemplo 4
¿Cómo formalizarías la frase “puedes acceder a Internet desde el campus sólo si estudias
ciencias de la computación o no eres alumno de primero”?
 Ejemplo 5
Y “no puedes montar en la montaña rusa si mides menos de 1,20 metros, a no ser que
seas mayor de 16 años”

17.  Ejemplo 7
Dadas p, q y r, expresar los siguientes enunciados:
p ≡ se han visto osos pardos por la zona
𝑞 ≡ 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑜
r ≡ las bayas del sendero están maduras
a) Las bayas del sendero están maduras, pero no se han visto osos pardos por la zona
b) No se han visto osos pardos por la zona y
𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑜, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎𝑠
c) Si las bayas del sendero están maduras, es seguro caminar por el sendero si, y sólo si, no se han visto osos
pardos por la zona
d) No es seguro caminar por el sendero, pero no se han visto osos pardos por la zona y las bayas del sendero
están maduras
e) Para que sea seguro caminar por la zona, es necesario, pero no suficiente, que las bayas del sendero no estén
maduras y que no se hayan visto osos pardos por la zona
f) No es seguro caminar por el sendero cuando se han visto osos pardos por la zona y las bayas del sendero
están maduras
Lógica de Proposiciones

18. Lógica de Proposiciones
p q 𝒑
↔ 𝒒
V V V
V F F
F V F
F F V
p q 𝒑
⊕ 𝒒
V V F
V F V
F V V
F F F
Equivalencia p⊕ 𝑞

19. Lógica de Proposiciones
 Ejemplo 8
Construye las tablas de verdad para cada una de estas fórmulas:
a) 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑝⨁𝑞
b) 𝑝 ∨ 𝑞 ⨁ 𝑝 ∧ 𝑞
c) 𝑝 → 𝑞 ∨ ¬𝑝 → 𝑞
d) 𝑝 ↔ 𝑞 ∨ ¬𝑝 ↔ 𝑞
e) p → ¬𝑞 ∨ 𝑟
f) 𝑝 → 𝑞 ∨ ¬𝑝 → 𝑟

20. Lógica de Proposiciones
 Tautología es una fórmula o proposición que es siempre verdadera
 Contradicción es una fórmula o proposición siempre falsa
 Contingencia es una proposición que no es ni tautología ni contradicción
Proposiciones lógicamente equivalentes (p≡ 𝑞)
𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝 ↔ 𝑞 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑢𝑡𝑜𝑙𝑜𝑔í𝑎
 Ejemplo 9
Demuestra que las proposiciones ¬ 𝑝 ∨ ¬𝑝 ∧ 𝑞 y¬𝑝 ∧ ¬𝑞 𝑠𝑜𝑛 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

21. Demostraciones
¿Cuándo es correcto un argumento
matemático?
¿Qué métodos son válidos/aplicables para
construir argumentos matemáticos?

22. Demostraciones
Teorema es una sentencia que se puede verificar que es verdadera.
 Lema: teorema muy sencillo que se emplea en la demostración de un
teorema
 Corolario es una proposición que se puede deducir fácil o directamente a
partir de un teorema ya demostrado
 Conjetura es una proposición que aún no ha sido demostrada
Axiomas o postulados (hipótesis del teorema) son sentencias que no
requieren demostración
 La secuencia de sentencias que permiten efectuar esa verificación conforman
un argumento que llamamos Demostración
 Las reglas de inferencia son el enlace en cada uno de los pasos de una
demostración, que permiten inferir conclusiones a partir de otras
afirmaciones

23. Demostraciones
 Comprobar la validez de un razonamiento matemático: si
construimos la tabla de verdad de la implicación y el resultado es una
tautología
 Ejemplo 10
Analizar la validez del razonamiento 𝑝 ∧ 𝑝 → 𝑞 → q
 Ejemplo 11
Analizar la validez del razonamiento 𝑝 ∧ (p ∧ r → s) ) → 𝑟 → 𝑠

24. Demostraciones
Reglas de inferencia
Regla de inferencia
∴
𝑝
𝑝 ∨ 𝑞
∴
𝑝 ∧ 𝑞
𝑝
(𝑝 → 𝑞 )
∴
𝑝
𝑞
∴
¬𝑞
(𝑝 → 𝑞 )
¬𝑝
∴
𝑝 → 𝑞
𝑞 → 𝑟
𝑝 → 𝑟
Tautología
p→ 𝑝 ∨ 𝑞
𝑝 ∧ 𝑞 →p
p∧ 𝑝 → 𝑞 →q
¬𝑞 ∧ 𝑝 → 𝑞 →
¬p
𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑞 → 𝑟
→ 𝑝 → 𝑟
Nombre
Adición
Simplificación
Modus ponens
Modus tollens
Silogismo
hipotético

