CORRIENTE Y CONDUCTORES CORRIENTE Y DENSIDAD DE CORRIENTE CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE CONDUCTORES METÁLICOS CONDICIONES DE FRONTERA EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES SEMICONDUCTORES

1. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 5
CORRIENTE Y CONDUCTORES
Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones
Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Nov 2009 – Ene 2010
Santo Domingo, RD

2. TABLA DE CONTENIDO
1. CORRIENTE Y DENSIDAD DE CORRIENTE
2. CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE
3. CONDUCTORES METÁLICOS
4. CONDICIONES DE FRONTERA
5. EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES
6. SEMICONDUCTORES

3. CORRIENTE Y DENSIDAD DE
CORRIENTE
Corriente
Corriente Cargas eléctricas en
movimiento.
En esencia es la razón de cambio del
movimiento de las cargas al pasa
por un punto de referencia
conocido.
Se expresa:
[Ampere (A)]
Para obtener la corriente total se
considera:
1
dt
dQ
I =
Densidad de Corriente
La densidad de corriente en un
punto dado es la corriente a través
de un área unitaria normal en ese
punto. La densidad de corriente J
es un vector y se expresa en
Amperes por metro cuadrado
(A/m2
).
Integrando, resulta :
SJ ∆⋅=∆
∆=∆
I
SJI N
∫ ⋅=
S
dI SJ

4. CORRIENTE Y DENSIDAD DE
CORRIENTE (CONT.)
Relación Densidad de Corriente – Velocidad Carga Volumétrica
Consideremos un elemento de carga, , orientado como
se muestra en la figura (a).
Supongamos que en un intervalo de tiempo ∆t, el elemento se mueve una
distancia ∆x, como se muestra en la figura (b).
2
LSvQ vv ∆∆=∆=∆ ρρ

5. CORRIENTE Y DENSIDAD DE
CORRIENTE (CONT.)
Relación Densidad de Corriente – Velocidad Carga Volumétrica (Cont.)
Por lo anterior, el elemento de carga se expresa:
De la definición de corriente:
vx representa la componente x de la velocidad v. Por tanto, en términos de la
densidad, se tiene:
→ → demuestra que las cargas en movimiento conforman
una corriente.
J también se llama corriente de convección.
y a ρvv se le llama densidad de corriente de convección.
3
xSvQ vv ∆∆=∆=∆ ρρ
xv
v
SvI
t
x
S
t
Q
I
∆=∆
∆
∆
∆=
∆
∆
=∆
ρ
ρ
xvx vJ ρ= vJ vρ=

6. 4
D5.1
Un vector de densidad de corriente está dado
por mA/m2
.
a)Encontrar la densidad de corriente en
b)Determinar la corriente total que pasa a
través de una banda circular
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)180aρ-9aФ mA/m2
b)3.26 A
φφρρ aaJ 22
cos410 −= rz
CORRIENTE Y DENSIDAD DE
CORRIENTE (CONT.)
( )2,30,3 === zP 
φρ
8.22,20,3 <<<<= zπφρ

7. CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE
Principio de Conservación de la Carga
Las cargas no se crean ni se destruyen,
aunque cantidades iguales de cargas
positivas y negativas pueden ser
simultáneamente creadas, obtenidas
por separación, destruidas o perdidas
por recombinación.
Ecuación de Continuidad
Consideremos una corriente que
circula a través de una superficie
cerrada:
5
∫ ⋅=
S
dI SJ
De acuerdo al principio de
conservación de la carga, la rapidez
de reducción de la carga dentro de
un volumen dado debe ser igual al
flujo neto de corriente hacia fuera a
través de la superficie cerrada del
volumen, es decir:
en donde,
Qent es la carga total encerrada por la
superficie cerrada.
dt
dQ
dI ent
S
fue
−
=⋅= ∫ SJ

8. CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE (CONT.)
Ecuación de Continuidad (Cont.)
Aplicando el Teorema de la
Divergencia:
y considerando que:
Se tiene:
6
∫ ∫ ⋅∇=⋅
S v
dvd JSJ
∫ ∫ ∂
∂
−=−=
−
v v
v
v
ent
dv
t
dv
dt
d
dt
dQ ρ
ρ
t
dv
t
dv
v
v
v
v
∂
∂
−=⋅∇
∂
∂
−=⋅∇ ∫∫
ρ
ρ
J
J
Ecuación de
continuidad
de la corriente
La ecuación de continuidad
establece que no puede haber
acumulación de carga en ningún
punto.
Para corrientes estacionarias, se
tiene que:
Por tanto: Esta ecuación
indica que la carga total que sale
de un volumen es la misma que la
carga total que entra a él.
0=
∂
∂
t
vρ
0=⋅∇ J
¿En qué Ley están
pensando …?

