Κατηγορηματική Λογική

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 6 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
Ερµηνείες Κατηγορηµατικής Λογικής
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Κατηγορηµατική Λογική – Μάθηµα 3.1: Μόνο τον Μεταφραστικό Πίνακα (τελευταία ηχογράφηση
θεωρίας)
• Κατηγορηµατική Λογική – Μάθηµα 3.2: Η γλώσσα της θεωρίας αριθµών
• Κατηγορηµατική Λογική – Μάθηµα 3.3: Η γλώσσα της θεωρίας συνόλων
• Κατηγορηµατική Λογική – Μάθηµα 3.4: Άλλες Ερµηνείες Κατηγορηµατικής Λογικής
• Κατηγορηµατική Λογική – Μάθηµα 3.7: Η γλώσσα των κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Τα µαθήµατα που πέφτουν σχεδόν σε κάθε εξεταστική, είναι τα µαθήµατα 3.7 και 3.8. Οδηγό στοιχείο
είναι ο µεταφραστικός πίνακας που θα πρέπει να τον επαναλάβετε οπωσδήποτε. Επαναλάβετε και τις
σχετικές ασκήσεις που έχουµε κάνει στα ΤΕΣΤ και αναφέρονται σε µεταφράσεις από ερµηνείες
κατηγορηµατικής λογικής.
Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7’ και όλες οι ασκήσεις εντός του
συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.30’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.30’

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 6 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
Οι παρακάτω δοµές ικανοποιούν την πρόταση P( , )x y x y∃ ∀ .
Το σύνολο των φυσικών Ν µε το P( , )x y να σηµαίνει τη συνήθη διάταξη x y≤1.
Το σύνολο των φυσικών Ν µε το P( , )x y να σηµαίνει «το y διαιρείται από το x ».2.
Το σύνολο των πραγµατικών R µε το P( , )x y να σηµαίνει τη συνήθη διάταξη x y≤3.
Το γράφηµα «τροχός τάξης n » όπου το P( , )x y σηµαίνει ότι οι κορυφές x και y συνδέονται µε ακµή.4.
Ερωτήσεις 2
Ερµηνεύουµε τους παρακάτω τύπους στο σύµπαν των θετικών φυσικών αριθµών µε το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο
P(x, y) να αληθεύει αν και µόνο αν το x διαιρεί το y. Ποιοι από τους παρακάτω τύπους αληθεύουν σε αυτή την ερµηνεία και
ποιοι όχι;
∃y ∀x (x ≠ y → P(y, x))1.
∀x ∀y (P(x, y) ∧ P(y, x) → x = y).2.
∀x ∀y ∃z (P(z, x) ∧ P(z, y))3.
∀x ∀y ∃z (P(x, z) ∧ P(y, z))4.
Ερωτήσεις 3
Έστω {1,2, , }nS n= K το σύνολο των φυσικών από το 1 έως το n και ( )nP S το σύνολο των υποσυνόλων του nS . Έστω Q
κατηγορηµατικό σύµβολο που ερµηνεύουµε στο ( )nP S ως εξής: ( , )Q x y αν και µόνο αν x y⊆ .
Ο τύπος ∃x ∀y (x ≠ y → Q(x, y)) αληθεύει στη παραπάνω δοµή1.
Ο τύπος ∀x ∃y (x ≠ y ∧ Q(x, y)) αληθεύει στη παραπάνω δοµή2.
Ο τύπος ( ) ( , )f x yQ x y= ∃ αληθεύει για 2n
στοιχεία x του ( )nP S3.
Ο τύπος ( ( , ) ( , ) )x y Q x y Q y x x y∃ ∃ ∧ ∧ ≠ αληθεύει στη παραπάνω δοµή4.
Ερωτήσεις 4
Θεωρούµε γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P και ένα µονοµελές συναρτησιακό f.
Ο τύπος ( ( , ) ( , ( ))x y P x y P y f x∀ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y< και1.
( ) 1f x x= + .
Ο τύπος ( ( , ) ( , ( ))x y P x y P y f x∀ ∃ ∧ αληθεύει στο σύνολο των πραγµατικών όπου ( , )P x y σηµαίνει ότι x y< και2.
( ) 1f x x= + .
