2. Una función lineal es una función polinómica de primer grado, cuyo dominio
son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los
números reales.
F:R->R/f(x)=a.x+b donde a y b son números reales. Son funciones lineales por
ejemplo f:f(x)=2x+5, g:g(x)=-3x+7, h:h(x)=4.
Llamamos función lineal a una ecuación del tipo y=mx+b
y es la variable dependiente
m es la pendiente y determina el grado de inclinación en la gráfica el que
permanecerá constante sin importar que valores tenga x, la pendiente de
una función lineal esta determinado por el cociente entre el
desplazamiento en el eje de las ordenadas y y el eje de las abscisas x.
x variable independiente
b es la constante que representa al corte en el eje y
3. Se representa en el plano cartesiano como una línea recta, la idea de
función se empieza a usar formalmente para representar gráficamente la
velocidad de un cuerpo.
Como concepto lo usan los matemáticos Descartes, Leibniz y Newton en el
siglo 17, en el inicio del cálculo diferencial, para observar el cambio.
La dimensión que el hombre maneja comúnmente, es el tiempo, y se
explica muchas acciones y actividades con esta dimensión, por ejemplo
cuanto demora en caer un objeto desde una altura determinada, el
crecimiento de una población en un período determinado, etc.
4. Las funciones permiten describir distintos fenómenos, que contienen
relaciones.
Se analizan en planos cartesianos
Contienen variables una dependiente y otra independiente.
Para ser función a la variable dependiente le debe corresponder un
único valor de la variable independiente.
Crece cuando la variable independiente crece y la dependiente
también crece y es decreciente cuando al incrementar la variable
independiente la dependiente disminuye.
Tienen máximo y mínimo
Se llama dominio a todo el conjunto de valores que puede tomar la
variable independiente.
Se llama imagen de una función al conjunto de todos los valores que
toma la variable dependiente.
5. La representación gráfica de una función lineal es una recta.
La ecuación es y=f(x)m.x+b, donde m es la pendiente y b la ordenada al origen.
La ordenada al origen indica por que punto de y pasa la recta.
La pendiente señala la inclinación de la recta.
Si m<0, entonces la función es decreciente
Si m>0, entonces la función es creciente
Si m=0, entonces la función es constante
Se denomina función nula cuando f(x)=0 y su gráfica es coincidente con el eje de las
abscisas(x)
Se denomina función identidad cuando f(x)=x
Se denomina función de proporcionalidad directa cuando f(x)=m.x, es decir, la
ordenada es 0 y siempre pasa por el origen. En este caso, los valores de x y y son
magnitudes directamente proporcionales.
Dos funciones son paralelas cuando sus pendiente son iguales y sus b son diferentes.
Dos funciones son perpendiculares cuando sus pendientes son inversas y opuestas.
6. La ecuación de la recta puede ser:
Implícita: Ax+Bx+C=0
Segmentaria:
x
A
+
y
B
=1
Explicita: y=a.x+b
7. El conjunto de ceros o raíces es el compuesto por todos los valores que
cumplen f(x)=0
El conjunto de positividad es aquel en donde f(x)>0
El conjunto de negatividad es aquel en donde f(x)<0
Las funciones se pueden clasificar en: inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
Una función es inyectiva cuando a distintos elementos del dominio tienen
distinta imagen.
Una función es sobreyectiva cuando todo elemento del codominio es
imagen de algún elemento del dominio
Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.
8. Las fórmulas que intervienen en un fenómeno, son funciones que tienen en común la
forma: f(x)= mx+b ; siendo m y b números reales.
Una función es lineal si se expresa de la forma f(x)=mx+b; siendo m y b números reales.
El nombre de una función lineal proviene de que su gráfica es una línea recta.
Un punto P (xo,yo) pertenece a la recta de ecuación y=mx+b , si y sólo si sus coordenadas
verifican yo=mxo+b.
Así, en nuestro ejemplo, el punto P (2,5) pertenece a la función y= 0,5 x + 4 porque sus
coordenadas verifican 0,5 .2 + 4 = 1 + 4 = 5. El dominio natural de una función lineal es
el conjunto de números reales, pues mx + b es un número real para cualquier valor de x.
El dominio de las funciones analizadas, en el contexto de la situación anterior, es el
intervalo [ 0,∞]; es decir los números reales positivos incluido el cero, porque no tendría
sentido para valores de x negativos.