9. 7
D5.2
La densidad de corriente está dada en
coordenadas cilíndricas A/m2
en la
región 0 ≤ ρ ≤ 20 μm; para ρ ≥ 20 μm, J=0.
a)Encontrar la corriente total que cruza la
superficie z=0.1 m en la dirección de az.
b)Si la velocidad de la carga es 2x106
m/s en
z=0.1m, encontrar ρv.
c)Si la densidad de carga volumétrica en z=0.15m
es -2000 C/m3
, encontrar la velocidad de la carga.
Ejercicio para realizar en el
salón.
Respuestas:
a)-39.7 μA
b)-15.8 mC/m3
c)29.0 m/s
zz aJ 5.16
10−=
CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE (CONT.)

10. CONDUCTORES METÁLICOS
Un conductor posee abundante carga
con libertad de desplazamiento.
Supongamos un conductor aislado
como se muestra a continuación:
Si aplicamos un campo eléctrico
externo, las cargas libres positivas son
impulsadas en igual dirección que la
del campo aplicado, y las cargas libres
negativas en sentido contrario. 8
Las cargas libres hacen dos
cosas:
(1)Se acumulan en la superficie
del conductor, formando una
carga superficial inducida.

11. CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.)
Cargas Libres …
(2) Las cargas inducidas establecen un
campo inducido interno que anula
al campo externo aplicado, como se
muestra a continuación:
9
De este resultado se desprende una
propiedad importante de un
conductor, y es que:
Un conductor perfecto no puede
contener un campo electrostático.
A un conductor se le llama cuerpo
equipotencial
0=−∇= VE

12. CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.)
Ley de Ohm
Para mantener una densidad de
corriente finita en un conductor
perfecto (σ → ∞), es necesario
que el campo E → 0.
También se confirma mediante la ley
de Gauss, ya que si E=0, la
densidad de carga volumétrica ρv
debe ser cero, por tanto, en un
conductor perfecto no puede
existir un campo electrostático
10
EJ σ=
E=0, ρv=0, Vab=0
dentro de un conductor
Consideremos un conductor sometido
a una diferencia de potencial V, como
se muestra en la siguiente figura:
Observaciones:
(1)E ≠ 0.
(2)No hay equilibrio estático, debido a
que el conductor está conectado a una
fuente de fuerza electromotriz.

13. CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.)
Conductividad
La conductividad σ se mide en
siemens por metro [S/m]. Un
siemens es la unidad básica de
conductancia en el sistema SI y se
define como un Ampere por volt.
Veamos algunos valores [S/m]:
(1) Al → 3.82 x 107
.
(2) Cu → 5.80 x 107
.
(3) Ag → 6.17 x 107
.
La conductividad es una función de
la temperatura., y es el recíproco
de la resistividad.
11
Para varios metales, la resistencia
cae abruptamente a cero a
temperaturas de unos cuantos
grados Kelvin, a esta propiedad se le
conoce como superconductividad.
Ej. Al → es superconductor a
temperaturas inferiores a 1.14K.
La conductividad se puede expresar
en función de la densidad de carga y
de la movilidad del electrón, esto es:
eeµρσ −=

14. CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.)
La estructura de bandas de energía en tres diferentes tipos de materiales a 0° K.
(a) El conductor no presenta una brecha de energía entre las bandas de valencia
y conducción. (b) El aislante tiene una gran brecha de energía. (c) El
semiconductor tiene solamente una pequeña brecha de energía.
12

15. CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.)
Resistencia [Caso Uniforme]
La magnitud del campo eléctrico
está dada por:
Puesto que el conductor posee una
sección transversal uniforme, se
tiene:
Sustituyendo en la ley de ohm, se
tiene:
13
L
V
E =
S
I
J =
L
V
E
S
I σ
σ ==
Por tanto:
Normalmente se expresa:
En donde, es la resistividad
del material.
Si los campos no son uniformes,
entonces:
I
V
S
L
R ==
σ
S
L
R cρ
=
σ
ρ
1
=c
Sección transversal S es
uniforme
∫
∫
⋅
⋅−
==
S
a
bab
d
d
I
V
R
SE
LE
σ

16. CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.)
Potencia
La potencia P (en watts) es la
rapidez de cambio de la energía
W (en joules) o fuerza por
velocidad. Así:
La densidad de potencia wP (en
watts/m3
) está dada por:
14
∫ ⋅=
v
dvP JE
Ley de Joule
2
EJE σ=⋅==
dv
dP
wP
En caso de un conductor con sección
transversal uniforme dv=dS.dL, la
ecuación se transforma en:
RIP
VIJdSEdLdvP
L Sv
2
=
==⋅= ∫ ∫∫ JE

