1) Ισοδυναμία Γραμματικής Χ.Σ. με Αυτόματο Στοίβας 1.1) Μετατροπή Γραμματικής Χ.Σ. σε Αυτόματο Στοίβας 1.2) Μετατροπή Αυτομάτου Στοίβας σε Γραμματική Χ.Σ. 2) Κλειστότητα στις Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα 2.1) Κλειστότητα στην Ένωση 2.2) Κλειστότητα στην Παράθεση 2.3) Κλειστότητα στο Αστέρι Kleene 2.4) ΌΧΙ κλειστότητα στο συμπλήρωμα 2.5) ΌΧΙ κλειστότητα στην τομή Ασκήσεις

1. ΠΛΗ30
ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ
ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΩΝ
Μάθηµα 4.4:
Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ. – Α.Σ.
Κλειστότητα Πράξεων στις Γλώσσες Α.Σ.
∆ηµήτρης Ψούνης

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γραµµατικής Χ.Σ. µε Αυτόµατο Στοίβας
1. Μετατροπή Γραµµατικής Χ.Σ. σε Αυτόµατο Στοίβας
2. Μετατροπή Αυτοµάτου Στοίβας σε Γραµµατική Χ.Σ.
2. Κλειστότητα στις Γλώσσες Χωρίς Συµφραζόµενα
1. Κλειστότητα στην Ένωση
2. Κλειστότητα στην Παράθεση
3. Κλειστότητα στο Αστέρι Kleene
4. ΌΧΙ κλειστότητα στο συµπλήρωµα
5. ΌΧΙ κλειστότητα στην τοµή
Γ.Ασκήσεις
Εφαρµογές
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.

3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Οι στόχοι του µαθήµατος είναι:
Επίπεδο Α
Μετατροπή Γραµµατικής Χωρίς Συµφραζόµενα σε Αυτόµατο Στοίβας
Επίπεδο Β
Κλειστότητα Πράξεων των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα
Επίπεδο Γ
Μετατροπή Αυτοµάτου Στοίβας σε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.

4. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
Η έννοια της ισοδυναµίας των παραπάνω κατασκευασµάτων θα αποδειχθεί
ως εξής:
Θα δούµε αλγόριθµο που µετατρέπει Α.Σ. σε Γρ.Χ.Σ.
Θα δούµε αλγόριθµο που µετατρέπει Γρ.Χ.Σ. σε Α.Σ.
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
Ορισµός Γλώσσας Ανεξάρτητης Συµφραζοµένων:
Μία γλώσσα θα λέγεται Γλώσσα Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων (ή Γλώσσα
Χωρίς Συµφραζόµενα) αν και µόνο αν
Υπάρχει Γραµµατική Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων (Γρ.Χ.Σ) που παράγει τις
συµβολοσειρές της.
Υπάρχει Αυτόµατο Στοίβας (Α.Σ) που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της
γλώσσας.

5. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
1. Μετατροπή Γρ.Χ.Σ. σε Α.Σ.
Οι κανόνες µετατροπής µελετήθηκαν στο Μάθηµα 4.3 που είδαµε πως µια
γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα µπορεί να προσοµοιωθεί από ένα µη
ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας.
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
Θεώρηµα:
Κάθε Γραµµατική Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων (Γρ.Χ.Σ) µετατρέπεται σε ένα
ισοδύναµο Αυτόµατο Στοίβας

6. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
2. Μετατροπή Α.Σ. σε Γρ.Χ.Σ.
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
Θεώρηµα:
Κάθε Αυτόµατο Στοίβας µετατρέπεται σε ένα ισοδύναµο Γραµµατική Χωρίς
Συµφραζόµενα
Κανόνες Μετατροπής:
Έστω Σ αλφάβητο εισόδου, Γ αλφάβητο στοίβας, Q σύνολο καταστάσεων, q0 η
αρχική κατάσταση του αυτοµάτου.
• Οι µεταβλητές της γραµµατικής που θα κατασκευάσουµε θα είναι:
• S η αρχική µεταβλητή
• , , για κάθε ζεύγος , ∈ και Ζ ∈ Γ
• Οι κανόνες της γραµµατικής θα κατασκευαστούν ως εξής:
1. Για κάθε κατάσταση ∈ προσθέτουµε τον κανόνα:
→ , ,
2. Για κάθε κίνηση της µορφής:
(δηλαδή κίνηση αφαίρεσης συµβόλου από την στοίβα) έχουµε τον κανόνα:
, Ζ, →
(σ,Ζ)→ε

7. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
2. Μετατροπή Α.Σ. σε Γρ.Χ.Σ.
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
• Οι κανόνες της γραµµατικής θα κατασκευαστούν ως εξής:
3. Για κάθε κίνηση της µορφής:
(δηλαδή κίνηση αντικατάστασης συµβόλων στην στοίβα) έχουµε τον
οµάδα κανόνων:
, Ζ, Α → , , , , , , … . , ,
όπου … όλοι οι δυνατοί συνδυασµοί καταστάσεων
και Α αντικαθίσταται από οποιαδήποτε κατάσταση.
4. Για κάθε τελική κατάσταση q προσθέτουµε τον κανόνα
→ , ,
(σ,Ζ)→Ζ Ζ …, Ζ

8. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
2. Μετατροπή Α.Σ. σε Γρ.Χ.Σ.
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
Παράδειγµα: Θα µετατρέψουµε το εξής αυτόµατο (το οποίο αναγνωρίζει τη γλώσσα L= ! | # $:
Οι µεταβλητές θα είναι
,
0, , 0 , 0, , 1 , 1, , 0 , 1, , 1
0, 0, 0 , 0, 0, 1 , 1, 0, 0 , 1, 0, 1
Οι κανόνες της γραµµατικής θα είναι:
1. Προσθέτουµε τους εξής κανόνες (ένας κανόνας για κάθε κατάσταση)
S → 0, 0, 0
S → 0, 0, 1
q0 q1
(1,α)→ε
(0, ))→**
(0, + )→*+ (1,α)→ε

9. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
2. Μετατροπή Α.Σ. σε Γρ.Χ.Σ.
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
(…συνέχεια…)
2) Προσθέτουµε τους κανόνες που προκύπτουν από τις κινήσεις αφαίρεσης συµβόλου από τη
στοιβά:
2.α) Για την κίνηση
0, ,, 1 → 1
2.β) Για την κίνηση
1, ,, 1 → 1
q0 q1
(1,α)→ε
q1
(1,α)→ε

10. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
2. Μετατροπή Α.Σ. σε Γρ.Χ.Σ.
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
(…συνέχεια…)
3) Προσθέτουµε τους κανόνες που προκύπτουν από τις κινήσεις τροποποίησης της στοίβας
3.α) Για την κίνηση
0, Ζ0, 0 → 0 0, α, 0 0, Ζ0, 0
0, Ζ0, 0 → 0 0, α, 1 1, Ζ0, 0
0, Ζ0, 1 → 0 0, α, 0 0, Ζ0, 1
0, Ζ0, 1 → 0 0, α, 1 1, Ζ0, 1
3.β) Για την κίνηση
0, α, 0 → 0 0, α, 0 0, α, 0
0, α, 0 → 0 0, α, 1 1, ,, 0
0, α, 1 → 0 0, α, 0 0, α, 1
0, α, 1 → 0 0, α, 1 1, α, 1
4) Για τις τελικές καταστάσεις προσθέτουµε τους κανόνες:
0, Z0, 0 → /
1, Ζ0, 1 → /
q0
(0, + )→*+
q0
(0, ))→**

11. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
2. Μετατροπή Α.Σ. σε Γρ.Χ.Σ.
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
(…συνέχεια…)
Συνοψίζοντας οι κανόνες µπορούν να συµπτηχθούν ως εξής (κάνοντας κατάλληλες µετονοµασίες των
µεταβλητών για να είναι πιο εύκλοα αναγνώσιµες):
→ Υ1 | Υ2
22 → 1
24 → 1
41 → 0X1Y1 | 0X2Y3
42 → 0X1Y2 | 0X2Y4
21 → 0X1X1 | 0X2X3
22 → 0X1X2 | 0X2X4
41 → ε
44 → ε
Η παραπάνω γραµµατική είναι ιδιαίτερα περίπλοκή, παρόλα αυτά αναγνωρίζει την γλώσσα.
Απλοποίηση Γραµµατικής Χωρίς Συµφραζόµενα:
Θα κάνουµε κάποιες απλοποιήσεις για να την φέρουµε σε µια πιο κατανοητή µορφή.

12. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
2. Μετατροπή Α.Σ. σε Γρ.Χ.Σ.
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
(…συνέχεια…)
(1) Αν για µια µεταβλητή δεν έχει οριστεί κανόνας που να παράγει άλλη συµβολοσειρα, µπορούµε να
εξαφανίσουµε κάθε εµφάνιση της, εξαφανίζοντας και κάθε κανόνα που αυτή εµφανίζεται. Στο
παράδειγµα διώχνουµε τις µεταβλητές Χ3 και Υ3
(2) Αντικαθιστούµε κάθε εµφάνιση της Y4 µε ε και του Χ4 µε 1.
→ Υ1 | Υ2
41 → 0X1Y1 | ε
42 → 0X1Y2 | 022
Χ1 → 0X1X1
22 → 0X1X2 0X21 1
(3) Αν για µια µεταβλητή δεν έχει οριστεί τερµατικός κανόνας και δεν είναι δυνατόν να έχουµε
παραγωγή κάποιας συµβολοσειράς, τότε εξαφανίζουµε την µεταβλητή και κάθε κανόνα που αυτή
εµφανίζεται. Στο παράδειγµα όλοι οι κανόνες µε το Χ1 αφαιρούνται.
→ Υ1 | Υ2
41 → /
42 → 022
22 → 0X21 | 1

13. B. Θεωρία
1. Ισοδυναµία Γρ.Χ.Σ µε Α.Σ.
2. Μετατροπή Α.Σ. σε Γρ.Χ.Σ.
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
(…συνέχεια…)
(4) Μπορούµε να ενσωµατώσουµε απευθείας το Υ1 στον κεντρικό κανόνα ως εξής:
→ Υ2
|/
42 → 022
22 → 0X21 | 1
Και οµοίως και το Υ2:
→ 022|/
22 → 0X21 | 1
Άρα τελική γραµµατική που παράγεται (αλλάζοντας το όνοµα της µεταβλητής Χ2 σε Χ) είναι::
: → ;|<
; → =! | !
Που όντως είναι µια σωστή γραµµατική για την γλώσσα του αυτοµάτου L= ! | # $

14. B. Θεωρία
2. Κλειστότητα των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
Έστω δύο γλώσσες χωρίς συµφραζόµενα
Η ένωση τους είναι γλώσσα χωρίς συµφραζόµενα (θα το αποδείξουµε µέσω
Γραµµατικών Χ.Σ.)
Η παράθεση τους είναι γλώσσα χωρίς συµφραζόµενα (θα το αποδείξουµε
µέσω Γραµµατικών Χ.Σ.)
Το αστέρι Kleene µίας γλώσσας θα είναι χωρίς συµφραζόµενα (θα το
αποδείξουµε µέσω Γραµµατικών Χ.Σ.)
Άρα έχουµε κλειστότητα στις 3 αυτές πράξεις στις Γ.Χ.Σ.
Αντίθετα δεν έχουµε κλειστότητα στις Γ.Χ.Σ. στις πράξεις:
Στο συµπλήρωµα µίας γλώσσας
Στην τοµή δύο γλωσσών
Και θα το αποδείξουµε µέσω της κατασκευής κατάλληλων αντιπαραδειγµάτων.

