ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
•
1 gostou•577 visualizações
1) Επίλυση Ανισωσης πρώτου βαθμού 2) Γενικός τρόπος λύσης ανισώσεων – παράσταση λύσεων 3) Ανίσωση που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό 4) Αδύνατη ανίσωση 5)Κοινές λύσεις ανισώσεων 6) Διπλή ανίσωση 7) Διαστήματα Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις
Recomendados
Mais conteúdo relacionado
Mais procurados
Mais procurados (20)
Destaque
Destaque (14)
Semelhante a ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
Semelhante a ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1 (20)
Mais de Dimitris Psounis
Mais de Dimitris Psounis (20)
Último
Último (20)
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
- 1. ΕΝΟΤΗΤΑ Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Μπρατάκου Άρτεµις
- 2. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ A. Θεωρία 1. Επίλυση ανίσωσης πρώτου βαθµού 2. Γενικός τρόπος λύσης ανισώσεων – παράσταση λύσεων 3. Ανίσωση που ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό 4. Αδύνατη ανίσωση 5. Κοινές λύσεις ανισώσεων 6. ∆ιπλή ανίσωση 7. ∆ιαστήµατα B. Λυµένες Ασκήσεις Γ. Άλυτες ασκήσεις 2
- 3. Α. Θεωρία 1. Επίλυση ανίσωσης πρώτου βαθµού Έστω η ανίσωση: αݔ ߚ 0. Κάθε ανίσωση αυτής της µορφής λύνεται ως εξής: αݔ ߚ 0 ⇔ ߙݔ െߚ • Αν ߙ 0: ߙݔ െߚ ⇔ ݔ ିఉ ఈ (διατηρείται η φορά της ανίσωσης) • Αν ߙ ൏ 0: ߙݔ െߚ ⇔ ݔ ൏ ିఉ ఈ (αλλάζει η φορά της ανίσωσης) • Αν ߙ ൌ 0: 0ݔ െߚ Αόριστη αν ߚ 0 Αδύνατη αν ߚ ൏ 0 Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 3
- 4. Α. Θεωρία 2. Γενικός τρόπος λύσης ανισώσεων – Παράσταση λύσεων Η διαδικασία επίλυσης των ανισώσεων της µορφής αݔ ߚ 0 ή αݔ ߚ ൏ 0 είναι ίδια µε αυτή των αντίστοιχων εξισώσεων, δηλαδή: • Κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών (αν υπάρχουν) • Κάνουµε απαλοιφή παρενθέσεων (αν υπάρχουν) • Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους • ∆ιαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου Οι δύο τεράστιες διαφορές των ανισώσεων σε σχέση µε τις εξισώσεις είναι οι εξής: 1) Στις ανισώσεις, όταν ο συντελεστής του σγνώστου είναι αρνητικός και διαιρέσουµε στο τέλος, αλλάζει η φορά της ανίσωσης. 2) Στις ανισώσεις, η λύση πρέπει υποχρεωτικά να παρασταθεί στον άξονα των πραγµατικών αριθµών Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 4