17. 15
D5.3
Calcular la magnitud de la densidad de corriente
en una muestra de plata que tiene σ = 6.17 x 107
S/m y μe = 0.0056 m2
/V.s :
a)Si la velocidad de arrastre es de 1.5 μm/s.
b)Si la intensidad de campo eléctrico es de
1mV/m.
c)Si la muestra es un cubo de 2.5 mm de lado y
tiene un voltaje de 0.4 mV entre las caras
opuestas.
d)Si la muestra es un cubo de 2.5 mm de lado y
transporta un corriente total de 0.5A.
Ejercicio para realizar en el
salón.
Respuestas:
a)16.5 kA/m2
b)61.7 kA/m2
c)9.9 MA/m2
d)80.0 kA/m2
CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.)

18. 16
D5.4
Un conductor de cobre tiene un diámetro de 0.6
pulgadas y una longitud de 1200 pies. Suponer
que transporta una corriente total de cd de 50 A.
Encontrar:
a)La resistencia total del conductor.
b)La densidad de corriente del conductor.
c)El voltaje de cd entre los extremos del
conductor.
d)La potencia que disipa el alambre.
Ejercicio para realizar en el
salón.
Respuestas:
a)0.035 Ω
b)2.74 x 105
A/m2
c)1.73 V
d)86.4 W
CONDUCTORES METÁLICOS (CONT.)

19. CONDICIONES DE FRONTERA
Condiciones de Frontera entre un
Conductor y el Espacio Libre
En el análisis :
(1)Descomponga el campo eléctrico en
dos componentes : tangencial y
normal.
(2)Se determina la componente
tangencial, aplicando la ecuación:
y para esto, se separa la integral a
lo largo de la pequeña trayectoria
abcda, esto es:
17
∫ =⋅ 0LE d
∫ ∫ ∫ ∫=+++
b
a
c
b
d
c
a
d
0

20. CONDICIONES DE FRONTERA (CONT.)
18
(3) Recordar que E = 0 dentro del
conductor. Sea ∆w y ∆h las
dimensiones de la trayectoria
cerrada, entonces:
(4) Aproximamos ∆h a cero y ∆w se
mantiene pequeño pero finito,
resultando:
(5) Por tanto:
0
2
1
2
1
_,_, =∆+∆−∆ hEhEwE aenNbenNt
0=∆wEt
0=tE
(6) Ahora evaluemos la componente
normal, basado en la ley de Gauss:
y separando la integral para la
superficie del cilindro, se tiene:
(7) Aproximando ∆h a cero y
evaluando las integrales, resulta:
∫ =⋅
S
QdSD
∫ ∫ ∫=++
arriba abajo lados
Q
SN
SN
D
SQSD
ρ
ρ
=
∆==∆

21. 19
En resumen, los principios aplicables a
campos electrostáticos consideran:
(1)La intensidad de campo eléctrico dentro
de un conductor es cero.
(2)La intensidad de campo eléctrico estático
es normal a la superficie del conductor.
(3)La superficie del conductor es una
superficie equipotencial.
Ejemplo: Dado el potencial
En el punto P(2,-1,3) ubicado en la frontera
entre el conductor y el espacio libre.
Encontrar V, E, D y ρs en P, y también
encontrar la ecuación de la superficie del
conductor.
( )22
100 yxV −=
CONDICIONES DE FRONTERA (CONT.)

22. 20
Solución Ejemplo …
(1) Se determina el potencial V del punto P.
Esto es:
(2) La ecuación de la superficie del
conductor que representa el lugar
geométrico de todos los puntos que tiene
un potencial de 300 Voltios es:
(3) El campo es menos gradiente de
potencial, por tanto:
( )[ ] VoltiosV 30012100
22
=−−=
[ ]
3
100300
22
22
=−
−=
yx
yx
( ) yx yxyxV aaE 200200100 22
+−=−∇−=−∇=
(4) El campo en el punto P es:
(5) Como D=ε0E, entonces:
(6) Como el campo es normal a
la superficie equipotencial:
(7) Por tanto, la densidad de
carga superficial es:
m
V
yx aaE 200400 −−=ρ
2
12
77.154.3
10854.8
m
nC
yx aaD
ED
−−=
×= −
ρ
ρρ
296.3
m
nCD PN == D
2, 96.3
m
nCDNPS ==ρ
CONDICIONES DE FRONTERA (CONT.)

