Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Escuela de Ingeniería de Sistemas RELACIONES Y GRAFOS

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Materia: Estructuras discretas y grafos.
RELACIONES Y GRAFOS
Profesor: Alumna:
José Alejandro Castillo. Duglibeth Rodriguez.
C.I: 27.943.681
Barcelona, Julio del 2020

2. ~ ~ ~ ~ ~ Introducción~ ~ ~ ~ ~ ~
Los grafos son una representación natural de redes y que permiten expresar
de forma visualmente sencilla las relaciones que se dan entre los elementos
de x estudio.
Son importantes porque facilitan la resolución de problemas de una manera
práctica, confiable y que permite obtener resultados confiables que son de
mucha ayuda a la hora de tomar decisiones en la solución de y problema.
Los grafos a parte de facilitar la resolución de problemas nos permiten
prevenir y dar solución a problemas futuros de una manera exacta.

3. En matemáticas y ciencias
De la computación, un grafo
(del griego grafos: dibujo, imagen)
o gráfica es el principal objeto de
estudio de la teoría de grafos.
Informalmente, un grafo es un
conjunto de objetos
llamados vértices o nodos unidos por
enlaces llamados aristas o arcos, que
permiten representar relaciones
binarias entre elementos de un conjunto.
Típicamente, un grafo se representa gráficamente
como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).
Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones
entre unidades que interactúan unas con otras.
Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante
un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan
conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas).
GRAFOS~ ~

4. Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado consta de dos elementos:
(a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a Rb de a con
b. Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con
un elemento del mismo conjunto A.
RELACIONES~ ~
Producto cartesiano
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en
donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B. La definición de
producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más
de dos conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto
de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el
segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}

5. ~ ~PRODUCTO CARTESIANO DE DOS GRAFOS
Producto cartesiano de dos grafos G1xG2
La operación de "producto" (cartesiano) entre dos grafos,G1xG2 ,
está definida como
y dos vértices, y
están relacionados si se cumple:
Ejemplo:
El grafo de la fig. 2.11, representa el producto entre dos grafos G1 y G2.

6. ~ ~
Ejemplo:
muestra la construcción de unEjemplo:
PRODUCTO CARTESIANO DE DOS GRAFOS

7. ~ ~
La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A.
EJEMPLO:
Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria
definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.
Relación binaria
Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionado
con b mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto
del producto cartesiano que define la relación.
Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido,
escribiremos aRb o bRa o ambas cosas.

8. ~ ~Propiedades de las relaciones
Relaciones Reflexivas e Irreflexivas
Una relación R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) £ R para todas las a £ A, esto es, si a R e
para todas las a e A. Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a £ A.
Por consiguiente, R es reflexiva si cada elemento a e A está relacionado consigo mismo y es
irreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo mismo.
Ejemplo:
(a) Sea Δ = [(a, a) a £ A], de modo que A es la relación de igualdad en el conjunto A.
Entonces A es reflexiva, ya que (a, a) £ Δ para todas las a e A.
(b) Sea R = {(a, b) e A x A | a + b}, R es la relación de desigualdad en el conjunto A.
Entonces R es irreflexible, ya que (a, a) £ R para todas las x € A.

9. ~ ~Relaciones Simétricas y Asimétrica
Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b, entonces b R a.
De esto se sigue que R no es simétrica se tiene a y b € A con a R b, pero b R a.
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue
que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b y b R a, entonces a = b. Otra
forma de expresar esta definición es diciendo que R es anti simétrica si cuando a ≠ b, se tiene a R
b o b R a. De esto se sigue que R no es anti simétrica si se tiene a y b en A. a ≠ b, y ambas a R b
y b R a.
Ejemplo:
Sea A «= [a, b, c, d, e} y sea R la relación simétrica dada por
R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (e, a), (a, e), (c,a), (a,c)}
Propiedades de las relaciones

10. ~ ~Propiedades de las relaciones
Relaciones Transitivas
Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si cuando a R b y b R e, entonces a
R c. Se sigue que R no es transitiva si y sólo si se puede encontrar elemento a, b y c en A tal que
a R b y b R c, pero a R c.
Una relación R en un conjunto A es transitiva si y sólo si satisface las siguientes propiedades:
Si existe una trayectoria de longitud mayor que 1 del vértice a al vértice b, hay una trayectoria de
extensión 1 de a a b (esto es, a está relacionada con b).
Establecido algebraicamente, R es transitiva si y sólo si Rn £ R para todas las n ≥ 1.
Es posible caracterizar la relación transitiva por su matriz MR = [mij] así:
si mij =1 y mjk = 1, entonces mik = 1

11. ~ ~
Para ver qué significa transitividad en términos del grafo dirigido de una relación, se traducirá
esta definición a términos geométricos.
Si se examinan los vértices particulares a y c, las condiciones a R b y b R c ocurrirán si y sólo si
existe una trayectoria de longitud 2 de a a c, esto es, si y sólo si a R2 c. Es posible replantear la
definición de transitividad como sigue: Si a R2 c, entonces a R c, esto es, R2 £ R (como un
subconjunto de A x A).
Propiedades de las relaciones

12. ~ ~Representaciones de Relaciones
Representación De Relaciones Usando Matrices
Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es utilizando matrices
compuestas de ceros y unos.
Sean A y B conjuntos finitos de la forma:
Si R es una relación de A en B. La relación R puede ser representada por la matriz
donde:
La matriz MR se denomina matriz de R.
Obsérvese en la definición anterior que los elementos de A y B han sido escritos
en un orden particular pero arbitrario. Por lo tanto, la matriz que representa
una relación.