- 5. Παράδειγµα Έστω η ανίσωση: ௫ ଷ െ ௫ିସ ൏ 2 െ ସି௫ ସ ⇔ EKΠ(3,4,6ሻ ൌ 12 Για να απαλοίψω τους παρονοµαστές α) είτε πολλαπλασιάζω κάθε όρο µε το ΕΚΠ 12 ݔ 3 െ 12 ݔ െ 4 6 ൏ 12 2 െ 12 4 െ ݔ 4 ⇔ 4ݔ െ 2 ݔ െ 4 ൏ 24 െ 3 4 െ ݔ (1) β) είτε βάζω καπελάκια 4 xු 3 െ 2 x െ 4ෛ 6 ൏ 12 2ෘ 1 െ 3 4 െ xෛ 4 ⇔ 4ݔ െ 2 ݔ െ 4 ൏ 24 െ 3 4 െ ݔ (1) Και στις δύ0 περιπτώσεις καταλήγω στην εξίσωση (1) 4ݔ െ 2 ݔ െ 4 ൏ 24 െ 3 4 െ ݔ ⇔ 4ݔ െ 2ݔ 8 ൏ 24 െ 12 3ݔ ⇔ 4ݔ െ 2ݔ െ 3ݔ ൏ െ8 24 െ 12 ⇔ െݔ ൏ 4 ⇔ ݔ 4 െ1 ⇔ ݔ െ4 െ∞ െ4 0 ∞ Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 5
- 6. Α. Θεωρία 3. Ανίσωση που ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό Ανισώσεις που έχουν την παρακάτω µορφή, ισχύουν για κάθε πραγµατικό αριθµό x: • 0ݔ ൏ ߚ ߢߙߡ 0ݔ ߚό߬ߙߥ ߚ 0 • 0ݔ ߚ ߢߙߡ 0ݔ ߚ ό߬ߙߥ ߚ ൏ 0 • 0ݔ 0 ߢߙߡ 0ݔ 0 Παράδειγµα Έστω η ανίσωση: ݔ 3 െ ଷ௫ିହ ଶ 2 െ ௫ ଶ ΕΚΠ=2 ݔ 3 െ ଷ௫ିହ ଶ 2 െ ௫ ଶ ⇔ 2x 6 െ 3x െ 5 4 െ x ⇔ 2ݔ 6 െ 3ݔ 5 4 െ ݔ ⇔ 2ݔ െ 3ݔ ݔ െ6 െ 5 4 ⇔ 0ݔ െ7 Παρατηρούµε ότι για οποιαδήποτε τιµή του x, η ανίσωση θα είναι αληθής. Άρα, η ανίσωση αυτή ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό Η παράσταση των λύσεων µιας τέτοιας ανίσωσης είναι όλος ο άξονας, δηλαδη: െ∞ ∞ Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 6
- 7. Α. Θεωρία 4. Αδύνατη ανίσωση Ανισώσεις που έχουν την παρακάτω µορφή, είναι αδύνατες: • 0ݔ ൏ ߚ ߢߙߡ 0ݔ ߚό߬ߙߥ ߚ ൏ 0 • 0ݔ ߚ ߢߙߡ 0ݔ ߚ ό߬ߙߥ ߚ 0 • 0ݔ ൏ 0 ߢߙߡ 0ݔ 0 Παράδειγµα Έστω η ανίσωση: ௫ିଷ ସ െ ௫ାହ ଶ ൏ െ1 െ ଵା௫ ସ ΕΚΠ 2,4 ൌ 4 : ௫ିଷ ସ െ 2 ௫ାହ ଶ ൏ െ1 െ ଵା௫ ସ ⇔ ݔ െ 3 െ 2 ݔ 5 ൏ െ4 െ 10 ݔ ⇔ ݔ െ 3 െ 2ݔ െ 10 ൏ െ4 െ 10 െ ݔ ⇔ ݔ െ 2ݔ ݔ ൏ 3 10 െ 4 െ 10 ⇔ 0ݔ ൏ െ1 Παρατηρούµε ότι για οποιαδήποτε τιµή του x, η παραπάνω σχέση είναι ψευδής. Άρα, η ανίσωση είναι αδύνατη. Στις αδύνατες ανισώσεις δεν υπάρχει παράσταση λύσεων. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 7