Ο τύπος ( ( ) ( , ))x y y f x P x y∀ ∃ ≈ ∧ αληθεύει σε δένδρα µε ρίζα και δύο τουλάχιστον κορυφές, όπου ( , )P x y σηµαίνει3.
ότι οι κορυφές x και y συνδέονται µε ακµή και ( )f x είναι ο πατέρας της x στο δένδρο και ( )f x x= όταν η x είναι η
ρίζα.
Ο τύπος ( ( ) ( ) ( , ))x y f x f y P x y∃ ∃ ≈ ∧ αληθεύει στην ερµηνεία του (3).4.
Ερωτήσεις 5
Θεωρούµε τον τύπο [ ( ( , ) ( , )) ( , )]x y z P x z P z y P x yϕ = ∀ ∀ ∃ ∧ →
Ο τύπος φ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών Ν όπου το ( , )P x y σηµαίνει ότι το x διαιρείται από το y1.
Ο τύπος φ αληθεύει σε συνεκτικά (συνδεόµενα) γραφήµατα µε δύο τουλάχιστον κορυφές όπου το ( , )P x y σηµαίνει2.
ότι οι κορυφές x και y βρίσκονται µαζί σε απλό κύκλο.
Ο τύπος φ αληθεύει σε γραφήµατα όπου το ( , )P x y σηµαίνει ότι οι κορυφές x και y συνδέονται µε µονοπάτι3.
Ο τύπος φ αληθεύει στο σύνολο των άρτιων φυσικών όπου το ( , )P x y σηµαίνει ότι το x είναι διπλάσιο του y4.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 6 3
Ερωτήσεις 6
Θεωρούµε τον τύπο ( ) ( ( , ))x y x y P x yϕ = ∃ ≠ ∧ .
Ο τύπος ( )x xϕ∃ αληθεύει στο σύνολο των άρτιων φυσικών όπου το ( , )P x y σηµαίνει ότι το x είναι τριπλάσιο του y1.
Ο τύπος ( )x xϕ∀ αληθεύει σε συνεκτικά (συνδεόµενα) γραφήµατα µε δύο τουλάχιστον κορυφές όπου το ( , )P x y2.
σηµαίνει ότι οι κορυφές x και y συνδέονται µε ακµή
Ο τύπος ( )x xϕ∃ αληθεύει σε γραφήµατα µε δύο τουλάχιστον κορυφές όπου το ( , )P x y σηµαίνει ότι οι κορυφές x και3.
y συνδέονται µε ακµή
Ο τύπος ( )x xϕ∀ αληθεύει στο σύνολο των φυσικών Ν όπου το ( , )P x y σηµαίνει ότι το x διαιρείται από το y4.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 6 4
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή
σε κατευθυνόµενα γραφήµατα που µπορεί να έχουν ανακυκλώσεις αλλά όχι παράλληλες ακµές (σηµείωση: οι ακµές (a, b)
και (b, a) δεν θεωρούνται παράλληλες γιατί έχουν αντίθετη φορά). Συγκεκριµένα, οι µεταβλητές ερµηνεύονται ως κορυφές
των γραφηµάτων και το σύµβολο P µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a, b) για τα οποία υπάρχει
ακµή που συνδέει την a µε τη b.
1) Γράψτε µια πρόταση στην κατηγορηµατική λογική που εκφράζει ότι:
a) «Υπάρχει κορυφή του γραφήµατος η οποία έχει ακµές προς όλες τις υπόλοιπες κορυφές».
b) «Όλες οι κορυφές ανήκουν σε κάποιο απλό κύκλο µήκους 3» (υπενθυµίζεται ότι σε ένα απλό κύκλο δεν υπάρχουν
επαναλαµβανόµενες κορυφές).
c) «Ο µέγιστος προς-τα-έξω βαθµός του γραφήµατος είναι ίσος µε 2» (ο µέγιστος προς-τα-έξω βαθµός ενός
κατευθυνόµενου γραφήµατος είναι ο µεγαλύτερος προς-τα-έξω βαθµός κάποιας κορυφής του).