9. Pendiente y ordenada al origen . Los parámetros m y b de la ecuación tienen un
significado en la representación gráfica de la función. Veamos el valor m en la
ecuación y= 2x+1
En la gráfica marcamos los puntos A, B, C y D
Para C=(1,3) y D=(2,5)
y2
−y1
x2
−x1
=
5−3
2−1
=
2
1
= 2
Para B= (-
1
4
,
1
2
) y C (1,3)
y2
−y1
x2
−x1
=
3−
2
1
1−(
1
4
)
=
5
2
5
4
=
4
2
=2
Para A=(-2,-3) y B (-
1
4
,
1
2
)
y2
−y1
x2
−x1
=
2
1
(−3)
−
1
4
(−2)
=
7
2
7
4
=
4
2
=2
10. Se puede observar que en todos los casos,
(y2
−y1
x2
−x1
=2, siendo 2 el valor de m correspondiente a
dicha recta.
Si consideramos una recta de ecuación y=mx+b y se toman en ella dos puntos p=(x1,y1) y
Q=(x2,y2) cualesquiera, se verifica y1=mx1+b , y2=mx2+b
Por lo tanto y2-y1=(mx2+b)-(mx1+b)=mx2+b-mx1-b
Y2-y1=m(x2-x1)
Si x1=x2 resulta
(y2
−y1
x2
−x1
=m
11. Una función lineal cumple además que el incremento de los valores del dominio es proporcional al
incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero.
Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.
De la siguiente funciones lineales f (x)= 2x+5, g:g(x)=-3x+7, h:h(x)=4
1.- F:f(x)=2x+5 si x es 3, entonces f(3)=2.3+5=11
F:f(x)=2x+5 si x es 4, entonces f(4)=2.4+5=13
F:f(x)=2x+5 si x es 5, entonces f(5)=2.5+5=15
Cada vez que la x se incrementa en 1, el resultado de f(x) se incrementa en 2
Aquí vemos que la proporcionalidad esta en los incrementos.
12. 2.- g:g(x)=-3x+7 si x=0, entonces g(0)=-3.(0)+7=0+7=7
g:g(x)=-3x+7 si x=1, entonces g(1)=-3.(1)+7=-3+7=4
g:g(x)=-3x+7 si x=2, entonces g(2)=-3.(2)+7=-6+7=1
Aquí x incrementa en 1 y f(x) o y disminuye en 3.
3.- h:h(x) =4 si x=0, entonces h(0)=4
si x=98, entonces h(98)=4
Cada vez que la x se incrementa en 1, el resultado, esto es h(x) no
incrementa.
Aquí vemos la función constante, su representación grafica es una recta
paralela al eje real x.
13. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Se espera tener una población de 5000 individuos, si la población inicial es de 800, y cada
semana se incrementa en 600. En cuanto tiempo se tendrá la población esperada.
m=600 población incrementada cada semana
y= población total
b= población inicial 800
x= tiempo en semanas
Tendríamos la función lineal planteada de acuerdo a la formula y=mx+b
Como 5000= (600)x+800
De donde 5000-800=(600)x
Despejamos x y nos quedaría x =4200/600
De donde x es igual a 7
La población llegara a 5000 en 7 semanas
14. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Una planta al inicio de la observación mide 2 cm, se establece que su crecimiento es directamente
proporcional al tiempo, así en la semana 1 ya mide 2.5 cm.
Con estos datos desarrollamos un modelo matemático que nos genere la altura de la planta en
relación con el tiempo transcurrido.
Se ha establecido que el crecimiento semanal es 0,5 cm pues entre el inicio de la observación y la
primera semana se presenta esta diferencia 2,5-2=0,5.
Entonces nuestro modelo matemático queda y =0,5x+2 en notación y el desempeño podemos
observarlo en forma grafica
15. Si quisiéramos saber en qué semana la planta tuvo un crecimiento de 6 cm tendríamos
que plantear la siguiente igualdad: 0,5X+2 = 6 que recibe el nombre de ecuación lineal
con una incógnita.
Una ecuación que se puede expresar de la forma mx + b= 0 se llama ecuación lineal.