- 8. Α. Θεωρία 5. Κοινές λύσεις ανισώσεων Για να βρούµε τις κοινές λύσεις δύο ή περισσότερων ανισώσεων, τις λύνουµε ξεχωριστά και παριστάνουµε τις λύσεις τους στον ίδιο άξονα αριθµών. Παράδειγµα Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4 െ 5 ݔ െ 2 13 െ 3ሺݔ 1ሻ και 1 െ ି௫ ସ ௫ ଶ Λύνουµε κάθε ανίσωση ξεχωριστά: • 4 െ 5 ݔ െ 2 13 െ 3ሺݔ 1ሻ ⇔ • 1 െ ି௫ ସ ௫ ଶ ⇔ EKΠ 2,4 ൌ 4 4 െ 5ݔ 10 13 െ 3ݔ െ 3 ⇔ 1 െ ି௫ ସ ௫ ଶ ⇔ െ5ݔ 3ݔ െ4 െ 10 13 െ 3 ⇔ 4 െ 7 െ x 2x ⇔ െ2ݔ െ4 ⇔ 4 െ 7 ݔ 2ݔ ⇔ ݔ ିସ ିଶ ⇔ ݔ െ 2ݔ െ4 7 ⇔ ݔ 2 െݔ 3 ⇔ ݔ ൏ െ3 െ∞ െ 3 2 ∞ Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 8
- 9. Α. Θεωρία 6. ∆ιπλή ανίσωση Για να λύσουµε µια διπλή ανίσωση της µορφής: Α x B x Γ x , λύνουµε ξεχωριστά τις ανισώσεις Α x B x και B x Γ x και βρίσκουµε τις κοινές λύσεις τους. Παράδειγµα Να λυθεί η ανίσωση 1 െ 2 2ݔ 1 5 െ 2ݔ ൏ 4 െ ଼௫ି ଷ και να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της. Λύνουµε κάθε ανίσωση ξεχωριστά: • 1 െ 2 2ݔ 1 5 െ 2ݔ ⇔ • 5 െ 2x ൏ 4 െ ଼௫ି ଷ ⇔ EKΠൌ 3 1 െ 4ݔ െ 2 5 െ 2ݔ ⇔ 5 െ 2x ൏ 4 െ ଼௫ି ଷ ⇔ െ4ݔ 2ݔ െ1 2 5 ⇔ 15 െ 6ݔ ൏ 12 െ ሺ8ݔ െ 7ሻ ⇔ െ2ݔ 6 ⇔ 15 െ 6ݔ ൏ 12 െ 8ݔ 7 ⇔ ݔ ିଶ ⇔ െ6ݔ 8ݔ ൏ െ15 12 7 ⇔ ݔ െ3 2ݔ ൏ 4 ⇔ ݔ ൏ ସ ଶ ⇔ ݔ ൏ 2 െ∞ െ 3 2 ∞ Οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης είναι οι αριθµοί: െ3, െ2, െ1, 0, 1. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 9
- 10. Α. Θεωρία 7. ∆ιαστήµατα • Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών x µε ߙ ݔ ߚ λέγεται κλειστό διάστηµα από α µέχρι β και συµβολίζεται µε ߙ, ߚ . • Αν από το κλειστό διάστηµα ߙ, ߚ παραλείψουµε τα α και β προκύπτει το αντίστοιχο ανοικτό διάστηµα από το α µέχρι το β που συµβολίζεται µε ߙ, ߚ . • Οι αριθµοί α και β λέγονται άκρα των διαστηµάτων αυτών και κάθε αριθµός µεταξύ των α και β λέγεται εσωτερικό σηµείο αυτών. • Η διαφορά µεταξύ ενός κλειστού και του αντίστοιχου ανοικτού διαστήµατος είναι ότι το πρώτο περιέχει τα άκρα του, ενώ το δεύτερο δεν τα περιέχει. Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι µορφές διαστηµάτων πραγµατικών αριθµών και οι διάφορες αναπαραστάσεις τους: Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 10
