Este documento proporciona información sobre el plano cartesiano y las cónicas. Explica que el plano cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares que se cortan en el origen y que se usa para representar puntos y analizar figuras geométricas como cónicas. Luego define las cónicas principales (elipse, parábola, hipérbola y circunferencia), sus elementos y cómo se forman según la intersección del plano con un cono. Finalmente, indica cómo representar gráficamente las ecu
2. Contenido: Plano Numérico:
1. Distancia.
2. Punto Medio.
3. Ecuaciones y Trazado de Circunferencias.
4. Parábolas.
5. Elipses.
6. Hipérbola.
7. Representar gráficamente las Ecuaciones de las Cónicas.
ACTIVIDAD A REALIZAR
3. PLANO NUMERICO O CARTESIANO:
Es un sistema de referencias que se encuentra
conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un determinado punto. A la
horizontal se la llama eje de las abscisas o de las x y al
vertical eje de las coordenadas o de las yes, en tanto, el
punto en el cual se cortarán se denomina origen. La
principal función o finalidad de este plano será el de
describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán
representados por sus coordenadas o pares ordenados. Las
coordenadas se formarán asociando un valor del eje x y
otro del eje y.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición
o ubicación de un punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar
matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la
hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales
forman parte de la geometría analítica.
4. DISTANCIA Y PUNTO MEDIO:
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un
segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide
en dos partes iguales. Ejemplo; Dados dos puntos A y B del
plano, llamamos distancia de A a B al módulo del vector. La
distancia de A a B la expresaremos por d (A, B). La distancia
entre dos puntos es siempre un número positivo o cero, porqué
también lo es el módulo de cualquier vector.
5. ECUACIONES Y TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo que llamamos centro.
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a
la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la
circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos
que —para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con
radio r ─, la ecuación ordinaria es:
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
6. Si el ángulo que forma el plano con la base es menor que el ángulo que forma el plano con la generatriz, tenemos que la
sección será una elipse. Si el plano es paralelo a la generatriz tenemos la parábola. Si el ángulo que forma el plano con la base
es mayor del que forma con la generatriz, tenemos la hipérbola.
Cónicas. La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas. Estas curvas aparecían
ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que
tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano.
Como saber si es una parábola o elipse?
Si B 2 – 4 AC es menor que cero, si una cónica existe, está puede ser un círculo o una elipse. Si B 2 – 4 AC es igual a cero, si
una cónica existe, será una parábola.
Es importante señalar en cuanto a la elipse y la hipérbola que la diferencia entre estas dos cónicas es que la elipse es la suma
de la distancia del conjunto de los puntos (x,y) y la hipérbola es la distancia del conjunto de los puntos (x,y). Es una cueva
cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento del cono.
Se llama cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa
por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos:
1. Elipse
2. Parábola
3. Hipérbola
4. Circunferencia
PARABOLA Y ELIPSE
7. REPRESENTACIONES GRAFICA DE LAS ECUACIONES DE
LAS CONICAS
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g,
que llamamos generatriz, alrededor de otra recta e; eje, con el cual se
corta en un punto V, vértice.
g = generatriz
e= el Eje
V= el vértice
8. ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS
Superficie: una superficie cónica de revolución esta engendrada por la
rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta
de modo oblicuo.
Generatriz: el vértice del punto central Vértice: es un punto central donde se
corta la generatriz.
Hoja: las hojas son las dos parte en las que el vértice divide a la superficie
canónica de revolución.
Sección: se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con
un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre
el ángulo de conicidad y (a)la inclinación del plano respecto al eje del cono
(B) pueden tener diferentes secciones cónicas.
9. ELIPSE
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución
por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme
con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
La elipse es una curva cerrada.
10. CIRCUNFERENCIA
La Circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
La circunferencia es un caso particular de
elipse
11. PARÁBOLA
La parábola es la sección producida en una superficie cónica de
revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la
generatriz.
a = B
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el
infinito
12. HIPÉRBOLA
La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de
revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo
menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos
hojas de la superficie cónica
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y
consta de dos ramas separadas