2) Αναφορικά µε τη συγκεκριµένη ερµηνεία, εξηγείστε τι εκφράζει η παρακάτω πρόταση και δώστε ένα παράδειγµα
γραφήµατος µε τουλάχιστον 4 κορυφές στο οποίο αληθεύει:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )zwywxwPwzyxzPxyPzyx =∨=→∀∧=¬∧∧∃∃∀ ,,,
Άσκηση 2
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή
σε κατευθυνόµενα γραφήµατα που µπορεί να έχουν ανακυκλώσεις αλλά όχι παράλληλες ακµές (σηµείωση: οι ακµές (a, b)
και (b, a) δεν θεωρούνται παράλληλες γιατί έχουν αντίθετη φορά). Συγκεκριµένα, οι µεταβλητές ερµηνεύονται ως κορυφές
των γραφηµάτων και το σύµβολο P ως η διµελής σχέση που περιλαµβάνει όλα τα ζευγάρια κορυφών (a, b), για τα οποία
υπάρχει ακµή που συνδέει την a µε την b.
1) Να γράψετε προτάσεις της κατηγορηµατικής λογικής που (στη συγκεκριµένη ερµηνεία) εκφράζουν ότι:
«Το γράφηµα έχει (απλό) µονοπάτι µήκους 2».1.
«Όλα τα ζεύγη διαφορετικών κορυφών συνδέονται µε διαδροµή µήκους 2».2.
«Υπάρχει κορυφή που δεν έχει ανακύκλωση και έχει εξερχόµενες ακµές προς όλες τις κορυφές που έχουν3.
ανακύκλωση».
«Όλες οι κορυφές έχουν προς-τα-έσω βαθµό ίσο µε 1 και προς-τα-έξω βαθµό ίσο µε 1».4.
2) Θεωρούµε τις προτάσεις:
a) ∀x ∀y [¬(P(x, y) ∧ P(y, x))]
b) ∀x ∀y [x ≠ y ∧ P(x, y) → ¬P(y, x)]
Να εξηγήσετε (σε φυσική γλώσσα) τι εκφράζουν οι παραπάνω προτάσεις στην συγκεκριµένη ερµηνεία, και να
κατασκευάσετε δύο γραφήµατα µε τουλάχιστον 5 κορυφές το καθένα τέτοια ώστε:
1) Στο πρώτο γράφηµα, να αληθεύει η πρόταση (α) και να µην αληθεύει η πρόταση (β)
2) Στο δεύτερο γράφηµα, να αληθεύει η πρόταση (β) και να µην αληθεύει η πρόταση (α)
Άσκηση 3
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή
σε κατευθυνόµενα γραφήµατα που µπορεί να έχουν ανακυκλώσεις αλλά όχι παράλληλες ακµές (σηµείωση: οι ακµές (a, b)
και (b, a) δεν θεωρούνται παράλληλες γιατί έχουν αντίθετη φορά). Συγκεκριµένα, οι µεταβλητές ερµηνεύονται ως κορυφές
των γραφηµάτων και το σύµβολο P µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a, b) για τα οποία υπάρχει
ακµή που συνδέει την a µε την b.
1. Να γράψετε προτάσεις της κατηγορηµατικής λογικής που (στη συγκεκριµένη ερµηνεία) εκφράζουν ότι:
α) «Το γράφηµα έχει τουλάχιστον δύο ακµές που δεν είναι ανακυκλώσεις».
β) «Κάθε κορυφή που δεν είναι αποµονωµένη ανήκει σε (απλό) κύκλο µήκους 3». Μια κορυφή είναι αποµονωµένη
αν δεν συνδέεται µε (εισερχόµενη ή εξερχόµενη) ακµή µε άλλη κορυφή.
γ) «Το γράφηµα έχει µια µοναδική αποµονωµένη κορυφή».

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 6 5
2.α) Θεωρούµε τις παρακάτω προτάσεις:
i) ∃z ∀x ∀y (P(x, z) ∧ P(z, y))
ii) ∀x ∀y ∃ z (P(x, z) ∧ P(z, y))
Να κατασκευάσετε δύο γραφήµατα µε τουλάχιστον 5 κορυφές το καθένα τέτοια ώστε:
α.1) Στο πρώτο, να αληθεύει η πρόταση (i). Αληθεύει η πρόταση (ii) στο γράφηµα που κατασκευάσατε;
α.2) Στο δεύτερο, να αληθεύει η πρόταση (ii) και να µην αληθεύει η πρόταση (i).