Para resolver las ecuaciones lineales, sustituimos en cada paso la ecuación que teníamos
por una más simple equivalente, hasta llegar a una ecuación de la forma x=k, siendo k un
número real. Las siguientes operaciones algebraicas, aplicadas a una ecuación permiten
obtener una ecuación equivalente a la que se tiene:
1) Sumar o restar la misma expresión a ambos lados de la igualdad,
2) Multiplicar por la misma expresión a ambos lados de la igualdad,
3) Dividir ambos lados de la igualdad por la misma expresión (siempre que no sea igual a 0)
En el caso que el planteo de mx + b = 0 esté asociado a una función lineal, la solución de la
ecuación sería una raíz o cero de la función y gráficamente corresponde a la abscisa del
punto de intersección de la recta con el eje horizontal (eje x).
16. a.- Una zona de la sierra tiene nutrientes para 12000 individuos de una especie. En el año 2018
tenia 6000 individuos, su número crece en aproximadamente 400 por año.
Determina la función lineal en notación que describe lo indicado.
Determina también a partir de que año la zona no tendrá suficiente nutriente para la población.
b.- La población de truchas en una zona del Chimborazo fue de 300 individuos en el segundo
trimestre, esta población llego a 600 individuos en el cuarto trimestre, cual es la estimación de
individuos total en el 5to semestre.
c.- Se estudia la capacidad que tiene un molusco para soportar el efecto de arrastre en un brazo
de mar en la zona de Esmeraldas, con una corriente media que varia entre 2,5 y 20 m/ seg, se
comprueba que a una velocidad de 10m/seg, el 5% de los moluscos es barrido del sustrato, y que
a 15 m/seg, el numero asciende al 15%.
Determine la función lineal que estime para cada valor de velocidad el porcentaje de población
arrastrado.
Entre que valores varia el porcentaje de población que se pierde.
17. d.- Índice de crecimiento de la población en base al nivel de
temperatura del medioambiente
Tenemos dos mediciones realizadas sobre la cantidad de individuos
en una placa de agar y el nivel de temperatura: a 20 grados
centígrados tenemos 50 individuos, a 30 grados centígrados tenemos
70 individuos.
1.- Cual seria la función ícbt
2.- Cual seria la población a una temperatura de 25 grados
centígrados
18. Índice de crecimiento de la población en base al nivel de temperatura del medioambiente
Tenemos dos mediciones realizadas sobre la cantidad de individuos en una placa de agar y el
nivel de temperatura: a 20 grados centígrados tenemos 50 individuos, a 30 grados centígrados
tenemos 70 individuos.
1.- Cual seria la función ícbt
2.- Cual seria la población a una temperatura de 25 grados centígrados
20 -> 50
30-> 70
Entonces f(x)=mx+b
M=
y2
−y1
x2
−x1
=
70−50
30−20
=2
19. APLICACIÓN DE LA FUNCION LINEAL RELACIONANDO GRADOS DE TEMPERATURA EN DISTINTAS ESCALAS
La relación en grados Fahrenheit (°F)y grados centígrado (°C) es la siguiente
0°C es equivalente a 32°F y 100°C a 212 °F
Si x °C equivale a y °F entonces y es una función lineal de x.
La ecuación de la función lineal es y=ax+b
Encontrar la ecuación que relaciona la variable y con la variable x
32=0.a+b 212=100.a+b
32=b
Desarrollamos
212=100.a+32
212-32=100.a
a=
180
100
=
9
5
Reemplazamos en la ecuación de la forma y=ax+b
y=
𝟗
𝟓
.x+32 esta es nuestra ecuación para transformar de Centígrados a Fahrenheit
Ahora buscamos la ecuación para transformar grados Fahrenheit a grados Centígrados
y=
9
5
.x+32, despejamos y-32=
9
5
.x, de donde x=
5
9
(y − 32)
x=
𝟓
𝟗
(𝐲 − 𝟑𝟐) esta es nuestra ecuación para transformar de Fahrenheit a Centígrados
20. Con esta ecuación podemos transformar de grados Centígrados a grados Fahrenheit
Práctica transformar 10, 20, 30,40,45,48,50,80 y 100
Así como de grados Fahrenheit a Centígrados
Practica 2 121, 180,120,110,100,90,80,70
21. Ahora desarrollamos la relación lineal para transformar grados Centígrados °C en grados Kelvin°K
0°C equivalen a 273°K y 100°C equivalen a 373°K
Encontramos la ecuación que relaciona °C y °K
Suponemos que x °C equivalen a y °K
273=0.a+b 373=100.a+b
273=b 373=100.a+273
a=1
Ecuación para transformas grados Centígrados en grados Kelvin
y=x+273
Entonces transformamos 10,20,30,40,50 grados Centígrados a grados Kelvin