15. B. Θεωρία
2. Κλειστότητα των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα
1. Κλειστότητα στην Ένωση
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
Θεώρηµα (Κλειστότητα των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα στην Ένωση)
Αν η L1 είναι Γλώσσα Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων και η L2 είναι Γλώσσα Ανεξάρτητη
Συµφραζοµένων τότε και η L1 U L2 είναι Γλώσσα Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων
Απόδειξη
Η L1 είναι Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων, άρα παράγεται από µία γραµµατική χωρίς
συµφραζόµενα, έστω µε αρχικό κανόνα S1
Η L2 είναι Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων, άρα παράγεται από µία γραµµατική χωρίς
συµφραζόµενα, έστω µε αρχικό κανόνα S2
Η L1 U L2 παράγεται από την γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα µε αρχικό κανόνα > → :! | :? άρα
είναι χωρίς συµφραζόµενα.
Άρα έχουµε έναν κανόνα για να κάνουµε την ένωση δύο γλωσσών
Π.χ. η γλώσσα @ A 0 1 B # 0$ παράγεται από την γραµµατική: S → 0S 1|/
Και η γλώσσα @ A 1C
0C
D # 0$ παράγεται από την γραµµατική: S → 1S 0|/
Άρα η γλώσσα @E
A @ ∪ @ παράγεται από την γραµµατική:
S → |
S → 0S 1|/
S → 1S 0|/

16. B. Θεωρία
2. Κλειστότητα των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα
2. Κλειστότητα στην Παράθεση
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
Θεώρηµα (Κλειστότητα των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα στην Παράθεση)
Αν η L1 είναι Γλώσσα Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων και η L2 είναι Γλώσσα Ανεξάρτητη
Συµφραζοµένων τότε και η L1L2 είναι Γλώσσα Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων
Απόδειξη
Η L1 είναι Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων, άρα παράγεται από µία γραµµατική χωρίς
συµφραζόµενα, έστω µε αρχικό κανόνα S1
Η L2 είναι Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων, άρα παράγεται από µία γραµµατική χωρίς
συµφραζόµενα, έστω µε αρχικό κανόνα S2
Η L1L2 παράγεται από την γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα µε αρχικό κανόνα > → :!:? άρα
είναι χωρίς συµφραζόµενα.
Άρα έχουµε έναν κανόνα για να κάνουµε την παράθεση δύο γλωσσών
Π.χ. η γλώσσα @ A 0 1 B # 0$ παράγεται από την γραµµατική: S → 0S 1|/
Και η γλώσσα @ A 1C
0C
D # 0$ παράγεται από την γραµµατική: S → 1S 0|/
Άρα η γλώσσα @E
A 0 1 1C
0C
B, D # 0$ A @ @ παράγεται από την γραµµατική:
S →
S → 0S 1|/
S → 1S 0|/

17. B. Θεωρία
2. Κλειστότητα των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα
3. Κλειστότητα στο Αστέρι Kleene
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
Θεώρηµα (Κλειστότητα των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα στο αστέρι Kleene)
Αν η L είναι Γλώσσα Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων τότε και η L* είναι Γλώσσα Ανεξάρτητη
Συµφραζοµένων.
Απόδειξη
Η L είναι Ανεξάρτητη Συµφραζοµένων, άρα παράγεται από µία γραµµατική χωρίς
συµφραζόµενα, έστω µε αρχικό κανόνα S1
Η L* παράγεται από την γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα µε αρχικό κανόνα > → :!:|< άρα
είναι χωρίς συµφραζόµενα.
Άρα έχουµε έναν κανόνα για να κάνουµε την γραµµατική του αστεριού Kleene µιας γλώσσας.
Π.χ. η γλώσσα @ A 0 1 B # 0$ παράγεται από την γραµµατική: S → 0S 1|/
Άρα η γλώσσα @E
A 0 1 C
B, D # 0$ A @∗
παράγεται από την γραµµατική:
S → |/
S → 0S 1|/