23. 21
D5.5
Determine la ecuación de las líneas de flujo que
pasa por P en el ejemplo anterior.
D5.6
Dado un campo de potencial en el espacio libre
V=100senh 5xsen5y Voltios y un punto P(0.1,
0.2,0.3), encontrar en el punto P:
(a)V
(b)E
(c)|E|
(d)|ρs| si se conoce que el punto P se localiza en
la superficie del conductor.
Ejercicio para realizar en el
salón.
Respuesta D.5:
xy=-2
Respuesta D.6:
a)43.8 V
b)-474ax-140.8ay V/m
c)495 V/m
d)4.38 nC/m2
CONDICIONES DE FRONTERA (CONT.)

24. 22
RECORDANDO
A la mitad entre las dos cargas que
forman un dipolo existe una
superficie equipotencial infinita
con potencial igual a cero.
También, la intensidad de campo
eléctrico es normal a la
superficie.
Si reemplazamos la configuración
del dipolo por una sóla carga y
un plano conductor, los campos
de la mitad superior de ambos
casos son iguales.
EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES
Por tanto, se puede mantener el
mismo campo, quitando la carga
disponible y colocando una carga de
signo contraria en posición simétrica
del otro lado del plano. A esta carga
se le conoce como IMAGEN de la
carga original.

25. 23
La característica de linealidad
permite construir el escenario de la
IMAGEN de una configuración de
cargas, como se muestra en el
siguiente gráfico.
(a)Una configuración de cargas dada
ubicada arriba de un plano
conductor infinito puede
reemplazarse por;
(b)La configuración de cargas dadas
más su configuración imagen sin el
plano conductor.
EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES (CONT.)

26. 24
Ejemplo : Encuéntrese la densidad de
carga superficial en P(2,5,0) en un
plano conductor z=0 si existe una
línea de carga de 30 nC/m localizada
en x=0, z=3 como se muestra en la
gráfica (a).
Solución:
(1)Quitamos el plano e introducimos
una línea de carga, que sea la imagen
de la anterior, de -30nC/m en x=0, z=-
3, como se muestra en (b).
(2)El campo en P se puede obtener por
superposición de los campos
conocidos de las líneas de carga, y
para esto determinamos las distancias
radiales, esto es: R+=2ax-3az, R-
=2ax+3az.
EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES (CONT.)
(3) Se obtienen los campos
individuales:
13
32
132
1030
13
32
132
1030
2
0
9
0
9
0
zx
zx
R
L
R
aa
E
aa
aE
+×−
=
−×
==
−
−
−
+
+ +
πε
πεπε
ρ

27. 25
Solución …
(4)Sumamos los campos obtenidos en
el punto anterior.
(5)Conocido en el campo en P,
encontramos la densidad de carga
superficial.
(6)Por tanto:
EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES (CONT.)
( ) m
V
zz aaE 249
132
10180
0
9
=
×
−=
−
πε
20 20.2
m
nC
zaED −== ε
220.2
m
nC
S −=ρ

28. 26
D5.7
Un plano perfectamente conductor está ubicado
en el espacio libre en x=4, y una línea de carga
infinita y uniforme de 40 nC/m se ubica a lo
largo de la línea x=6, y=3. Sea V=0 en el plano
conductor. En el punto P(7,-1,5), encontrar:
(a)V
(b)E
Ejercicio para realizar en el
salón.
Respuestas:
a)317 V
b)-45.3ax-99.2ay V/m
EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES (CONT.)

29. 27
TÉRMINOS A MANEJAR
(1) Portadores de carga
(2) Banda de Valencia
(3) Banda Prohibida
(4) Banda de Conducción
(5) Cristal
(6) Hueco
(7) Electrón
(8) Material Intrínseco
(9) Impurezas
(10) Proceso Dopado → Contaminación.
(11) Material Donador → tipo n
(12) Material Aceptor → tipo p
SEMICONDUCTORES
Conductividad
La conductividad es una función de
las concentraciones y movilidades
tanto de huecos como de electrones, es
decir:
La concentración de electrones y de
huecos dependen de la temperatura.
PUNTUALIZACIONES
(a)Los semiconductores intrínsecos
satisfacen la ley puntual de ohm.
(b)El número de portadores y la
conductividad depende de la cantidad
de impurezas.
hhee µρµρσ +−=

30. 28
D5.8
Utilizando los valores de movilidad de electrones
y huecos en el silicio a 300°K [μe=0.12, μh=0.025],
y suponiendo densidades de carga de huecos y
electrones de 0.0029 C/m3
y -0.0029 C/m3
,
respectivamente, encontrar:
(a)La componente de la conductividad que
producen los huecos.
(b)La componente de la conductividad que
producen los electrones.
(c)La conductividad.
Ejercicio para realizar en el
salón.
Respuestas:
a)7.25 μS/m
b)348 μS/m
c)421 μS/m
SEMICONDUCTORES (CONT.)

31. GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN