1Α) Ιεραρχία Συναρτήσεων Πολυπλοκότητας 1Β) Απόδειξη ασυμπτωτικού συμβολισμού 1Γ) Επίλυση Αναδρομικών Σχέσεων με ασυμπτωτικό συμβολισμό (Θεώρημα Κυριαρχίας, Δένδρο Αναδρομής)

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 6 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ6
Ασκηση 1 (Μονάδες 10+2+8)
(A) Ιεραρχήστε τις παρακάτω συναρτήσεις σε αύξουσα σειρά ασυµπτωτικής πολυπλοκότητας:
( )
( )
n
n
n
nn
nf
nnf
nf
nnf
nnf
2)(
)(lg)(
2)(
4)(
)(
5
4
log
3
5/3
2
log
1
=
=
=
=
=
O συµβολισµός lgn συµβολίζει λογάριθµο µε βάση το 10 και ο συµβολισµός logn συµβολίζει λογάριθµο µε βάση
το 2.
(B) Να αποδείξετε ότι )(4 21log
nn
Θ=+

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 6 2
(Γ) Να λύσετε τις αναδροµές:
2
2
7)()1( n
n
TnT +





=
3
3
7)()2( n
n
TnT +





=
3
5
4
3
)()3( n
n
T
n
TnT +





+





=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    