- 11. ∆ΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ α ≤ x ≤ β [α, β] α ≤ x < β [α, β) α < x ≤ β (α, β] α < x < β (α, β) x ≥ α [α, +∞) x > α (α, +∞) x ≤ α (-∞, α] x < α (-∞, α) Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 11
- 12. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Β. Λυµένες ασκήσεις Άσκηση 1 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γραφούν τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους: α) 3 2ݔ 7 െ 4 15 െ ݔ 29 12ݔ β) ሺݔ 2ሻଶെ2ሺݔ െ 2ሻଶ 25 െ ሺݔ 1ሻଶ Λύση α) 3 2ݔ 7 െ 4 15 െ ݔ 29 12ݔ ⇔ 6ݔ 21 െ 60 4ݔ 29 12ݔ ⇔ 6ݔ 4ݔ െ 12ݔ െ21 60 29 ⇔ െ2ݔ 68 ⇔ ݔ ଼ ିଶ ⇔ ݔ െ34 െ∞ െ 34 ∞ 12
- 13. Λύση β) ሺݔ 2ሻଶ െ2ሺݔ െ 2ሻଶ 25 െ ሺݔ1ሻଶ ⇔ ݔଶ 2ݔ ∙ 2 2ଶ െ 2 ݔଶ െ 2ݔ ∙ 2 2ଶ 25 െ ሺݔଶ 2ݔ ∙ 1 1ଶሻ ⇔ ݔଶ 4ݔ 4 െ 2 ݔଶ െ 4ݔ 4 25 െ ݔଶ െ 2ݔ െ 1 ⇔ ݔଶ 4ݔ 4 െ 2ݔଶ 8ݔ െ 8 25 െ ݔଶ െ 2ݔ െ 1 ⇔ ݔଶ െ 2ݔଶ ݔଶ 4ݔ 8ݔ 2ݔ െ4 8 25 െ 1 ⇔ 14ݔ 28 ⇔ ݔ ଶ଼ ଵସ ⇔ ݔ 2 െ∞ 2 ∞ Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού 13
- 14. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Β. Λυµένες ασκήσεις Άσκηση 2 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γραφούν τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους: α) ଶ௫ାହ ଷ > 7 β) 2 − ௫ିଵ ଷ ≤ ହ γ) 1 − ଷି௫ ଷ ≥ ଵଽ ଶଵ − ଵି௫ Λύση α) ଶ௫ାହ ଷ > 7 ⇔ 3 ଶ௫ାହ ଷ > 3 ∙ 7 ⇔ 2ݔ + 5 > 21 ⇔ 2ݔ > 21 − 5 ⇔ 2ݔ > 16 ⇔ ⇔ ݔ > ଵ ଶ ⇔ x > 8 Άρα , ݔ ∈ (8, +∞) β) 2 − ௫ିଵ ଷ ≤ ହ ⇔ 6 ∙ 2 − 6 ௫ିଵ ଷ ≤ 6 ହ ⇔ 12 − 2 ݔ − 1 ≤ 5 ⇔ 12 − 2x + 2 ≤ 5 ⇔ ⇔ −2ݔ ≤ −12 − 2 + 5 ⇔ −2ݔ ≤ −9 ⇔ ݔ ≥ ିଽ ିଶ ⇔ ݔ ≥ ଽ ଶ Άρα , ݔ ∈ ଽ ଶ , +∞ γ) 1 − ଷି௫ ଷ ≥ ଵଽ ଶଵ − ଵି௫ ⇔ 21 ∙ 1 − 21ૠ ଷି௫ ଷ ≥ 21 ଵଽ ଶଵ − 21 ଵି௫ ⇔ 21 − 7 3 − ݔ ≥ 19 − 3 1 − ݔ ⇔ 21 − 21 + 7x ≥ 19 − 3 + 3x ⇔ 7ݔ − 3ݔ ≥ 16 ⇔ 4ݔ ≥ 16 ⇔ ݔ ≥ ଵ ସ ⇔ ݔ ≥ 4 Άρα, ݔ ∈ [4, +∞) 14
- 15. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Β. Λυµένες ασκήσεις Άσκηση 3 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 3ݔ െ 5 4 ݔ െ 1 െ ݔ και β) ሺ௫ାଵሻమ ଵ െ ௫ାଵ ଶ ൏ ௫ିଵ మ ଵ െ ௫ାଶ ସ Λύση α) 3ݔ െ 5 4 ݔ െ 1 െ ݔ ⇔ 3ݔ െ 5 4x െ 4 െ ݔ ⇔ 3ݔ െ 4ݔ ݔ 5 െ 4 ⇔ 0ݔ 1 αδύνατη β) ሺ௫ାଵሻమ ଵ െ ௫ାଵ ଶ ൏ ௫ିଵ మ ଵ െ ௫ାଶ ସ ⇔ ΕΚΠ(2, 4, 16)=16 16 ሺݔ 1ሻଶ 16 െ 16ૡ ݔ 1 2 ൏ 16 ݔ െ 1 ଶ 16 െ 16 ݔ 2 4 ⇔ xଶ 2ݔ 1 െ 8 ݔ 1 ൏ ݔଶ െ 2ݔ 1 െ 4ሺݔ 2ሻ ⇔ ݔଶ 2ݔ 1 െ 8ݔ െ 8 ൏ ݔଶ െ 2ݔ 1 െ 4ݔ െ 8 ⇔ ݔଶ 2ݔ െ 8ݔ െ ݔଶ 2ݔ 4ݔ ൏ 1 െ 8 െ 1 8 ⇔ 0ݔ ൏ 0 αδύνατη 15