18. B. Θεωρία
2. Κλειστότητα των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα
4. ΌΧΙ Κλειστότητα στην Τοµή
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
∆εν έχουµε κλειστότητα στην πράξη της τοµής
Για να το αποδείξουµε πρέπει να δείξουµε ότι η τοµή δύο γλωσσών χωρίς συµφραζόµενα δεν είναι
γλώσσα χωρίς συµφραζόµενα (δηλαδή να βρούµε ένα κατάλληλο αντιπαράδειγµα):
Πράγµατι αν:
• L1 A I JC
B, D # 0}
• L2 A C
I J
B, D # 0}
Που είναι και οι δύο χωρίς συµφραζόµενα (γιατι; )
Η τοµή τους είναι η γλώσσα:
L1 ∩ @2 A I J
B # 0}
που όπως θα δούµε στο επόµενο µάθηµα δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα (θα το αποδείξουµε µε το
λήµµα της άντλησης για γλώσσες χωρίς συµφραζόµενα).
Προσοχή! Η σωστή ερµηνεία του γεγονότος ότι δεν έχουµε κλειστότητα στην πράξη της τοµής
είναι ότι αν έχουµε δύο γλώσσες χωρίς συµφραζόµενα, τότε η τοµή τους:
• Μπορεί να είναι χωρίς συµφραζόµενα
• Μπορεί να µην είναι χωρίς συµφραζόµενα
∆εν σηµαίνει δηλαδή ότι «σώνει και καλά» δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα.

19. B. Θεωρία
2. Κλειστότητα των Γλωσσών Χωρίς Συµφραζόµενα
5. ΌΧΙ Κλειστότητα στο συµπλήρωµα
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.
∆εν έχουµε κλειστότητα στην πράξη του συµπληρώµατος
Για να το αποδείξουµε πρέπει να δείξουµε το συµπλήρωµα µιας γλώσσας χωρίς συµφραζόµενα δεν
είναι γλώσσα χωρίς συµφραζόµενα (δηλαδή να βρούµε ένα κατάλληλο αντιπαράδειγµα):
Πράγµατι αν:
• L1 A L ∈ ,, I, J$∗
L δεν έχει ίσα a και b}
• L2 A L ∈ ,, I, J$∗
L δεν έχει ίσα b και c}
που είναι και οι δύο χωρίς συµφραζόµενα (γιατι; ).
Τότε η ένωση τους είναι η γλώσσα
L′ A L ∈ ,, I, J$∗
L δεν έχει ίσα a και b ή δεν έχει ίσα b και c }
Και είναι γλώσσα χωρίς συµφραζόµενα.
Τότε το συµπλήρωµα της L′ είναι η γλώσσα:
L′N A L ∈ ,, I, J$∗
L έχει ίσα a, b και c }
που όπως θα δούµε στο επόµενο µάθηµα δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα (θα το αποδείξουµε µε το
λήµµα της άντλησης για γλώσσες χωρίς συµφραζόµενα).
Προσοχή! Η σωστή ερµηνεία του γεγονότος ότι δεν έχουµε κλειστότητα στην πράξη του
συµπληρώµατος, σηµαίνει ότι το συµπλήρωµα µιας γλώσσας ανεξάρτητης συµφραζοµένων:
• Μπορεί να είναι χωρίς συµφραζόµενα
• Μπορεί να µην είναι χωρίς συµφραζόµενα

20. Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
Εξετάστε αν έχουµε κλειστότητα στην πράξη της διαφοράς δύο γλωσσών στις γλώσσες
ανεξάρτητες συµφραζοµένων.
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.

21. Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
∆εδοµένου ότι η γλώσσα L1 παράγεται από µία γραµµατική ανεξάρτητη συµφραζοµένων
µε αρχικό κανόνα S1 και η γλώσσα L2 παράγεται από µία γραµµατική ανεξάρτητη
συµφραζοµένων µε αρχικό κανόνα S2
Να αποδείξετε ότι οι ακόλουθες γλώσσες είναι ανεξάρτητες συµφραζοµένων:
1. O@ ∪ @ P∗
2. O@ @ P∗∪ O@ @ P∗
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 4.4: Ισοδυναµίες και Κλειστότητες στις Γλώσσες Α.Σ.