Συνδυαστική Προτασιακή Λογική Κατηγορηματική Λογική Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Τέστ 29 1
ΠΛΗ20 – ΤΕΣΤ29
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ
(1) Θεωρούµε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων να τοποθετήσουµε 4 διακεκριµένα αντικείµενα σε 2
διακεκριµένες υποδοχές ώστε η πρώτη υποδοχή να πάρει τουλάχιστον 2 αντικείµενα, όταν δεν ενδιαφέρει η
σειρά εµφάνισης των αντικειµένων στις υποδοχές. Αυτός ο αριθµός είναι ίσος µε:
1. Το συντελεστή του x4
στη γεννήτρια συνάρτηση ( x2
+ x3
+ x4
)( 1 + x + x2
+ x3
+ x4
).
2. Το συντελεστή του x4
/ 4! στη γεννήτρια συνάρτηση ex
(ex
– 1 – x).
3. Τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους 4 που περιέχουν τουλάχιστον ένα 1 και τουλάχιστον
ένα 0.
4. Τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους 4 που περιέχουν τουλάχιστον δύο 1.
(2) Ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων να διατάξουµε 4 άσπρες, 5 κόκκινες και 3 µπλε µπάλες είναι ίσος µε:
12! / (4! 5! 3!), όταν δεν υπάρχουν περιορισµοί.1.
10! / (4! 5! 3!), όταν η διάταξη πρέπει να αρχίζει µε άσπρη και να τελειώνει µε κόκκινη µπάλα.2.
Το συντελεστή του x12
/ 12! στη γεννήτρια συνάρτηση
!3!5!4
354
xxx
⋅⋅ , όταν δεν υπάρχουν περιορισµοί.3.
10! / (4! 5! 3!), όταν οι 3 µπλε µπάλες πρέπει να εµφανίζονται διαδοχικά (χωρίς να υπάρχουν άλλοι4.
περιορισµοί).
(3) Έστω φυσικοί αριθµοί m, n µε m ≤ n, και έστω f(x) = ( x+x2
+x3
+ =)m
. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις
αληθεύουν και ποιες όχι.
Ο συντελεστής του xn
στην f(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των τρόπων να τοποθετήσουµε n ίδιους βόλους σε1.
m διακεκριµένες υποδοχές ώστε καµία υποδοχή να µη µείνει κενή
Ο συντελεστής του xn
στην f(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των τρόπων να τοποθετήσουµε n ίδιους βόλους σε2.
m+1 διακεκριµένες υποδοχές ώστε η πρώτη υποδοχή να πάρει m βόλους
Ο συντελεστής του xn
στην f(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των τρόπων να τοποθετήσουµε n διακεκριµένους3.
βόλους σε m µη διακεκριµένες υποδοχές
Ο συντελεστής του xn
στην f(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των τρόπων να τοποθετήσουµε n ίδιους βόλους4.
σε m διακεκριµένες υποδοχές

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Τέστ 29 2
(4) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. → → ⊨ → →
2. → → ⊨ → →
3. → → ⊨ → →
4. → → ⊨ → →
(5) Οι παρακάτω δοµές ικανοποιούν την πρόταση: ∃ ∀ → ,
1. Το γράφηµα C5 όταν το κατηγορηµατικό σύµβολο P(x,y) σηµαίνει ότι οι κορυφές x,y συνδέονται
µε ακµή.
2. Το γράφηµα C5 όταν το κατηγορηµατικό σύµβολο P(x,y) σηµαίνει ότι οι κορυφές x,y συνδέονται
µε µονοπάτι.
3. Το γράφηµα K5 όταν το κατηγορηµατικό σύµβολο P(x,y) σηµαίνει ότι οι κορυφές x,y συνδέονται
µε ακµή.
4. Το γράφηµα K5,5 όταν το κατηγρηµατικό σύµβολο P(x,y) σηµαίνει ότι οι κορφές x,y συνδέονται
µε ακµή.
(6) O τύπος ∀ ∃ , ικανοποιείται στις παρακάτω δοµές:
1. Το γράφηµα όταν το κατηγορηµατικό σύµβολο , σηµαίνει ότι οι κορυφές ,
συνδεόνται µε ακµή.
2. Το γράφηµα , όταν το κατηγορηµατικό σύµβολο , σηµαίνει ότι οι κορυφές ,
συνδεόνται µε ακµή.
3. Το σύνολο των φυσικών όπου το κατηγορηµατικό σύµβολο , σηµαίνει ότι
4. Το σύνολο των πραγµατικών όπου το κατηγορηµατικό σύµβολο , σηµαίνει ότι