Άσκηση 4
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή
σε κατευθυνόµενα γραφήµατα που µπορεί να έχουν ανακυκλώσεις αλλά όχι παράλληλες ακµές (σηµείωση: οι ακµές (a, b)
και (b, a) δεν θεωρούνται παράλληλες γιατί έχουν αντίθετη φορά). Συγκεκριµένα, οι µεταβλητές ερµηνεύονται ως κορυφές
των γραφηµάτων και το σύµβολο P µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a, b) για τα οποία υπάρχει
ακµή από την a προς την b.
1. Γράψτε µια πρόταση στην κατηγορηµατική λογική που εκφράζει ότι:
α) «Το γράφηµα περιέχει τουλάχιστον δύο ανακυκλώσεις».
β) «Οι κορυφές του γραφήµατος που έχουν ανακύκλωση δεν συνδέονται µεταξύ τους».
γ) «Το γράφηµα δεν περιέχει ακµές µε κοινά άκρα και αντίθετη φορά (µπορεί όµως να περιέχει ανακυκλώσεις)».
δ) «Κάθε ζευγάρι διαφορετικών κορυφών συνδέεται µε µία µόνο ακµή».
2. Αναφορικά µε τη συγκεκριµένη ερµηνεία, εξηγείστε τι εκφράζει η καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις:
α) ∀x ∃y (x ≠ y ∧ P(x, y))
β) ∃x ∀y (x ≠ y → P(x, y))
γ) ∃x ∃y ∃z (y ≠ z ∧ P(x, y) ∧ P(x, z))
δ) ∀x ∃y [P(y, x) ∧ ∀z (P(z, x) → y = z)]
3. Να κατασκευάσετε ένα γράφηµα µε τουλάχιστον 5 κορυφές στο οποίο:
α) Να αληθεύουν οι προτάσεις (2.α) και (2.δ).
β) Να αληθεύουν οι προτάσεις (2.γ) και (2.δ).
Άσκηση 5
Να γράψετε τις ακόλουθες προτάσεις στην γλώσσα της θεωρίας αριθµών
1. Ένας πρώτος αριθµός δεν διαιρείται µε το 4
2. Το γινόµενο δύο πρώτων αριθµών δεν είναι πρώτος
3. Υπάρχει αριθµός που είναι άρτιος και δεν είναι πρώτος
4. Κάθε αριθµός που διαιρείται από τρεις διαφορετικούς αριθµούς δεν είναι πρώτος
Άσκηση 6
α) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα
αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα (χωρίς παράλληλες ακµές) ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές των
γραφηµάτων και το σύµβολο P µε την σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) για τα οποία υπάρχει
ακµή από την a στην b.
1) Γράψτε µία πρόταση της Κατηγορηµατικής Λογικής που αληθεύει στα γραφήµατα τα οποία έχουν τουλάχιστον
µία κορυφή µε έξω-βαθµό 2. (Έξω-βαθµός είναι ο αριθµός των ακµών που φεύγουν από την κορυφή.)
2) Θεωρούµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα G µε κορυφές 1,2,3 και 4 και µε ακµές (1,2), (2,3), (1,3) και (3,4).
Θεωρούµε τον τύπο ∃y∃z(P(x,y) ∧ P(x,z)).
1. Βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες αληθεύει ο παραπάνω τύπος στο γράφηµα G.
2. Εξηγήστε ποια ιδιότητα των κορυφών αυτών εκφράσαµε µε τον παραπάνω τύπο.
3) Γράψτε µια πρόταση της Κατηγορηµατικής Λογικής που να αληθεύει στα γραφήµατα, για τα οποία, για κάθε
δύο κορυφές τους a και b, υπάρχει µονοπάτι µήκους 2 από την κορυφή a στην κορυφή b.
β) Θεωρούµε τώρα την δοµή των φυσικών αριθµών, και ερµηνεύουµε το σύµβολο κατηγορήµατος P σαν την σχέση
«µεγαλύτερο ή ίσο από». Για καθεµία από τις προτάσεις που γράψατε για τα ερωτήµατα 1. και 3., παραπάνω, ερµηνεύστε
την σε αυτήν τη δοµή και εξετάστε αν αληθεύει ή όχι, και γιατί.