- 16. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Β. Λυµένες ασκήσεις Άσκηση 4 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν: α) 3 ݔ െ 1 2ݔ ൏ ݔ 1 και 2 ݔ 3 െ ݔ 2 β) 2 െ ଵିଷ௫ ଶ 0 και ௫ାଶ ଶ ସାଷ௫ ହ Λύση α) 3 ݔ െ 1 2ݔ ൏ ݔ 1 ⇔ 2 ݔ 3 െ ݔ 2 ⇔ 3ݔ െ 3 2ݔ ൏ ݔ 1 ⇔ 2ݔ 6 െ ݔ 2 ⇔ 3ݔ 2ݔ െ ݔ ൏ 3 1 ⇔ ݔ െ6 2 ⇔ 4ݔ ൏ 4 ⇔ ݔ െ4 ݔ ൏ ସ ସ ⇔ ݔ ൏ 1 െ∞ െ 4 1 ∞ Άρα ݔ ∈ ሾെ4,1ሻ 16
- 17. Λύση β) 2 െ ଵିଷ௫ ଶ 0 ⇔ ௫ାଶ ଶ ସାଷ௫ ହ ⇔ ΕΚΠ(2,5ሻ ൌ 10 2 ∙ 2 െ 2 ଵିଷ௫ ଶ 2 ∙ 0 ⇔ 10 ௫ାଶ ଶ 10 ସାଷ௫ ହ ⇔ 4 െ 1 െ 3ݔ 0 ⇔ 5 x 2 2ሺ4 3xሻ ⇔ 4 െ 1 3ݔ ⇔ 5ݔ 10 8 6ݔ ⇔ 3ݔ െ4 1 ⇔ 5ݔ െ 6ݔ െ10 8 ⇔ 3ݔ െ3 ⇔ െݔ െ2 ⇔ ݔ ିଷ ଷ ⇔ ݔ ൏ ିଶ ିଵ ⇔ ݔ െ1 ݔ ൏ 2 Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού െ∞ െ 1 2 ∞ Άρα ݔ ∈ ሾെ1,2ሻ 17
- 18. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Β. Λυµένες ασκήσεις Άσκηση 5 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να γράψετε τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν: α) 5 ൏ 2ݔ െ 1 ൏ 9 β) 3 െ 5ݔ ݔ 1 7ݔ െ 5 Λύση α) 5 ൏ 2ݔ െ 1 ൏ 9 • 5 ൏ 2ݔ െ 1 ⇔ • 2ݔ െ 1 ൏ 9 ⇔ െ2ݔ ൏ െ1 െ 5 ⇔ 2ݔ ൏ 9 1 ⇔ െ2ݔ ൏ െ6 ⇔ 2ݔ ൏ 10 ⇔ ݔ ൏ ି ିଶ ⇔ ݔ ൏ ଵ ଶ ⇔ ݔ 3 ݔ ൏ 5 െ∞ 3 5 ∞ Άρα ݔ ∈ ሺ3,5ሻ 18
- 19. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Λύση α) 3 െ 5ݔ ݔ 1 7ݔ െ 5 • 3 െ 5ݔ ݔ 1 ⇔ • ݔ 1 7ݔ െ 5 ⇔ െ5ݔ െ ݔ െ3 1 ⇔ ݔ െ 7ݔ െ1 െ 5 ⇔ െ6ݔ െ2 ⇔ െ6ݔ െ6 ⇔ ݔ ିଶ ି ⇔ ݔ ି ି ⇔ ݔ ଵ ଷ ݔ 1 െ∞ 1 3 1 ∞ Άρα ݔ ∈ ሾ1, ∞ሻ 19
- 20. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Γ. Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 1 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 3 ݔ െ 2 4 13 β) 10 െ 2 ݔ െ 1 ൏ െ4 γ) 7 െ 5 ݔ െ 1 12 δ) 2 4ݔ 5 െ 3 ݔ 3 െ5ݔ െ 9 1 െ ݔ ε) െ3 7 3ݔ െ 8 7ݔ െݔ െ 11 ݔ 1 στ) 4ݔ െ ݔ െ 1 ଶ 8 െ ሺݔ െ 3ሻሺݔ 3ሻ 20
- 21. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Γ. Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 2 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γράψετε τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους: α) ିଷ௫ ଶ 8 β) ହିଶ௫ ହ 9 0 γ) െ1 െ ଶ௫ି ଷ ൏ ଶ ଷ δ) ଶ ଷ െ ହି௫ ݔ െ 2 ε) ଷ௫ାଵ ଶ െ ଶ௫ିସ ଷ ൏ 1 στ) 3 െ ଶ௫ାଵ ଷ െ ௫ିଵ ଶ 21
