Συνδυαστική Προτασιακή Λογική Κατηγορηματική Λογική Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 6 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ6
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Οι διαφορετικοί τρόποι να κατέβουν 30 επιβάτες λεωφορείου στις 10 στάσεις που αποµένουν, αν δεν έχει
σηµασία η σειρά µε την οποία κατεβαίνουν οι επιβάτες στις στάσεις είναι ίσοι µε:
1. 3010
, αν δεν υπάρχουν περιορισµοί.
2. 1030
, αν δεν υπάρχουν περιορισµοί.
3. Όσοι ο συντελεστής του 30
30!x στην παράσταση 10
( 1)x
e − , αν σε κάθε στάση κατεβαίνει τουλάχιστον ένας
επιβάτης.
4. Όσοι ο συντελεστής του 30
30!x στην παράσταση 2 30 10
( )x x x+ + +L , αν σε κάθε στάση κατεβαίνει
τουλάχιστον ένας επιβάτης.
(2) ‘Οι δεκαδικές συµβολοσειρές µήκους 6 είναι:
1. Όσες ο συντελεστής του 10
10!x στην παράσταση 6
( 1)x
e −
2. Όσες ο συντελεστής του 6
6!x στην παράσταση 10x
e
3. 4·105
, αν περιέχεται τουλάχιστον ένας άσσος
4. 106
– 105
, αν περιέχεται τουλάχιστον ένας άσσος
(3) Οι τρόποι επιλογής µιας 7-µελούς επιτροπής από 100 άνδρες και 20 γυναίκες είναι:
1. Όσοι ο συντελεστής του 7
x στην παράσταση 120
(1 )x+ , αν δεν υπάρχουν περιορισµοί.
2. Όσοι ο συντελεστής του 7
7!x στην παράσταση 120
(1 )x+ , αν δεν υπάρχουν περιορισµοί.
3. (100,2) (20,5)C C× , αν στην επιτροπή συµµετέχουν 2 άνδρες και 5 γυναίκες.
4. (100,2) (20,5) 2!C C× , αν στην επιτροπή συµµετέχουν 2 άνδρες και 5 γυναίκες.

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 6 2
(4) Στις παρακάτω προτάσεις το Τ1 είναι σύνολο προτασιακών τύπων, T2 είναι σύνολο προτασιακών τύπων που
είναι υποσύνολο του T1.
1. Αν το Τ1 είναι συνεπές, τότε είναι συνεπές και το Τ1 T2
2. Αν το Τ1 είναι συνεπές, τότε είναι συνεπές και το Τ1 ∪ T2
3. Αν το Τ1 είναι συνεπές, τότε είναι συνεπές και το Τ1 ∩ T2
4. Αν το Τ1 είναι αντιφατικό, τότε είναι αντιφατικό και το Τ1 T2
(5) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη
γλώσσα αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές
και το σύµβολο P µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) τα οποία
συνδέονται µε ακµή. Ο τύπος ∃ ∀ → ,
1.
2. ,
3. ,
4.
(6) Ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε 6 κορυφές
1. Αν είναι πλήρες διµερές, τότε έχει 9 ακµές.
2. Αν δεν είναι συνδεόµενο, τότε έχει το πολύ 6 ακµές.
3. Το γράφηµα µπορεί να µην είναι επίπεδο.
4. Το γράφηµα µπορεί να περιέχει το Κ4 ως υπογράφηµα, και το Κ3,3 ως επαγόµενο υπογράφηµα.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 6 3
(7) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Υπάρχει απλό διµερές γράφηµα που είναι k-κανονικό.
2. Υπάρχει απλό γράφηµα 8 κορυφών µε 4 κορυφές βαθµού 7 και 4 κορυφές βαθµού 4.
3. Υπάρχει απλό γράφηµα 9 κορυφών, µε 2 κορυφών βαθµού 7, 1 κορυφή βαθµού 6, 5 κορυφές βαθµού 3
και 1 κορυφή βαθµού 2.
4. Υπάρχει γράφηµα µε χρωµατικό αριθµό 3 που περιέχει το Κ4 σαν επαγόµενο υπογράφηµα.
(8) Έστω G=(V,E) απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα.
1. Αν το γράφηµα είναι κανονικό τότε και το συµπλήρωµά του είναι κανονικό.
2. Αν το γράφηµα είναι διχοτοµίσιµο, τότε κάθε επαγόµενο υπογράφηµα είναι επίσης διχοτοµίσιµο.
3. Αν κάθε κύκλος του γραφήµατος έχει άρτιο µήκος, τότε το γράφηµα είναι διχοτοµίσιµο.
4. Αν το γράφηµα είναι πλήρες διχοτοµίσιµο, τότε είναι 2-χρωµατίσιµο.
(9) Έστω µη κατευθυνόµενο γράφηµα που έχει κύκλο Euler και κύκλο Hamilton
1. Αν προστεθεί µια ακµή, το γράφηµα εξακολουθεί να έχει κύκλο Hamilton.
2. Αν προστεθεί µια ακµή, το γράφηµα εξακολουθεί να έχει κύκλο Euler
3. Αν αφαιρεθεί µια ακµή, το γράφηµα εξακολουθεί να έχει κύκλο Hamilton.
4. Αν αφαιρεθεί µια ακµή, το γράφηµα εξακολουθεί να έχει κύκλο Euler
(10) Για το γράφηµα του διπλανού σχήµατος, ποιες από
τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες όχι;
Για τις προτάσεις 3 και 4, να θεωρήσετε ότι ο
αλγόριθµος του Prim ξεκινά από την κορυφή s.
1. Υπάρχει Ελάχιστο Συνδετικό ∆έντρο που περιέχει όλες τις ακµές βάρους 1.
2. Υπάρχει Ελάχιστο Συνδετικό ∆έντρο που περιέχει όλες τις ακµές βάρους 2.
3. Η δεύτερη ακµή που θα προστεθεί στο Ελάχιστο Συνδετικό ∆έντρο από τον αλγόριθµο του Prim είναι η
ακµή (s, v1).
4. Η ακµή (v1, v2) θα προστεθεί στο Ελάχιστο Συνδετικό ∆έντρο από τον αλγόριθµο του Prim πριν από την
ακµή (v6, v3).