13. ~ ~
Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica,
donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a
B.
Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y
su correspondiente en el conjunto B.
A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas.
Representaciones de Relaciones

14. ~ ~Relaciones de equivalencia
Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un elemento cualquiera. Se
caracterizan por abstraer el concepto de igualdad. Se dice que es una relación de equivalencia si
cumple las siguientes propiedades:
-Reflexividad: Todo elemento de “K” está relacionado consigo mismo. Es decir,
-Simetría: Si un elemento de “K” está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se
relaciona con el primero.
-Transitividad: Si un elemento de “K” está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona
con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último.

15. ~ ~
Ejemplo: Usemos como conjunto una bolsa de lunetas1 y como relación: tiene el
mismo color que . Veamos que efectivamente es una relación de equivalencia:
Reflexividad: toda luneta tiene el mismo color que sí misma.
Simetría: si la luneta tiene el mismo color que la luneta ,
entonces la luneta tiene el mismo color que la luneta .
Transitividad: si tiene el mismo color que y el mismo color que ,
entonces tiene el mismo color que .
Relaciones de equivalencia

16. ~ ~CLASES DE EQUIVALENCIA
La importancia de las relaciones consiste en que dividen a los elementos del conjunto en
diferentes clases, llamadas clases de equivalencia, de tal suerte que cada elemento pertenece a una
y sólo una clase.
Tomemos un conjunto cualquiera X y sean a y b dos elementos en X (lo cual
denotamos por a,b Ç X). Si a está relacionado con b escribiremos a-b. Una relación de
equivalencia en X es una relación que satisface las propiedades antes mencionadas.
Sea x un conjunto con una relación de equivalencia -. Tomemos un elemento a de
nuestro conjunto X, es decir aÇX. La clase de equivalencia de a, la cual denotaremos por {a}, es
el subconjunto de X formado por todos los elementos b de X que están relacionados con a, es
decir b-a. En símbolos, esto se escribe así:

17. ~ ~
De todo elemento en {a}. (por ejemplo a) decimos que es un representante de la
clase Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un elemento
cualquiera. Se caracterizan por abstraer el concepto de igualdad.
Su definición formal es la siguiente:
Sea “K” un conjunto dado no vacío y “R” una relación binaria definida sobre “K”.
Se dice que “R” es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexividad: Todo elemento de “K” está relacionado consigo mismo. Es decir, {a}.
PARTICIONES
La partición de un conjunto es tan simple como dividir el mismo en conjuntos más
pequeños formados por elementos de él mismo, es decir, en subconjuntos.
Aquí no se toma en cuenta el conjunto vacío.
CLASES DE EQUIVALENCIA

18. ~ ~Funciones
Sea f una relación de A en B. Entonces f es una función de A en B
(denotado f : A ! B y se lee “f es una función de A en B”) si y sólo si:
a) Dom(f) = A
b) 8 x 2 A, 8 y; z 2 B [(x; y) 2 f ^ (x; z) 2 f] ! y = z.
La condición a) garantiza que para cada x 2 A existe al menos un tal “y” y la
condición b) garantiza que hay a lo más uno. Así, tomados juntos, hay exactamente uno.
Si f es una función de A en B entonces la “propiedad funcional”
de cada x 2 A relacionado a exactamente un y 2 B permite el uso de
la notación funcional
y = f(x).

19. ~ ~Funciones
"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que
corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo
mejor más de uno).
"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una
correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

20. ~ ~ ~ ~ ~ Conclusión~ ~ ~ ~ ~ ~
Vivimos en una era de datos. La información está en todas partes y se puede acceder de
diferentes maneras. Los grafos son parte importante de esta era.
El gran análisis de datos y las grafos de bases de datos son palabras de moda que más
probablemente haya encontrado. Es probable que le hayan dicho que comience a usar grafos
de bases de datos en su gran analítica de datos para aumentar su eficiencia organizativa. Pero:
¿por qué un grafo de base de datos facilita el análisis y la comprensión de la
información?
Aumentan el rendimiento - Cada organización tendrá datos y los conjuntos de datos
siempre seguirán creciendo.
Proporcionan flexibilidad: el uso de grafos de bases de datos también es flexible, ya que la
base de datos puede cambiar a la misma velocidad que la de su organización.
Mejoran la agilidad - Los grafos de base de datos también admite agilidad,
que es crucial en un entorno de desarrollo basado en pruebas.

21. Teoría de Grafos- NAME: CLAUDIO CIFUENTES M. Rescatado de:
http://teoriadegrafos.blogspot.com/2007/03/producto-cartesiano-de-dos-grafos.html
Relaciones y Grafos. Rescatado de:
http://relacionesgrafos.blogspot.com/
~ ~ ~ ~ ~ Bibliografía~ ~ ~ ~ ~ ~
La importancia de los grafos de bases de datos . Rescatado de:
http://ars-uns.blogspot.com/2017/04/la-importancia-de-los-grafos-de-bases.html