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Τέστ 29 3
(7) Ένα γράφηµα είναι δένδρο αν και µόνο αν:
1. Υπάρχει µοναδικό απλό µονοπάτι από κάθε κορυφή σε κάθε άλλη κορυφή.
2. Είναι συνδεόµενο και δεν έχει κύκλους µήκους ≥ 3
3. Οι ακµές είναι µία λιγότερες από τις κορυφές και δεν περιέχει κύκλους
4. Υπάρχει µονοπάτι από κάθε κορυφή σε κάθε άλλη κορυφή και δεν περιέχει κύκλους.
(8) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Αν ένα γράφηµα είναι επίπεδο, τότε κάθε ισόµορφό του γράφηµα είναι επίσης επίπεδο.
2. Αν ένα γράφηµα είναι διχοτοµίσιµο, τότε κάθε ισόµορφό του γράφηµα είναι επίσης διχοτοµίσιµο.
3. Όλα τα δένδρα είναι ισόµορφα µεταξύ τους.
4. Οι πίνακες γειτνίασης δύο οποιωνδήποτε ισόµορφων γραφηµάτων είναι ίσοι.
(9) ∆ίδεται το µη επίπεδο γράφηµα G=(V,E)
1. Το γράφηµα περιέχει το Κ5 ή το Κ3,3
2. Κάθε υπογράφηµά του είναι µη επίπεδο.
3. Κάθε ισόµορφό του γράφηµα H=(V’,E’) είναι µη επίπεδο.
4. Το άθροισµα των βαθµών των κορυφών του είναι τουλάχιστον 18.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Τέστ 29 4
Β’ΜΕΡΟΣ
Άσκηση 1
1. Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το P2 έχει το Κ100;
2. Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το P3 έχει το Κ100;
3. Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το K3,3 έχει το Κ100;
4. Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το Κ4,4 έχει το Κ100;
Άσκηση 2
1. Να αποδείξετε ότι → ⊢ → → → → . Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε τα γνωστά
θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού (απαγωγή, αντιθετοαναστροφή, εις άτοπο απαγωγή κ.λπ.) αλλά όχι
τα θεωρήµατα εγκυρότητας-πληρότητας.
2. Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγόρηµα P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά
µη κατευθυνόµενα γραφήµατα ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές του γραφήµατος και το
σύµβολο P µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) που συνδέονται µε ακµή. Σε
αυτήν την γλώσσα να γράψετε µία πρόταση που να εκφραζει την ακόλουθη ιδιότητα:
1. Ορίστε µια συντοµογραφία φ να αληθεύει αν ο γράφηµα δεν έχει αποµονωµένες κορυφές.
2. Ορίστε τη συντοµογραφία Κ(x) να αληθεύει αν η κορυφή x έχει βαθµό 2.
3. Ορίστε τη συντοµογραφία ψ να αληθεύει αν το γράφηµα δεν έχει αποµονωµένες κορυφές και περιέχει
ακριβώς µία κορυφή µε βαθµό 2.

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Τέστ 29 5
Άσκηση 3
Αποδείξτε ότι σε κάθε δένδρο ισχύει ότι το άθροισµα των βαθµών των κορυφών ισούται µε 2n-2:
a. Χρησιµοποιώντας τύπους
b. Με µαθηµατική Επαγωγή