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 6 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
(Ερώτηµα 1)
Μια σχολική τάξη αποτελείται από 30 διακεκριµένους µαθητές, 15 αγόρια και 15 κορίτσια. Εξετάζουµε τους
διαφορετικούς τρόπους να χωρίσουµε τους µαθητές σε οµάδες, ώστε κάθε µαθητής να ανήκει σε µία οµάδα, και να τους
αναθέσουµε εργασίες για το µάθηµα της Πληροφορικής.
Να διατυπωθεί η γεννήτρια συνάρτηση και να προσδιοριστεί ο όρος του οποίου ο συντελεστής δίνει το πλήθος των
διαφορετικών αναθέσεων αν:
(i) Υπάρχουν 4 διαφορετικά θέµατα εργασιών που καθένα ανατίθεται σε µία οµάδα, ώστε κάθε οµάδα να αποτελείται
από τουλάχιστον 5 και το πολύ 10 µαθητές, ανεξαρτήτως φύλου (κάθε θέµα πρέπει να ανατεθεί σε µία οµάδα, και
κάθε µαθητής πρέπει να συµµετέχει σε µία οµάδα).
(ii) Υπάρχουν 100 διαφορετικά θέµατα ατοµικών εργασιών που το καθένα ανατίθεται σε έναν µαθητή, ώστε κάθε
αγόρι να έχει τουλάχιστον 2 και το πολύ 4 εργασίες, και κάθε κορίτσι να έχει τουλάχιστον 1 και το πολύ 5
εργασίες (κάθε θέµα πρέπει να ανατεθεί σε έναν µαθητή).
(Ερώτηµα 2)
(α) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το Κ3,3 έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 6 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
Χωρίς να επικαλεστείτε ούτε το θεώρηµα Πληρότητας αλλά ούτε και γνωστά θεωρήµατα (απαγωγή,
αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ) δείξτε ότι ϕ |- ψϕψ →¬→¬ )( .
(Ερώτηµα 2)
Βρείτε την κανονική ποσοδεικτική µορφή του τύπου: ∀ → ∃
(Ερώτηµα 2)
Να εξετάσετε αν ο τύπος: ∀ ∧ ∀ → ∧ ∃ → ∃ ∧ είναι λογικά έγκυρος
(Ερώτηµα 4)
Σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα µε το κατηγόρηµα P(x,y) να εκφράζει την ύπαρξη της ακµής που
συνδέει τις κορυφές x,y, ορίστε τον τύπο που να αληθεύει αν η κορυφή x δεν είναι αποµονωµένη και µε
χρήση αυτού ορίστε τις προτάσεις:
1. Υπάρχουν τουλάχιστον 2 κορυφές που δεν είναι αποµονωµένες
2. Υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές που δεν είναι αποµονωµένες
3. Υπάρχουν το πολύ 2 κορυφές που δεν είναι αποµονωµένες.

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 6 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
Να δείξετε ότι αν G=(V,E) ένα απλό επίπεδο και συνδεόµενο γράφηµα µε |V|=11, τότε το συµπλήρωµά του ∆ΕΝ
είναι επίπεδο γράφηµα.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 6 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
∆ιατυπώστε έναν αλγόριθµο που µε είσοδο ένα απλό συνδεόµενο γράφηµα G=(V,E) ελέγχει αν το γράφηµα
είναι δένδρο.