Δυαδική Αναζήτηση (Binary Search) Ταξινόμηση με Συγχώνευση (Merge Sort) Θέωρημα Κυριαρχίας (Master Theorem) Μεθοδος Επανάληψης T(n)=aT(n/b)+f(n)

1. ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ:
Στην χειρότερη περίπτωση, µία αναδροµική κλήση
για τα «µισά» δεδοµένα, άρα:
Καλύτερη Περίπτωση: Θ(1)
Β΄Θεωρηµα
Κυριαρχίας
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ:
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΒINARY SEARCH (ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ)
ΨΕΥ∆ΟΚΩ∆ΙΚΑΣ (αναδροµική υλοποίηση)
procedure BinarySearch(A,x,start,finish)
if start>finish then
return 0
else
middle=(start+finish) div 2
if (x==A[middle]) then
return middle
else if (x<A[middle]) then
pos=BinarySearch(A,x,start,middle-1)
return pos
else if (x>A[middle]) then
pos=BinarySearch(A,x,middle+1,finish)
return pos
end if
end if
end procedure
ΕΙΣΟ∆ΟΣ: Ταξινοµηµένος Πίνακας Α, Στοιχείο x
ΕΞΟ∆ΟΣ:
Αν το στοιχείο υπάρχει στον πίνακα:
• Επιστρέφεται η θέση του.
Αν το στοιχείο δεν υπάρχει στον πίνακα:
• Επιστρέφεται 0
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ Ι∆ΕΑ: Εξετάζεται το µεσαίο στοιχείο:
Αν x = µεσαίο, επιστρέφεται η θέση.
Αν x < µεσαίο, ψάχνουµε στο αριστερό µισό του πίνακα
Αν x > µεσαίο, ψάχνουµε στο δεξί µισό του πίνακα
2
Θ 1 Θ log n….

2. ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ:
Γίνονται δύο αναδροµικές κλήσεις για τα µισα δεδο-
µένα. Ο χρόνος της συγχώνευσης (merge) είναι
Θ(n).
Β΄Θεωρηµα
Κυριαρχίας
ΜΕΡΟΣ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ:
Ανάπτυξη Υποπινάκων:
Συγχώνευση Υποπινάκων:
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝMERGESORT (ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ)
ΨΕΥ∆ΟΚΩ∆ΙΚΑΣ
procedure MergeSort(A,start, finish)
if |A|<=2 then
Ταξινόµησε τον Α
else
middle=(start+finish) div 2
A1=MergeSort(A,start,middle)
A2=MergeSort(A,middle+1,finish)
A=Merge(A1,A2)
end if
end procedure
ΕΙΣΟ∆ΟΣ: Πίνακας Στοιχείων
ΕΞΟ∆ΟΣ: Ταξινοµηµένος (σε αύξουσα σειρά) πίνακας
ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ Ι∆ΕΑ: Αναδροµικά:
Ταξινόµησε τον Αριστερό Υποπίνακα
Ταξινόµησε τον ∆εξιό Υποπίνακα
Συγχώνευσε τους δύο σε έναν ενιαίο πίνακα
2
2
Θ n Θ nlog n….
procedure Merge(A,Β)
i=1, j=1, k=1
while (i<=n AND j<=m)
if (ai<bj) then ck=ai ; i=i+1
else ck=bj ; j=j+1
k=k+1
end while
Όσα στοιχεία του Α ή του B περίσσεψαν
τα βάζουµε στο τέλος του C
return C
end procedure

3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΘΕΩΡΗΜΑ ΚΥΡΙΑΡΧΙΑΣ (MASTER THEOREM)
Το Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση
όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες
τρεις περιπτώσεις:
Α) Αν για κάποια σταθερά ε>0, τότε: !"
Β) Αν τότε: !"
!"
Γ) Αν # $
για κάποια σταθερά ε>0 και % & για κάποια σταθερά c<1, τότε:
Έχω:
Ισχύει: για κάποια σταθερά ε>0
Άρα από την Α’ περίπτωση του Θεωρήµατος Κυριαρχίας έπεται ότι:
n
n
TnT +