25. Demostraciones
Métodos de demostración
 Demostraciones directas
Se demuestra la implicación p→ 𝑞 (si p es verdadera, q también es
verdadera)
 Demostraciones indirectas
Se demuestra la implicación ¬𝑞 → ¬𝑝 (si q es falsa, entonces p
también es falsa)

26. Demostraciones
 La reducción al absurdo
Se parte de una premisa falsa y se llega a demostrar algo que resulta ser
una contradicción: encontrar una contradicción q tal que ¬𝑝 →
𝑞 𝑠𝑒𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, ¬𝑝 → 𝐹 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ¬𝑝 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟
Falsa
Ejemplo 12: demostrar que 2 es irracional
 Demostración por casos
Demostrar que 𝑝1 ∧ 𝑝2 ∧ ⋯ .∧ 𝑝𝑛 → 𝑞 ↔
(𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟) 𝑝1 → 𝑞 ∧ 𝑝2 → 𝑞 ∧… 𝑝𝑛 → 𝑞

27. Demostraciones
Demostración por equivalencia
Demostrar que 𝑝 ↔ 𝑞 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑞 → 𝑝
El Principio General de Inducción
P(𝑛0) ∧ ∀𝑘 𝑃 𝑘 → 𝑃 𝑘 + 1 → ∀𝑛 𝑃(𝑛)
Ejemplo 13: demostrar que 1 + 2 + 22
+…+
2𝑛 = 2𝑛+1
-1

28. Predicado es una proposición que se refiere a uno o varios
objetos (x,y,z…) variables de un conjunto. Se denota P(x,y,z…)
El valor de verdad o falsedad de un predicado depende del valor de
verdad o falsedad de los objetos variables que maneja
El número total de variables de las que depende el predicado se
denomina peso del predicado
Ejemplo 14
• P(x) es el predicado de la proposición 8 + x = 15
El predicado sólo será Verdadero cuando el objeto x sea igual a 7
Lógica de Predicados

29. Ejemplo 15
• P(x, y) es x+y=10 será cierto en función de los valores de x e y. P(3,7) es cierto; P(4,7) falso
Lógica de Predicados
Ejemplo 17
el predicado P(n): 𝑛2 es un número entero par es cierto únicamente cuando n sea par
Ejemplo 16
P(x, y) es x+y=10 será cierto en función de los valores de x e y. P(3,7) es cierto; P(4,7) falso

30. Lógica de Predicados
Conectivas entre predicados
 𝑃 𝑥 es el predicado que asocia x con la negación de P(x)
 P(x) ∨ 𝑄(𝑥) es el predicado que asocia x con la unión de
proposiciones P(x) y Q(x)
 P(x)∧ 𝑄(𝑥) es el predicado que asocia x con la intersección de
proposiciones P(x) y Q(x)

31. Lógica de Predicados
 Una función proposicional P(x,y,z), una vez que se asignan valores
concretos a cada uno de los valores, se convierte en una proposición.
 La expresión ∀𝑥,P(x) significa que P(x) es cierta para todos los valores de
x
(cuantificador universal)
 La expresión ∃𝑥,P(x) asegura la existencia de valores de x para los que
P(x) es cierta
(cuantificador existencial)
Ejemplo 18
∀𝑥, ∃𝑦,P(x,y)

32. Lógica de Predicados
 Si queremos negar ∀𝑥,P(x) : es equivalente a decir que existe un x que no verifica P(x)
∀𝑥, 𝑃 𝑥 ↔ ∃𝑥, 𝑃(𝑥)
 Y si queremos negar la existencia: es equivalente a asegurar que todos los valores
verifican la negación
∃𝑥, 𝑃(𝑥) ↔ ∀𝑥, 𝑃(𝑥)
Ejemplo 19
P(x): x se mueve Q(x): x tiene color
∀𝒙, (P(x)∨ Q(x)) (∀𝒙, P(x))∨ (∀Q(x))
Todos los vehículos se mueven o tienen color no implica la veracidad de “todos los
vehículos se mueven o todos tienen color. La recíproca sí es cierta