- 22. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Γ. Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 3 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 0ݔ ൏ 3 β) 0ݔ ൏ െ4 γ) 0ݔ െ2 δ) 0ݔ 5 ε) 0ݔ ൏ 0 στ) 0ݔ 0 22
- 23. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Γ. Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 4 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 0ݔ 4 β) 0ݔ െ1 γ) 0ݔ െ2 δ) 0ݔ 6 ε) 0ݔ 0 στ) 0ݔ 0 23
- 24. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Γ. Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 5 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 4 ݔ െ 6 െ 2 3 െ ݔ 6 ݔ െ 5 β) ݔ െ 6 2 െ ݔ 3ݔ െ 4 3 െ ݔ γ) 3 ݔ 4 െ 4 2ݔ 1 െ5 ݔ െ 2 δ) ௫ିଷ ଶ െ ௫ାହ ௫ିଷ ଷ ε) ଶ ହ െ ଷି௫ ଶ ൏ ௫ିଵ ଵ െ ଷିଶ௫ ହ στ) ௫ାଵ ଵ െ ଵା௫ ଶ ௫ିଵ ଵ െ ଶ௫ାଵ ସ 24
- 25. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Γ. Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 6 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και να γράψετε τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν: α) 3ݔ െ 2 1 െ ݔ 2ݔ 7 και െ5ݔ 12 െ 2 7ݔ െ 3 β) െ4 ݔ 2 6 െ 2ሺݔ െ 3ሻ και െ3ሺݔ െ 4ሻ 7 െ 5 ݔ 1 γ) 1 െ ଵି௫ ଶ ൏ ݔ και 1 െ ସି௫ ସ ௫ାସ ଼ δ) ଶ௫ାଷ ସ ݔ െ ௫ାଵ ଶ και 2 ݔ 4 െ ଷ௫ାଵହ ଶ 0 ε) െ2 1 െ ݔ െ 3 1 και െ 3 െ ݔ െ5 και െ7ݔ 0 στ) ௫ିଵ ଶ ଶሺ௫ାଵሻ ଷ ௫ାଶ ଶ െ ଵଷ και ଶ௫ିଵ ସ 2ݔ ௫ାଵ ଶ െ ଵଵ ସ 25
- 26. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Γ. Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 7 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις και να γραφούν τα διαστήµατα στα οποία ανήκουν οι λύσεις τους: α) 2 ݔ െ 1 3 െ ݔ ൏ 3 ݔ 1 β) െ5 െ 4 ݔ െ 2 ൏ 2 ݔ 3 ൏ 5 2 ݔ െ 4ݔ γ) െ5 െ 4 ݔ െ 2 ൏ 2 ݔ 3 ൏ 5 2 ݔ െ 4ݔ δ) ସିଶ௫ ଷ 2 ݔ െ 1 ൏ ଷ௫ାଶ ଶ ε) ௫ାହ ଷ ൏ ହሺ௫ିଷሻ ൏ ݔ െ 1 26
- 27. Μπρατάκου Άρτεµις, Μάθηµα 6.1: Ανισώσεις πρώτου βαθµού Γ. Άλυτες ασκήσεις Άσκηση 8 ∆ίνονται οι επόµενες ανισώσεις: 1) 2 െ 3 1 െ ݔ ൏ 3 െ 2 ݔ െ 3 2) ௫ିଵ ଶ െ 4 2ݔ െ ଷ ௫ିଵ ସ 3) ௫ାଶ ଷ ଵ ଶ ௫ ସ Να βρείτε τις κοινές λύσεις: α) των ανιώσεων (1) και (2) β) των ανισώσεων (1) και (3) γ) των ανισώσεων (1), (2) και (3) 27