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MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS La expresión general de una ecuación con dos incógnitas, x e y, es F(x, y) = 0, siendo F una función. Ejemplo 18: Son ecuaciones con dos incógnitas las siguientes: y – x + 3 = 0, x + lny = 4, x2 – 5x – y = 3 – 4x3, ex+2 = y –2, x2 – 5x – y = 0, x2 + y2 – xy = 5 En esta unidad principalmente se consideran aquellas ecuaciones en las que se pueda despejar una incógnita en función de la otra, es decir, aquellas que sean equivalentes a una de la forma y = f(x) o x = g(y), siendo f y g funciones de una variable. La solución de la ecuación y = f(x) es el conjunto de puntos (x, y) para los que se verifica dicha igualdad. Su representación gráfica corresponde a una curva en el plano de ejes cartesianos (análogamente para la ecuación x = g(y)). Algunos tipos de ecuaciones con dos incógnitas a destacar por su sencillez y utilidad son: • Ecuaciones lineales: ax + by = c, con a ≠ 0 o b ≠ 0. El conjunto de soluciones de estas ecuaciones forman una recta en el plano. • Ecuaciones cuadráticas: * y = ax2 + bx + c (o x = ay2 + by + c), con a ≠ 0. El conjunto de soluciones de estas ecuaciones forman una parábola en el plano. * xy = a, con a ≠ 0. El conjunto de soluciones de estas ecuaciones forman una hipérbola en el plano. * Ecuaciones equivalentes a una de la forma (x - a)2 + (y - b)2 = r2 con r > 0. El conjunto de soluciones de esta ecuación forman la circunferencia de centro el punto (a, b) y radio r. Ejemplo 19: Resolver las siguientes ecuaciones: a) 2x – y + 1 = 0 Despejando y en función de x queda y = 2x + 1. Por tanto, la solución de la ecuación lineal dada está formada por los puntos de la recta y = 2x + 1, es decir, los puntos de la forma (x, 2x + 1), cuya representación se muestra en la siguiente figura: y 1 -1ê2 x © Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 1
2.
CURSO BÁSICO DE
MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal b) x – y2 + 4y - 8 = 0 Despejando x en función de y queda x = y2 - 4y + 8. Por tanto, los puntos de la forma (y2 - 4y + 8, y) constituyen la solución de la ecuación cuadrática dada. Es decir, la solución es la parábola de eje horizontal x = y2 - 4y + 8 representada en la siguiente figura: y 2 x 4 8 c) 2xy –3 = 0 3 La ecuación se puede escribir de la forma xy = , expresión que corresponde a una hipérbola. 2 3 Por tanto, la solución de la ecuación cuadrática dada es la hipérbola xy = representada en la siguiente figura: 2 y 3ê2 x 1 d) y – ex + 1 = 0 Despejando y en función de x queda y = ex - 1. Por tanto, la solución de esta ecuación es la curva y = ex - 1 representada en la siguiente figura: y è!!! e -1 1ê2 x © Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 2
3.
CURSO BÁSICO DE
MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal e) x2 + (y +1)2 = 4 La solución de esta ecuación es la circunferencia de centro el punto (0, -1) y radio 2 representada en la siguiente figura: y 1 x -1 -3 f) x2 + y2 - 3x - 4y = 0 En primer lugar se intenta escribir la ecuación de la forma (x - a)2 + (y - b)2 = r2, para determinar el centro (a, b) y el radio r de la circunferencia. Para ello se suman y se restan los términos necesarios con el objeto de formar dos cuadrados perfectos: x2 + y2 - 3x - 4y = (x2 - 3x) + (y2 - 4y) = ⎛x2 - 2 x + () () 3 3 2 3 2⎞ ⎠ ( - + y2 - 2.2y + (2)2 - (2)2) = ⎝ 2 2 2 ( ) 3 9 9 = x2 - 2 x+ - + (y2 - 2.2y + 4) - 4 2 4 4 ( ) 3 2 25 Por tanto, la ecuación inicial se puede poner de la forma x- + (y - 2)2 = y su solución es la circunferencia de 2 4 ( ) 3 5 centro el punto ,2 y radio representada en la siguiente figura 2 2 y 2 3ê2 x © Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 3
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