=
2
8)(
38loglog,)(,2,8 2 ===== annfba b
)()( 3 ε−
== nOnnf
)()( 3
nnT Θ=
Έχω:
Ισχύει:
Άρα από την B’ περίπτωση του Θεωρήµατος Κυριαρχίας έπεται ότι:
2
3
9)( n
n
TnT +





=
29loglog,)(,3,9 3
2
===== annfba b
)()( 22
nnnf Θ==
)log()( 2
nnnT Θ=
Έχω:
Ισχύει: για κάποια σταθερά ε>0
Ελέγχω αν υπάρχει c<1 τέτοιο ώστε:
Άρα ισχύει για ½≤c<1.
Άρα από την Γ’ περίπτωση του Θεωρήµατος Κυριαρχίας έπεται ότι:
3
2
4)( n
n
TnT +





=
24loglog,)(,2,4 2
3
===== annfba b
)()( 23 ε+
Ω== nnnf
cccn
n
cn
n
ncf
n
fncf
b
n
af ≤⇔≤⇔≤⇔≤





⇔≤





⇔≤





2
1
8
4
2
4
2
4)(
2
4)( 3
3
3
3
3
)()( 3
nnT Θ=
Σύγκριση:
? 1234 5
6 Α’ΘΚ
Β’ΘΚ
7 Γ’ΘΚ
Παραδείγµατα:

4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
Παράδειγµα: Να λύσετε την αναδροµή:
Τ 9
3
;
<
= 7 1
0 1
Λύση:
Τ 3
;
<
= 3 3
;
<?
;
<
=
=
3= ;
<? 3
;
<
=
=
3=
3
;
<@
;
<?
=
3
;
<
=
=
3A ;
<@ 3= ;
<?
=
3
;
<
=
=
⋯
3C ;
<D 3C E ;
<DFG
=
⋯ 3= ;
<?
=
3
;
<
=
=
Η αναδροµή σταµατά όταν
;
<D 1 ⇒ n 4C
⇒ k log<
3KLMN ; ;
<OPQN R 3KLMN ; E ;
<OPQN RFG
=
⋯ 3= ;
<?
=
3
;
<
=
=
3KLMN ;
1 3KLMN ; E ;
<OPQN RFG
=
⋯ 3= ;
<?
=
3
;
<
=
=
∑ 3T ;
<U
=KLMN ; E
TVW ∑ 3T ;?
<U ?
KLMN ; E
TVW
= ∑
AU
<? U
KLMN ; E
TVW
= ∑
AU
EXU
KLMN ; E
TVW
= ∑
A
EX
TKLMN ; E
TVW
=
@
GY
OPQN R
E
@
GY
E
Θ =
1. Κάνουµε 3 εφαρµογές της αναδροµικής σχέσης (µέχρι
να φτάσουµε στη µορφή: Τ n ZA ;
[@ ).
Χρήσιµο το πρόχειρο
2. Εκτίµηση της σειράς που προκύπτει µετά από k
επαναλήψεις (µας καθοδηγεί ο όρος:
;
[D )
3. Υπολογίζουµε πότε σταµατάει η αναδροµή (Θέτουµε
;
[D W και λύνουµε ως προς k). Π.χ. αν W 1, τότε
k log[
4. Αντικατάσταση του k στον τύπο του βήµατος 2
5. Υπολογισµός της σειράς που προκύπτει. Χρήσιµος ο
τύπος: ∑ T;
TVW
]R^G E
] E
Η µέθοδος της επανάληψης χρησιµοποιείται για την
επίλυση της αναδροµικής σχέσης
_
`a , 7 c
&, c
• Όταν το ζητάει ρητά η εκφώνηση
• Όταν αποτυγχάνει το θεώρηµα κυριαρχίας
• Όταν δεν θέλουµε απλά µία ασυµπτωτική εκτίµηση
Τ 3
;
<
=
;
<
3
;
<?
;
<
=
;
<? 3
;
<@
;
<?
=
Πρόχειρο: 0